Capitolo 1 richiami mat. finanziaria

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Capitolo 1 richiami mat. finanziaria

  1. 1. Finanza Computazionale Corso di Laurea in Scienze di Internet Anno Accademico 2003-2004 Giovanni Della Lunga CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  2. 2. Finanza Computazionale Il Valore Finanziario del Tempo Richiami di Matematica Finanziaria CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  3. 3. Il valore finanziario del Tempo Operazioni Finanziarie Tassi di interesse e di sconto Leggi di Capitalizzazione Tassi di interesse nominali e tassi equivalenti Intensità di Interesse Il Tasso Interno di Rendimento Creazione di Scadenzari CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  4. 4. Operazioni Finanziarie    Nel linguaggio comune si parla di inflazione ogniqualvolta varia nel tempo il potere di acquisto della moneta all’interno del paese in cui ha corso legale. La determinazione quantitativa del potere di acquisto della moneta presenta non poche difficoltà e incertezze. Risulta pertanto opportuno iniziare lo sviluppo delle tematiche finanziarie facendo riferimento ad unità monetarie aventi potere di acquisto costante nel tempo ipotizzando cioè un’economia in cui non esiste inflazione. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  5. 5. Operazioni Finanziarie   Anche in un’economia priva di inflazione accade che chi presta denaro (finanziatore) voglia essere compensato e accade viceversa che chi ottiene il denaro in prestito sia disposto (spesso a malincuore) a compensare colui che lo ha finanziato. Se il compenso è anch’esso di natura finanziaria allora l’intera operazione viene chiamata Operazione Finanziaria Semplice. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  6. 6. Operazioni Finanziarie    Un’operazione finanziaria è quindi definibile come un insieme di importi di denaro che vengono pagati o riscossi (flussi di cassa) in certe date (scadenze). E’ naturale definire un’operazione in cui paghiamo una somma in cambio di un flusso di somme future un’operazione di investimento, ed allo stesso modo è immediato definire operazione di finanziamento l’introito di una somma a fronte di esborsi futuri. I flussi associati ad ogni operazione finanziaria sono destinati alla remunerazione ed alla restituzione del capitale impiegato o raccolto. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  7. 7. Operazioni Finanziarie    Consideriamo un operazione finanziaria elementare, cioè con solo due scambi di denaro L’importo scambiato che scade per primo viene designato come valore attuale l’importo scambiato che scade per ultimo viene chiamato montante o valore a scadenza CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  8. 8. Operazioni Finanziarie   In tutte le leggi di interesse il montante risulta tanto maggiore quanto maggiore è il valore attuale e quanto maggiore il tempo che separa le due operazioni Corrispondentemente il valore attuale risulta funzione crescente del montante e funzione decrescente del tempo che separa le due operazioni CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  9. 9. Operazioni Finanziarie    Esempi di operazioni di investimento che incontriamo nella vita quotidiana sono il nostro deposito in una banca, la sottoscrizione di un titolo di stato, l’acquisto di un titolo azionario, l’acquisto di un immobile, o di un opera d’arte. L’esperienza di tutti i giorni ci suggerisce che i flussi interessati possono essere radicalmente diversi. Nell’acquisto di un titolo di stato, a fronte di un esborso di denaro abbiamo un flusso di introiti futuri che sono determinabili a partire da precise relazioni: ad esempio,  il capitale può essere remunerato con un flusso di pagamenti, definiti cedole, che possono essere fissati come una percentuale costante del capitale, oppure determinati in riferimento a qualche altro indicatore di mercato;  il capitale viene invece tipicamente rimborsato in una somma unica al termine dell’operazione di investimento, cioè alla cosiddetta data di scadenza. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  10. 10. Operazioni Finanziarie   Quando sottoscriviamo invece un titolo azionario, i flussi che riceviamo a fronte dell’esborso di capitale sono rappresentati da dividendi che vengono determinati di anno in anno in funzione della profittabilità dell’impresa e della politica di accantonamento del capitale decisa dal consiglio di amministrazione dell’impresa stessa. Se detenete il vostro titolo azionario per un dato periodo di tempo (holding period) al termine avrete incassato un flusso di dividendi, oltre alla variazione del valore di mercato del titolo stesso, legata probabilmente alle prospettive di profittabilità dell’impresa oltre il periodo di detenzione. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  11. 11. Operazioni Finanziarie  Se vi è capitato, o quando vi capiterà, di mettere su un’impresa, o di acquistare una casa, o una macchina, avrete esempi concreti di operazioni di finanziamento.   Per finanziare l’acquisto della vostra casa vi verrà proposto un mutuo a rata fissa o variabile, con varie modalità di retribuzione e rimborso del capitale. Oppure vi offriranno di far fronte alla retribuzione del capitale con pagamenti periodici determinati in funzione di qualche indice di mercato, magari con la possibilità di fissare un limite massimo a tali versamenti, CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  12. 12. Operazioni Finanziarie   Gli esempi precedenti mostrano a sufficienza che anche nei problemi più pratici della vita quotidiana vi è richiesto di definire, valutare e scegliere operazioni finanziarie. La struttura di base di ogni operazione finanziaria sarà composta dagli stessi elementi: un insieme di scadenze ed un insieme di flussi di cassa {t0 {c0  t1 c1 t2 c2 tN } . . cN } Converremo inoltre di:    attribuire segno positivo agli importi ricevuti o da ricevere (entrate); attribuire segno negativo agli importi corrisposti o da corrispondere (uscite); scegliere sempre l’origine dei tempi in modo che le scadenze degli importi siano sempre successive a tale origine CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  13. 13. Il valore finanziario del Tempo Operazioni Finanziarie Tassi di interesse e di sconto Leggi di Capitalizzazione Tassi di interesse nominali e tassi equivalenti Intensità di Interesse Il Tasso Interno di Rendimento Creazione di Scadenzari CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  14. 14. Tassi d’interesse e di sconto  Se chiedete informazioni su un mutuo o su un leasing, o sull’ultima emissione di titoli di stato, il vostro interlocutore vi dirà che le condizioni praticate per un mutuo dalla sua banca prevedono un tasso di interesse annuo del 6%. Cosa significa?  Vi spiegheranno che la banca richiede una retribuzione del 6% annuo sul capitale che vi viene dato in prestito.  Notate che la nozione di interesse è legata alla definizione di un intervallo temporale: la retribuzione del capitale richiesta è del 6% per ogni anno di impiego. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  15. 15. Tassi d’interesse e di sconto  Se definiamo i il tasso d’interesse di un’operazione finanziaria che vede l’impiego di una quantità V0 di capitale tra il tempo t0 e t1 significa che alla fine del periodo il valore del capitale sarà V1 = V0 + iV0 = V0 ( 1 + i )   la grandezza V0 è definita capitale investito, V1 è noto come montante, ed il termine (1 + i) è il fattore di accumulazione, o fattore di capitalizzazione. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  16. 16. Tassi d’interesse e di sconto  Pensate adesso ad un’operazione inversa alla precedente.  Volete acquistare V1 unità di capitale, disponibile al tempo t1 , e calcolarne il valore al tempo t0.   E’ il problema che avete se acquistate un Buono Ordinario del Tesoro (B.O.T.) emesso dallo stato italiano: si tratta di titoli che danno diritto a riscuotere una somma pari a 1 000 Euro in una data futura, ad esempio a distanza di un anno. Semplicemente manipolando l’equazione precedente otteniamo 1 V0 = V1 = vV1 1+ i dove v è definito fattore di sconto o fattore di attualizzazione. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  17. 17. Tassi d’interesse e di sconto  Se calcoliamo la percentuale di riduzione che dobbiamo applicare al valore V1 per ottenere il valore scontato V0 otteniamo V1 − V0 V1 − vV1 d≡ = = 1− v V1 V1 dove d è il tasso di sconto. E’ immediato ottenere la relazione tra tasso d’interesse e tasso di sconto 1 i d = 1− v = 1− = 1+ i 1+ i o anche d i= 1− d CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  18. 18. Tasso d’interesse e di sconto      Esempio Prendiamo il caso del B.O.T. annuale emesso l’11 settembre 2001, e assegnato in asta ad un prezzo medio di 961.61 per ogni 1 000 Euro di nominale. La data di emissione è il 14/09/01, mentre quella di scadenza è il 16/09/01, per una durata dell’operazione di 367 giorni, che possiamo arrotondare ad un anno. Su questo orizzonte il tasso d’interesse dell’operazione è: 1 000/961.61 – 1 = 3.9923%. Il tasso di sconto è pari a 1 – 961.61/1 000 = 3.839%. 1 V0 = V1 = vV1 1+ i ⇓ V1 i = −1 V0 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE V1 − V0 V0 d≡ = 1− V1 V1
  19. 19. Il valore finanziario del Tempo Operazioni Finanziarie Tassi di interesse e di sconto Leggi di Capitalizzazione Tassi di interesse nominali e tassi equivalenti Intensità di Interesse Il Tasso Interno di Rendimento Creazione di Scadenzari CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  20. 20. Leggi di Capitalizzazione      Pensate a un agente di un’impresa di assicurazione che vi propone una polizza vita con tasso i, per un periodo di N anni, al termine del quale otterrete una somma, determinata dagli interessi sul capitale che avete investito. Si tratta di un’operazione di investimento per la quale vi è richiesto il versamento di un capitale V0 iniziale al tempo t0 e somme di denaro xk , k = 1, 2,…,N a ciascun tempo tk. Il tasso di interesse maturato nel periodo tra ti e ti+1 viene pagato al termine del periodo: si dice in questo caso che l’interesse è posticipato. Assumiamo che il periodo di tempo cui è riferito il tasso di interesse, ed il periodo di maturazione coincidano, e siano uguali a un anno. Parliamo quindi di un tasso d’interesse annuo posticipato pagato una volta l’anno. Supponiamo anche che sia i versamenti che gli interessi pagati alla fine di un periodo vengano investiti nella stessa polizza allo stesso tasso d’interesse i. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  21. 21. Leggi di Capitalizzazione  Al generico tempo tk il valore del capitale accumulato sarà uguale a Vk = Vk −1 + iVk −1 + xk = Vk −1 (1 + i ) + xk  Se scegliete tk = tN e sostituite ricorsivamente i valori Vk-1 nell’equazione che definisce Vk ottenete VN = VN −1 (1 + i ) + x N VN = [VN − 2 (1 + i ) + x N −1 ](1 + i ) + x N . . N VN = (1 + i ) V0 + ∑ (1 + i ) N k =1  N −k xk Avete così determinato il valore della somma che otterrete al tempo tN. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  22. 22. Leggi di Capitalizzazione  Anche in questo caso possiamo pensare al problema inverso e cercare di determinare la somma V0 da pagare e/o la struttura dei pagamenti xk da effettuare per garantire una somma VN alla scadenza.  A tal fine utilizziamo il fattore di sconto definito sopra per scrivere N v NVN = V0 + ∑ v k xk i =1 e otteniamo che il valore scontato della somma che verrà ricevuta al tempo tN è pari a: N V0 = v NVN − ∑ v k xk i =1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  23. 23. Leggi di Capitalizzazione  Riflettiamo brevemente sulle caratteristiche della nostra operazione finanziaria, e sul modo in cui abbiamo determinato una relazione, diciamo una legge di equivalenza, tra somme versate prima della data di scadenza tN e l’ammontare finale VN.  Per rendere il ragionamento più semplice, assumiamo che non vengano pagati flussi di cassa intermedi, e poniamo xk = 0 per ogni k. Otteniamo così N v VN = 1 (1 + i ) N VN = V0 che definisce il valore scontato della somma VN al tempo t0.   Si noti che il fatto che il fattore di sconto annuale sia elevato a potenza dipende dall’assunzione che gli interessi pagati alla fine del periodo vengano investiti allo stesso tasso di interesse i per i periodi che rimangono prima della scadenza. Questo tipo di legge finanziaria è definita regime di capitalizzazione composta. Si tratta del regime di capitalizzazione di più largo utilizzo. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  24. 24. Leggi di Capitalizzazione  Cosa sarebbe successo se tali interessi non fossero invece reinvestiti? In questo caso ciascuna somma investita al tempo tk maturerebbe un flusso di interessi pari a i(N – k), alla data di scadenza tN. In generale avremmo quindi N VN = (1 + Ni )V0 + ∑ [1 + i ( N − k ) ] xk i =1  Questa legge di equivalenza finanziaria è nota come regime di capitalizzazione semplice.  Il regime di capitalizzazione semplice è utilizzato per tutti i prodotti con scadenza inferiore all’anno. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  25. 25. Il valore finanziario del Tempo Operazioni Finanziarie Tassi di interesse e di sconto Leggi di Capitalizzazione Tassi di interesse nominali e tassi equivalenti Intensità di Interesse Il Tasso Interno di Rendimento Creazione di Scadenzari CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  26. 26. Tassi d’Interesse Nominali e Tassi Equivalenti  Nella discussione sin qui svolta abbiamo utilizzato l’assunzione che il periodo di riferimento del tasso di interesse ed il suo periodo di maturazione coincidessero.     Nella realtà questa è più l’eccezione che la regola. In gran parte dei prodotti finanziari, ad esempio, gli interessi vengono pagati ogni sei mesi o ogni tre mesi. Il tasso d’interesse è comunque sempre (o quasi) espresso su base annua. Così, se un’obbligazione garantisce un interesse del 6% su base annua con periodo di maturazione trimestrale, significa che ogni tre mesi viene staccata una cedola pari al 1,5% del capitale presente all’inizio del periodo. In questo caso il tasso al 6% è quello che chiamiamo tasso d’interesse nominale, mentre il tasso 1,5% è il tasso d’interesse effettivo su base trimestrale. I diversi concetti di tasso di interesse non devono essere confusi, perché in caso contrario condurranno a grossolani errori di valutazione. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  27. 27. Tassi d’Interesse Nominali e Tassi Equivalenti  Supponiamo che un agente di una compagnia di assicurazioni ci sottoponga una polizza di N anni con tasso d’interesse nominale annuo pari a i(m) = 6% e interessi pagati m (= 4) volte per ogni anno (per semplicità assumiamo che i versamenti xk siano tutti uguali a zero).  Per valutare la grandezza VN dobbiamo tener presente il fatto che  gli interessi verranno pagati e capitalizzati mN volte nell’arco di vita della polizza, e  gli interessi maturati in ogni periodo sono pari a i(m)/m del capitale all’inizio del periodo (1,5% nel nostro caso).  i V N = 1 +  m  (m) mN   V0   CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  28. 28. Tassi d’Interesse Nominali e Tassi Equivalenti    Se vogliamo confrontare la proposta del nostro agente di assicurazione con proposte simili, ad esempio con pagamenti mensili, semestrali o annuali, è necessario convertire il tasso di interesse nella stessa unita di tempo. In generale è naturale scegliere l’anno come periodo di riferimento, e calcolare l’interesse dell’operazione su base annua. In pratica, cerchiamo il tasso d’interesse effettivo su base annua che garantisce lo stesso valore VN al termine dell’operazione finanziaria. Se definiamo tale tasso i, possiamo porre  i  1 += i  m  (m) mN m m  i   N  1 +V0 = 1 + 1) V0  (    -i m    (m) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  29. 29. Tassi d’Interesse Nominali e Tassi Equivalenti  Il tasso di rendimento annuo i è definito come tasso effettivo su base annua equivalente al tasso i(m)/m. Per tornare al nostro caso numerico, il tasso annuo equivalente a un tasso effettivo trimestrale dell’1,5% risulta pari a (1,015)4 – 1 = 6,136%.  Usando la stessa tecnica, se il nostro agente ci garantisce un tasso d’interesse annuo effettivo pari a i, con m pagamenti l’anno, possiamo calcolare il tasso d’interesse nominale corrispondente come i  (m) = m[(1 + i ) 1/ m − 1] Quindi, se ci viene proposto un tasso effettivo annuo del 6% con pagamenti trimestrali, questo corrisponde a un tasso nominale pari a 4*(1.060.25-1) = 5.8695%. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  30. 30. Il valore finanziario del Tempo Operazioni Finanziarie Tassi di interesse e di sconto Leggi di Capitalizzazione Tassi di interesse nominali e tassi equivalenti Intensità di Interesse Il Tasso Interno di Rendimento Creazione di Scadenzari CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  31. 31. Intensità di Interesse  Riprendiamo l’esempio precedente, e chiediamoci quale sarebbe il tasso nominale se, in corrispondenza di un tasso effettivo su base annua del 6%, gli interessi venissero accumulati su base giornaliera.  In questo caso avremmo 365*(1,06(1/365)-1) = 5,8274%.  E se assumessimo che gli interessi venissero pagati 1000 volte l’anno? Otterremmo un risultato pari a 5,8269%.  Nel limite del continuo abbiamo lim i ( m ) = ln ( 1 + i ) m →∞ CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  32. 32. Intensità di Interesse  Giustificazione della precedente formula  Si ricordi il limite notevole x 1   k lim 1 +  = e = lim 1 +  x →∞ x →∞ x x   x/k ⇒ x  k ⇒ lim 1 +  = e k x →∞ x  m  i   - 1 ⇒ i = exp(i ( m ) ) − 1 i = 1 +  m →∞ m    1 + i = exp(i ( m ) ) ⇒ i ( m ) = ln(1 + i ) ( m) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  33. 33. Intensità di Interesse  Possiamo definire una nuova grandezza finanziaria δ ≡ ln (1 + i )    nota come intensità istantanea di interesse. Tale grandezza corrisponde quindi al tasso nominale annuo a capitalizzazione continua. L’intensità d’interesse può essere utilizzata in alternativa al tasso d’interesse effettivo annuo per rappresentare il fattore di capitalizzazione. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  34. 34. Intensità di Interesse  Possiamo infatti scrivere VN = (1 + i ) N V0 = eδNV0  Per chiarire ulteriormente il concetto di intensità di interesse chiediamoci qual’è la variazione di valore del nostro investimento, per unità di tempo, nell’intervallo [t, t + h]. Otteniamo Vt + h − Vt eδ ( t + h )V0 − eδtV0 eδh − 1 eδh − 1 = = eδt V0 = Vt h h h h Vt + h − Vt ∂V ( t ) eδh − 1 lim = = lim Vt = δVt h →0 h →0 h ∂t h CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  35. 35. Intensità di Interesse  Possiamo considerare anche il caso più generale nel quale la delta è funzione del tempo, cosicché abbiamo dV ( t ) = δ ( t )Vt dt  In questo caso, integrando da 0 a N otteniamo N ∫ δ ( u ) du VN = e 0 V0 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  36. 36. Riassunto Leggi di Capitalizzazione e Sconto  Semplice  Funzione di Sconto  capitalizzazione  sconto 1 v(t , T ) = [1 + (T − t )i(t , T )] V (T ) = V (t )[ 1 + (T − t )i (t , T )] V (T ) V (t ) = V (T )v(t , T ) = [1 + (T − t )i(t , T )] CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  37. 37. Riassunto Leggi di Capitalizzazione e Sconto  Composta Discreta  Funzione di Sconto  capitalizzazione 1 v(t , T ) = T −t ( 1 + i(t , T ) ) V (T ) = V (t )[ 1 + i (t , T )]  sconto T −t V (T ) V (t ) = V (T )v(t , T ) = T −t [1 + i(t , T )] CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  38. 38. Riassunto Leggi di Capitalizzazione e Sconto  Composta Continua  Funzione di Sconto  capitalizzazione  v(t , T ) = e − i ( t ,T )[T −t ] V (T ) = V (t )e i ( t ,T )[T −t ] sconto V (t ) = V (T )v(t , T ) = V (T )e CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE − i ( t ,T )[T −t ]
  39. 39. Il valore finanziario del Tempo Operazioni Finanziarie Tassi di interesse e di sconto Leggi di Capitalizzazione Tassi di interesse nominali e tassi equivalenti Intensità di Interesse Tasso Interno di Rendimento Creazione di Scadenzari CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  40. 40. Il tasso interno di rendimento: definizione   Il Tasso interno di rendimento è quel tasso che garantisce l’eguaglianza, ad una data di valutazione fissata, fra il Prezzo e la somma dei valori attuali dei flussi che saranno generati da quel titolo a partire dalla data di valutazione fino alla data di scadenza del titolo stesso. Di seguito viene data la relazione fra Prezzo e TIR: n n i =1 i =1 P = ∑ Fi (1 + TIR ) −ti ⇒ P − ∑ Fi (1 + TIR ) −ti = 0  In generale il calcolo del tasso interno di rendimento richiede procedure numeriche. Se i flussi sono tutti dello stesso segno, una possibile soluzione consiste nell’utilizzo dell’algoritmo di NewtonRaphson. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  41. 41. Il tasso interno di rendimento  Esempio   Un BTP è un titolo di debito emesso dallo stato italiano che paga una cedola fissa (semestrale) ed il rimborso del capitale in un’unica soluzione alla scadenza. Titoli di debito di questo tipo sono definiti bullet bond. In questo caso, l’investimento in un BTP rappresenta un’operazione finanziaria in cui c0 = – P rappresenta l’esborso iniziale (assumiamo per semplicità di sottoscrivere il titolo all’emissione), ck = c, k = 1, 2, …N – 1 e cN = 1 + c. Inoltre, assumiamo t0 = 0 e tk = tk –1 + 1, k = 1, 2, …N. La determinazione del tasso interno di rendimento è in questo caso ottenuta calcolando N − P + ∑ vk c + v N = 0 k =1  L’equazione può essere anche scritta come 1− vN − P + cv + vN = 0 1− v CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  42. 42. Il tasso interno di rendimento  nel caso in cui sia P = 1 ( )  cv  1− v  − 1 = 0 1− v   N da cui si ricava facilmente cv 1− v = 1⇒ =c⇒i=c 1− v v   In questo caso si dice che il titolo “quota alla pari”, ed il tasso interno di rendimento è uguale alla cedola. Se ovviamente il prezzo del titolo è superiore a 1 si dice che il titolo è “sopra la pari”, e ciò implica che il valore della cedola è superiore al tasso interno di rendimento. Al contrario, il tasso interno di rendimento di titoli “sotto la pari” è superiore alla cedola. A parte casi particolari come quello descritto nell’esempio, il calcolo del tasso interno di rendimento richiede procedure numeriche CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  43. 43. Il valore finanziario del Tempo Operazioni Finanziarie Tassi di interesse e di sconto Leggi di Capitalizzazione Tassi di interesse nominali e tassi equivalenti Intensità di Interesse Tasso Interno di Rendimento Creazione di Scadenzari CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  44. 44. La creazione di Scadenzari: un problema sorprendentemente complicato     Per l’analisi delle operazioni finanziari risulta indispensabile disporre di una serie di procedure per la creazione di scadenzari. Uno scadenzario non è altro che una successione di date disposte in ordine cronologico, ad un primo sguardo il compito appare facile, ai limiti della banalità; questa prima impressione si rivela ben presto una tragica illusione! Uno dei problemi più complessi delle procedure di generazione degli scadenzari per uso finanziario è dato dalla presenza dei giorni festivi che, eccezion fatta per sabati, domeniche e poche altre festività, dipendono dal particolare paese considerato. E se vi occupate di paesi islamici, anche il sabato e la domenica vi tradiscono. Talvolta neanche la conoscenza del paese è sufficiente (è il caso ad esempio degli Stati Uniti) in quanto mercati diversi osservano periodi di chiusura differenti. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  45. 45. La creazione di Scadenzari: le convenzioni   Uno scadenzario che non tenga conto delle festività viene detto di tipo Unadjusted. In questo caso le date sono tutte equispaziate fra loro, senza tenere conto del fatto che alcune potrebbero cadere in giorni festivi. Negli scadenzari di tipo Adjusted invece viene introdotto un aggiustamento per tener conto delle festività. Esistono in merito diverse convenzioni:  Preceding: se la data è festiva si considera la data feriale immediatamente precedente;  Following: se la data è festiva si considera la data feriale immediatamente successiva;  Modified Preceding: se la data è festiva si sostituisce con il giorno lavorativo successivo salvo che questo non cada in un mese diverso, in questo caso si prende il giorno lavorativo precedente;  Modified Following: se la data è festiva si sostituisce con il giorno lavorativo precedente salvo che questo non cada in un mese diverso, in questo caso si prende il giorno lavorativo successivo. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  46. 46. La creazione di Scadenzari: le convenzioni     Negli scadenzari di tipo Adjusted è necessario tenere conto non solo dei sabati e delle domeniche ma anche di tutte le altre festività previste dal calendario bancario in vigore per il mercato considerato. La conoscenza precisa delle date festive è problematica specialmente qualora si consideri la generazione di scadenzari che si estendono nel futuro per alcune decine di anni. La questione è meno teorica di quanto si possa pensare dato che esistono innumerevoli titoli che prevedono piani cedole trentennali e anche più lunghi (per non parlare delle obbligazioni perpetue!). Per questo esistono appositi database in cui sono raccolti e costantemente aggiornati i calendari di un gran numero di mercati. Chiunque sia interessato ad approfondire questo tipo di problematiche può visitare il sito internet di una società che offre questo tipo di servizio: www.financialcalendar.com. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  47. 47. La creazione di Scadenzari: le convenzioni  Occorre poi stabilire come calcolare l’intervallo di tempo fra due date definite.  Nei mercati finanziari esistono in proposito diverse convenzioni introdotte prima dell’avvento dell’informatica al fine di semplificare le procedure computazionali relative al calcolo degli interessiSussistono ancora diverse modalità per il calcolo degli intervalli di tempo che differiscono fra loro sia nella definizione del numero di giorni per mese sia nella definizione del numero di giorni per anno.  Normalmente col termine base (day-count basis) ci si riferisce alla modalità scelta per misurare mesi ed anni in numero di giorni, la notazione utilizzata per esprimere la base è (giorni in un mese)/(giorni in un anno). Ad esempio una base di 30/360 indica che ognuno dei dodici mesi dell’anno è considerato composto esattamente da 30 giorni mentre la lunghezza dell’anno viene considerata pari a 360 giorni. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  48. 48. La creazione di Scadenzari: le convenzioni  Esistono diverse convenzioni per il calcolo degli intervalli di tempo       Actual/Actual Actual/360 Actual/365 30/360 American 30/360 European ... CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  49. 49. La creazione di Scadenzari: le convenzioni  Actual/Actual.  Seguendo questa convenzione si assume che l’anno sia composto da 366 o 365 giorni a seconda che le due date fra le quali vogliamo calcolare la differenza includano o meno il 29 febbraio. Occorre prestare molta attenzione a questa convenzione, infatti essa comporta di considerare un denominatore di 366 giorni se e solo se la data del 29 febbraio cade all’interno dell’intervallo di tempo considerato indipendentemente dal fatto che l’anno sia o meno bisestile. Se ad esempio vogliamo calcolare il tempo in anni compreso fra le date del 15 aprile 1992 e del 15 ottobre 1992 seguendo questa convenzione otteniamo t = (Numero giorni fra il 15/10/1992 e il 15/4/1992)/365 = 183/365 = 0.501369 Si noti che sebbene il 1992 fosse un anno bisestile, il denominatore utilizzato nel calcolo è pari a 365 poiché il 29 febbraio non cade nell’intervallo di tempo compreso fra le due date. Se invece vogliamo calcolare la differenza fra il 15 aprile 1992 e il 15 gennaio 1992, dobbiamo calcolare t = (Numero giorni fra il 15/4/1992 e il 15/1/1992)/366 = 91/366 = 0.248633 In questo caso il denominatore è pari a 366 perché la data del 29 febbraio è inclusa nell’intervallo di tempo considerato. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  50. 50. La creazione di Scadenzari: le convenzioni  Actual/360.  In questo caso il numero di giorni fra le due date viene calcolato assumendo che ogni mese abbia il numero di giorni appropriato mentre al denominatore si considera un anno composto di 360 giorni. Molti calcoli relativi al mercato monetario seguono questa convenzione. Volendo calcolare ancora una volta il tempo in anni compreso fra le date del 15 aprile 1992 e del 15 ottobre 1992 seguendo questa convenzione otteniamo t = (Numero giorni fra il 15/10/1992 e il 15/4/1992)/360 = 183/360 = 0.508333 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  51. 51. La creazione di Scadenzari: le convenzioni  Actual/365.  Come la precedente salvo che l’anno si assume in ogni caso composto da 365 giorni. Lo stesso calcolo del precedente esempio produce come risultato t = (Numero giorni fra il 15/10/1992 e il 15/4/1992)/365 = 183/365 = 0.501369 Per questo intervallo si ottiene lo stesso risultato seguendo la convenzione Actual/Actual ma volendo calcolare l’intervallo di tempo fra il 15 gennaio 1992 e il 15 aprile 1992 questa volta avremo t = (Numero giorni fra il 15/4/1992 e il 15/1/1992)/365 = 91/365 = 0.249315 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  52. 52. La creazione di Scadenzari: le convenzioni  30/360 American.  In questo caso i mesi sono considerati tutti di 30 giorni mentre il numero totale di giorni in un anno è pari a 360. Per il calcolo del numeratore, se la data iniziale o finale cade il 31 del mese, il numero di giorni compreso fra le due date viene aggiustato nel modo seguente: supponiamo che D1 e D2 indichino rispettivamente la data iniziale e la data finale che delimita l’intervallo di tempo del quale vogliamo calcolare il numero di giorni, allora Se D1 = 31 porre D1 = 30 Se D2 = 31 e D1 = 30 porre D2 = 30 Si osservi che per cambiare la seconda data non è sufficiente che questa cada il 31 del mese ma occorre verificare anche che la data precedente sia 30. Supponiamo di voler calcolare secondo questa convenzione il numero di giorni compresi fra il 25 agosto 2001 e il 31 dicembre dello stesso anno, D1 = 25/08/2001 D2 = 31/12/2001 Poiché D1 è diverso da 31 questa data non viene cambiata per cui anche la data successiva rimane inalterata. Indicando con Y1 e Y2 gli anni e con M1 e M2 i mesi, la differenza espressa in giorni fra due date qualsiasi è pari a t = (Y2 – Y1) × 360 + (M2 – M1) × 30 + (D2 – D1) Per le date riportate sopra otteniamo t = 125 gg. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  53. 53. La creazione di Scadenzari: le convenzioni  30/360 European.  La convenzione è analoga alla precedente con una sola importante differenza, se una delle due date cade il 31 di un mese, questa viene in ogni caso riportata al 30 dello stesso mese. Eseguendo lo stesso calcolo della convenzione precedente in questo caso otteniamo t = 126 gg. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  54. 54. La creazione di Scadenzari: le convenzioni  Riassumendo, i dati di input necessari per costruire uno scadenzario sono:        la data di valutazione dell’operazione; la scadenza; la frequenza dei pagamenti; la base per il conteggio dei giorni; il tipo di scadenzario (Adjusted o Unadjusted ); il tipo di aggiustamento da fare sulle date (Following, Preceding, Modified Following, Modified Preceding ); il mercato di riferimento per le festività. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  55. 55. Bibliografia  U. Cherubini, G. Della Lunga Matematica Finanziaria Capitolo 2 e 3 McGraw-Hill, 2002. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE

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