Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

1 meccanica fluidi

3,833 views

Published on

Corso di FISICA per CTF Università di Siena

Published in: Education
  • Be the first to comment

1 meccanica fluidi

  1. 1. Meccanica dei Fluidi 1
  2. 2. Che cos’è un fluido? Meccanica dei Fluidi 2
  3. 3.  In natura le sostanze possono trovarsi in tre stati di aggregazione: Solidi, liquidi e gas
  4. 4. Caratteristiche di un fluido  FLUIDO sostanza senza “forma” propria (assume la forma del recipiente che la contiene)  Liquido - volume limitato dalla superficie libera  Gas - diffusione nell’intero volume disponibile  Un fluido può essere:  omogeneo caratteristiche fisiche costanti per tutto il suo volume  disomogeneo caratteristiche fisiche non costanti  Fluido “ideale”: non comprimibile, omogeneo, senza attrito interno (non viscoso). Esempio: Sangue sospensione di cellule in soluzione acquosa di sali e molecole organiche omogeneo a livello macroscopico, disomogeneo a livello microscopico
  5. 5. La densità La densità d di un corpo è uguale al rapporto tra la sua massa m e il suo volume V. La densità d è direttamente proporzionale alla massa m e inversamente proporzionale al volume V.
  6. 6. La pressione e le sue leggi Meccanica dei Fluidi 6
  7. 7. Perché i coltelli sono affilati?
  8. 8.  La stessa forza può avere effetti diversi a seconda della superficie su cui agisce. Ad esempio chi cammina sulla neve: La pressione
  9. 9. La pressione è una grandezza scalare definita come il rapporto tra il modulo della forza (perpendicolare alla superficie) e l’area di questa superficie. La pressione
  10. 10. Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della pressione è il pascal (Pa). Non conta la forza in se ma la sua componente perpendicolare La pressione
  11. 11. La pressione  Esempio  Una stanza ha il pavimento di dimensioni 3.5 m per 4.2 m e altezza di 2.4 m.  Quant’è il peso dell’aria contenuta nella stanza alla pressione atmosferica?  Soluzione  Il peso dell’aria è pari a mg dove m è la massa dell’aria contenuta nella stanza. La massa è legata al volume dalla relazione m = rV. La densità dell’aria a 1 bar è pari a 1.21 kg/m3 per cui possiamo scrivere: N smmmkg VgmgP 418 /81.9)4.22.45.3)(/21.1( 233    r
  12. 12.  Ogni liquido è soggetto alla forza-peso, che determina una pressione data dalla legge di Stevino:  La pressione dovuta al peso di un liquido è proporzionale sia alla densità del liquido che alla sua profondità. La pressione della forza peso nei liquidi
  13. 13. Esempio  Qual è la pressione della colonna d’acqua a cui è sottoposto un sub che si trova a una profondità di 4 metri?  In generale, alla pressione dovuta alla colonna d’acqua, bisogna aggiungere la pressione atmosferica che agisce sulla superficie del mare: p0 = 10,1 x 104 Pa
  14. 14.  La densità del liquido è il rapporto tra la sua massa ed il suo volume:  gdh è la pressione dovuta al peso della colonna d'acqua. Ad essa si deve sommare la pressione atmosferica p0: La pressione della forza peso nei liquidi
  15. 15.  La pressione sulla superficie S è causata dal peso del liquido sovrastante, di volume V = Sh e massa m = d V = dSh.  La pressione del liquido è:  che nel caso più generale diventa: ossia Dimostrazione della legge di Stevino
  16. 16.  Prendiamo tre recipienti di forma diversa, chiusi alla base da una membrana di gomma:   La pressione del liquido non dipende dalla forma del recipiente. La pressione sul fondo di un recipiente
  17. 17.  La pressione esercitata dal liquido dipende solo dal livello del liquido e non dalla quantità.  Ad esempio, si può riuscire a spaccare una botte piena d'acqua aggiungendo solo un tubo sottile riempito d'acqua. La pressione sul fondo di un recipiente
  18. 18.  I vasi comunicanti sono due o più recipienti uniti tra loro da un tubo di comunicazione.  Esaminiamo cosa succede quando i vasi comunicanti vengono riempiti con uno stesso liquido. Vasi comunicanti
  19. 19.  Un liquido versato in un sistema di vasi comunicanti raggiunge in tutti i recipienti lo stesso livello. Vasi comunicanti
  20. 20.  Caso generale: due liquidi diversi. Vasi comunicanti
  21. 21.  Uguagliamo i valori della pressione nei due tubi, che sono dati da:  Le altezze dei due liquidi sono inversamente proporzionali alle loro densità. Vasi comunicanti
  22. 22. La pressione esercitata su una superficie qualsiasi di un liquido si trasmette, con lo stesso valore, su ogni altra superficie a contatto con il liquido. La legge di Pascal
  23. 23.  Il palloncino, posto nell'acqua, mantiene sempre la forma sferica.  Questo è spiegato dalla legge di Pascal:  La pressione esercitata su qualsiasi superficie di un liquido si trasmette, con lo stesso valore, su ogni altra superficie a contatto con il liquido. La legge di Pascal
  24. 24. Il torchio idraulico Legge di Pascal
  25. 25. Il principio di Archimede Meccanica dei Fluidi 25
  26. 26.  Spiega perché alcuni corpi in acqua affondano mentre altri galleggiano. La spinta di Archimede
  27. 27.  Legge di Archimede: un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto di intensità pari al peso del volume del fluido spostato. La spinta di Archimede
  28. 28. La spinta di Archimede: la mongolfiera La legge di Archimede vale anche per i gas.
  29. 29. La spinta di Archimede: sommergibili densità maggiore dell’acqua densità minore dell’acqua
  30. 30.  Quanto detto si verifica con un semplice esperimento, immergendo in acqua tre bottiglie diverse. Il galleggiamento dei corpi
  31. 31. Esempi  Qual è la frazione f visibile di un iceberg che galleggia in acqua di mare? HRW 1 problema svolto 14.4 pag. 319
  32. 32. Esempi Soluzione: Il volume totale dell’iceberg sia 𝑉𝑖. La sua parte invisibile sta sott’acqua e quindi è pari al volume 𝑉𝑓 del fluido (acqua di mare) spostato dalla porzione sommersa. Vogliamo trovare la frazione f 𝑓 = 𝑉𝑖 − 𝑉𝑓 𝑉𝑖 = 1 − 𝑉𝑓 𝑉𝑖 Ma non conosciamo nessuno dei due volumi. Abbiamo però un’idea chiave, dal momento che l’iceberg galleggia il suo peso deve essere equilibrato dal peso della massa d’acqua spostata, cioè dovrà essere 𝑚𝑖 𝑔 = 𝑚𝑓 𝑔 Da cui si deduce che 𝑚𝑖 = 𝑚𝑓 . La massa dell’iceberg è dunque identica alla massa del fluido spostato (acqua di mare). Non conosciamo né l’una né l’altra, ma leggendo i valori delle loro masse volumiche (densità) nella tabella, possiamo esprimerle in termini di volume grazie alla definizione di densità. Dato che le masse sono uguali, avremo 𝜌𝑖 𝑉𝑖 = 𝜌 𝑓 𝑉𝑓 ⇒ 𝑉𝑓 𝑉𝑖 = 𝜌𝑖 𝜌 𝑓 Quindi possiamo scrivere 𝑓 = 1 − 𝜌𝑖 𝜌 𝑓 = 1 − 917 𝑘𝑔 𝑚3 1024 𝑘𝑔 𝑚3 = 0.1 = 10%
  33. 33. Esempi (HRW 1 problema svolto 14.5 pag. 319) Esercizio Un pallone aerostatico sferico gonfiato con elio ha un raggio R di 12,0 m. Il pallone, comprese le corde e il cesto sottostante, ha una massa m di 196 Kg. Qual è il massimo carico M che il pallone può sollevare? Si assume 𝜌 𝐻𝑒 = 0.160 𝐾𝑔 𝑚3 e 𝜌 𝑎𝑟𝑖𝑎 = 1.25 𝐾𝑔 𝑚3. Il volume d’aria spostato da cesto, carico e funi è trascurabile. Soluzione: L’idea chiave sta nel riconoscere che il pallone coi cavi, il cesto, il carico e l’elio contenuto formano un corpo galleggiante, di massa totale 𝑚 + 𝑀 + 𝑚 𝑒𝑙𝑖𝑜 dove quest’ultima è la massa del gas. Il modulo della forza gravitazionale complessiva di questo corpo deve eguagliare il peso dell’aria spostata (perché l’aria è il fluido nel quale galleggia). Chiamiamo 𝑚 𝑎𝑟𝑖𝑎 la massa di quest’ultima. Dobbiamo quindi avere 𝑚 + 𝑀 + 𝑚 𝐻𝑒 𝑔 = 𝑚 𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑔 ⇒ 𝑀 = 𝑚 𝑎𝑟𝑖𝑎 − 𝑚 𝐻𝑒 − 𝑚 Le masse dell’elio e dell’aria spostate sono ignote ma ne conosciamo i valori di massa volumica che ci permettono di riscrivere la precedente equazione in termini di densità. Abbiamo detto che, trascurando gli altri elementi, il volume del fluido spostato si riduce al solo volume del pallone sferico 𝑉 = 4 3 𝜋𝑅3 . Quindi possiamo scrivere 𝑀 = 𝜌 𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑉 − 𝜌 𝐻𝑒 𝑉 − 𝑚 = 4 3 𝜋𝑅3 𝜌 𝑎𝑟𝑖𝑎 − 𝜌 𝐻𝑒 − 𝑚 = 4 3 𝜋 12.0𝑚 3 1.25 − 0.160 𝑘𝑔 𝑚3 − 196𝑘𝑔 = 7694 𝑘𝑔
  34. 34. La pressione atmosferica Meccanica dei Fluidi 34
  35. 35.  Tutti gli oggetti sulla Terra sono sottoposti alla pressione esercitata dalla colonna d'aria che li sovrasta: la pressione atmosferica. La pressione atmosferica
  36. 36.  Nel 1654 a Magdeburgo ebbe luogo un esperimento storico, in cui 16 cavalli non riuscirono a separare due semisfere metalliche tra cui era stato fatto il vuoto.  La pressione atmosferica, agendo solo all'esterno delle semisfere, le rendeva inseparabili. La pressione atmosferica
  37. 37.  Venne misurata da Evangelista Torricelli, che capovolse un tubo pieno di mercurio in una bacinella piena di mercurio.  La pressione esercitata dalla colonna di mercurio deve uguagliare la pressione atmosferica sulla superficie libera.  Al livello del mare h=76 cm e La pressione atmosferica
  38. 38.  Unità di misura della pressione atmosferica:  il pascal (Pa): 1 Pa = 1N/1m2;  l'atmosfera: 1 atm = 1,01 x 105 Pa;  il bar: 1 bar = 105 Pa (circa 1 atm) usato in meteorologia con il sottomultiplo mbar.  La pressione diminuisce con l'altitudine perché la colonna d'aria che ci sovrasta è più bassa e più rarefatta.  La diminuzione della pressione atmosferica è pari a circa 1300 Pa per ogni 100 m di innalzamento. La pressione atmosferica
  39. 39.  Strumenti di misura della pressione atmosferica:  barometri a mercurio;  barometri metallici. In meteorologia si disegnano le curve in cui la pressione atmosferica ha lo stesso valore: le isobare. A: alta pressione (bel tempo) B: bassa pressione (maltempo). La pressione atmosferica
  40. 40. Cenni di dinamica dei fluidi Meccanica dei Fluidi 40
  41. 41.  La corrente di un fluido è il movimento ordinato di un liquido o di un gas.  La portata q è il rapporto tra il volume di fluido V che attraversa una sezione in un tempo t ed il tempo t stesso: La corrente di un fluido
  42. 42. La sezione trasversale di un fluido attraverso cui si misura la portata è una superficie immaginaria immersa nel fluido. La corrente di un fluido
  43. 43. Si dice stazionaria una corrente la cui portata attraverso qualsiasi sezione del conduttore è costante nel tempo. Correnti stazionarie
  44. 44.  La portata q di un fluido che scorre a velocità v in una conduttura di sezione S è data dalla formula:  Quindi la portata è direttamente proporzionale sia alla sezione del tubo che alla velocità del fluido. L’equazione di continuità
  45. 45. La portata
  46. 46.  Un liquido, a differenza di un gas, si può considerare incompressibile, cioè mantiene inalterato il proprio volume.  In un tubo singolo: Moto di un liquido in una conduttura
  47. 47.  Nel tubo singolo senza sorgenti e pozzi vale l'equazione di continuità:  la portata del liquido in A e in B è costante;  la sezione trasversale della conduttura e la velocità del liquido sono inversamente proporzionali. L’equazione di continuità
  48. 48.  La proporzionalità inversa tra sezione del tubo e velocità del liquido, SAvA = SBvB, significa che nelle strettoie il liquido fluisce più in fretta: se S si dimezza v raddoppia e viceversa. Quando si annaffia si blocca parzialmente la sezione del tubo con un dito per far sì che l'acqua, uscendo a v maggiore, arrivi più lontano. L’equazione di continuità
  49. 49. L’equazione di continuità  Se il condotto si apre in più diramazioni, bisogna considerare la superficie totale. In ogni tratto si avrà sempre Q = v S.  NOTA. Nell’ultimo tratto conta la sezione totale dei canali!
  50. 50. Equazione di continuità Esempio di applicazione al flusso sanguigno  Negli esseri umani il sangue fluisce dal cuore nell’aorta, dalla quale passa nelle arterie maggiori. Queste si ramificano nelle piccole arterie (arteriole), che a loro volta si ramificano in miriadi di piccoli capillari. Il sangue ritorna al cuore attraverso le vene. Il raggio dell’aorta è circa 1.2 cm e il sangue che vi scorre attraverso ha una velocità di circa 40 cm/sec. Un capillare tipico ha un raggio di circa 4 10-2 cm e il sangue vi scorre attraverso ad una velocità di circa 5 10-4 m/s. Stimare quanti capillari vi sono nel corpo.
  51. 51. Equazione di continuità Esempio di applicazione al flusso sanguigno Soluzione: Supponiamo che la densità del sangue non cambi significativamente dall’aorta ai capillari. Per l’equazione di continuità la portata di volume nell’aorta deve essere uguale alla portata attraverso tutti i capillari. L’area totale dei capillari è data dall’area di un capillare moltiplicata per il numero N dei capillari. Siano 𝐴1 l’area dell’aorta e 𝐴2l’area di tutti i capillari in cui fluisce il sangue. Allora 𝐴2 = 𝑁 𝜋𝑟𝑐 𝑎𝑝 2 dove N è il numero dei capillari e 𝑟𝑐 𝑎𝑝 ∼ 4 ⋅ 10−4 𝑐𝑚 è il valor medio stimato per il raggio di un capillare. Dall’equazione di continuità abbiamo 𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2 ⇒ 𝑣2 𝑁𝜋𝑟𝑐 𝑎𝑝 2 = 𝑣1 𝜋𝑟𝑎𝑜𝑟𝑡𝑎 2 Quindi 𝑁 = 𝑣1 𝑣2 𝑟𝑎𝑜𝑟𝑡𝑎 2 𝑟𝑐𝑎𝑝 2 = 0.40 𝑚/𝑠 5 ⋅ 10−4 𝑚/𝑠 1.2 ⋅ 10−2 𝑚 4 ⋅ 10−6 𝑚 2 ∼ 7 ⋅ 109 Dell’ordine di 10 miliardi di capillari.
  52. 52. Equazione di continuità Esempio di applicazione al flusso sanguigno  Rappresentazione schematica della variazione di sezione totale e di velocità media del sangue nei vari distretti del sistema circolatorio.  La velocità nei capillari è molto bassa dell’ordine del millimetro al secondo.  La bassa velocità è essenziale per i processi biochimici di scambio di sostanze necessari alla vita.
  53. 53.  Un fluido che scorre in un tubo a diametro variabile e piegato in direzione verticale è soggetto a diverse forze: oltre alla forza d'attrito. L’equazione di Bernoulli
  54. 54.  Per il fluido varia: la quota y, la velocità v e la pressione p a cui è sottoposto.  Nelle ipotesi di: fluido incompressibile, corrente stazionaria e attrito inesistente, vale l'equazione di Bernoulli: L’equazione di Bernoulli
  55. 55. L’equazione di Bernoulli  L’equazione di Bernoulli è una conseguenza diretta del principio di conservazione dell’energia  Dividendo tutto per V e ricordando la definizione di densità possiamo scrivere costante pressionepotenzialecinetica EEE VpmghmvVpmghmvEtotale  22 2 211 2 1 2 1 2 1 costante 2 1 2 1 22 2 211 2 1   pghvpghv V Etotale rrrr
  56. 56. Esercizio In una casa l’acqua calda circola in un impianto di riscaldamento. Se l’acqua viene pompata ad una velocità di 0.5 m/sec attraverso un tubo del diametro di 4.0 cm nello scantinato ad una pressione di 3 atm, quali saranno la velocità di flusso e la pressione in un tubo di 2.6 cm al secondo piano situato 5 m sopra? Soluzione: Usiamo l’equazione di continuità a densità costante per determinare la velocità del flusso al secondo piano e, successivamente, l’equazione di Bernoulli per determinare la pressione. Prima calcoliamo la velocità di flusso al secondo piano, che indicheremo con 𝑣2, essendo nota la velocità di flusso nel seminterrato (𝑣1), utilizzando l’equazione di continuità. Ricordando che le aree sono proporzionali al quadrato del raggio (𝐴 = 𝜋𝑟2 ) otteniamo 𝑣2 = 𝑣1 𝐴1 𝐴2 = 𝑣1 𝜋𝑟1 2 𝜋𝑟2 2 = 0.50𝑚/𝑠 0.020𝑚 2 0.012𝑚 2 = 1.2 𝑚/𝑠 Per trovare la pressione al secondo piano usiamo l’equazione di Bernoulli 𝑃2 = 𝑃1 + 𝜌𝑔 𝑦1 − 𝑦2 + 1 2 𝜌(𝑣1 2 − 𝑣2 2 ) = 3.0 105 𝑁𝑚−2 + 1.0 103 𝑘𝑔𝑚−3 9.8 𝑚𝑠−2 −5.0𝑚 + 1 2 1.0 103 𝑘𝑔𝑚−3 0.5 𝑚𝑠−1 2 − 1.2 𝑚𝑠−1 2 = 2.5 105 𝑁𝑚−2 = 2.5 𝑎𝑡𝑚 Il termine dovuto alla velocità in questo caso contribuisce molto poco.
  57. 57. L'attrito viscoso si oppone al moto degli oggetti nei fluidi. 1) Attrito con le pareti della conduttura.  In condizione laminare (senza vortici) le lamine di fluido a contatto con la parte risentono dell'attrito e lo trasmettono in parte al resto del fluido. L’attrito nei fluidi
  58. 58. Si verifica sperimentalmente che vale la legge:  F: forza necessaria per mantenere in moto il fluido a velocità v;  S: area dello strato di fluido;  d: distanza dalla parete;  : coefficiente di viscosità (dipende dal fluido). Attrito con le pareti della conduttura
  59. 59. Coefficienti di viscosità per diversi fluidi: Attrito con le pareti della conduttura Unità di misura (nel sistema MKS): N s/m2 = Pa s
  60. 60. Legge di Poiseuille  L’equazione di Poiseuille mette in relazione la differenza di pressione, condizione essenziale per il moto di un fluido, con le caratteristiche geometriche del condotto, la viscosità del liquido e la portata che risulta direttamente proporzionale alla differenza di pressione:  21 4 8 PP L R Q     La velocità è maggiore al centro del condotto e decresce a mano a mano che ci si avvicina alle pareti secondo un profilo parabolico.  Il moto avviene in regime laminare.
  61. 61. 2) Attrito su un corpo in moto nel fluido. Un’automobile accelera partendo da ferma. Attrito su un corpo in moto nel fluido
  62. 62.  Nel caso più semplice di una sfera di raggio r che si muove in un fluido di viscosità  a velocità v la forza FV di attrito viscoso è data dalla legge di Stokes: Attrito su un corpo in moto nel fluido
  63. 63. Un paracadutista è soggetto alla:  forza-peso FP diretta verso il basso;  forza d'attrito viscoso FV diretta verso l'alto e che aumenta al crescere della velocità di caduta v. A un certo istante Attrito su un corpo in moto nel fluido
  64. 64.  Quando Ftot = 0 il paracadutista scende a v=costante (I principio dinamica) fino alla fine: è chiamata velocità limite.  Per una massa di 100 kg attaccata ad un paracadute di diametro di 10 m, la velocità limite è circa 3 m/s. Attrito su un corpo in moto nel fluido
  65. 65. Si ha Ftot = 0 quando FP = FV . Uguagliando la formula di Stokes alla forza-peso otteniamo: che dà una velocità limite Attrito su un corpo in moto nel fluido

×