Capitolo 6 introduzione alle opzioni finanziarie

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Capitolo 6 introduzione alle opzioni finanziarie

  1. 1. Finanza Computazionale Introduzione alla Valutazione dei Prodotti Derivati CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  2. 2. Introduzione al pricing Il principio di Arbitraggio Il modello Binomiale Il modello di Black e Scholes Metodi alle Differenze Finite Metodo Monte Carlo CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  3. 3. Il Principio di Assenza di Arbitraggio    Molte volte ci è capitato di sentire frasi del tipo: “ho appena comprato un paio di scarpe e ne ho trovate un paio uguale ad un prezzo minore”, oppure: “ho scoperto che un altro concessionario per lo stesso prezzo che ho pagato per la mia nuova macchina fornisce anche l’aria condizionata”. Sono frasi di buon senso che mettono in luce in che modo cerchiamo di fornire un valore a beni e servizi che acquistiamo e consumiamo. Il buon senso ci suggerisce che prodotti uguali devono avere lo stesso prezzo, e che prodotti che ci garantiscono un’opportunità in più rispetto ad altri hanno un valore maggiore. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  4. 4. Il Principio di Assenza di Arbitraggio   Il fondamento della valutazione dei prodotti finanziari è il principio di arbitraggio, o nella colorita espressione anglosassone, free-lunch (pasto gratis). Nel mondo dei prodotti finanziari utilizziamo definizioni di arbitraggio più sofisticate, ma con lo stesso contenuto di fondo: Si definisce arbitraggio la possibilità di ottenere guadagni sicuri, senza incorrere in alcun tipo di rischio.  E’ su questa base che è possibile determinare la relazione tra i prezzi di diverse attività finanziarie: l’idea è che le relazioni tra i prezzi devono essere tali da escludere la possibilità di effettuare arbitraggi, cosicché non deve essere possibile costruire sul mercato posizioni e strategie che consentano di ottenere guadagni senza alcun tipo di rischio. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  5. 5. Il Principio di Assenza di Arbitraggio  Se pensiamo a come si possono identificare delle possibilità di arbitraggio, possiamo intuitivamente delineare due tipi di situazione.  La prima è quella di un biglietto di lotteria gratis: supponete di poter ottenere senza alcun costo un titolo (un biglietto della lotteria) che in futuro vi darà un rendimento comunque non negativo, e la possibilità di un guadagno positivo se si verifica qualche evento fortunato;  Un’altra situazione che vi garantirebbe un guadagno sicuro, e quindi un arbitraggio, è la seguente: considerate di acquistare un titolo e venderne un altro in modo che a una data futura il valore complessivo del portafoglio sia zero in tutti i possibili scenari (li chiamiamo tecnicamente stati di natura), e supponete che questa posizione abbia oggi valore negativo, e cioè vi consenta di intascare dei soldi. Poiché sapete che a una data futura la vostra posizione varrà sicuramente zero (e quindi non avrete alcuna perdita), il guadagno che ottenete oggi è assolutamente senza rischio, ed avete compiuto un’operazione di arbitraggio. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  6. 6. Il Principio di Assenza di Arbitraggio  Per mostrare in maniera semplice l’utilizzo dell’ipotesi di non arbitraggio per la valutazione delle attività finanziarie utilizziamo un modello in cui il rischio è rappresentato da un insieme discreto di possibili scenari, o stati di natura.  L’esempio più semplice è quello di un mondo a due tempi e due stati.  Assumiamo che sul mercato vengano scambiati due titoli rischiosi, il cui valore denotiamo X(t) e Y(t). I due titoli rischiosi assumono valori diversi nei due stati del mondo H e L che si verificano al tempo T: abbiamo quindi X(H) > X(L) e Y(H) > Y(L).  Assumiamo che esista anche un titolo privo di rischio che alla scadenza T garantisce un pay-off di un Euro: il titolo privo di rischio al tempo T assume lo stesso valore nei due stati del mondo.  Il valore del titolo privo di rischio al tempo t è definito dalla funzione di sconto P(t,T), discussa nel primo capitolo, mentre il prezzo del titolo rischioso è Y(t).  Il problema è determinare il prezzo X(t) che esclude possibilità di arbitraggio. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  7. 7. Un modello binomiale Tempo t Tempo T Tempo T Stato H L Y(t) Y(H) Y(L) X(t) X(H) X(L) P(t,T) 1 1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  8. 8. Relazioni di arbitraggio tra i prezzi  Formiamo un portafoglio selezionando   Una posizione lunga (acquisto, segno +) in una unità di X Una posizione corta (vendita, segno -) in ∆ unità di Y Valore Attuale = X (t ) − ∆Y (t )   Se scegliamo X ( H ) − X ( L) ∆= Y ( H ) − Y ( L) Il valore del portafoglio all’istante T nei due stati finali sarà pari a X ( L ) − ∆Y ( L ) = X ( L ) − X ( H ) − X ( L) X ( L)Y ( H ) − X ( H )Y ( L) Y ( L) = Y ( H ) − Y ( L) Y ( H ) − Y ( L) X ( H ) − ∆Y ( H ) = X ( H ) − X ( H ) − X ( L) X ( L)Y ( H ) − X ( H )Y ( L) Y (H ) = Y ( H ) − Y ( L) Y ( H ) − Y ( L) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  9. 9. Relazioni di arbitraggio tra i prezzi   Con questa scelta il valore del portafoglio è lo stesso sia in H che in L, indichiamolo con α; Il portafoglio è quindi privo di rischio;     infatti assume lo stesso valore in tutti gli stati del mondo. Come possiamo replicare questo portafoglio? Acquistando in t α unità del titolo privo di rischio. Per il principio di assenza di arbitraggio due attività finanziarie che hanno lo stesso valore ad un tempo futuro T, devono avere lo stesso valore anche oggi. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  10. 10. Relazioni di Arbitraggio fra i Prezzi  Indicando con α il valore del portafoglio all’istante T, il principio di assenza di arbitraggio implica a t: X (t ) − ∆Y (t ) = αP (t , T ) X (t ) = ∆Y (t ) + αP (t , T ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  11. 11. Un esempio importante: Put call parity  Consideriamo un’opzione call alla scadenza    C(T) = max(0, S(T) -K) essendo S il valore del sottostante e K il valore dello strike price (prezzo di esercizio) … che può essere scritta nella forma   C(T) = S(T) – min(S(T),K) È facile verificare che le due scritture sono perfettamente equivalenti! CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  12. 12. Un esempio importante: Put call parity  Dalla relazione precedente   Allo stesso modo si può verificare per la put   C(T) + K = P(T) + S(T) Per l’assenza di arbitraggio questa relazione deve essere valida anche oggi per cui   P(T) - K = -min(S(T), K) Da questa relazione otteniamo   C(T) – S(T) = -min(S(T),K) c(t) + K × exp[-r(T-t)] = p(t) + S(t) Questa relazione è come put-call parity CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  13. 13. Relazioni arbitraggio tra i prezzi  Riprendiamo la relazione di arbitraggio   X (t) = ∆Y(t) + αP(t,T) Poiché ci sono due stati del mondo all’istante T, possiamo scrivere    X(H) = ∆Y(H) + α X(L) = ∆Y(L) + α da cui:    ∆ = (X(H) – X(L))/(Y(H) – Y(L)) α= -(X(H) Y(L) – X(L) Y(H))/(Y(H) – Y(L)) Sostituendo i valori di alfa e delta nella prima relazione e raccogliamo i termini X(H) e X(L) otteniamo... CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  14. 14. Relazioni arbitraggio tra i prezzi X ( t ) = P ( t , T ) [π ( H ) X ( H ) + π ( L ) X ( L ) ] con Y ( t ) / P( t , T ) − Y ( L ) π(H) ≡ Y ( H ) − Y ( L) Y ( H ) − Y ( t ) / P( t , T ) π ( L) ≡ Y ( H ) − Y ( L) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  15. 15. La misura risk-adjusted  Si noti che    Y(L) < Y(t)/P(t,T) < Y(H) ⇒ π*(H), π*(L) > 0 π*(H) + π*(L) = 1 π* è una misura di probabilità e il prezzo di X(t) è X ( t ) = P( t , T ) [πX ( H ) + ( 1 − π ) X ( L ) ] ≡ P( t , T ) Eπ [ X ( T ) ]  Si può verificare agevolmente che   Y(t) = P(t,T) E π*[Y(T)] N.B.: la misura π* deriva dal non-arbitraggio CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  16. 16. La misura risk-adjusted  Per analizzare le proprietà della misura probabilità π è immediato osservare che di  X (T ) − X ( t )   X (T )  Eπ   = Eπ  X ( t ) − 1 = X (t)     1 1 = Eπ [ X (T )] − 1 = − 1 ≡ Rf X (t ) P( t , T )  dove Rf è il tasso di rendimento dell’attività priva di rischio sul periodo da t a T. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  17. 17. La misura risk-adjusted      Sotto la misura di probabilità π, quindi, il rendimento atteso del titolo rischioso X è pari al tasso d'interesse privo di rischio. Si può verificare che anche il rendimento dell'altro titolo rischioso è pari al tasso privo di rischio! Si tratta quindi di una prerogativa della misura di probabilità π : sotto questa misura, il rendimento di tutti i titoli rischiosi è pari al rendimento del titolo privo di rischio. E' come se i rendimenti dei titoli venissero calcolati senza tenere conto del loro livello rischio. Per questo motivo questa misura di probabilità è nota nella letteratura come "misura neutrale rispetto al rischio", oppure "misura aggiustata per il rischio". CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  18. 18. La misura risk-adjusted  Un altro modo di caratterizzare la misura aggiustata per il rischio è il seguente. Misuriamo i titoli rischiosi, ad esempio il titolo X, utilizzando quello privo di rischio come numerario. Definiamo così una nuova variabile X (t) Z (t) ≡ P( t , T )  Dalle proprietà della misura aggiustata per il rischio otteniamo adesso  X (T )  X (t) Z(t) ≡ = Eπ   = Eπ [ Z ( T ) ] P( t , T )  P( T , T )      dove abbiamo usato la proprietà della funzione di sconto P(T,T) = 1. In altri termini, il valore futuro atteso della nuova variabile Z(t), misurato utilizzando la misura aggiustata per il rischio è uguale al valore corrente. Questa caratteristica è nota nella teoria dei processi stocastici come proprietà di "martingala". Per questo la misura di probabilità π è nota anche come misura di martingala equivalente (equivalent martingale measure, o EMM). CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  19. 19. Il Teorema Fondamentale della Finanza (Harrison e Kreps, 1979 e Harrison e Pliska, 1981, 1983) Nel mercato non esistono possibilità di arbitraggio se e solo se esiste una misura di probabilità sotto la quale i prezzi di tutte le attività finanziarie, misurate utilizzando il titolo privo di rischio come numerario, sono martingale. Se questa misura è unica, il mercato è detto completo. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  20. 20. Valutazione di un’opzione call Tempo t Tempo T Tempo T Stato H L Y(t) Y(H) Y(L) C (Y,t;T,K) Max(Y(H)-K,0) Max(Y(L)-K,0) P(t,T) 1 1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  21. 21. Relazioni arbitraggio tra i prezzi  Consideriamo un portafoglio con  Una posizione lunga in una unità di C  Una posizione corta in ∆ unità di Y  Calcoliamo C ( H ) − C ( L) max[Y ( H ) − K ,0] − max[Y ( L) − K ,0] ∆= = Y ( H ) − Y ( L) Y ( H ) − Y ( L)  Al tempo T   Max(Y(H) – K,0) - ∆ Y(H) = α Max(Y(L) – K, 0) - ∆ Y(L) = α CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  22. 22. Replica di un’opzione call     Se K < Y(L) < Y(H)  ⇒ ∆ = 1 e α = - K Se K > Y(H) > Y(L)  ⇒ ∆ = 0 e α = 0 Se Y(L) < K < Y(H)  ⇒ 0 < ∆ < 1 e α = -Y(H) ∆ Replica di un’opzione call C(Y,t;T,K) = ∆ Y(t) + α P(t,T) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  23. 23. Introduzione al pricing Il principio di Arbitraggio Il modello Binomiale Il modello di Black e Scholes Metodi alle Differenze Finite Metodo Monte Carlo CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  24. 24. Il modello Binomiale  In ogni periodo assumiamo che il prezzo del sottostante possa muoversi in due sole direzioni (Modello Binomiale);  Backward induction: partendo dalla data di scadenza del contratto derivato in cui si conosce il valore dell’opzione si risale verso la radice dell’albero calcolando ad ogni nodo la probabilità risk adjusted; CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  25. 25. Il modello Binomiale Sd fd S f   Sia S il valore del sottostante e f il valore dell’opzione scritta su di esso. Formiamo un portafoglio con una posizione lunga in ∆ unità del sottostante e una corta in un’opzione call.  Il valore del portafoglio nei due stati del mondo sarà pari a Su fu  Determiniamo il valore di ∆ che rende uguali questi due valori S 0 u∆ − f u S 0 d∆ − f d fu − f d S0 u∆ − f u = S0 d∆ − f d ⇒ ∆ = S0 u − S0 d CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  26. 26. Il modello Binomiale   Il portafoglio è quindi privo di rischio per cui, al fine di evitare possibilità di arbitraggio, il suo rendimento deve eguagliare il tasso di rendimento risk-free. Questo implica che il valore scontato del portafoglio in uno dei due stati del mondo futuri deve eguagliare il valore attuale oggi, ovvero S0 ∆ − f = ( S0 u∆ − f u ) e − rT ⇒ f = S0 ∆ − ( S0 u∆ − f u ) e − rT sostituendo ∆... sostituendo ∆... f =e − rT [ pf u + (1 − p) f d ] dove CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE e rT − d p= u−d
  27. 27. Il modello Binomiale: Un Esempio Numerico Su = 5.630 Opzione CALL su ENEL fu = 0.630 Data Valutazione 8/11/2003 Consegna 19/11/2003 S = 5.414 Strike = 5.00 f = 0.432 S = 5.414 Var% giornaliera = 1.18% tasso risk free ~ 1% Sd = 5.2 fd = 0.2 Variazione a scadenza stimata al 4% ∆t = 11/365 ~ 0.03 e rT − d e0.01⋅0.03 − 0.96 0.04 p= = ≈ = 1/ 2 u−d 0.08 0.08 f =e − rT 0.630 + 0.2 [ pf u + (1 − p) f d ] ≈ = 0.415 2 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  28. 28. Estensione a più periodi πH 1-π H π Y(HH) Y(HL) Y(H) Y(0) πL 1-π L 1-π Y(LH) Y(LL) Y(L) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  29. 29. Bushy trees/Recombining trees  Dopo n periodi (steps) l’albero presenta 2n nodi (stati). Un albero solo dopo 100 steps genera 1.267.650.600.228.230.000.000.000.000.000 nodi  Poiché questo tipo di albero pone problemi computazionali rilevanti, spesso si assume che sentieri con lo stesso numero di aumenti e diminuzioni del prezzo, sebbene in sequenza diversa, portino allo stesso nodo (lattice, recombining tree, reticolo,…)  Dopo 100 steps un recombining tree ha 101 nodi CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  30. 30. Recombining trees  Sostituendo un albero a cespuglio con un albero “ricombinante” rinunciamo alle informazioni sui singoli sentieri che portano allo stesso nodo  L’informazione può essere rilevante per  valutare opzioni con pay-off path-dependent  modelli della dinamica del tasso di interesse  Alcuni programmi di ricerca sono dedicati a metodologie per ridurre la crescita dei bushy-trees CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  31. 31. Estensione a più periodi πH π Y(HH) Y(H) 1-π H Y(0) Y(HL)≡ Y(LH) πL 1-π Y(L) 1-π L Y(LL) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  32. 32. Generalizzazione a più livelli  Riprendiamo la definizione di probabilità risk-neutral  Poniamo  Inoltre ricordiamo che Y (t ) − Y ( L) P (t , T ) π* = Y ( H ) − Y ( L) Y (t ) = S Y ( H ) = Su Y ( L) = Sd P (t , T ) = e CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE − r (T −t )
  33. 33. Generalizzazione a più livelli  Possiamo quindi scrivere  r∆t e −d π* = u−d Come determiniamo i fattori u e d?  In funzione della volatilità del sottostante u=e  σ ∆t 1 d= u La scelta d = 1/u garantisce che l’albero sia ricombinante (infatti con questa posizione si ha (Su)d = S) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  34. 34. Generalizzazione a più Livelli ST 2 2  ST r= − 1 ⇒ σ (r ) = σ  S S0  0  ST σ (r ) = Eπ  S  0 2  ST Eπ  S  0  ST Eπ  S  0 2    ST  −  Eπ   S    0     2   = σ 2 ∆t     = πu + (1 − π )d   2   = πu 2 + (1 − π )d 2   CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE La scelta di u e d si giustifica ricordando che la volatilità del rendimento dell’azione, nel nostro modello deve essere pari a σ2∆t
  35. 35. Generalizzazione a più Livelli σ 2 (r ) = πu 2 + (1 − π )d 2 − π 2u 2 − (1 − π ) 2 d 2 − 2π (1 − π )ud = πu 2 (1 − π ) + π (1 − π )d 2 − 2π (1 − π )ud = π (1 − π )(u 2 + d 2 − 2ud ) = π (1 − π )(u − d ) 2 =  u − e r∆t  (u − d ) 2 = (e r∆t − d )(u − e r∆t ) =   u−d   = e r∆t (u + d ) − ud − e 2 r∆t e r∆t − d u−d Sostituendo ud = 1 e sviluppando al primo ordine otteniamo... e r∆t (u + d ) − ud − e 2 r∆t ≈ (1 + r∆t )(u + d ) − 1 − 1 − 2r∆t = (1 + r∆t )(u + d − 2) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  36. 36. Generazione a più Livelli   Verifichiamo che la posizione u = eσ ∆t , d = e −σ porta al risultato desiderato. Sviluppando al primo ordine in ∆t abbiamo infatti 1 2 1 2 u = 1 + σ ∆t + σ ∆t , d = 1 − σ ∆t + σ ∆t 2 2 da cui (trattenendo solo i termini al primo ordine) (1 + r∆t )(u + d − 2) = 1 1   (1 + r∆t ) 1 + σ ∆t + σ 2 ∆t + 1 − σ ∆t + σ 2 ∆t − 2  = σ 2 ∆t 2 2   CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE ∆t
  37. 37. Generazione dei valori per il sottostante 125.5 120.8 116.3 112 107.9 103.9 100 112 107.9 103.9 100 96.29 116.3 107.9 103.9 100 96.29 92.72 s(0, 0) = PrezzoSottostante For n = 1 To NumeroSteps For j = n To 1 Step -1 s(j, n) = u * s(j - 1, n - 1) Next j s(0, n) = d * s(0, n - 1) Next n 100 96.29 92.72 89.28 92.72 89.28 85.97 Per ogni livello tutti i nodi tranne l’ultimo derivano dal corrispondente nodo precedente moltiplicato per il coefficiente u. L’ultimo nodo deriva dal precedente moltiplicato per d. 85.97 82.78 79.71 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  38. 38. Generazione dei valori per l’opzione For j = 0 To NumeroSteps V(j, NumeroSteps) = Payoff(s(j, NumeroSteps), Strike, FlagCall) Next j For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = (p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) * FattoreSconto 21.12 Next j 120.8 16.8 Next n 116.3 12.86 112 9.482 107.9 6.766 103.9 4.691 100 5.975 103.9 2.53 96.29 8.013 107.9 5.054 103.9 3.073 100 1.821 96.29 1.058 92.72 16.48 116.3 12.33 112 8.763 107.9 3.941 100 25.62 125.5 1.968 100 1.006 96.29 0.514 92.72 0.263 89.28 0 92.72 0 89.28 0 85.97 0 85.97 0 82.78 0 79.71 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  39. 39. Opzioni Americane    Fino a questo momento abbiamo considerato solo opzioni di tipo europeo cioè opzioni esercitabili soltanto alla scadenza; Le opzioni di tipo americano, cioè quelle esercitabili entro la scadenza, sono facilmente valutabili nell’approccio binomiale; Ad ogni step è necessario valutare qual’è il maggior valore fra   il valore dell’opzione calcolato come valore atteso futuro (continuation value) il valore che deriva dall’esercizio immediato dell’opzione (payoff) For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = Application.Max((p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) _ * FattoreSconto, Payoff(s(j, n - 1), Strike, FlagCall)) Next j Next n CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  40. 40. Esempio Esempio Programmazione Programmazione VBA VBA Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  41. 41. Introduzione al pricing Il principio di Arbitraggio Il modello Binomiale Il modello di Black e Scholes Metodi alle Differenze Finite Metodo Monte Carlo CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  42. 42. Il modello di Black e Scholes sottostante ∆S = µS∆t + σS∆z Il prezzo dell’opzione deve essere una funzione di S e t pertanto per il lemma di Ito possiamo scrivere 2  ∂f ∂f 1 ∂ f 2 2  ∂f ∆f =  µS + + σ S ∆t + σS∆z 2  ∂S  ∂t 2 ∂S ∂S   I processi di Wiener da cui è influenzata la dinamica di f e di S sono gli stessi. Ne segue che scegliendo un portafoglio composto dall’azione e dal derivato il processo di Wiener può essere eliminato! CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  43. 43. Il modello di Black e Scholes  Ipotesi        Non esistono opportunità di arbitraggio; Il prezzo del sottostante segue un moto geometrico browniano; E’ consentita la vendita allo scoperto dei titoli; Non ci sono costi di transazione né tasse (no friction), inoltre i titoli sono infinitamente divisibili; Non vengono pagati dividendi durante la vita dell’opzione; Il tasso risk-free e la volatilità sono costanti; L’opzione può essere esercitata soltanto alla scadenza (opzione europea). CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  44. 44. Il modello di Black e Scholes  Il portafoglio appropriato è così composto  ∂f 1 ∂ f 2 ∆Π =  − − σ S ∆t  ∂t 2 ∂S 2   Per definizione il valore del portafoglio  così   -1 + ∂ f/∂ S 2 unità del derivato unità del sottostante 2  composto è pari a ∂f ∂f Π=−f + S ⇒ ∆Π = − ∆f + ∆S ∂S ∂S CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  45. 45. Il modello di Black e Scholes    Dato che in quest’equazione non figura il termine dz il portafoglio deve essere privo di rischio nell’intervallo dt. Quindi il rendimento del portafoglio così composto nel prossimo intervallo di tempo deve essere uguale al tasso risk free sullo stesso periodo di tempo altrimento emergerebbero opportunità di arbitraggio Ne segue che ∆Π = rΠ∆t CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  46. 46. Il modello di Black e Scholes  ∂f 1 ∂ f 2 2  ∂f   + σ S dt = r  f −  ∂t 2 ∂S 2  ∂S    ⇓ 2 ∂f ∂f 1 2 2 ∂ f + rS + σ S = rf 2 ∂t ∂S 2 ∂S 2 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE  S dt 
  47. 47. L’equazione di Black & Scholes  L’equazione di Black & Scholes ∂f ∂f 1 2 2 ∂ 2 f + rS + σ S = rf 2 ∂t ∂S 2 ∂S   ha molte soluzioni corrispondenti alle diverse condizioni al contorno che ossono essere definite. Tali condizioni specificano il valore del derivato sui confini del dominio di integrazione rispetto a S e t. Nel caso di un’opzione di tipo europeo le principali condizioni sono nel caso di una call: f = max(S − X ,0)  t=T f = max( X − S ,0) t=T e nel caso di una put: CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  48. 48. Il modello di Black e Scholes Tasso privo di rischio Prezzo del Sottostante Prezzo di Esercizio Volatilità del Sottostante 1 N ( z) = 2π z ∫e − y2 / 2 dy Tempo a Scadenza −∞ CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  49. 49. Il modello di Black & Scholes  Utilizzando la put-call parity troviamo il valore della put nel modello di B&S put ( S , t ; E , T ) = call ( S , t ; E , T ) − S + e − rT E = S [ N ( d 1 ) − 1] − e − rT E [ N ( d 2 ) − 1] = − S [ 1 − N ( d 1 ) ] + e − rT E [ 1 − N ( d 2 ) ] = − SN ( − d 1 ) + e − rT EN ( − d 2 ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  50. 50. Il modello di Black e Scholes  ∆ Delta è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione rispetto al prezzo dell’attività sottostate.  Γ Gamma è il tasso di variazione del Delta dell’opzione rispetto al prezzo dell’attività sottostante.  Λ Vega è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione rispetto alla volatilità dell’attività sottostante.  Θ Theta è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione rispetto al tempo.  ρ Rho è il tasso di variazione del prezzo dell’opzione rispetto al tasso privo di rischio. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  51. 51. Analisi di Sensitività con le greek letters : ∆ ∂f ∆= ∂S 0 < ∆ = N (d1 ) < 1 per una call − 1 < ∆ = [ N (d1 ) − 1] < 0 per una put Analisi di Sensitività con le greek letters : Γ ∂∆ ∂ f Γ= = 2 ∂S ∂S 2 N ′(d 1 ) Γ= σS T CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  52. 52. Analisi di Sensitività con le greek letters : Λ ∂f Λ= = S t N ′(d 1 ) = S t ∂σ 1 − d12 / 2 e 2π Analisi di Sensitività con le greek letters : ρ call ∂f Te EN (d 2 ) ρ= = − rT ∂r − TEe N (−d 2 ) put − rT CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  53. 53. La volatilità implicita    Dato il prezzo di mercato di un’opzione, Invertendo l’equazione di Black & Scholes possiamo ricavare la volatilità implicita nella quotazione. L’inversione può essere effettuata solo con strumenti di calcolo numerico. Nell’esempio in VBA utilizzeremo l’algoritmo di Newton-Raphson discusso a suo tempo per il tasso interno di rendimento. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  54. 54. La volatilità implicita  Smile  Spesso sulla stessa azione sono quotate più opzioni con prezzi di esercizio e scadenza diversi;  Se il modello di Black & Scholes fose corretto le opzioni avrebbero prezzi differenti ma un identico valore per la volatilità implicita;  σ infatti è funzione dell’attività sottostante e non del prezzo di esercizio o del tempo; CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  55. 55. La volatilità implicita Tuttavia è stato osservato che la volatilità implicita per contratti con identica vita residua varia in funzione del prezzo di esercizio! 20.00% 19.80% 19.60% 19.40% 19.20% 19.00% 18.80% 18.60% 18.40% 18.20% 18.00% 85.000 90.000 95.000 100.000 105.000 CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE 110.000 115.000
  56. 56. La volatilità implicita  Smile  Di norma le opzioni “out” e “in” the money hanno un valore di volatilità implicita maggiore di quelle at-the-money.  L’effetto, noto come volatility smile è accentuto per i contratti con scadenza breve ed è quasi inesistente per quelli di lunga durata;  l’effetto smile contrasta con la teoria e rivela che il modello non è corretto;  il fatto che, dopo il crash del 1987, l’effetto sia più evidente ha indotto alcuni studiosi a formulare l’ipotesi che il vero processo diffusivo dei prezzi sia a salti e non continuo. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  57. 57. Esempio Esempio Programmazione Programmazione VBA VBA Calcolo della volatilità implicita nel prezzo di opzioni Call Calcolo della volatilità implicita nel prezzo di opzioni Call CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  58. 58. Volatilità Implicita  Il metodo della secante      L’efficienza del metodo di Newton-Raphson dipende dalla volatilità iniziale scelta; una procedura meno sensibile al valore iniziale di σ è il metodo della secante; il primo passo da compiere è di scegliere due valori per σ, uno basso e uno alto. Il valore basso σb stima C(σb) minore di C, il valore alto σa stima C(σa) maggiore di C. La volatilità implicita risulta dalla seguente interpolazione lineare: [ C − C ( σ b ) ]( σ a − σ b ) σ1 = σb + C (σ a ) − C (σ b ) CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
  59. 59. Volatilità Implicita  Il metodo della secante  se il valore di C(σ) ottenuto inserendo nel modello di Black & Scholes è inferiore al prezzo di mercato C, la nuova stima di σ è ottenuta sostituendo σb con il valore della volatilità interpolata [ C − C ( σ 1 ) ]( σ a − σ 1 ) σ2 = σ1 + C (σ a ) − C (σ 1 )    Se il valore di C(σ) ottenuto inserendo σ1 nel modello è superiore al prezzo di mercato per la nuova stima di σ si sostituisce a σa il valore della volatilità interpolata. Quando C(σ) coincide con C il processo iterativo termina è si è trovata la volatilità implicita. Il metodo è in generale preferito a quello di Newton-Raphson perché non richiede la stima di Vega ad ogni iterazione. CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE

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