The document discusses logarithms and the logarithmic function. It defines logarithms, explores their properties including definition, identity fundamental, theorems on logarithms, systems of logarithms, logarithmic equations, and graphs of logarithmic functions. Key concepts covered include the definition of logarithms as the exponent that a base must be raised to to equal the value, common bases such as base 10 and the natural base e, and properties used to solve logarithmic equations and sketch logarithmic function graphs.

1. Álgebra
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI

2. Logaritmos y función
logarítmica
Semana 26

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑟 𝑦 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑟
𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒
𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟í𝑡𝑚𝑖𝑐𝑎𝑠
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒
𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟í𝑡𝑚𝑖𝑐𝑎
𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Logaritmos
El concepto de logaritmo se remonta hasta los estudios
de Arquímedes y se origina a partir de la comparación
entre una progresión aritmética y una progresión
geométrica.
P.A. 1 2 3 4 5 6 7 8
P.G. 𝑎1
𝑎2
𝑎3 𝑎4
𝑎5 𝑎6 𝑎7
𝑎8
Los logaritmos tiene una gran importancia en la
ciencia y tiene diversas aplicaciones, por ejemplo:
La escala de decibeles el nivel de intensidad 𝐵
medido en decibeles se define:
𝐵 = 10log
𝐼
𝐼0
𝐼: intensidad sonora.
𝐼0 = 10−12 W/m2

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Logaritmos
1. Definición
log𝑏𝑥 = 𝑦
C U R S O D E Á L G E B R A
⟺ 𝑏𝑦
• log264 = 6
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
Sean los números 𝑥 > 0 y 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1, entonces:
⟺ 26
= 64
• log381 = 4 ⟺ 34
= 81
• log5
1
25
= −2 ⟺ 5−2
=
1
25
• log88 = 1 ⟺ 81
= 8
log𝑏𝑏 = 1 log𝑏1 = 0
= 𝑥
donde:
𝑥 → número
𝑏 → base del logaritmo
𝑦 → logaritmo de 𝑥 en base 𝑏
• log31 = 0 ⟺ 30
= 1
𝐏𝐫𝐨𝐩𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬:
2. Identidad fundamental
De la definición, se desprende que si 𝑥 > 0 y 𝑏 > 0 ∧
𝑏 ≠ 1, entonces:
𝒃
log𝒃𝑥
= 𝑥
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
• 𝟓log𝟓13 = 13 • 𝟕log𝟕𝜋 = 𝜋
; 𝑦 ∈ ℝ

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Teoremas sobre logaritmos
C U R S O D E Á L G E B R A
1. log𝑏𝑥. 𝑦 = log𝑏𝑥 + log𝑏𝑦
• log515 = log53 + log55
log5 3.5 =
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
• log37 + log34 = log328
log3 7.4 =
2. log𝑏
𝑥
𝑦
= log𝑏𝑥 − log𝑏𝑦
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
log2
5
3
= log25 − log23
= log5
7
2
log57 − log52
•
•
3. log𝑏𝑥 𝑛
= log𝑏𝑥
𝒏
• log55 7
= log55
𝟕
ቋ
1
= 7
• 𝟑.log2𝑥 = log2 𝑥𝟑
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+
y una base "𝑏" 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1
• log832 =
• log81729 =
log2𝟑25
= . log22
𝟓
𝟑
log3𝟒36
= . log33
𝟔
𝟒
log𝑏𝑥 = log𝑏𝒏 𝑥𝑛
• log3
2
4 = log3
2
𝟑 43
= log226
𝐂𝐨𝐧𝐬𝐞𝐜𝐮𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚𝐬
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
En general
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
= 6
log𝑏𝑥 = log𝑛
𝑏
𝒏
𝑥
=
5
3
=
3
2
• log12125
= log11 5
= log 121 25
log3
2
4
𝑏𝒎
log 𝑥 𝑛 . log𝑏𝑥
𝒏
𝒎
=

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
log𝑏𝟓
log𝑏𝟑
log 𝒙
log 𝒃
𝒂
𝒂
𝐍𝐨𝐭𝐚𝐬:
log𝑏
𝑛
𝑥 = log𝑏𝑥 𝑛
log𝑏
𝑛
𝑥
log𝑏𝑥𝑛
≠
4.
log𝒃𝒙 =
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
𝐑𝐞𝐠𝐥𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝐜𝐚𝐦𝐛𝐢𝐨 𝐝𝐞 𝐛𝐚𝐬𝐞
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑖)
𝑖𝑖)
• log2
3
5= log25 3
• log3
2
81= log381 2
= 4 2 = 16
log2
3
𝑥
• log2𝑥3
≠
log5
2
25
• log5252
≠
𝟐
𝟐
• log𝟑𝟓 =
𝒂 > 0 ∧ 𝒂 ≠ 1
log𝟏𝟏𝟏𝟑
log𝟏𝟏𝟖
log𝟓16
log𝟓2
• = log216 = 4
• log𝟖𝟏𝟑 =
Consecuencias:
log𝒃𝒙 =
1
log𝒙𝒃
• log𝟖𝟑=
1
log𝟑𝟖
log𝟒𝟗
1
log𝟗𝟒
=
log𝑏𝑎. log𝑎𝑥 = log𝑏𝑥
• log27. log732 = log232 = 5
• • log35. log58. log881 = log381 = 4
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧
log𝑏𝑥𝑛
= 𝑛 log𝑏 𝑥
=
log𝟏𝟑
log𝟖
Si 𝑥 ∈ ℝ, 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1
; 𝑛 es par
• log5 −5 4
= 4. log5 −5 = 4. log55 = 4
• log3𝑥2
= 2. log3 𝑥
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
5. 𝐑𝐞𝐠𝐥𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐜𝐚𝐦𝐛𝐢𝐨
𝒙
log𝒃𝒚
= 𝒚
log𝒃𝒙
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
• 5log27
= 7log25
• 13log211
= 11log213
Aplicación:
Reducir la siguiente expresión:
𝑁 =
81log3 5 − 38log32
4log23 log432
Resolución :
𝑁 =
5log3 81 − 3log328
3log24 log432
𝑁 =
54
− 28
3log24 . log432
𝑁 =
369
3log232
𝑁 =
369
35
∴ 𝑁 =
41
27
C U R S O D E Á L G E B R A

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Sistemas de logaritmos
Sistema decimal (Briggs) Sistema natural (Neperiano)
Ejemplos: Ejemplos:
• logee
• Lne5
• log1010
• log1000
Es aquel sistema de logaritmos en
donde la base es 10.
log10𝑥 = log𝑥
Es aquel sistema de logaritmos en
donde la base es e = 2,7182 …
loge𝑥 = Ln𝑥
C U R S O D E Á L G E B R A
• 10log5
• eLn7
= 5 = 7
= log10
= 3
= Lne
= 5Lne
𝐍𝐨𝐭𝐚𝐜𝐢ó𝐧: 𝐍𝐨𝐭𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Existen infinitos sistemas
de logaritmos para una
base positiva y diferente
de 1.
Los más importantes son
el sistema decimal y el
natural.
= 1 = 1
= 5

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ecuaciones logarítmicas
Son las ecuaciones donde la variable se encuentra
afectado del logaritmo
Ejemplos :
• log3 𝑥 − 5 = log3 2 − 𝑥
• log2 𝑥2
− 5 = 2
• log5 𝑥 = 7 − 𝑥
Para la resolución de las ecuaciones logarítmicas,
se debe tener en cuenta los pasos siguientes:
Paso 1
Garantizar la existencia de los logaritmos en
los reales
log𝑏 𝑥 ∈ ℝ
Paso 2
Despejar 𝑥: log𝑏 𝑥 = log𝑏 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦
Paso 3 Intersectar los resultados anteriores
Si: 𝑥 > 0 y 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1,
Propiedad :
log𝑏 𝑥 = log𝑏 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦
Ejemplo: Resuelva la ecuación siguiente log𝑥 12 − 𝑥 = 2
Resolución :
• log𝑥 12 − 𝑥 existe en reales ↔ 12 − 𝑥 > 0
↔ 𝑥 ∈ 0; 12 − 1
• De la definición de logaritmos, se tiene:
𝑥2
= 12 − 𝑥 ↔ 𝑥2
+𝑥 − 12 = 0 ⟷ 𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 3
No cumple Si cumple
∴ 𝐶𝑆 = 3
↔ 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0
∧ 𝑥 > 0 ∧ 𝑥 ≠ 1

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Gráfica de una función logarítmica.
Si x > 0 𝑦 𝑏 > 0 y 𝑏 ≠ 1, entonces la función exponencial
se define como
𝑓𝑥 = log𝑏𝑥
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝑓𝑥 = log2𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ+
Tabularemos algunos puntos para inducir la gráfica
𝑥 𝑦
8 3
4 2
2 1
1 0
−1
Τ
1 2
−2
Τ
1 4
𝑦
𝑥
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝑓𝑥 = log1
2
𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ+
Tabularemos algunos puntos para inducir la gráfica
𝑥 𝑦
8
4
2
2
1
1 0
−1
Τ
1 2
−2
Τ
1 4
−3
𝑦
𝑥
Dom𝑓=ℝ+
∧ Ran𝑓 = ℝ
1 2
1
4 8
2
3
1 2
−1
4
−2
8
−3

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
En general:
Sea 𝑓𝑥 = log𝑏 𝑥 ; 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑏 > 0 ∧ 𝑥 > 0
b> 1
𝑦
𝑥
𝑓𝑥 = log𝑏 𝑥
0 < 𝑏 < 1
𝑦
𝑥
1 1
𝑓𝑥 = log𝑏 𝑥
Ambas funciones son inyectivas
log𝑏 𝑥 = log𝑏 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦
Función creciente
log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦
Función decreciente
log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 ↔ 𝑥 > 𝑦
No cambia el sentido de
la desigualdad
Si cambia el sentido de
la desigualdad
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 ∶
Determine el dominio de la siguiente función
𝑓𝑥 = log𝑥(5 − 𝑥)
Resolución :
log𝑥 5 − 𝑥 existe en los ℝ
↔ 5 − 𝑥 > 0 ∧ 𝑥 > 0 ∧ 𝑥 ≠ 1
↔ 5 > 𝑥 ∧ 𝑥 > 0 ∧ 𝑥 ≠ 1
↔ 𝑥 ∈ 0; 5 − 1
∴ Dom𝑓 = 0; 5 − 1

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Inecuaciones logarítmicas
Son las inecuaciones donde la variable se encuentra
afectado del logaritmo
Ejemplos:
• log5 𝑥 − 2 ≤ log5 4 − 𝑥
• log2 2𝑥 − 1 < −1
• log3 𝑥 ≥ 5 − 𝑥
Resuelva la inecuación
log1
2
3𝑥 − 1 > −1
Resolución :
• log1
2
3𝑥 − 1 existe en los ℝ
↔ 3𝑥 − 1 > 0
log1
2
3𝑥 − 1 > −1 log1
2
1
2
3𝑥 − 1 < 2 𝑥 < 1
∩
∴ CS =
1
3
; 1
Para su resolución, se debe tener en cuenta los
pasos siguientes:
Paso 1
Garantizar la existencia de los
logaritmos en los reales
log𝑏 𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0
Paso 2
Despejar 𝑥:
Si 𝑏 > 1: log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦
Paso 3 Intersectar los resultados anteriores
Si 0 < 𝑏 < 1: log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 ↔ 𝑥 > 𝑦
Ejemplo:
⟷ 𝑥 >
1
3
• La base es menor a uno, el sentido de la
desigualdad si cambia
1
3
⟷ log1
2
3x − 1 > log1
2
2
⟷

14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Demostraciones
Identidad fundamental
Si 𝑥 > 0 y 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1, entonces:
𝒃
log𝒃𝑥
= 𝑥
De la definición tenemos:
log𝑏𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑏𝑦
= 𝑥 ; 𝑦 ∈ ℝ
Reemplazamos el valor de 𝑦:
𝑏𝑦
= 𝑥
⟺ 𝒃
log𝒃𝑥
= 𝑥
1. log𝑏𝑥. 𝑦 = log𝑏𝑥 + log𝑏𝑦
De la definición tenemos:
log𝑏𝑥 = 𝑚 ⟺ 𝑥 = 𝑏𝑚
log𝑏𝑦 = 𝑛 ⟺ 𝑦 = 𝑏𝑛
Multiplicando:
𝑥. 𝑦 = 𝑏𝑚
. 𝑏𝑛
= 𝑏𝑚+𝑛
⟺ 𝑏𝑚+𝑛
= 𝑥. 𝑦
⟺ 𝑚 + 𝑛 = log𝑏 (𝑥. 𝑦)
൝
(∗)
De ∗ , nos queda
log𝑏𝑥 + log𝑏𝑦 = log𝑏(𝑥. 𝑦)
2. log𝑏
𝑥
𝑦
= log𝑏𝑥 − log𝑏𝑦
De la definición tenemos:
log𝑏𝑥 = 𝑚 ⟺ 𝑥 = 𝑏𝑚
log𝑏𝑦 = 𝑛 ⟺ 𝑦 = 𝑏𝑛
Dividiendo:
𝑥
𝑦
=
𝑏𝑚
𝑏𝑛
= 𝑏𝑚−𝑛
⟺ 𝑏𝑚−𝑛
=
𝑥
𝑦
⟺ 𝑚 − 𝑛 = log𝑏 (
𝑥
𝑦
)
൝
(∗)
De ∗ , nos queda
log𝑏𝑥 − log𝑏𝑦 = log𝑏(
𝑥
𝑦
)

15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
3. log𝑏𝑥 𝑛
= log𝑏𝑥
𝒏
De la definición tenemos:
log𝑏𝑥 = 𝑚 ⟺ 𝑥 = 𝑏𝑚
⟺ 𝑥 = 𝑏𝑚
𝑛 𝑛
⟺ 𝑥𝑛
= 𝑏𝑚.𝑛
⟺ 𝑚𝑛 = log𝑏 𝑥 𝑛
Como: 𝑚 = log𝑏 𝑥
⟺ log𝑏𝑥
𝑛 = log𝑏 𝑥 𝑛
log 𝒙
log 𝒃
𝒂
𝒂
4.
log𝒃𝒙 =
𝐑𝐞𝐠𝐥𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝐜𝐚𝐦𝐛𝐢𝐨 𝐝𝐞 𝐛𝐚𝐬𝐞
𝒂 > 0 ∧ 𝒂 ≠ 1
De la definición tenemos:
log𝑏𝑥 = 𝑚 ⟺ 𝑥 = 𝑏𝑚
log𝑎𝑏 = 𝑛 ⟺ 𝑏 = 𝑎𝑛
Entonces:
𝑥 = 𝑏𝑚
= 𝑎𝑛 𝑚
= 𝑎𝑚.𝑛
⟺ 𝑥 = 𝑎𝑚.𝑛
⟺ 𝑚𝑛 = log𝑎 𝑥
൝
(∗)
De ∗ , nos queda
⟺ log𝑏𝑥. log𝑎𝑏 = log𝑎𝑥
Entonces:
log 𝒙
log 𝒃
𝒂
𝒂
log𝒃𝒙 =
𝐂𝐨𝐧𝐬𝐞𝐜𝐮𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚:
Si: 𝒂 = 𝒙 tenemos
log𝒃𝒙 =
log 𝒙
log 𝒃
𝒙
𝒙 =
log 𝒃
𝒙
𝟏

16. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e