This document discusses solving polynomial inequalities and fractional inequalities. It covers solving inequalities involving polynomials of degree higher than 2 using theorems about the sign of the product of two functions. Theorems are presented for determining when a polynomial is always positive or nonnegative based on its coefficients. Examples are provided of applying these theorems to find the solution sets of various polynomial inequalities.

1. ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI
Docente: Jimmy Astupillo

2. INECUACIONES
POLINOMIALES II
E INECUACIÓN
FRACCIONARIA
Semana 18

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑰𝑵𝑬𝑪𝑼𝑨𝑪𝑰𝑶𝑵𝑬𝑺
𝑷𝑶𝑳𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑨𝑳𝑬𝑺 II
Ahora se amplia el estudio de las inecuaciones
analizando polinomios de grado mayor a 2 y el
estudio de las inecuaciones fraccionarias.
Este tema tendrá un importante papel al
momento de calcular el dominio y rango de
una función.
Se utiliza para modelos de optimización.
𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 ≷ 0
𝐀𝐔𝐓𝐎𝐌Ó𝐕𝐈𝐋 𝐀𝐄𝐑𝐎𝐃𝐈𝐍Á𝐌𝐈𝐂𝐎

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Conceptos previos
El método de los puntos críticos encuentra las zonas
donde un polinomio es positivo o negativo.
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: 𝑃 𝑥 = 𝑥2
− 7𝑥 + 6
𝑥
𝑥
−2
−1
→ 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 − 6
Sus puntos críticos son: 1 ; 6
−∞ +∞
6
1
→ 𝑃 𝑥 < 0 ↔ 𝑥 ∈ 1; 6
→ 𝑃 𝑥 > 0 ↔ 𝑥 ∈ −∞; 1 ∪ 6; +∞
Existen polinomios que nunca toma valores negativos
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
𝑎) 𝑃 𝑥 = 𝑥2 → 𝑃 𝑥 ≥ 0
𝑏) 𝑄 𝑥 = 𝑥2
+ 2𝑥 + 3
𝑄 𝑥 = (𝑥 + 1)2+2 → 𝑄 𝑥 ≥ 2
𝑐) 𝑅 𝑥 = 2𝑥2
− 8𝑥 + 9
𝑅 𝑥 = 2(𝑥 − 2)2 + 1 → 𝑅 𝑥 ≥ 1
Veremos dos teoremas que
reconocen polinomios cuadráticos
que nunca toman valores negativos.

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Teorema del trinomio positivo
𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎 ; ∀𝒙 ∈ ℝ
de su variable.
↔ 𝒂 > 𝟎 ∧ ∆ < 𝟎
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐𝒔:
𝑎) 𝑃 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥 + 3 es un trinomio positivo; puesto que
𝑎 = 1 > 𝟎 ∧ ∆ = −2 2 −4(1)(3) = −8 < 𝟎
Este teorema nos permite reconocer que ciertos polinomios
cuadráticos, siempre resultan positivos para cualquier valor
𝑏) 𝑄 𝑥 =3𝑥2
− 2𝑥 + 4 es un trinomio positivo; puesto que
𝑎 = 3 > 𝟎 ∧ ∆ = −2 2 −4(3)(4) = −44 < 𝟎
𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔:
Resolver:
𝑎) 𝑥2 − 2𝑥 + 3
trinomio positivo
→ 𝑥 ∈ ℝ
≥ 0
𝑏) 𝑥2 − 2𝑥 + 3
trinomio positivo
→ 𝑥 ∈ ℝ
> 0
𝑐) 𝑥2 − 2𝑥 + 3
trinomio positivo
→ 𝑥 ∈ 𝜙
< 0

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑬𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐 𝟏:
Encuentre el mayor valor entero de M, tal que
2𝑥2
− 3𝑥 + 4 ; ∀𝑥 𝜖 ℝ
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
De la inecuación: 2𝑥2
− 3𝑥 + 4 < 𝑀
> 𝑀
→ 2𝑥2 − 3𝑥 + 4 − 𝑀 > 0 ; ∀𝑥 𝜖 ℝ
Por el teorema del trinomio positivo, tenemos:
𝑎 > 0 ∧ ∆ < 0
Luego: ∆ = (−3)2
−4(2)(4 − 𝑀) < 0
→ 9 − 32 + 8𝑀 < 0 → 𝑀 <
23
8
∴ El mayor valor entero de M es 2
𝑬𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐 𝟐:
Resolver la inecuación:
𝑥3
− 3𝑥2
+ 3𝑥 − 2 < 0
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
Factorizando por Ruffini:
1 −3 3 −2
0
2
1
2
−1
−2
1
1
→ (𝑥 − 2) (𝑥2
− 𝑥 + 1) < 0
Trinomio positivo
→ (𝑥 − 2) < 0
→ 𝑥 < 2 → 𝑥 ∈ −∞; 2

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Teorema del trinomio no negativo
𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎 ; ∀𝒙 ∈ ℝ ↔ 𝒂 > 𝟎 ∧ ∆ ≤ 𝟎
Se cumple:
𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏:
Halle el menor valor de M, tal que cumple
4𝑥 − 𝑥2
− 12 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:
Tenemos:
≤ 𝑀
4𝑥 − 𝑥2
− 12 ≤ 𝑀
↔ −𝑥2
+ 4𝑥 − 12 − 𝑀 ≤ 0
↔ 𝑥2
− 4𝑥 + 12 + 𝑀 ≥ 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
Por el teorema del trinomio no negativo
→ 𝑎 > 0 ∧ ∆ ≤ 0
൝
¡ cumple!
→ ∆= (−4)2 −4(1)(12 + 𝑀) ≤ 0
→ 16 − 48 − 4𝑀 ≤ 0
→ −32 − 4𝑀 ≤ 0
→ −32 ≤ 4𝑀
→ −8 ≤ 𝑀
∴ El menor valor de M es −8
C U R S O D E Á L G E B R A

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Inecuación de grado superior
Tiene como forma general
𝑎0𝑥𝑛
+ 𝑎1𝑥𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 ≷ 0
Donde: 𝑎0 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≥ 3
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
𝑥3 + 2𝑥2 − 7𝑥 + 6 ≤ 0
𝑎)
𝑏) 4𝑥4 + 5𝑥3 − 37𝑥2 − 7𝑥 + 9 > 0
Para resolver una inecuación de grado superior,
se utilizan los siguientes teoremas.
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚𝐬:
𝑎) 𝑓(𝑥) 2𝑛. 𝑔(𝑥)
Siendo n ≥ 1 ∧ 𝑛 ∈ ℤ
>
< 0 → 𝑔(𝑥)
>
< 0
El signo se mantiene
∧ 𝑓(𝑥) ≠ 0
𝑏) 𝑓(𝑥) 2𝑛. 𝑔(𝑥)
≥
≤ 0 → 𝑔(𝑥)
≥
≤ 0
El signo se mantiene
∨ 𝑓(𝑥) = 0
𝑐) 𝑓(𝑥) 2𝑛−1
. 𝑔(𝑥)
≥
≤ 0 → 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥)
≥
≤ 0
cualquier signo se mantiene

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚𝐬:
𝑎) 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟. 𝑔(𝑥) > 0 → 𝑔(𝑥) > 0 ∧ 𝑓(𝑥) ≠ 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝑥 − 3 2020 . 𝑥 − 1 > 0 → 𝑥 − 1 > 0 ∧ 𝑥 − 3 ≠ 0
→ 𝑥 > 1 ∧ 𝑥 ≠ 3
→ 𝑥 ∈ 1; +∞ − 3
𝑏) 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟
. 𝑔(𝑥) < 0 → 𝑔(𝑥) < 0 ∧ 𝑓(𝑥) ≠ 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝑥 − 1 58 . 𝑥 − 4 < 0 → 𝑥 − 4 < 0 ∧ 𝑥 − 1 ≠ 0
→ 𝑥 < 4 ∧ 𝑥 ≠ 1
→ 𝑥 ∈ −∞; 4 − 1
𝑐) 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟
. 𝑔(𝑥) ≥ 0 → 𝑔(𝑥) ≥ 0 ∨ 𝑓(𝑥) = 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝑥 − 2 32
. 𝑥 − 7 ≥ 0 → 𝑥 − 7 ≥ 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0
→ 𝑥 ≥ 7 ∨ 𝑥 = 2
→ 𝑥 ∈ ሾ7; ۧ
+∞ ∪ 2
𝑑) 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟
. 𝑔(𝑥) ≤ 0 → 𝑔(𝑥) ≤ 0 ∨ 𝑓(𝑥) = 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝑥 − 3 62
. 𝑥 − 4 ≤ 0 → 𝑥 − 3 ≤ 0 ∨ 𝑥 − 4 = 0
→ 𝑥 ≤ 3 ∨ 𝑥 = 4
→ 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−∞; ሿ
3 ∪ 4

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑒) 𝑓(𝑥) 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
. 𝑔(𝑥) ≥
0 → 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) ≥ 0
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝑥 − 2 9
. 𝑥 − 7 ≥ 0 → 𝑥 − 2 𝑥 − 7 ≥ 0
→
≤ ≤
𝑃. 𝐶 = 2; 7
−∞ +∞
7
2
→ 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−∞; ሿ
2 ∪ ሾ7; ۧ
+∞
𝑒) 𝑓(𝑥) 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
. 𝑔(𝑥) >
0 → 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) > 0
< <
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
𝑥 − 5 11
. 𝑥 − 8 < 0 → 𝑥 − 5 𝑥 − 8 < 0
→ 𝑃. 𝐶 = 5; 8
−∞ +∞
8
5
→ 𝑥 ∈ 5; 8

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
( )
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝟏:
Resolver: (𝑥 − 2)3(𝑥 + 5)4 ≥ 0
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
Tenemos: (𝑥 − 2)3
(𝑥 + 5)4 ≥ 0
Por exponente impar, se reduce:
(𝑥 − 2)(𝑥 + 5)4 ≥ 0
Por exponente par, se reduce:
(𝑥 − 2) ≥ 0 ∨ (𝑥 + 5) = 0
𝑥 ≥ 2 ∨ 𝑥 = −5
∴ 𝑥 ∈ ሾ2; ۧ
+∞ ∪ −5
𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝟐:
Resolver: 𝑥 + 4 5 𝑥 − 2 6(𝑥2 − 𝑥 + 1) ≤ 0
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧:
Tenemos que: 𝑥2 − 𝑥 + 1 es un trinomio positivo 𝑎 > 0 ∆< 0
∧
→ 𝑥 + 4 5 𝑥 − 2 6(𝑥2 − 𝑥 + 1) ≤ 0
൞
(+)
→ 𝑥 + 4 5
𝑥 − 2 6
≤ 0
Por exponente impar, queda: 𝑥 + 4 𝑥 − 2 6 ≤ 0
Por exponente par, queda: 𝑥 + 4 ≤ 0 ∨ 𝑥 − 2 = 0
→ 𝑥 ≤ −4 ∨ 𝑥 = 2
→ 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−∞; ሿ
−4 ∪ 2

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Inecuación fraccionaria
C U R S O D E Á L G E B R A
Tiene como forma general
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≷ 0
• 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 son polinomios
Donde
• ° 𝑄 𝑥 ≥ 1
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
2𝑥 − 1
𝑥2 − 2𝑥 − 3
≥ 0
𝑎)
𝑥2
− 2𝑥 + 1
2𝑥2 − 3𝑥 − 2
< 0
𝑏)
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≷ 0 ↔ 𝑃 𝑥 . 𝑄(𝑥) ≷ 0 ∧ 𝑄(𝑥) ≠ 0
𝐀𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
Resuelva
𝑥 + 2
𝑥 − 1
≥ 0 ↔ (𝑥 + 2) (𝑥 − 1) ≥ 0 ∧ 𝑥 − 1 ≠ 0
൞
𝑥 ≠ 1
−∞ +∞
1
−2
→ 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−∞; ሿ
−2 ∪ ‫ۦ‬1; ۧ
+∞

14. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e