The document discusses solving polynomial and rational inequalities. It provides examples of polynomial inequalities and explains the method of critical points to determine the solution set of a polynomial inequality. The method involves factorizing the associated polynomial equation to find critical points, placing them on the number line based on their multiplicity, and determining the solution set as the intervals with the appropriate sign.
Este documento trata sobre inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Define inecuaciones como desigualdades entre expresiones algebraicas y explica las reglas de equivalencia para mantener o cambiar el sentido de la desigualdad. Luego, cubre cómo resolver inecuaciones lineales, polinómicas y racionales de una incógnita, así como sistemas de inecuaciones.
El documento presenta 13 problemas resueltos sobre ecuaciones e inecuaciones con valores absolutos. Los problemas involucran aplicar propiedades de valores absolutos para determinar conjuntos de soluciones. Algunos problemas no tienen solución debido a que el valor absoluto no puede ser menor que cero.
Inecuaciones lineales y cuadraticas COMIL - enrique0975enrique0975
El documento presenta varios ejercicios de resolución de inecuaciones cuadráticas. En cada ejercicio se da la inecuación, se resuelve usando la fórmula cuadrática y se determina el conjunto solución graficando las raíces en una recta numérica. El documento muestra paso a paso cómo resolver este tipo de problemas.
Este documento explica cómo resolver inecuaciones cuadráticas mediante la factorización y el uso de cuadros de signos. Se define una inecuación cuadrática y se dan tres ejemplos resueltos paso a paso, incluyendo la factorización, identificación de los números críticos, construcción de cuadros de signos y determinación de la solución. También incluye un anexo explicando cómo construir cuadros de signos.
Este documento trata sobre inecuaciones y programación lineal. Explica que una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas y cómo resolver inecuaciones de primer grado, segundo grado y sistemas de inecuaciones. También describe cómo representar geométricamente inecuaciones lineales con dos incógnitas y sistemas de estas inecuaciones.
1) El documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas, conceptos matemáticos importantes en medicina. 2) Explica las propiedades de las funciones exponenciales como potenciación, bases iguales y diferentes, y funciones exponenciales naturales. 3) También cubre las propiedades de los logaritmos, funciones logarítmicas y cómo resolver ejercicios relacionados a estas funciones.
Este documento resume las propiedades de las desigualdades con valor absoluto. Explica que |x| < a si y solo si -a < x < a, y que |x| ≤ a si y solo si -a ≤ x ≤ a. También explica que |x| > a si y solo si x < -a o x > a, y que |x| ≥ a si y solo si x ≤ -a o x ≥ a. Proporciona ejemplos para ilustrar estas propiedades y cómo resolver desigualdades con valor absoluto.
Este documento trata sobre inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Define inecuaciones como desigualdades entre expresiones algebraicas y explica las reglas de equivalencia para mantener o cambiar el sentido de la desigualdad. Luego, cubre cómo resolver inecuaciones lineales, polinómicas y racionales de una incógnita, así como sistemas de inecuaciones.
El documento presenta 13 problemas resueltos sobre ecuaciones e inecuaciones con valores absolutos. Los problemas involucran aplicar propiedades de valores absolutos para determinar conjuntos de soluciones. Algunos problemas no tienen solución debido a que el valor absoluto no puede ser menor que cero.
Inecuaciones lineales y cuadraticas COMIL - enrique0975enrique0975
El documento presenta varios ejercicios de resolución de inecuaciones cuadráticas. En cada ejercicio se da la inecuación, se resuelve usando la fórmula cuadrática y se determina el conjunto solución graficando las raíces en una recta numérica. El documento muestra paso a paso cómo resolver este tipo de problemas.
Este documento explica cómo resolver inecuaciones cuadráticas mediante la factorización y el uso de cuadros de signos. Se define una inecuación cuadrática y se dan tres ejemplos resueltos paso a paso, incluyendo la factorización, identificación de los números críticos, construcción de cuadros de signos y determinación de la solución. También incluye un anexo explicando cómo construir cuadros de signos.
Este documento trata sobre inecuaciones y programación lineal. Explica que una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas y cómo resolver inecuaciones de primer grado, segundo grado y sistemas de inecuaciones. También describe cómo representar geométricamente inecuaciones lineales con dos incógnitas y sistemas de estas inecuaciones.
1) El documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas, conceptos matemáticos importantes en medicina. 2) Explica las propiedades de las funciones exponenciales como potenciación, bases iguales y diferentes, y funciones exponenciales naturales. 3) También cubre las propiedades de los logaritmos, funciones logarítmicas y cómo resolver ejercicios relacionados a estas funciones.
Este documento resume las propiedades de las desigualdades con valor absoluto. Explica que |x| < a si y solo si -a < x < a, y que |x| ≤ a si y solo si -a ≤ x ≤ a. También explica que |x| > a si y solo si x < -a o x > a, y que |x| ≥ a si y solo si x ≤ -a o x ≥ a. Proporciona ejemplos para ilustrar estas propiedades y cómo resolver desigualdades con valor absoluto.
Problemas resueltos de geometria analitica planaCarlos Chaparro
Este documento presenta varios problemas de geometría analítica plana. El primer problema demuestra que cuatro puntos dados forman los vértices de un cuadrado. El segundo problema halla las coordenadas del tercer vértice de un triángulo equilátero. El tercer problema encuentra el punto en una recta que dista el doble de uno de los puntos dados que del otro.
Este documento presenta información sobre inecuaciones polinómicas y racionales. Explica que una inecuación polinómica involucra un polinomio de grado finito, mientras que una inecuación racional involucra dos polinomios donde el segundo no es cero. Proporciona ejemplos y métodos de resolución para ambos tipos de inecuaciones. Luego aplica este conocimiento para resolver un problema real sobre el cálculo del mejor sueldo para un vendedor según la cantidad de vehículos vendidos.
This document discusses solving polynomial inequalities and fractional inequalities. It covers solving inequalities involving polynomials of degree higher than 2 using theorems about the sign of the product of two functions. Theorems are presented for determining when a polynomial is always positive or nonnegative based on its coefficients. Examples are provided of applying these theorems to find the solution sets of various polynomial inequalities.
Este documento presenta las ecuaciones de segundo grado, las cuales contienen una variable elevada al cuadrado. Explica que existen tres tipos de ecuaciones de segundo grado (completas, puras y mixtas) y varios métodos para resolverlas, como factorización, raíz cuadrada y completando cuadrados. Finalmente, propone algunas actividades de clasificación de ecuaciones.
Este documento presenta una introducción a los números, incluyendo su clasificación, propiedades y operaciones. Se divide los números en enteros, racionales, irracionales y reales. Explica cómo convertir números decimales periódicos a fracciones y representar números reales en una recta numérica. También describe las propiedades de las operaciones de suma, multiplicación, y define qué es una operación binaria.
Este documento explica los conceptos de matriz escalonada por filas, matriz escalonada reducida por filas y pivote de una matriz. Una matriz escalonada tiene ceros que aumentan de izquierda a derecha fila por fila, mientras que una matriz escalonada reducida tiene unos en las columnas con los únicos elementos no nulos. El pivote es el primer elemento no nulo de cada fila. El documento también incluye ejemplos y ejercicios resueltos de reducir matrices a estas formas.
Este documento presenta conceptos sobre derivadas. Introduce el concepto de derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Explica que una función es derivable si es continua y sus derivadas laterales son iguales. Además, incluye reglas para calcular derivadas como la derivada de sumas, productos y funciones compuestas, así como derivadas de funciones elementales como exponenciales, logarítmicas y potencias.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
Este documento describe las características y resolución de inecuaciones de primer grado. Explica que una inecuación incluye relaciones de orden como >, <, ≥ o ≤. Se resuelven de forma similar a ecuaciones lineales, invirtiendo la desigualdad si se pasa un número negativo al otro lado. La solución se representa gráficamente como un intervalo. También cubre inecuaciones compuestas, resolviéndolas por separado y encontrando la intersección de soluciones.
El documento describe las desigualdades y los intervalos en matemáticas. Explica los diferentes tipos de desigualdades como <, >, ≤, ≥ y sus significados. También describe las propiedades de las desigualdades como la transitividad y las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Finalmente, define los diferentes tipos de intervalos como cerrados, abiertos y semiabiertos usando corchetes y paréntesis.
El documento resume los conceptos básicos de las ecuaciones trigonométricas. Explica que son ecuaciones donde la incógnita está afectada por operadores trigonométricos. Describe dos tipos de ecuaciones trigonométricas: elementales y no elementales. Para resolver ecuaciones elementales se encuentran dos primeras soluciones y se agregan o restan múltiplos de 360°. Para ecuaciones no elementales se aplican identidades trigonométricas para reducirlas a la forma elemental.
1) La recta es una curva fundamental estudiada en matemáticas debido a sus múltiples aplicaciones y su vinculación con ecuaciones de primer grado. 2) Existen varias definiciones de recta, pero la más común es que es la distancia más corta entre dos puntos. 3) La pendiente m es una constante clave para describir una recta y se define como el cambio en y dividido entre el cambio en x entre dos puntos de la recta.
El documento presenta 9 ejemplos de conjuntos de solución para diferentes inecuaciones, identificando en cada caso el conjunto de números que satisfacen la inecuación a través de comprobaciones numéricas.
Este documento presenta los objetivos y conceptos básicos de las inecuaciones con valor absoluto. Explica cómo resolver este tipo de inecuaciones aplicando propiedades como que si el valor absoluto es menor que un número positivo, la solución está entre ese número negativo y positivo. Incluye ejemplos resueltos de inecuaciones con valor absoluto y ejercicios de práctica para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Inecuaciones lineales%252c cuadráticas y con valor absolutoSantiago Rivera
Este documento describe las desigualdades y las inecuaciones. Explica que una inecuación es una desigualdad condicional que contiene una o más incógnitas. Detalla las propiedades de las desigualdades y cómo resolver inecuaciones lineales, cuadráticas, racionales e inecuaciones con valor absoluto. Incluye ejemplos para ilustrar cada tipo de inecuación.
El resumen analiza 15 problemas relacionados con la trigonometría circular. Los problemas incluyen calcular valores, determinar veracidad de proposiciones, hallar áreas de regiones y calcular expresiones trigonométricas. El documento proporciona información relevante para comprender conceptos básicos de trigonometría circular.
Este documento contiene 32 preguntas de trigonometría sobre conceptos como seno, coseno, áreas de regiones sombreadas en la circunferencia trigonométrica, y ordenar valores trigonométricos. Las preguntas requieren calcular expresiones, determinar intervalos, y evaluar si enunciados son verdaderos o falsos. El documento proporciona una evaluación sobre conceptos básicos de trigonometría.
áNgulos cortados por dos paralelas y una secanteJuan Jose Tello
Este documento presenta los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante. Explica que los ángulos correspondientes son iguales, los ángulos alternos internos son iguales y los ángulos conjugados internos suman 180°. Luego, proporciona 26 problemas para calcular valores desconocidos x basándose en estas propiedades.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del sistema de números reales. Define el conjunto de números reales y sus propiedades bajo las operaciones de adición, multiplicación y orden. Explica los axiomas que rigen estas operaciones y las definiciones de sustracción y división. También introduce conceptos como intervalos, operaciones con conjuntos e intervalos, ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado, y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.
INECUACIONES LINEALES, Conjunto solución gráfica y comprobación. COMILenrique0975
El documento presenta 15 ejercicios de conjuntos numéricos resueltos. Cada ejercicio consiste en una expresión algebraica, el conjunto solución correspondiente representado en una recta numérica, y una comprobación de valores que satisfacen la expresión. Los ejercicios cubren diferentes tipos de desigualdades y valoraciones de expresiones algebraicas.
Folleto de matematicas, primero bgu, proyecto ebja. ing luis panimbozaluisdin2729
The document discusses systems of equations and methods for solving systems of two linear equations with two unknowns. It describes three methods - equalization, addition/subtraction (elimination), and substitution. It provides examples of using each method to solve systems of equations and checks the solutions. Determinants and their use in solving systems via Cramer's Rule are also introduced.
The document discusses solving polynomial equations. It begins by explaining quadratic equations, including how to solve them by factoring or using the quadratic formula. It then introduces polynomial equations of higher degree and methods for determining their real or complex roots, including the fundamental theorem of algebra. Examples are provided to illustrate solving quadratic and polynomial equations using these various methods.
Problemas resueltos de geometria analitica planaCarlos Chaparro
Este documento presenta varios problemas de geometría analítica plana. El primer problema demuestra que cuatro puntos dados forman los vértices de un cuadrado. El segundo problema halla las coordenadas del tercer vértice de un triángulo equilátero. El tercer problema encuentra el punto en una recta que dista el doble de uno de los puntos dados que del otro.
Este documento presenta información sobre inecuaciones polinómicas y racionales. Explica que una inecuación polinómica involucra un polinomio de grado finito, mientras que una inecuación racional involucra dos polinomios donde el segundo no es cero. Proporciona ejemplos y métodos de resolución para ambos tipos de inecuaciones. Luego aplica este conocimiento para resolver un problema real sobre el cálculo del mejor sueldo para un vendedor según la cantidad de vehículos vendidos.
This document discusses solving polynomial inequalities and fractional inequalities. It covers solving inequalities involving polynomials of degree higher than 2 using theorems about the sign of the product of two functions. Theorems are presented for determining when a polynomial is always positive or nonnegative based on its coefficients. Examples are provided of applying these theorems to find the solution sets of various polynomial inequalities.
Este documento presenta las ecuaciones de segundo grado, las cuales contienen una variable elevada al cuadrado. Explica que existen tres tipos de ecuaciones de segundo grado (completas, puras y mixtas) y varios métodos para resolverlas, como factorización, raíz cuadrada y completando cuadrados. Finalmente, propone algunas actividades de clasificación de ecuaciones.
Este documento presenta una introducción a los números, incluyendo su clasificación, propiedades y operaciones. Se divide los números en enteros, racionales, irracionales y reales. Explica cómo convertir números decimales periódicos a fracciones y representar números reales en una recta numérica. También describe las propiedades de las operaciones de suma, multiplicación, y define qué es una operación binaria.
Este documento explica los conceptos de matriz escalonada por filas, matriz escalonada reducida por filas y pivote de una matriz. Una matriz escalonada tiene ceros que aumentan de izquierda a derecha fila por fila, mientras que una matriz escalonada reducida tiene unos en las columnas con los únicos elementos no nulos. El pivote es el primer elemento no nulo de cada fila. El documento también incluye ejemplos y ejercicios resueltos de reducir matrices a estas formas.
Este documento presenta conceptos sobre derivadas. Introduce el concepto de derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Explica que una función es derivable si es continua y sus derivadas laterales son iguales. Además, incluye reglas para calcular derivadas como la derivada de sumas, productos y funciones compuestas, así como derivadas de funciones elementales como exponenciales, logarítmicas y potencias.
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Este documento describe las características y resolución de inecuaciones de primer grado. Explica que una inecuación incluye relaciones de orden como >, <, ≥ o ≤. Se resuelven de forma similar a ecuaciones lineales, invirtiendo la desigualdad si se pasa un número negativo al otro lado. La solución se representa gráficamente como un intervalo. También cubre inecuaciones compuestas, resolviéndolas por separado y encontrando la intersección de soluciones.
El documento describe las desigualdades y los intervalos en matemáticas. Explica los diferentes tipos de desigualdades como <, >, ≤, ≥ y sus significados. También describe las propiedades de las desigualdades como la transitividad y las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Finalmente, define los diferentes tipos de intervalos como cerrados, abiertos y semiabiertos usando corchetes y paréntesis.
El documento resume los conceptos básicos de las ecuaciones trigonométricas. Explica que son ecuaciones donde la incógnita está afectada por operadores trigonométricos. Describe dos tipos de ecuaciones trigonométricas: elementales y no elementales. Para resolver ecuaciones elementales se encuentran dos primeras soluciones y se agregan o restan múltiplos de 360°. Para ecuaciones no elementales se aplican identidades trigonométricas para reducirlas a la forma elemental.
1) La recta es una curva fundamental estudiada en matemáticas debido a sus múltiples aplicaciones y su vinculación con ecuaciones de primer grado. 2) Existen varias definiciones de recta, pero la más común es que es la distancia más corta entre dos puntos. 3) La pendiente m es una constante clave para describir una recta y se define como el cambio en y dividido entre el cambio en x entre dos puntos de la recta.
El documento presenta 9 ejemplos de conjuntos de solución para diferentes inecuaciones, identificando en cada caso el conjunto de números que satisfacen la inecuación a través de comprobaciones numéricas.
Este documento presenta los objetivos y conceptos básicos de las inecuaciones con valor absoluto. Explica cómo resolver este tipo de inecuaciones aplicando propiedades como que si el valor absoluto es menor que un número positivo, la solución está entre ese número negativo y positivo. Incluye ejemplos resueltos de inecuaciones con valor absoluto y ejercicios de práctica para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Inecuaciones lineales%252c cuadráticas y con valor absolutoSantiago Rivera
Este documento describe las desigualdades y las inecuaciones. Explica que una inecuación es una desigualdad condicional que contiene una o más incógnitas. Detalla las propiedades de las desigualdades y cómo resolver inecuaciones lineales, cuadráticas, racionales e inecuaciones con valor absoluto. Incluye ejemplos para ilustrar cada tipo de inecuación.
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The document discusses solving polynomial equations. It begins by explaining quadratic equations, including how to solve them by factoring or using the quadratic formula. It then introduces polynomial equations of higher degree and methods for determining their real or complex roots, including the fundamental theorem of algebra. Examples are provided to illustrate solving quadratic and polynomial equations using these various methods.
The document discusses polynomial division and related concepts. It defines polynomial expressions and covers the algorithms for long division and synthetic division of polynomials. It also introduces the factor theorem and remainder theorem, which relate the factors and remainder of a polynomial division to evaluating the polynomial at specific values. The document provides examples of applying these techniques to divide polynomials and determine factors and remainders.
The document is about algebra and solving equations. It discusses the history and importance of equations, defines key terms like solutions and sets of solutions. It also provides examples of solving different types of equations step-by-step, including linear equations, quadratic equations through factoring, completing the square, and the quadratic formula. The document emphasizes that solving equations involves finding the value(s) of the variable that satisfy the equality.
This document contains information about a group project from the Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara Andrés Eloy Blanco in Barquisimeto, Venezuela. The document lists the group members, Keishmer Amaro and Heycker Cuicas, and indicates they are studying hygiene and occupational safety in section 0102.
The document discusses solving linear differential equations of higher order with constant coefficients and initial value problems. It provides solutions to two homogeneous equations, two non-homogeneous equations, and determines if a given function satisfies an initial value problem and its uniqueness. The key steps are identifying the characteristic polynomial, finding its roots, using the general solution formula, and checking if initial conditions are met. Uniqueness is guaranteed when coefficient functions are continuous and the highest order coefficient is nonzero on the given interval.
This document discusses quadratic forms and their properties. It provides examples of reducing a quadratic form to canonical form to determine its nature, rank, index, and signature. The key steps are:
1) Find the characteristic equation and eigenvalues of the coefficient matrix
2) Determine the eigenvectors to obtain the modal matrix
3) Normalize the eigenvectors to obtain the normalized matrix for diagonalization
This document contains information about a mathematics workshop held in Barquisimeto, Venezuela in January 2021. It lists the participants Antonio Maria and Norneris Melendez. It then provides definitions and examples of algebraic language, including terms like literal, coefficient, degree, monomial, binomial, trinomial, polynomial. It discusses operations like addition, subtraction, multiplication, and factorization of polynomials. It also covers special products and factoring techniques for polynomials like factoring out a common monomial and using the difference of squares.
1) The document provides lessons on solving quadratic equations using various methods like factoring, completing the square, and the quadratic formula.
2) It includes examples of solving quadratic equations by factoring polynomials, using the zero product property to set factors equal to zero, and finding the solutions.
3) The quadratic formula is derived by completing the square on the general quadratic equation ax2 + bx + c = 0, resulting in the formula x = (-b ± √(b2 - 4ac))/2a to solve for real solutions.
The document discusses algebraic language and expressions. It defines key algebraic terms like variables, coefficients, degrees, rational and irrational expressions. It covers topics like monomials, binomials, trinomials, polynomials, and how to perform operations like addition, subtraction, and multiplication on algebraic expressions. It also discusses factoring algebraic expressions by finding common factors.
The document discusses solving equations involving radicals and absolute value. It begins by outlining the specific skills and materials needed. It then provides theoretical notions on equations with radicals and absolute value, including definitions, examples, and properties. Finally, it gives instructions on how to solve problems involving each type of equation, noting steps like analyzing related theorems, identifying domains, factorizing if possible, making variable substitutions, and using critical points methods for absolute value equations with multiple terms. It includes an example problem demonstrating the full solution process.
This document contains lecture materials from a Calculus III course covering several topics:
1) Equations of lines and planes in 3D space, finding the equation of a plane parallel or perpendicular to a given vector.
2) Finding the equation of the tangent plane to a surface at a given point and the normal line.
3) Finding relative extrema (maxima, minima, saddle points) of multivariate functions by analyzing their critical points.
4) Setting up iterated integrals to calculate the volume of solids with boundaries defined by surfaces and planes. Examples find the volume under a paraboloid and above a bounded region.
The document discusses cubic equations and their applications. It provides examples of solving cubic equations by factorizing them into linear factors using the rational root theorem or Cardano's formula. The key steps are factorizing the equation, setting each factor equal to zero to find the roots, and determining the number of solutions. The document also presents theorems regarding the relationship between the number of roots and solutions, and the sums and products of the roots.
1. This document discusses solving quadratic equations by factoring and using the quadratic formula.
2. To solve by factoring, rewrite the equation so one side equals 0, factor the non-zero side, and set each factor equal to 0 to solve.
3. The quadratic formula is x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a. This formula can be used to solve any quadratic equation in the form ax^2 + bx + c = 0.
The document discusses quadratic equations of the form ax2 + bx + c = 0. It provides examples of solving quadratic equations by determining the values of a, b, and c, calculating the discriminant (b2 - 4ac), and using the quadratic formula. Depending on whether the discriminant is positive, zero, or negative, the equation will have two real solutions, one real solution, or no real solutions, respectively. Factoring and other applications of quadratic equations are also presented.
The document provides an overview of key topics in quadratic equations, including solving quadratic equations by factorizing, completing the square, and using the quadratic formula. It discusses why quadratics are important, such as in modeling projectile motion or summations, and provides examples of solving quadratic equations and completing the square to put them in standard form. The document also includes interactive tests and exercises to help students practice these skills in working with quadratic equations.
This document discusses linear and quadratic equations. It begins by defining an equation as an equality between two algebraic expressions related by mathematical operations, containing known and unknown values. It then provides examples and methods for solving different types of equations: linear equations by isolating the variable, quadratic equations by factoring or using the quadratic formula. Examples of solving word problems involving equations are also presented.
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Denis is a dynamic and results-driven Chief Information Officer (CIO) with a distinguished career spanning information systems analysis and technical project management. With a proven track record of spearheading the design and delivery of cutting-edge Information Management solutions, he has consistently elevated business operations, streamlined reporting functions, and maximized process efficiency.
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Date: May 29, 2024
Tags: Information Security, ISO/IEC 27001, ISO/IEC 42001, Artificial Intelligence, GDPR
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LAND USE LAND COVER AND NDVI OF MIRZAPUR DISTRICT, UPRAHUL
This Dissertation explores the particular circumstances of Mirzapur, a region located in the
core of India. Mirzapur, with its varied terrains and abundant biodiversity, offers an optimal
environment for investigating the changes in vegetation cover dynamics. Our study utilizes
advanced technologies such as GIS (Geographic Information Systems) and Remote sensing to
analyze the transformations that have taken place over the course of a decade.
The complex relationship between human activities and the environment has been the focus
of extensive research and worry. As the global community grapples with swift urbanization,
population expansion, and economic progress, the effects on natural ecosystems are becoming
more evident. A crucial element of this impact is the alteration of vegetation cover, which plays a
significant role in maintaining the ecological equilibrium of our planet.Land serves as the foundation for all human activities and provides the necessary materials for
these activities. As the most crucial natural resource, its utilization by humans results in different
'Land uses,' which are determined by both human activities and the physical characteristics of the
land.
The utilization of land is impacted by human needs and environmental factors. In countries
like India, rapid population growth and the emphasis on extensive resource exploitation can lead
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Therefore, human intervention has significantly influenced land use patterns over many
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cover is essential for various planning and management tasks related to the Earth's surface,
providing crucial environmental data for scientific, resource management, policy purposes, and
diverse human activities.
Accurate understanding of land use and cover is imperative for the development planning
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and water managers, and urban planners, are interested in obtaining data on land use and cover
changes, conversion trends, and other related patterns. The spatial dimensions of land use and
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These slides walk through the story of 1 Samuel. Samuel is the last judge of Israel. The people reject God and want a king. Saul is anointed as the first king, but he is not a good king. David, the shepherd boy is anointed and Saul is envious of him. David shows honor while Saul continues to self destruct.
4. De una hoja rectangular grande se recortan pequeños
rectángulos, cada uno con una base de (𝒙 + 𝟐)cm y una
altura de ( 𝒙 + 𝟑 )cm. Si el área de un pequeño
rectángulo recortado es a lo más 12𝒄𝒎𝟐
, determine las
dimensiones enteras de dichos rectángulos pequeños.
CASO: El área de un rectángulo
𝑥 + 2
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) ≤ 12
La condición es
Área ≤ 12
Es decir, se debe resolver
la siguiente inecuación:
𝑥 + 3
5. CONTENIDO: INECUACIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES
❑ Método de solución de una inecuación polinómica.
❑ Aplicaciones de inecuaciones polinómicas.
❑ Método de solución de una inecuación racional.
6. Al finalizar la sesión el estudiante
resuelve ejercicios de inecuaciones
polinómicas y racionales así como
problemas del contexto real
haciendo uso de la teoría de
inecuaciones polinómicas.
OBJETIVO
7. INECUACIONES POLINÓMICAS
Una inecuación polinómica es aquella que se reduce a
una de las siguientes formas:
𝑃𝑛 𝑥 > 0 , 𝑃𝑛 𝑥 ≥ 0 , 𝑃𝑛 𝑥 < 0 , 𝑃𝑛(𝑥) ≤ 0
Un polinomio de grado 𝑛 es de la forma
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
donde 𝑎𝑛 ≠ 0
9. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN POLINÓMICA
El método para determinar el conjunto solución será el de valores críticos.
Un valor crítico es una raíz real de la ecuación polinómica asociada a la inecuación
polinómica.
Los valores críticos los obtendremos mediante un proceso de factorización o
aplicando la Regla de Ruffini.
𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ≥ 0
Inecuación Polinómica
Ecuación polinómica asociada
a la inecuación
Sus raíces son los valores críticos
Nota: Para aplicar este método el
coeficiente principal debe
ser positivo (𝑎𝑛 > 0).
10. MÉTODO DE PUNTOS CRÍTICOS
✓ Se factoriza 𝑃 𝑥 en binomios de la forma
𝑥 − 𝑟 𝑘, siendo r un valor crítico y k su
multiplicidad.
✓ Si 𝑟 es un número complejo entonces el
factor correspondiente se elimina.
✓ Si 𝑟 es un número real entonces se lo ubica
en la recta numérica indicando si tiene
multiplicidad par o impar (k es un número
par o impar)
Ejemplo:
Resuelva 𝑥5 − 4𝑥4 + 6𝑥3 − 6𝑥2 + 5𝑥 − 2 ≤ 0
✓ Al factorizar 𝑥5
− 4𝑥4
+ 6𝑥3
− 6𝑥2
+ 5𝑥 − 2, se
obtiene 𝑥 − 1 2
𝑥 − 2 𝑥2
+ 1 , donde 1 y 2 son
valores críticos con multiplicidades 2 y 1
respectivamente.
✓ Como el factor 𝑥2
+ 1 tiene discriminante
negativo, sus raíces son complejas. Luego, el
factor se elimina (o se ignora).
✓ Se ubican los números 1 y 2 en la recta numérica,
indicando que sus multiplicidades son “par” e
“impar” , respectivamente.
1 2
MI
MP
Sea 𝑃(𝑥) el polinomio asociado a la inecuación
a ser resuelta, entonces:
+∞
−∞
11. MÉTODO DE PUNTOS CRÍTICOS
1 2
MI
MP
✓ Cuando la desigualdad sea < o > (la
relación de orden es abierta), entonces los
puntos críticos no deben pertenecer al
conjunto solución.
𝑥5 − 4𝑥4 + 6𝑥3 − 6𝑥2 + 5𝑥 − 2 ≤ 0
✓ Cuando la desigualdad sea ≤ o ≥ (la relación
de orden es cerrada), entonces los puntos
críticos deben pertenecer al conjunto
solución.
−∞ +∞
12. MÉTODO DE PUNTOS CRÍTICOS
✓ Esta alternancia de signos se interrumpe
cada vez que el valor crítico es de
multiplicidad par (k es un número par)
porque inmediatamente antes y después de
este valor crítico el signo debe ser el mismo.
✓ Se asigna un signo a cada uno de los
intervalos creados en el paso anterior,
colocando el signo + al intervalo que se
encuentra a la derecha de los demás
intervalos y en forma alternada a los demás
intervalos: −; +; −; +; ⋯
𝑥5 − 4𝑥4 + 6𝑥3 − 6𝑥2 + 5𝑥 − 2 ≤ 0
−
1 2
MI
MP
−∞ +∞
+
−
13. MÉTODO DE PUNTOS CRÍTICOS
✓ El conjunto solución de la inecuación
polinómica será la unión de todos los
intervalos que tienen el signo que satisface
la inecuación.
1 2
MI
MP
𝑥5
− 4𝑥4
+ 6𝑥3
− 6𝑥2
+ 5𝑥 − 2 ≤ 0
+
−
−
𝑆 = ۦ−∞; ሿ
2
+∞
−∞
14. 1) Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
2𝑥3
− 3𝑥2
− 11𝑥 + 6 < 0
Factorizamos el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟔 con la Regla de Ruffini
EJEMPLOS
Solución
𝑃. 𝑅. 𝑅 = ±
divisores de (6)
divisores de (2)
= ±1, ±
1
2
, ±2, ±3, ±
3
2
, ±6
= ±
1; 2; 3; 6
1; 2
𝑥 = −2
2 − 3 − 11 + 6
2
− 4
− 7 + 3 0
+14 − 6
2𝑥2
− 7𝑥 + 3 = 0
2𝑥 − 1 𝑥 − 3 = 0
Luego, la inecuación es equivalente a
𝑥 + 2 2𝑥 − 1 𝑥 − 3 < 0
Los puntos críticos, son:
𝑥 = −2, 𝑥 =
1
2
, 𝑥 = 3
15. Como la inecuación es de la forma 𝑃 𝑥 < 0, se toma los intervalos que
tengan signo negativo.
Como la desigualdad es < (la relación de orden es abierta), entonces los
puntos críticos no deben pertenecer al conjunto solución.
Se ubican los puntos críticos en la recta numérica.
1/2 3
MI
MI
+
−
+
−2
MI
−
Se colocan los signos correspondientes en cada intervalo, considerando la
multiplicidad de cada punto crítico.
𝑆 = −∞; −2 ∪ 1
2; 3
+∞
−∞
16. 2) Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
Multiplicar por (−1):
𝑥 − 1 2
2𝑥 + 3 3
𝑥 − 2 ≥ 0
Puntos críticos:
Primero, se observa que el polinomio ya está factorizado. Sin embargo, para aplicar el
método de puntos críticos, se multiplica a la inecuación por (−1) y cambia el signo
del factor 2 − 𝑥 y así también cambia la relación de orden:
𝑥 − 1 2
2𝑥 + 3 3
2 − 𝑥 ≤ 0
𝑥 − 1 2 2𝑥 + 3 3 2 − 𝑥 ≤ 0
𝑥 = 1 multiplicidad par ,
𝑥 = −
3
2
multiplicidad impar ,
𝑥 = 2 (multiplicidad impar)
Solución
17. Como la inecuación es de la forma 𝑃 𝑥 ≥ 0, se toma los intervalos que tengan
signo positivo y además los puntos cerrados.
Como la desigualdad es ≥ (relación de orden es cerrada), entonces los puntos
críticos deben pertenecer al conjunto solución.
Se ubican los puntos críticos en la recta numérica.
1 2
MI
MP
+
−
−
−3/2
MI
+
Se colocan los signos correspondientes en cada intervalo, considerando la
multiplicidad de cada punto crítico.
𝑆 = ۦ−∞; − ൧
3
2 ∪ ሾ2; ۧ
+∞ ∪ 1
+∞
−∞
18. 3) Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
𝑥2 2𝑥2 − 5𝑥 − 3 (𝑥2 − 𝑥 + 2) < 0
Solución
Factorizamos 2𝑥2 − 5𝑥 − 3
Puntos críticos:
𝑥2 2𝑥 + 1)(𝑥 − 3 (𝑥2 − 𝑥 + 2) < 0
Como el discriminante del factor (𝑥2−𝑥 + 2) es negativo, sus raíces no son reales,
entonces dicho factor se elimina de la inecuación.
𝑥2
2𝑥2
− 5𝑥 − 3 (𝑥2
− 𝑥 + 2) < 0
𝑥 = −
1
2
(multiplicidad impar, igual a 1)
𝑥 = 0 (multiplicidad par, igual a 2)
𝑥 = 3 (multiplicidad impar, igual a 1)
Luego,
19. Como la inecuación es de la forma 𝑃 𝑥 < 0, se toma los intervalos que
tengan signo negativo.
Como la desigualdad es < (relación de orden es abierta), entonces los puntos críticos
no deben pertenecer al conjunto solución.
Se ubican los puntos críticos en la recta numérica.
0 3
MI
MP
+
−
−
−1/2
MI
+
Se colocan los signos correspondientes en cada intervalo, considerando la
multiplicidad de cada punto crítico.
𝑆 = −1
2
; 3 − 0
+∞
−∞
𝑆 = −1
2; 0 ∪ 0; 3
21. 2) Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
(𝑥2
+ 5𝑥 + 9)(𝑥2
+ 𝑥 − 6)(𝑥 − 2) ≤ 0
Solución
El discriminante del factor (𝑥2
+ 5𝑥 + 9) es negativo, entonces dicho factor se elimina.
Mientras que, 𝑥2
+ 𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Luego, la inecuación a resolver es equivalente a: (𝑥 + 3) 𝑥 − 2 2 ≤ 0
Los puntos críticos, son: 𝒙 = −𝟑 (multiplicidad impar) y 𝒙 = 𝟐 (multiplicidad par)
2
−3 +∞
−∞
+
MP
MI
+
−
𝑆 = ۦ−∞; ሿ
−3 ∪ 2
22. Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
𝑥3
+ 2𝑥2
− 3𝑥 ≥ 0
a) 𝑆 = ۦ−∞; − 3ሿ ∪ ሾ1; + ۧ
∞
b) 𝑆 = ۦ−∞; ሿ
1
c) 𝑆 = ሾ−3 ሿ
; 0 ∪ ሾ1; + ۧ
∞
d) 𝑆 = ۦ−∞; ሿ
−1 ∪ ሾ3; + ۧ
∞
SONDEO
Respuesta: c
23. PROBLEMA DE APLICACIÓN
1. La compañía Todo madera S.A. produce escritorios y los vende a $70 cada
uno. Si se fabrican y venden 𝑥 escritorios mensualmente, entonces el costo
total mensual de producción, en dólares, es de 𝐶 𝑥 = 𝑥2
+ 20𝑥 + 96.
¿Cuántos escritorios deben venderse mensualmente para que la compañía
tenga ganancia?
24. Sea 𝒙 el número de escritorios fabricados y vendidos mensualmente
Solución
Como cada escritorio se vende a $ 70, entonces el ingreso por las ventas, es: 𝐼 𝑥 = 70𝑥
Para que la compañía tenga ganancia, el ingreso por las ventas debe ser mayor que el costo de
producción.
Es decir, 𝐼(𝑥) > 𝐶(𝑥) → 70𝑥 > 𝑥2 + 20𝑥 + 96
Luego se obtiene la inecuación: 𝑥2 − 50𝑥 + 96 < 0
(𝑥 ∈ ℕ)
(𝑥 − 2)(𝑥 − 48) < 0
Puntos críticos: 𝑥 = 2 y 𝑥 = 48 (multiplicidad impar)
48
+
−
2
+
2 < 𝑥 < 48 ∧ 𝑥 ∈ ℕ
Para que la compañía tenga ganancia debe producir y vender más de 2, pero menos de 48 escritorios.
Para que la compañía tenga ganancia debe producir y vender desde 3 hasta 47 escritorios.
25. PROBLEMA DE APLICACIÓN
2. Rosa desea construir una caja como la que se muestra en la figura, con
3 𝑐𝑚 de altura y por lo menos 144 𝑐𝑚3 de volumen. Si el largo de la base
debe medir 2 𝑐𝑚 más que el ancho, determine las dimensiones mínimas
que puede tener la caja.
26. Sea 𝒙: longitud del ancho de la base de la caja
Solución
3
𝑥
𝑥 + 2
𝑥 𝑥 + 2 3 ≥ 144
𝑥2 + 2𝑥 ≥ 48
𝑥2 + 2𝑥 − 48 ≥ 0
𝑥 + 8 𝑥 − 6 ≥ 0
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑥 𝑥 + 2 3
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 ≥ 144𝑐𝑚3
6
+
−
−8
+
Luego, las dimensiones mínimas de la caja son: largo 8 𝑐𝑚 , ancho 6 𝑐𝑚 y altura 3 𝑐𝑚 .
Como 𝒙 es una longitud, entonces 𝒙 ≥ 𝟔 y para que las dimensiones sean mínimas, 𝑥 = 6
27. Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones polinómicas:
a) −3 ≤ 𝑥2
+ 4𝑥 < 0
Ejercicio N° 3 (página 110)
b) 3𝑥2
+ 4 < 𝑥4
− 3𝑥3
− 3𝑥
c) 𝑥 + 2 4
𝑥 − 3 𝑥 − 5 > 0
d) 𝑥2 + 𝑥 + 4 −2 − 3𝑥 − 𝑥2 ≥ 0
28. Solución a) −3 ≤ 𝑥2 + 4𝑥 < 0
Descomponemos la doble inecuación
−3 ≤ 𝑥2
+ 4𝑥 < 0
−3 ≤ 𝑥2
+ 4𝑥 ∧ 𝑥2
+ 4𝑥 < 0
𝑥2
+ 4𝑥 + 3 ≥ 0 ∧ 𝑥2
+ 4𝑥 < 0
𝑥 + 3 𝑥 + 1 ≥ 0 ∧ 𝑥 𝑥 + 4 < 0
⟺
⟺
𝑃. 𝐶 = −3; −1 𝑃. 𝐶 = −4; 0
−3 − 1 −4 0
𝑆1 = ۦ−∞; ሿ
−3 ∪ ሾ−1; ۧ
+∞
𝑆2 = −4; 0
𝑆 = ۦ−4; ሿ
−3 ∪ ሾ−1; ۧ
0
El conjunto solución de la
primera inecuación es
El conjunto solución de la
segunda inecuación es
Por lo tanto, el conjunto solución es
𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2
30. Solución c) 𝑥 + 2 4 𝑥 − 3 𝑥 − 5 > 0
𝑆 = −∞; −2 ∪ −2; 3 ∪ 5; +∞
𝑃. 𝐶 = −2; 3; 5
El punto crítico −2 tiene multiplicidad par.
Por lo tanto, en la recta numérica el signo
antes y después de −2 se repite.
Al igualar a cero cada factor, se obtienen
los puntos críticos
−2 3 5
31. Solución d) 𝑥2 + 𝑥 + 4 −2 − 3𝑥 − 𝑥2 ≥ 0
𝑥2
+ 𝑥 + 4 𝑥2
+ 3𝑥 + 2 ≤ 0
𝑥 + 2 𝑥 + 1 ≤ 0
𝑆 = −2; −1
Al multiplicar por −1 el segundo factor,
la desigualdad cambia de sentido.
El discriminante del factor (𝑥2+𝑥 + 4)
es negativo, ∆ = 12 − 4 1 4 = −15,
entonces dicho factor se elimina.
Luego, la inecuación se reduce a:
𝑥2 + 3𝑥 + 2 ≤ 0
Al factorizar, se obtiene:
𝑃. 𝐶 = −2; −1
−2 − 1
32. INECUACIONES RACIONALES
Una inecuación racional es aquella que se reduce a una de las siguientes
formas:
𝑃𝑛(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
> 0 ,
𝑃𝑛(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
≥ 0 ,
𝑃𝑛(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
< 0 ,
𝑃𝑛(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
≤ 0
Donde 𝑃𝑛 𝑥 y 𝑄𝑛(𝑥) son polinomios en la variable 𝑥, tal que 𝑄𝑛(𝑥) tiene
coeficiente principal diferente de cero.
34. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN RACIONAL
Resolver una inecuación racional es equivalente a resolver una inecuación
polinómica:
Por lo que, para determinar el conjunto solución de una inecuación racional,
se aplica también el método de los puntos críticos a la inecuación
polinómica equivalente.
𝑃𝑛(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
> 0 ⇔ ሾ 𝑃𝑛 𝑥 ∙ 𝑄𝑛 𝑥 > 0 ∧ 𝑄𝑛(𝑥) ≠ 0 ሿ
No se deben incluir en el conjunto solución los puntos críticos que anulan
el denominador.
35. EJEMPLOS
1) Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
Solución
Puntos críticos:
Como el numerador y denominador están factorizado, entonces determinamos los puntos críticos:
𝑥 − 2 𝑥 + 3
𝑥 + 1 𝑥 − 4
≤ 0
𝑥 = 2 multiplicidad impar, igual a 1 ,
𝑥 = −3 multiplicidad impar, igual a 1 ,
𝑥 = −1 (multiplicidad impar, igual a 1)
𝑥 = 4 (multiplicidad impar, igual a 1)
36. Como la inecuación es de la forma 𝑃 𝑥 ≤ 0, se toma los intervalos que
tengan signo negativo.
Como la desigualdad es ≤ (relación de orden es cerrada), entonces los
demás puntos críticos deben pertenecer al conjunto solución.
Como los puntos críticos 𝑥 = −1 y 𝑥 = 4 están en el denominador de la
expresión racional, entonces no deben pertenecer al conjunto solución.
−1 2
MI
MI
−
+
−
−3
MI
+
Se colocan los signos correspondientes en cada intervalo, considerando
la multiplicidad de cada punto crítico.
4
MI
Se ubican los puntos críticos en la recta numérica.
+
𝑆 = ൣ−3; ۧ
−1 ∪ ሾ2; ۧ
4
+∞
−∞
40. Solución a)
6 − 5𝑥
𝑥2 − 4
≥ 0
Al multiplicar el numerador por (−1):
5𝑥 − 6
𝑥2 − 4
≤ 0
Al factorizar, se obtiene:
5𝑥 − 6
𝑥 − 2 𝑥 + 2
≤ 0
Puntos críticos:
𝑥 = −2, 𝑥 = 2, 𝑥 = 6/5
−2 6
5
−
−∞
+
2
−
+∞
+
S=ۦ−∞; ۧ
−2 ∪
6
5
; ۧ
2
La desigualdad
cambia
Los puntos críticos del
denominador son
abiertos
41. Solución b)
𝑥 − 2
𝑥 − 3
<
𝑥 − 1
𝑥
Al pasar la fracción del lado derecho
al lado izquierdo, se obtiene:
𝑥 − 2
𝑥 − 3
−
𝑥 − 1
𝑥
< 0
Al efectuar por el M.C.M. de los
denominadores, se obtiene:
𝑥 𝑥 − 2 − (𝑥 − 3)(𝑥 − 1)
𝑥 − 3 𝑥
< 0
Puntos críticos:
𝑥 = 0, 𝑥 = 3, 𝑥 = 3/2
0 3
2
−
−∞
+
3
−
+∞
+
𝑆 = ۦ−∞; ۧ
0 ∪ 3
2
; 3
El lado derecho debe
ser cero
→
2𝑥 − 3
𝑥 − 3 𝑥
< 0
42. Solución d)
𝑥3
− 1
𝑥2 + 1
≥
𝑥3
− 2
𝑥2 + 2
Al transponer el segundo miembro de la inecuación al primero y efectuar
operaciones correspondientes, se tiene:
𝑥3 − 1
𝑥2 + 1
−
𝑥3 − 2
𝑥2 + 2
≥ 0 →
𝑥3 − 1) 𝑥2 + 2 − (𝑥3 − 2)(𝑥2 + 1
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 2)
≥ 0
Luego de efectuar, la inecuación resulta
𝑥5
+ 2𝑥3
− 𝑥2
− 2 − (𝑥5
+ 𝑥3
− 2𝑥2
− 2)
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 2)
≥ 0
43. 𝑥2(𝑥 + 1)
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 2)
≥ 0
Puntos críticos:
Discriminante es
negativo, no tiene
puntos críticos
𝑥 = 0 (multiplicidad par), 𝑥 = −1(multiplicidad impar)
−1
MI
+
+
−
0
MP
El conjunto solución es 𝑆 = ሾ−1; ۧ
+∞
−∞
+∞
Continúa la solución
Al reducir, se obtiene 𝑥3 + 𝑥2
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 2)
≥ 0
Se factoriza el numerador
44. Solución f )
1 − 2𝑥 − 3𝑥2
2 − 2𝑥 − 3𝑥2
(3 + 𝑥)(2 − 𝑥)
≥ 0
Como hay 3 factores con coeficientes principales negativos, se multiplican
tres veces por × (−1) a ambos miembros de la inecuación, y se obtiene
3𝑥2
+ 2𝑥 − 1 3𝑥2
+ 2𝑥 − 2
(𝑥 + 3) 𝑥 − 2
≤ 0 (La desigualdad cambia)
Se factoriza la expresión 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 por aspa simple, se obtiene:
3𝑥 − 1)(𝑥 + 1 3𝑥2 + 2𝑥 − 2
(𝑥 + 3) 𝑥 − 2
≤ 0
46. Solución h)
𝑥2
− 4𝑥 + 4 𝑥 − 1
(2𝑥 + 1)(𝑥 + 4)
< 0
Se factoriza la expresión 𝑥2
− 4𝑥 + 4 por aspa simple, y resulta
(𝑥 − 2)2
𝑥 − 1
(2𝑥 + 1) 𝑥 + 4
< 0
Multiplicidad
doble o par
Los puntos críticos que son: 𝑥 = 2 multiplicidad par , 𝑥 = 1, 𝑥 = −4, 𝑥 = −
1
2
47. Los puntos críticos determinan en la recta numérica los siguientes intervalos
−4
−
1
2
MI
MI
+
−
−∞
+
1
MI MP
−
(𝑥 − 2)2
𝑥 − 1
(2𝑥 + 1) 𝑥 + 4
< 0
Luego, el conjunto solución es 𝑆 = ۦ − ∞; ۧ
−4 ∪ ۦ−
1
2
; ۧ
1
Continúa la solución
En la inecuación
2
+
+∞
49. EJERCICIO N° 3 (página 110)
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones polinómicas:
e) 𝑥5 + 8𝑥4 + 12𝑥3 < 𝑥2 + 8𝑥 + 12
f ) (𝑥2 + 3𝑥 + 2)(𝑥2 + 2𝑥 − 8)(𝑥2 + 2𝑥 + 5) ≤ 0
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones racionales:
e)
𝑥2 + 4𝑥 − 12
𝑥2 + 6𝑥 + 8
≤ 0 g) 1 −
4𝑥 + 32
𝑥2 − 2𝑥 − 8
< 0
EJERCICIO N° 5 (página 110)
RESPUESTAS: En la página 475 del libro texto.
50. TEORÍA Y
PRÁCTICA
AUTOR TÍTULO EDITORIAL
Páginas: 94 - 110
Cárdenas, V., del Águila, V.,
Mitacc,M., y Yalta, A.
Matemática Básica
(2a ed.).(2017)
Universidad de Lima
Fondo Editorial
REVISE EL LIBRO TEXTO DE LA ASIGNATURA