Dokumen ini membahas tentang bentuk aljabar dan operasi hitung aljabar seperti penjumlahan dan pengurangan. Bentuk aljabar digunakan untuk mewakili masalah matematika dengan variabel dan koefisien. Penjumlahan dan pengurangan dalam aljabar dapat diterapkan dengan menggunakan sifat-sifat dasar operasi hitung bilangan bulat dan pecahan.

1. Disusun Oleh:
Ratih Ramadhani (06081281419027)
M. Dammiri Saputra (06081281419028)
Nadia Anisa (06081281419029)
Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Tahun Akademik 2014/2015

2. A. Pendahuluan
1. Bentuk Aljabar dan Unsur-Unsurnya
1.1 Bentuk Aljabar
Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam
penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum
diketahui, contohnya 2x+5y-9.
Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah
dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti
banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah mobil dalam
satu minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyak
biaya yang dibutuhkan untuk sebuah pembangunan, dapat dicari dengan
menggunakan aljabar.
1.2 Unsur-Unsur Aljabar
Perhatikan bentuk aljabar berikut 2x+5y-9. Huruf x dan y pada
bentuk aljabar tersebut disebut variabel. Variabel adalah lambang
pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas dan
biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a hingga z.
Bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta atau suku
dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat
variabel. Sedangkan 2 atau 5 biasa disebut koefisien, yaitu angka atau
huruf yang menunjukkan sebuah bilangan dan letaknya di depan variabel.
Jika suatu bilangan a dapat diubh menjadi a = p x q dengan a, p, q
bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.
Terdapat lambang-lambang operasi seperti +, −,×,÷, √ dalam
bentuk aljabar yang secara umum digunakan juga pada aritmatika.
Selain lambang yang ada di atas, masih banyak lambang lainnya yang
dapat di gunakan. Diantaranya adalah sebagai berikut.

3. Lambang Arti
= Setara atau sama dengan
≠ (tidak) Setara atau sama dengan
≈ Kira-kira sama dengan
> Lebih dari
< Kurang dari
1.3 Suku
Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada
bentuk aljabar yang dipisahkan oleh sebuah lambang operasi aritmatika.
Dalam sebuah bentuk aljabar bisa terdapat lebih dari satu atau dua suku.
Suku terbagi menjadi suku-suku sejenis dan suku-suku tak sejenis.
Suku-suku sejenis ialah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari
masing-masing variabel yang sama, misal x dan 7x. Sedangkan suku-
suku tak sejenis, yaitu suku yang memiliki variabel dan pangkat dari
masing-masing variabel yang tidak sama, misal 3x dan 8y.
2. Operasi Hitung Aljabar
2.1 Penjumlahan
Sebagai yang telah kita ketahui, maka setelah kita mengintrodusir
bilangan negatif, nampaklah bahwa tiap – tiap pengurangan
sesungguhnya boleh dipandang sebagai hasil jumlah bilangan yang
dikurangi dengan lawan bilangan pengurang. Dengan demikian sesuatu
suku banyak dapat juga dipandang sebagai hasil jumlah berulang ; bentuk
3 – 5 – 7 umpamanya, boleh dipandang sebagai hasil jumlah 3 + ( - 5 ) +
( - 7 ).
Apabila suatu suku banyak diputus ditengah – tengah, tanda jumlah
itu boleh juga ditempatkan pada akhir baris, umpamanya :
3x6 + 5x5 – 3x4 – 3x3 + -2x2 + 3x – 6;

4. dalam bentuk ini tanda terakhir dibelakang 3x3 berupa tanda jumlah; suku
banyak ini tidak lain dari pada jumlah bilangan – bilangan 3x6 , x5 , –
3x4 , – 3x3 , -2x2 , 3x , dan 6.
Dari contoh yang diatas itu ternyata, bahwa suku banyak dalam ilmu
aljabar itu tidak lain dari pada bilangan – bilangan yang harus
dijumlahkan, tapi yang tidak berlengkap tanda – tanda penjumlahan.
Maka hasil jumlah deret suku – suku sesuatu suku banyak mudah
saja ditetapkan, sebab suku – suku itu boleh dijumlahkan satu demi satu.
Dalam penjumlahan bentuk – bentuk aljabar, suku yang sejenis biasanya
disatukan, misalnya : 3x2 + 5x2 = 8x2 ; ab – 5ab = 1. ab + ( -5ab) = - 4ab;
karena sifat distributif perbanyakan, pekerjaan ini dibolehkan.
1) +12 + 3 – 17 + 19 – 27 = - 10 (cara kita berpikir ialah demikian :
+12 + 3 adalah +15, ditambah dengan – 17 menjadi – 2, ditambah
dengan + 19 menjadi + 17, ditambah lagi dengan – 27 menjadi –
10). Sebab pertukaran tempat suku – suku itu tidak mengubah hasil
jumlah, boleh juga kita menjumlahkan segala suku positif dahulu,
kemudian menjumlahkan semua suku negatif, setelah itu
menjumlahkan hasil hasil yang diperoleh.
(Jadi : 12 + 3 + 19 = 34 ; - 17 – 27 = - 44 ; 34 – 44 = - 10)
2) 2ab – 4ab – 6ab + 7ab = -ab
3) 6(a + b)2 - 8(a + b)2 - 2(a + b)2 + 10(a + b)2 = 6(a + b)2
Contoh soal halaman 33
1. - 3yz – 5yz + 9yz – 6 yz = -5 yz (cara kita berpikir adalah -3yz
ditambah -5yz adalah -8yz. -8yz ditambah 9yz adalah yz. Yz
ditambah -6yz adalah -5 yz.
4. – 3(x2 – y2 – z2) + 10(x2 – y2 – z2) – 21(x2 – y2 – z2) + - (x2 – y2 –
z2) = - 15 (x2 – y2 – z2)
Dengan jalan mempergunakan sifat hasil jumlah, yaitu baha
harganya tidak akan berubah, jika sesuatu suku dipecah menjadi
beberapa bagian, yang masing – masing dipandang sebagai suatu suku

5. banyak dapat dikerjakan pada penjumlahan suku tunggal. Demikian
umpamanya :
Agar pekerjaan bertambah mudah, suku itu ditempatkan berderet ke
bawah dan dalam pada itu diusahakan pula, agar suku yang sejenis
terletak lurus tepat ke bawah. Dengan demikian penjumlahan suku
banyak pq – 3pr + 4qr, 3qr - pq dan 2pq – 3qr + 4pr menjadi :
Contoh soal halaman 33
Adapun penjumlahan ketidaksamaan berdasarkan atas sifat yang
berikut :
Untuk menyatakan suku banyak yang setangkup, Euler telah
mempergunakan notasi ( = cara menyatakan dengan tanda – tanda abjad)
singkatan, yaitu notasi – sigma (yaitu huruf besar dalam abjad Yunani
untuk Ʃ yang bersamaan dengan huruf S dalam abjad kita). Dalam notasi
ini hanya sebuah saja dari pada suku – suku sukubanyak setangkup itu
dituliskan, didahului oleh tanda sigma. Untuk 4 bilangan a, b, c, dan d
yang diketahui umpamanya, diperoleh :
( - 5p2
– 3 + 7 ) + ( - 2p2
+ 8p – 3) + ( 17 p2
+ 2p – 7)
= - 5p2
– 3 + 7 - 2p2
+ 8p – 3 + 17 p2
+ 2p – 7
= 10 p2
+ 7p - 3
pq – 3pr + 4qr
–pq + 3qr
2pq + 4pr –3qr +
2 pq+ pr + 4qr
21ax + 17by – 13cz
5ax – by + 12cz
-9 ax – 12 by – cz +
17 ax + 4 by – 2cz
a < b dan c < d menghasilkan a + c < b + d
Ʃa2
= a2
+ b2
+ c2
+ d2
;
Ʃab = ab + ac + ad + bc + bd + cd ;
Ʃabc = abc + bcd + cda + dab.

6. Untuk bilangan – bilangan a1 , a2 , dan a3 yang diketahui diperoleh pula:
Notasi sigma itu terpakai pula untuk suku banyak tak setangkup
yang terbentuk secara teratur, sehingga bangun segala suku – sukunya
dapat diturunkan dari pada sesuatu suku umum. Demikianlah
umpamanya akxn-k itu suku umum dari pada suku banyak :
𝑎0 𝑥 𝑛
+ 𝑎1 𝑥 𝑛−1
+ . . .+ 𝑎 𝑛−1 𝑥1
− 𝑎 𝑛
Suku – suku itu dapat dicari dari suku umumnya, apabila untuk k
berturut – turut dimasukkan harga : 0, 1, 2, 3, . . . ., n, n +1.
Dengan bentuk :
∑ 𝑎 𝑘
𝑛
𝑘=0
𝑥 𝑛−𝑘
Hendak dinyatakan hasil jumlah semua suku yang diperoleh dari suku
umum, apabila untuk k dimasukkan segaka harga utuh yang terletak
antara 0 dan n.
Demikianlah umpamanya diperoleh :
∑ 𝑎𝑖
𝑝
5
𝑖=1
= 𝑎1
𝑝
+ 𝑎2
𝑝
+ 𝑎3
𝑝
+ 𝑎4
𝑝
+ 𝑎5
𝑝
Akhirnya hendak diperlihatkan pula beberapa contoh tentang
penjumlahan suku banyak yang dinyatakan dengan tanda-sigma.
1) Tentukanlah untuk tiga harkat a, b, dan c :
2 Σ ( a+ b )− 3 Σ a.
Jalan Σ (a + b) = ( 𝑎 + 𝑏) + ( 𝑏 + 𝑐) + ( 𝑐 + 𝑎) = 2 ( 𝑎 + 𝑏 +
𝑐) = 2 Σ a ; maka didapatlah 4 Σ a – 3 Σ a = Σ a.
2) Tentukanlah untuk empat harkat a, b, c, dan d :
Ʃa1
2
a2 = a1
2
a2 + a1
2
a3 + a2
2
a1 + a2
2
a3 + a3
2
a1 + a3
2
a2;

7. Σ a ( b + c + d) − 2 Σ ab
Jalan. Dalam hasil jumlah yang pertama pertama suku ab terdapat
hingga dua kali, yakni dalam a (b + c + d) dan dalam b (a + c + d);
hal itu berlaku juga untuk suku – suku ac, ad, dsb. Dengan
demikian diperolehlah :
2 Σ ab− 2 Σ ab = 0
Contoh soal halaman 34
9. Apakah yang dimaksud dengan bentuk yang di bawah ini ?
∑ 𝑎𝑖
4
5
𝑖=1
Yang dimaksud adalah jumlah dari suku banyak 𝑎𝑖
4
dengan i
dimulai dari 1 hingga 5. Apabila dituliskan :
∑ 𝑎𝑖
4
5
𝑖=1
= 𝑎1
4
+ 𝑎2
4
+ 𝑎3
4
+ 𝑎4
4
+ 𝑎5
4
2.2 Pengurangan
Sifat – sifat yang berikut berlaku untuk segala macam bilangan :
1. ( a + b + c + d) – (p + q + r) = (a – p ) + ( b – q ) + c + ( d – r ).
2. p – q = ( p + a ) – ( q + a ) = ( p – a ) – ( q – a).
3. ( p – q ) + a
= ( p + a) – q atau = p – ( q + a )
4. ( p – q ) – a
= p – ( q + a ) atau = ( p – a ) – q
5. p – q + r – s + t = ( p + r + t ) – ( q + s ).
6. a – b – c + d = a + d – c – b = a – c + d – b = dst
7. a – ( p – q – r + s ) = a – p + q + r – s
Pengurangan itu dinyatakan dengan jalan menghubungkan bilangan
yang dikurangi kepada bilangan penguran oleh tanda pengurang, atau
dengan jalan menempatkan bilangan pengurang di bawah bilangan yang

8. dikurangi, sedang tanda pengurang itu ditempatkan di muka garis bawah
bilangan pengurang :
( + 5 ) – ( + 2 ) ; ( a – b ) – ( b – c ) ;
Dalam ilmu aljabar pengurangan itu sedapat – dapat dikembalikan
kepada penjumlahan, menurut kaidah yang telah diketahui.
Contoh soal halaman 36
Pengubahan seperti ini selamanya dikerjakan luar kepala.
Pengurangan sesuatu suku banyak itu pun sedapat – dapat dikembalikan
kepada penjumlahan bilangan lawannya ; maka dengan demikian
perlulah kita mengetahui cara – cara untuk mencari lawan suatu suku
banyak. Pedoman uang diturut dalam pekerjaan ini berbunyi : lawan
suatu suku banyak diperoleh, jika tanda segala suku banyaknya
dibalik. Maka akan nyatalah, bahwa pengurangan – a + 2b + 5c
umpamanya berubah menjadi penjumlahan a – 2b – 5c. Setelah suku –
suku sejenis ditempatkan lurus tepat ke bawah, pengerjaan soal
berlangsung sebagai pengurangan suku – suku tunggal ( = penjumlahan
bilangan lawannya) :
+ 18
- + 6
ialah
+ 18
- 6
+ 12
+ 18
- - 3
ialah
+ 18
+ 3
+ 21
2x
- 7x
-5x
X 3
– x2
y + y3
- -2x3
+ 7xy2
+ 2y3
3 x3
– x2
y - 7xy2
- y3

9. Contoh soal halaman 36
Menurut kaidah yang disebut diatas bentuk – ( a + b – c – d ) sama
juga dengan - a – b + c + d, sedang tanda jumlah di depan sesuatu suku
banyak tidak mengubah sifat suku banyak itu.
Apabila tanda kurung yang mengurung suatu bentuk dan yang
didahului oleh tanda – atau + , henda dihilangkan bersama – sama
dengan tanda tersebut, mestilah tanda suku suku yang terdapat
didalam kurung tadi dibalik apabila tanda di muka kurung itu –
dan dibiarkan apabila tanda di muka kurung itu +.
Contoh :
1) 14 a – ( 3b + 2c ) – [ 5b – ( 6c – 6b ) + 5c – {2a – (14c + 2b)}]
= 14 a – 3b - 2c - [ 5b – 6c + 6b + 5c – {2a – 14c - 2b}]
= 14 a – 3b - 2c - [ 5b – 6c + 6b + 5c – 2a + 14c + 2b]
= 14 a – 3b - 2c - 5b + 6c - 6b - 5c + 2a - 14c - 2b
= 16 a – 16b – 15c
Contoh soal halaman 37
a – [ 2b + 3c + { 2a – 4b – ( a – 2b + 4c )}]
= a – [2b + 3c + { 2a – 4b – a + 2b – 4c }]
= a – [2b + 3c + 2a – 4b – a + 2b – 4c ]
= a – 2b - 3c - 2a + 4b + a - 2b + 4c
= c
Dalam pada mengurangi sesuatu bentuk ketidak-samaan hendaklah
diingat, bahwa a < b dan c < d belum tentu menghasilkan a – c < b – d,
oleh sebab c > d dapat dijabar menjadi – d > - c atau – c < - d, jika suku
kiri dan kanan ditambah dengan – c – d.
17 (x2
– xy+ y2
)
- -5 (x2
– xy+ y2
)
22 (x2
– xy+ y2
)

10. 2.3 Perkalian
Sifat-sifat hasil kali :
I. 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎.
II. 𝑝( 𝑎 + 𝑏) = 𝑝𝑎 + 𝑝𝑏; 𝑝( 𝑎 − 𝑏) = 𝑝𝑎 − 𝑝𝑏.
III. 𝑝( 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 − 𝑑 + 𝑒) = 𝑝𝑎 + 𝑝𝑏 − 𝑝𝑐 − 𝑝𝑑 + 𝑝𝑒.
IV. ( 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 − 𝑑 + 𝑒) 𝑝 = 𝑝𝑎 + 𝑝𝑏 − 𝑝𝑐 − 𝑝𝑑 + 𝑝𝑒.
Sifat-sifat hasil kali berulang :
I. 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔 = 𝑐𝑏𝑑𝑒𝑎𝑓𝑔 = 𝑑𝑠𝑡.
II. 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔 = ( 𝑎𝑓𝑔) × ( 𝑏𝑑) × ( 𝑐𝑒).
III. 𝑎. 𝑥𝑦𝑧 = 𝑎𝑥. 𝑦𝑧 = 𝑥. 𝑎𝑦. 𝑧 = 𝑥𝑦. 𝑎𝑧.
Sifat-sifat bilangan berpangkat :
I. (𝑎𝑏𝑐𝑑) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 𝑐 𝑛 𝑑 𝑛 dan 𝑎 𝑝 𝑏 𝑝 𝑐 𝑝 = (𝑎𝑏𝑐) 𝑝.
II. 𝑎 𝑝 𝑎 𝑞 𝑎 𝑟 = 𝑎( 𝑝+𝑞+𝑟)
;𝑎12 = 𝑎8 𝑎4 = 𝑎7 𝑎5 = 𝑑𝑠𝑡.
III. ( 𝑎 𝑝) 𝑞 = 𝑎 𝑝𝑞;( 𝑎6)2 = 𝑎12 = ( 𝑎3)4 = 𝑑𝑠𝑡.
Tentang hal tanda-tanda hasilkali :
(+𝑎)(+𝑏) = +𝑎𝑏; (−𝑎)(−𝑏) = +𝑎𝑏;
(+𝑎)(−𝑏) = −𝑎𝑏; (−𝑎)(+𝑏) = −𝑎𝑏;
Gabungan sifat-sifat tersebut menghasilkan HUKUM TANDA-TANDA
sebagai berikut : Dalam perkalian dua buah bilangan, tanda-tanda yang
sama hasilkalinya positif, sedang tanda-tanda yang berlainan hasilkalinya
negatif.
−3𝑎𝑏2 × +7𝑎2 𝑏3 = −21𝑎3 𝑏5;
+5𝑥2 𝑦 × +−4𝑥𝑦2 = −20𝑥3 𝑦3;
−4( 𝑎 + 𝑏) 𝑥 × −6𝑥 = 24( 𝑎 + 𝑏) 𝑥2;
+2𝑎 𝑛 𝑏 𝑛−2 × −6𝑎𝑏3 = −12𝑎 𝑛+1 𝑏 𝑛+1.
Hasilkali berulang pada bilangan yang sama atau pangkat dari suatu bilangan tergantung
pada pangkat yang ada dan bilangan yang bertanda.

11. (−𝑎)7 = (−𝑎)(−𝑎)(−𝑎)(−𝑎)(−𝑎)(−𝑎)(−𝑎)
= (−𝑎)
(−𝑎)8 = (−𝑎)(−𝑎)(−𝑎)(−𝑎)(−𝑎)(−𝑎)(−𝑎)(−𝑎)
= 𝑎
Mudah pula diketahui bahwa : Pangkat pangkat bilangan-bilangan yang positif;
tiap-tiap pangkat genap sesuatu bilangan negatif bertanda positif, tiap-tiap pangkat yang
ganjil bertanda negatif. Dinyatakan dengan rumus, sifat-sifat itu berupa :
(−𝐴)2𝑛 = 𝐴2𝑛;(−𝐴)2𝑛−1 = −𝐴2𝑛−1
Rumus yang bentuknya lebih umum lagi ialah :
(−𝐴)2𝑛 = (+𝐴)2𝑛;
(−𝐴)2𝑛−1 = −(+𝐴)2𝑛−1 𝑎𝑡𝑎𝑢−(−𝐴)2𝑛−1 = (+𝐴)2𝑛−1.
Contoh soal :
1. (−𝑐)(+5𝑎𝑏) = (−5𝑎𝑏𝑐);
2. −6𝑎 × −( 𝑎 − 𝑏) = −6𝑎 × (−𝑎 + 𝑏) = +6𝑎2 − 6𝑎𝑏
3. (−𝑝 𝑛)(−𝑝 𝑛+1)(−𝑝 𝑛+2)(−𝑝 𝑛−3) = (−𝑝) 𝑛+𝑛+𝑛+𝑛+1+2−3 = (−𝑝)4𝑛
Perkalian suku tunggal itu dapat digunakan dengan segera untuk menetapkan
hasilkali sebuah suku-tunggal dan suku banyak. Maka, terlihat bahwa hasilkali yang
dimaksud itu sama dengan jumlah hasilkali tiap-tiap suku banyak itu dengan suku-tunggal
tadi. Misalkan ;
(−𝑎)(−𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑏2), 𝑎𝑡𝑎𝑢
−𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑏2
−𝑎
Nyatakanlah bahwa perhitungan menghasilkan (–𝑎)(−𝑎2) + (−𝑎)(+𝑎𝑏) +
(−𝑎)(−𝑏2) = (−𝑎3) − 𝑎2 𝑏 − 𝑎𝑏2; dalam hasilkali itu tanda-jumlah sudah tentu
dinyatakan; suku-suku itu dapat dituliskan segera dengan tanda keadaannya sendiri.
Pekerjaan berlangsung lebih tepat lagi, jika bentuk-bentuk itu dituliskan bersusun.

12. Contoh soal;
1. 4𝑎3 𝑏 − 2𝑎2 𝑏2 + 5𝑎𝑏3
−2𝑎𝑏
−8𝑎4 𝑏2 + 4𝑎3 𝑏3 − 10𝑎2 𝑏4
2. −𝑎 𝑚 − 3𝑎 𝑚+1 + 5𝑎 𝑚+2
−𝑎 𝑚−1
−𝑎2𝑚−1 + 3𝑎2𝑚 − 5𝑎2𝑚+1
2.4Pembagian
Mengerjakan pembagian itu berdasarkan atas syarat – syarat berikut
ini:
1.
𝑎−𝑏+𝑐+𝑑
𝑝
=
𝑎
𝑝
-
𝑏
𝑝
+
𝑐
𝑝
+
𝑑
𝑝
( 𝑝 ≠ 0)
2. 𝑥𝑦𝑧 ∶ 𝑝 =
𝑥
𝑝
. 𝑦𝑧 = 𝑥.
𝑦
𝑝
. 𝑧 = 𝑥𝑦.
𝑧
𝑝
(𝑝 ≠ 0)
3. 𝑝 ∶ 𝑥𝑦𝑧 = {( 𝑝 ∶ 𝑥) : 𝑦} : 𝑧 (𝑥𝑦𝑧 ≠ 0)
4. 𝑎 𝑝
: 𝑎 𝑞
= 𝑎 𝑝−𝑞
dan 𝑎 𝑥
= 𝑎 𝑥+𝑝
: 𝑎 𝑝
(𝑎 ≠ 0)
Telah diketahui bahwa pembagi tidak sama dengan nol, harga
mutlak, hasil bagi dua bilangan sama dengan hasil bagi harga mulak
bilangan – bilangan tersebut. Apabila bilangan yang dibagi tidak sama
dengan nol, tanda hasil bagi yang diperoleh dapat dibagi dalam empat
golongan, yaitu
+𝑎
+𝑎
= +
𝑎
𝑏
;
−𝑎
−𝑏
= +
𝑎
𝑏
;
+𝑎
−𝑏
= -
𝑎
𝑏
;
−𝑎
+𝑏
= -
𝑎
𝑏
Apabila tanda bilangan yang diagi dan tanda pembagi sama maka
hasil bagi yang didapat bertanda positif, apabila tanda bilangan
yang dibagi dan tanda pembagi berbeda maka hasil bagi yang
didapat bertanda negatif.

13. Maka mengerjakan pembagian dua suku tunggal mudah saja, jika
tiap – tiap bilagan yang dibagi terdapat faktor dari pembaginya,
sedangkan eksponennya sekurang - kurangnya sama tinggi.
Contoh soal
1. 12𝑎2
𝑏3( 𝑐 − 𝑑)3
:−6𝑎𝑏(𝑑 − 𝑐)²
=
12𝑎2 𝑏3( 𝑐−𝑑)3
−6𝑎𝑏(𝑑−𝑐)²
=
12
−6
.
𝑎²
𝑎
.
𝑏³
𝑏
.
( 𝑐−𝑑)3
(𝑑−𝑐)²
=
12
−6
.
𝑎²
𝑎
.
𝑏³
𝑏
.
( 𝑐−𝑑)3
−(𝑐−𝑑)²
= −2 . 𝑎2−1
. 𝑏3−1
. −(𝑐 − 𝑑)3−2
= 2𝑎𝑏2
(𝑐 − 𝑑)
2. ( 𝑎3
− 5𝑎2
− 4𝑎 − 40):(𝑎 + 4)
𝑎 + 4 ⁄ 𝑎3
− 5𝑎2
− 4𝑎 − 40 = 𝑎² − 𝑎
𝑎³ + 4𝑎²
− 𝑎² − 4𝑎
− 𝑎² − 4𝑎
−40
Maka hasilnya
( 𝑎3
− 5𝑎2
− 4𝑎 − 40): ( 𝑎 + 4) = (𝑎² − 𝑎) +
−40
𝑎 + 4
Hasil bagi yang bentuknya dinyatakan oleh
𝑎 𝑛±𝑏 𝑛
𝑎±𝑏
disebut hasil bagi
istimewa karena bentuk bilangan yang dibagi dan pembaginya, keduanya
berupa suku dua, dimana bilangan yang dibagi merupakan pangkan
bilangan pembaginya (jika tandanya tidak dilihat). Dibawah ini merupakan
hasil bagi istimewa yang pembagiannya habis :
𝑎2𝑛+1
+ 𝑏2𝑛+1
𝑎 + 𝑏
= 𝑎2𝑛
− 𝑎2𝑛−1
𝑏 … + 𝑏2𝑛

14. 𝑎2𝑛
− 𝑏2𝑛
𝑎 + 𝑏
= 𝑎2𝑛 −1
− 𝑎2𝑛−2
𝑏 + … + 𝑏2𝑛−1
𝑎 𝑛
− 𝑏 𝑛
𝑎 − 𝑏
= 𝑎 𝑛−1
+ 𝑎 𝑛−2
𝑏 … + 𝑏 𝑛−1
Dengan notasi sigma hasil bagi istimewa tersebut dapat ditlis dalam
bentuk berikut:
𝑎2𝑛+1
+ 𝑏2𝑛+1
𝑎 + 𝑏
= ∑(−1)𝑎2𝑛−𝑘
𝑏 𝑘
2𝑛
𝑘=0
𝑎2𝑛
− 𝑏2𝑛
𝑎 + 𝑏
= ∑ (−1)𝑎2𝑛−𝑘−1
𝑏 𝑘
2𝑛 −1
𝑘=0
𝑎 𝑛
− 𝑏 𝑛
𝑎 − 𝑏
= ∑ 𝑎 𝑛−𝑘−1
𝑏 𝑘
𝑛−1
𝑘=0
Contoh soal
(𝑎 − 𝑐)3
+ 3(𝑐 − 𝑎)5
+ 5(−𝑎 + 𝑐)7
(𝑎 − 𝑐)3
=
(𝑎 − 𝑐)3
(𝑎 − 𝑐)3
+
3(𝑐 − 𝑎)5
(𝑎 − 𝑐)3
+
5(−𝑎 + 𝑐)7
(𝑎 − 𝑐)3
=
(𝑎 − 𝑐)3
(𝑎 − 𝑐)3
+
3(−( 𝑎 − 𝑐)5
)
(𝑎 − 𝑐)3
+
5(−( 𝑎 − 𝑐)7
)
(𝑎 − 𝑐)3
= 1 + 3(−( 𝑎 − 𝑐)5−3) + 5(−( 𝑎 − 𝑐)7−3 )
= 1 − 3(𝑎 − 𝑐)2
− 5(𝑎 − 𝑐)4
3. Operasi Bentuk Pecahan Aljabar
3.1 Penjumlahan dan Pengurangan
Penjumlahan dan pengurangan pecahan berdasar atas sifat
𝑎
𝑝
+
𝑏
𝑝
−
𝑐
𝑝
=
𝑎+𝑏−𝑐
𝑝
hanya sifat inilah yang perlu dipakai.
Contoh soal halaman 87
1
2−𝑎
+
2
2+𝑎
+
3−𝑎
4−𝑎2

15. =
1
2−𝑎
+
2
2+𝑎
+
3−𝑎
(2−𝑎)(2+𝑎)
=
1 ( 2+𝑎) +2 (2−𝑎) + (3−𝑎)
(2−𝑎)(2+𝑎)
=
2 + 𝑎 + 4 − 2𝑎 + 3 − 𝑎
(2−𝑎)(2+𝑎)
=
9 − 2𝑎
(2−𝑎)(2+𝑎)
3.2 Perkalian dan Pembagian
Hasil kali dua pecahan sama dengan suatu pecahan yang
pembilangnya merupakan hasil kali pembilang asli dan yang
penyebutnya merupakan hasil kali penyebut pecahan asli. Dapat
dinyatakan dengan rumus berikut:
𝑎
𝑏
.
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
Contoh soal:
(−15𝑥𝑦2
𝑧3)2
× (
𝑥2
−3𝑦𝑧2
)
3
= 225𝑥2
𝑦4
𝑧6
.
𝑥6
−27𝑦3 𝑧6
=
225 𝑥8
𝑦4
𝑧6
−27𝑦3 𝑧6
= −
225
27
𝑥8
𝑦
= −
25
3
𝑥8
𝑦
Hasil bagi dua pecahan ialah sesuatu pecahan yang dibentuk oleh
hasil bagi pembilang-pembilang asli dan yang penyebutnya dibentuk
oleh hasilbagi penyebut-penyebut asli. Dapat dinyatakan dengan
rumus berikut:
𝑎
𝑏
∶
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
.
𝑑
𝑐
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
Contoh soal

16. (
𝑎
𝑎 + 2
−
𝑎 − 2
𝑎
) ∶ (
𝑎
𝑎 + 2
+
𝑎 − 2
𝑎
)
=
𝑎2
−( 𝑎−2)(𝑎+2)
𝑎2+2𝑎
∶
𝑎2
+( 𝑎−2)(𝑎+2)
𝑎2+2𝑎
=
𝑎2
−( 𝑎−2)(𝑎+2)
𝑎2 +2𝑎
×
𝑎2
+2𝑎
𝑎2 +( 𝑎−2)(𝑎+2)
=
𝑎2
−( 𝑎−2)(𝑎+2)
𝑎2+( 𝑎−2)(𝑎+2)

17. B. Latihan Soal
1.
2. x – [ a – ( x – a ) – { ( a – 2x ) – ( 3x – a ) + 3x } – x ]
3. 𝑏3
− 𝑎3
+
𝑎3 𝑏 − 𝑎𝑏3
𝑎+2𝑏
4.
𝑎2
( 𝑎2− 𝑏2)( 𝑎2− 𝑐2)
+
𝑏2
( 𝑏2− 𝑐2 ) ( 𝑏2− 𝑎2 )
+
𝑐2
( 𝑐2− 𝑎2 ) ( 𝑐2− 𝑏2)
5. 2𝑐 −
4𝑐
3−
𝑐
𝑐+2𝑑
6.
𝑥 𝑝+1−𝑦 𝑝+1
𝑥−𝑦
jawab:𝑥 𝑝
− 𝑦 𝑝
7.
–𝑥𝑦−𝑥2 𝑦+2𝑥3 𝑦
𝑥𝑦
−
4𝑥2+4𝑥3
−2𝑥
jawab: 4𝑥2
+ 𝑥 − 1
8. 6𝑎4 − 96 ∶ 𝑎 − 2 jawab: 6𝑎3
+ 12𝑎2
+ 24𝑎 + 18
9.
𝑥2
+3𝑥+2
𝑥+3
×
𝑥+2
𝑥2 +4𝑥+3
jawab:
𝑥3+7𝑥2+15𝑥+9
𝑥3+5𝑥2+8𝑥+4
10. 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 2𝑏2
−𝑎 + 2𝑏
.............................
2𝑎2 𝑏 − 2𝑎𝑏2 + 4𝑏3
..................................
1
3
𝑥 −
2
3
𝑦 +
5
6
𝑧
−
1
4
𝑥 +
1
3
𝑦 −
1
6
𝑧
+
1
3
𝑥 −
1
5
𝑦 +
1
2
𝑧

18. Jawaban
1.
5
12
𝑥 −
8
15
𝑦 +
7
6
𝑧
2. X
3.
2𝑎𝑏3− 𝑎3 𝑏+ 2𝑏4− 𝑎4
𝑎+2𝑏
4. 0
5.
2𝑐𝑑
𝑐+3𝑑
6. 𝑥 𝑝
− 𝑦 𝑝
7. 4𝑥2
+ 𝑥 − 1
8. 6𝑎3
+ 12𝑎2
+ 24𝑎 + 18
9.
𝑥3+7𝑥2+15𝑥+9
𝑥3+5𝑥2+8𝑥+4
10. −𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 − 4𝑎𝑏2 + 4𝑏3

19. C. Daftar Pustaka
Swadidik aljabar. P. Abbot. Hodder Education. London: 2003
Aldjabar Rendah Djilid I. Kupers, L. dan Rawuh. Pradnja Paramita. Jakarta: 1968