Ακτινοβολία μέλανος σώματος

1. physicsgg.wordpress.com
5 Η πλήρης απόδειξη του νόµου των Rayleigh – Jeans
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω οι Rayleigh – Jeans προσπάθησαν να εξηγήσουν την
ακτινοβολία του µέλανος σώµατος σύµφωνα µε την κλασσική µηχανική και την
ηλεκτροµαγνητική θεωρία του Maxwell. Θεώρησαν στάσιµα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα στην
κοιλότητα του πρότυπου µέλανος σώµατος. Προφανώς µιλάµε για στάσιµα κύµατα σε 3
διαστάσεις. Εδώ είναι που δυσκολεύουν τα πράγµατα γιατί δεν είµαστε εξοικειωµένοι µε τα
τρισδιάστατα κύµατα, ούτε µε τα τρισδιάστατα στάσιµα κύµατα. Γι αυτό ας πάρουµε τα
πράγµατα από την αρχή.
Κύµατα σε µια διάσταση. Έστω µια χορδή στην οποία διαδίδονται µονοδιάστατα
εγκάρσια κύµατα. Η κυµατική εξίσωση σε µια
διάσταση είναι
∂ 2ξ ( x, t ) 1 ∂ 2ξ ( x, t )
=
∂x 2 c2 ∂t 2
Εφαρµόζοντας την µέθοδο των χωριζοµένων
µεταβλητών έχουµε
ξ ( x, t ) = X ( x )T (t )
και αντικαθιστώντας στην κυµατική εξίσωση
παίρνουµε
X xx 1 Ttt  X xx + k 2 X = 0 
 
= 2 = −k = σταθερ ά ⇒ 
2

Ttt + c k T = 0 
X 2 2
c T  
⇒ ξ = Aei ( ckt −kx ) = Aei (ωt − kx )
ή
sin  sin 
ξ=A
 kx  ωt
cos  cos 
Αν θεωρήσουµε τα άκρα της χορδής µήκους ℓ στερεωµένα τότε αναζητούµε τις
συχνότητες που αντιστοιχούν στα στάσιµα εγκάρσια κύµατα που µπορούν να
δηµιουργηθούν στην χορδή, δηλ τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης της χορδής.
Εφαρµόζουµε τις συνθήκες ξ (0, t ) = ξ (ℓ, t ) = 0 προκύπτει ότι
ξ = A sin kx sin ωt
nπ 2ℓ
και ότι k = ή λ= ή
ℓ n
nc
f = , όπου n = 1, 2, 3,⋯
2ℓ
Σε µια τυχαία αρχική παραµόρφωση της χορδής η πλήρης λύση θα προκύπτει από κάποιο
γραµµικό συνδυασµό των ξεχωριστών τρόπων ταλάντωσης.
Κύµατα σε δύο διαστάσεις. Στα µονοδιάστατα κύµατα η διαφορά φάσης µεταξύ ενός
σηµείου της ευθείας διάδοσης και της αρχής είναι
2π
ϕ= x = kx
λ
Έτσι η φάση των σηµείων της ευθείας θα είναι ωt − ϕ = ωt − kx και όπως είδαµε η εξίσωση
του κύµατος θα είναι ξ = Aei (ωt −kx ) .
Θα χρησιµοποιήσουµε την ίδια λογική για να πάρουµε την εξίσωση κύµατος σε δύο
διαστάσεις.
physicsgg.blogspot.com

2. physicsgg.wordpress.com
Στο παρακάτω σχήµα θεωρούµε τη διάδοση ενός εγκάρσιου δισδιάστατου κύµατος. Οι
k1 k
ευθείες παριστάνουν σηµεία ισοφασικά. Ισχύουν cos θ1 = l = , cos θ 2 = m = 2 , k 2 = k12 + k2
2
k k
Η ισοφασική ευθεία που απέχει απόσταση p από την αρχή ικανοποιεί την εξίσωση
x l + y m = p = σταθερά
Η διαφορά φάσης µεταξύ των ισοφασικών
σηµείων µιας ευθείας µε την αρχή Ο είναι
2π
ϕ= p = k p = k p = k1 x + k2 y ( = xl k + y m k = p k )
λ
Έτσι όπως και στο µονοδιάστατο κύµα θα
έχουµε για την φάση των σηµείων του
επιπέδου
( ω t − ϕ ) = ( ωt − k r )
και η λύση της κυµατικής εξίσωσης σε δυο διαστάσεις
∂ 2ξ ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
+ =
∂x 2 ∂y 2 c 2 ∂t 2
θα είναι
ξ = Aei (ωt − k r ) = Aei[ωt −( k x + k y )]
1 2
ή
sin  sin  sin 
ξ = A  k1 x  k2 y  ωt
cos  cos  cos 
Φυσικά η λύση αυτή µπορεί να προκύψει ακριβώς
όπως και στην περίπτωση µιας διάστασης µε την
µέθοδο των χωριζοµένων µεταβλητών. Τώρα
µπορούµε να εξετάσουµε στάσιµα κύµατα σε 2
διαστάσεις. Για το σκοπό αυτό θεωρούµε µια
ορθογώνια µεµβράνη µήκους a και πλάτους b ,
της οποίας τα άκρα είναι στερεωµένα. Για να
δηµιουργηθεί ένα σύστηµα στάσιµων κυµάτων πρέπει
a = n1 ( AA′) και b = n2 ( BB′) , όπου n1 , n2 ακέραιοι.
λ k π
Όµως ισχύει AA′ = και εφόσον cos θ1 = 1 , έχουµε AA′ = , οπότε
2cos θ1 k k1
nπ nπ
a = 1 ⇒ k1 = 1
k1 a
nπ
Παρόµοια προκύπτει k2 = 2
b
Συνεπώς
physicsgg.blogspot.com 2

3. physicsgg.wordpress.com
 n2 n2 
k 2 = k12 + k2 = π 2  12 + 2  
2
a b2  c n12 n2
2
 ⇒ f = + 2
4π 2 4π 2 f 2  2 a2 b
k = 2 =
2

λ c2 
Η παραπάνω σχέση µας δίνει την συχνότητα του n1 -οστού τρόπου κατά τον άξονα χ και
του n2 -οστού τρόπου κατά τον άξονα ψ, δηλαδή του (n1 , n2 ) τρόπου.
Αν το διάνυσµα k δεν είναι κάθετο είτε στην πλευρά α είτε στην πλευρά b µπορούµε να
γράψουµε τη γενική λύση ως:
sin  sin  sin 
ξ=A  k1 x  k2 y  ωt
cos  cos  cos 
ξ = 0 για x = 0 και x = a
Με τις αρχικές συνθήκες
ξ = 0 για y = 0 και y = a
η λύση γράφεται
n1π x nπ y
ξ = A sin sin 1 sin ωt
a b
Στο σχήµα βλέπουµε µερικούς κανονικούς τρόπους
ταλάντωσηςi για διάφορες τιµές των ( n1 , n2 ) . Η
πλήρης λύση για µια γενική περίπτωση ταλάντωσης,
η µετατόπιση θα είναι κάποιος γραµµικός
συνδυασµός των ξεχωριστών τρόπων ταλάντωσης.
Κύµατα σε 3 διαστάσεις. Σύµφωνα µε τα
προηγούµενα η γενίκευση των κυµάτων στις 3
διαστάσεις είναι εύκολη. Έτσι, η κυµατική εξίσωση σε 3 διαστάσεις θα είναι
∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
+ + =
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c 2 ∂t 2
Η γενική λύση µπορεί να προκύψει µε την µέθοδο των χωριζοµένων µεταβλητών
sin  sin  sin  sin 
ξ=A  k1 x  k2 y  k3 z  ωt
cos  cos  cos  cos 
όπου k 2 = k12 + k2 + k32
2
ή
ξ = Aei (ωt − k r ) = Aei[ωt −( k x + k y + k z )]
1 2 3
Θα µελετήσουµε τα στάσιµα κύµατα µέσα σε µια κοιλότητα µε σχήµα ορθογωνίου
παραλληλεπιπέδου µε πλευρές ℓ1 , ℓ 2 και ℓ 3 . Εργαζόµενοι µε τον ίδιο τρόπο όπως στις δυο
διαστάσεις παίρνουµε
i
Το φαινόµενο του εκφυλισµού προκύπτει όταν δυο τρόποι ταλάντωσης που αντιστοιχούν σε διαφορετικά
ζεύγη ( n1 , n2 ) έχουν την ίδια συχνότητα.
physicsgg.blogspot.com 3

4. physicsgg.wordpress.com
2
c n12 n2 n3
2
f = + +
2 ℓ1 ℓ 2 ℓ 2
2
2 3
Η παραπάνω σχέση µας δίνει την συχνότητα του n1 -οστού τρόπου κατά τον άξονα χ, του
n2 -οστού τρόπου κατά τον άξονα ψ και του n3 -οστού τρόπου κατά τον άξονα z, δηλαδή του
(n1 , n2 , n3 ) κανονικού τρόπου ταλάντωσης.
Μας ενδιαφέρει να βρούµε πόσοι
κανονικοί τρόποι µπορούν να
υπάρξουν στην περιοχή των
συχνοτήτων f και f + df .
Για να γίνει αυτό θεωρούµε έναν
υποθετικό χώρο όπου ο άξονας χ
έχει µονάδα c 2ℓ1 , ο άξονας ψ
µονάδα c 2ℓ 2 και ο άξονας z c 2ℓ 3 .
Έτσι, δηµιουργείται ένα πλέγµα στο
οποίο ο όγκος της κάθε κυψελίδας
είναι c3 8ℓ1ℓ 2 ℓ 3 . Τότε ένα διάνυσµα
µε µήκος n1 στον άξονα χ, µε µήκος
n2 στο άξονα ψ και µήκος n3 στον
άξονα z, θα έχει µέτρο
2
c n12 n2 n3
2
f = 2
+ 2 + 2 .
2 ℓ1 ℓ 2 ℓ 3
Κάθε σηµείο του πλέγµατος που σχηµατίζεται εκφράζει την συχνότητα ενός κανονικού
τρόπου ταλάντωσης. Υπάρχουν τόσες κορυφές όσες και οι συχνότητες.
Ζητάµε τους κανονικούς τρόπους που µπορούν να υπάρξουν στην περιοχή των
συχνοτήτων f και f + df , δηλαδή πρέπει να ικανοποιείται η εξίσωση
2
n12 n2 n3
2
+ 2 + 2 ≤ ( f + df )
2
f2≤ 2
ℓ1 ℓ 2 ℓ 3
Ψάχνουµε δηλ. το σύνολο των δυνατών σηµείων (n1 , n2 , n3 ) που βρίσκονται στο θετικό
ογδοηµόριο (οι αρνητικές τιµές δεν έχουν νόηµα) µεταξύ δυο οµόκεντρων σφαιρών µε
ακτίνες f και f + df . Έτσι ο συνολικός αριθµός των δυνατών σηµείων ή κυψελίδων θα
είναι
1 όγκος σφαιρικού φλοιού 4π f 2 df 8ℓ1ℓ 2 ℓ 3 f 2 df
= 3
= 4π V 3
8 όγκος κυψελίδας 8 c c
∆ιαιρώντας µε το όγκο της κοιλότητας παίρνουµε τους δυνατούς κανονικούς τρόπους
ταλάντωσης ανά µονάδα όγκου στην περιοχή συχνοτήτων ( f , f + df )
4π f 2 df
c3
physicsgg.blogspot.com 4

5. physicsgg.wordpress.com
αν τα κύµατα είναι διαµήκη. Όταν τα κύµατα είναι εγκάρσια έχουµε
4π f 2 df 8π f 2 df
2× =
c3 c3
Παρότι η απόδειξη έγινε για ορθογώνιο παραλληλεπίπεδοi, το αποτέλεσµα αυτό ισχύει για
οποιοδήποτε όγκο.
Ας πούµε λίγα πράγµατα για τον παράγοντα 2 που τίθεται στα εγκάρσια κύµατα και
αφορούν τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα που µας ενδιαφέρουν.
Τα Η.Μ. κύµατα ικανοποιούν την κυµατική εξίσωση
1 ∂ 2 E (r , t )
= ∇E ( r , t )
c 2 ∂t 2
η οποία ανάγεται στην
(∇ + k ) E ( r ) = 0
2 2
i
Αν χρησιµοποιούσαµε κυβική κοιλότητα πλευράς a τότε οι δυνατές συχνότητες θα είναι
c
f = n12 + n2 + n3
2 2
2a
4 f 2a 2 2 fa
Θεωρούµε σύστηµα συντεταγµένων στο οποίο η εξίσωση n1 + n2 + n3
2 2 2
= 2
παριστάνει µια σφαίρα µε ακτίνα
c c
. Αρχικά, το πρόβληµά µας είναι να βρούµε όλους τους δυνατούς συνδυασµούς των ακεραίων ( n1 , n2 , n3 ) που
4 f 2a 2
ικανοποιούν τη συνθήκη n + n + n ≤
2 2 2
1 2 3 . Αν η ακτίνα είναι πολύ µεγάλη, ο αριθµός των δυνατών συνδυασµών
c2
4π a 3 f 3
είναι ίσος προς τον όγκο 1/8 σφαίρας N f = . Ο αριθµός των τρόπων ανά µονάδα όγκου µε συχνότητες f
3c3
και f + df θα είναι
4π f df
2
4π f 2 df 8π f 2 df
αν τα κύµατα είναι διαµήκη και 2× = αν τα κύµατα είναι εγκάρσια.
c3 c3 c3
physicsgg.blogspot.com 5

6. physicsgg.wordpress.com
Μολονότι η παραπάνω είναι εξίσωση διανυσµατικού πεδίου, έχει δυο µόνο ανεξάρτητες
λύσεις και όχι 3 για δεδοµένο κυµατάνυσµα k . Τούτο είναι συνέπεια της εξίσωσης του
Maxwell
divE (r ) = 0
που µαζί µε την λύση της διαφορικής εξίσωσης (αφού καθοριστούν οι συνοριακές
συνθήκες) δίνουν την
k ⋅ E (r ) = 0
δηλαδή το ηλεκτρικό πεδίο είναι κάθετο προς την διεύθυνση διάδοσης που ορίζει το k ή µε
άλλα λόγια είναι εγκάρσιο.
Για κάθε k συνεπώς µπορούµε να επιλέξουµε δυο µόνο διευθύνσεις πόλωσης κάθετες
µεταξύ τους και κάθετες και οι δυο τους στο k . Γι αυτό πολλαπλασιάζουµε επί 2 τον αριθµό
των δυνατών κανονικών τρόπων [ταλάντωσης ανά µονάδα όγκου στην περιοχή
συχνοτήτων ( f , f + df )].
Τώρα µπορούµε να εφαρµόσουµε το θεώρηµα ισοκατανοµής ενέργειας και να
υπολογίσουµε την φασµατική κατανοµή ενεργειακής πυκνότητας u ( f , T ) :
 8π f 2 
u ( f ,T ) =  3  ε
 c 
όπου ε η µέση ενέργεια ανά στάσιµο κύµα. Θα περίµενε κανείς οι βαθµοί ελευθερίας του
Η.Μ. πεδίου να είναι 6 (3 από το ηλεκτρικό και 3 από το µαγνητικό πεδίο). Όµως επειδή τα
Η.Μ. κύµατα είναι εγκάρσια, ο αριθµός των βαθµών ελευθερίας µειώνεται σε 4 (2 για τις
εντάσεις του ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου και 2 για τις δυνατές καταστάσεις εγκάρσιας
πόλωσης). Όµως οι 2 βαθµοί ελευθερίας που αντιστοιχούν στις δυο δυνατότητες εγκάρσιας
πόλωσης λήφθηκαν προηγουµένως υπόψιν, στην καταµέτρηση των κανονικών τρόπων. Οι
άλλοι 2 που αντιστοιχούν στο ηλεκτρικό και µαγνητικό πεδίο συµπεριλαµβάνονται στην
µέση ενέργεια γράφοντας
kT
ε =2 = kT
2
Έτσι θα έχουµε τελικά τον νόµο των Rayleigh – Jeans
8π 2
u ( f ,T ) = f kT
c3
physicsgg.blogspot.com 6