2. 习题课 《质点力学》 一、基本规律
一、基本规律
r r
1. v 和在、、中的表示：
a rt pp pn
r r & r
&&
v=r a=r
r r r r r r
在中rt xi + yj + zk
& & & && + && + &&
xi yj zk
r r r r
pp
在中 rio + rθ& jo
& (&& − rθ& )io + (rθ + 2rθ&) jo
r 2 && &
&&τ o + ( s ρ ) no
r r r
pn
在中 sτ o
& s & 2
2. 圆周运动中角量与线量的关系
r r r r
v与与 ω a α
r r r r r r r
pp
在中 v = Rω jo = ω × R a = Rα jo − Rω io
2
r r r r r r 2r
pn
在中 v = Rωτ o = ω × R a = Rατ o + Rω no
3. 习题课 《质点力学》 一、基本规律
3. 三个重要关系
r r r r r r r
&
a. di0 = dθ j0；；；0 = dθ (−i0 ) c. r = ω × r
b. dj
4. 相对运动关系
r r r r r r r
非惯性系 va = ve + vr aa = ae + ac + ar
r r r r r r r
va = ve + vr aa = ae + ac + ar
平动系 r r
& r r r
&& ，a = 0
ve = rOO1 ae = rOO1 c
r r r uuur
r r r & × r +ω2 PH
ae = ωe 1
绕定轴转动系 v e = ω e × r1 r r r
e
ac = 2ωe ×vr
4. 习题课 《质点力学》 一、基本规律
5. 非惯性系中质点的动力学基本原理
r r r r
非惯性系 &&
F − mae − mac = mr1
r && r r
在匀加速直线运动系中 ae = rOO1 = 常矢量，ac = 0
r uuur r r r
在匀角速转动系中 ae = ω e PH，ac = 2ω e × vr
2
5. 习题课 《质点力学》 二、基本要求
二、基本要求
1. 熟练掌握在 rt 中处理直线运动、抛体运动的运动
学和动力学方法
2. 熟练掌握在 pn 中处理圆周运动的运动学和动力学
方法
r r pp
了解 v 、a 在 中的分量表达式
4. 熟练掌握在匀加速直线运动系中动力学基本原理
处理问题的方法；
5. 了解在匀角速转动系中动力学原理处理问题的方法
6. 习题课 《质点力学》 三、习题类型
三、习题类 第 1 章 34 题 , 其中习题 1 3 ～
型 1. 运动学问题 33= 21
(1) 基本概念和规律 如习题 1 3,20,25.
r r r
(2) 积分类型 : 己 a 求、、 轨道方程
v r
知 如习题 1 4 ～
r 1 8,33.
r r
(3) 求导类型 : 已 r 求、、 轨道方程
v a
知
如习题 1 9,21 ～
r r 24,32
(4) 相对运动中 v 、a 的关系与计算
如习题 26 ～
31 .
7. 习题课 《质点力学》 三、习题类型
2. 动力学问题 2 章 46 题 , 其中习题 9 ～ 45= 37
第
(1) 基本概念和高中题 如习题 1 0,1 1 ,1 3,1 5 ～ 1 9,21 ～
28 ～ 31 ,33,34,36 ～
25,
r
39,41 r r r
(2) 积分类型 : 已知 F 求、、、力、 轨道方程
v r a
如习题 9,1 4,26,27,32,40
r r 求、、力、
r r
(3) 求导类型 : 已知 , F a v
r 极值、轨道方程
如习题
1 2,20,35
(4) 非惯性系问题 如习题 42 ～ 45
四、典型例
题 例1 例2 例3 例4 例5
8. 习题课 《质点力学》 四、典型例题
例 1. 某质点运动表达式为r = e ，θ = bt，
ct
式中 b 和 c
为常数，试求其速度与加速度的大小；
解： r = e ct，θ = bt， 例 1 例 2 例 3 例 4 例 5
∴ vr = r
& = ce ct = cr vθ = rθ& = be ct = br
&
v = r 2 + r 2θ 2 = r b 2 + c 2
&
&
又 a r = && − rθ 2 = c 2 e ct − b 2 e ct = r (c 2 − b 2 )
r
a = rθ& + 2rθ = 2bcr
θ
& &&
∴ a = a + a = r (b + c )
2
r
2
θ
2 2
9. 习题课 《质点力学》 四、典型例题
例 2. 设质点 P 沿螺旋线
x = 2sin 4t，，制 cos 4t z = 4t
y=2 ( SI )
运动，试求 v、a、ρ .
解： x = 8 cos 4t = 4 y，
& 例1
y = −8 sin 4t = −4 x，z = 4，
& & 例2
& 2 + y2 + z2 = 4 x2 + y2 + 1， 例 3
∴ v= x & &
例4
又 x + y = ( 2 sin 4t ) + ( 2 cos 4t ) = 4
2 2 2 2
例5
∴ v = 4 x + y +1 = 4 5
2 2
10. 习题课 《质点力学》 四、典型例题
&& = 4 y = −16 x，&& = −4 x = −16 y；&& = 0，
x & y & z 例1
∴ a = 16 x + y = 16 × 2 = 32 ，
2 2 例2
例3
dv
又 aτ = =0 (v为常数) 例4
dt 例5
∴ an = a 2 − aτ = a = 32
2
ρ=
v
=
2
4 5 ( ) 2
= 2.5
an 32
11. 习题课 《质点力学》 四、典型例题
y
例 3 、一运动员投铅球时，铅球的 r
v0
点离地面的高度 h = 1.5m
，抛出
v0 = 14m ⋅ s -1 ，试问在空气阻力忽α x
o
P
略时，他应以多大的仰角投球才能− h vx
vy
取得最佳成绩？最佳成绩为多少米？ r
v
解：已知 ax = 0 ay = − g
x0 = 0 y0 = 0 例1 例2 例3 例4 例5
vx 0 = v0 cos α v y 0 = v0 sin α
12. 习题课 《质点力学》 四、典型例题
dvx vx
dt
=0 → ∫v0 x
dvx = 0 → vx = v0 x = v0 cos α
dx x t
dt
= v0 cos α → ∫0
dx = ∫ v0 cos α dt → x = v0t cos α
0
dv y vy t
dt
= −g → ∫ v0 y
dv y = ∫ − gdt → v y = v0 y − gt
0
dy y t 1 2
dt
= v0 sin α − gt , ∫0 dy = ∫0 ( v0 sin α − gt ) dt , y = v0t sin α − 2 gt
1 g
轨道方程 y = x tan α − x2
2 v0 cos 2 α
2
着地点 P
的坐标 ( x, − h ) 代入上式
13. 习题课 《质点力学》 四、典型例题
dx
可得 x = x(α )，再由 = 0，即 例1
dα
可得 P点离O点的最大水平距离xm 例2
（最佳成绩）和α（相应抛射角）：
m
例3
例4
vo
α m = sin (
−1
) = 43 4 ',
o
例5
2v + 2 gh
2
o
v0
xm = 2v + 2 gh = 21.4(m)
2
o
g
14. 习题课 《质点力学》 四、典型例题
例 4. 一光滑的三棱柱，质量为
例1 例2 例3 例4 例5
M, 斜面倾角为 θ ，并位于光滑
m
水平面上 , 另一质量为 m 的小块物体 r
r rM F
放在 M 的斜面上 , 问施多大水平力F a M
时 , 才能保持 m 对 M 静止不动？
θ
解：如图， M 、 m 的受力分析，以 M 为参照系。
r r
N1 r N
rM M r rM
m f e = − ma r / Fe = − M a
r
F
r θ r N
mg Mg 1
15. 习题课 《质点力学》 四、典型例题
r r r r r r r
m： N1，mg；f e；ar1 = 0，即有：mg + N1 + f e = 0；
r r r r r r
M：N，N1 '，Mg，F，Fe，ar2 = 0，
r r r r r
即有：F + Mg + N + N1 '+ Fe = 0；
分量式：
m：，； sin θ + ma M cos θ = 0
− mg − mg cos θ + N1 − ma M sin θ = 0
M ： − F + N1 + sin θ + Ma M = 0, − Mg + N − N1 cos θ = 0
∴ F = g (m + M ) tan θ , a M = g tan θ ,
N = (m + M ) g ,
mg
N1 = N1 ' = . 例1 例2 例3 例4 例5
cos θ
16. 习题课 《质点力学》 四、典型例题
r
例 5. 已知圆盘以匀角速度 ω e 绕通过圆心 r
ωe
且垂直与盘面的轴转动。在地面看离转轴 ●m
m
R 处有一静止的物块 m 与转动的圆盘光滑
r
接触 , 求m 对圆盘的加速度a r
S系
解：如图， S ， S1 系中观察 m 的运动；
r
以圆盘 S1 系为参照系，对 m 的受力分 ω1
析（仅考虑水平面上）。
m
S1系
例1 例2 例3 例4 例5
17. 习题课 《质点力学》
习题课《质点运动学和动力学》 四、典型例题
r r 2r
F = 0，Fe = m ω e r ， 例1 例2 例3 例4 例5
r r r r r r
Fc = − 2m ω e × v r = − 2m ω e × ω 1 × r1）
（
r r r 2r
= 2m ω e × ω e × r1） − 2m ω e r1
（ =
r r r r 2r 2r r
∴ F + Fe + Fc = m a r 即：m ω e r − 2m ω e r = m a r
r 2r
mar = − mω e r
r
向心力为科氏惯性力与 ω 1
惯性离心力的合力 m
r 2r
∴ a r = −ω e r
S1系
