communication theory

1. 1
Deterministic Signal
Jay Chang

2. 2
確知信號類型確知信號類型確知信號類型確知信號類型
確知確知確知確知信號頻域性質信號頻域性質信號頻域性質信號頻域性質
• 功率信號頻譜功率信號頻譜功率信號頻譜功率信號頻譜
• 能量信號頻譜能量信號頻譜能量信號頻譜能量信號頻譜密度密度密度密度
• 能量能量能量能量信號能量譜信號能量譜信號能量譜信號能量譜密度密度密度密度
• 功率功率功率功率信號信號信號信號功率功率功率功率譜譜譜譜密度密度密度密度
確知信號時域性質確知信號時域性質確知信號時域性質確知信號時域性質
• 能量信號自相關函數能量信號自相關函數能量信號自相關函數能量信號自相關函數
• 功率功率功率功率信號信號信號信號自相關自相關自相關自相關函數函數函數函數
• 能量能量能量能量信號互相關信號互相關信號互相關信號互相關函數函數函數函數
• 功率功率功率功率信號互相關函數信號互相關函數信號互相關函數信號互相關函數

3. 3
確知確知確知確知信號信號信號信號
在定義域內的任意時刻都有確定的函數值. 否則, 為隨機 信號或不確知信號.
分類分類分類分類
1. 按照是否具有週期重複性區分:
週期信號: 每隔一定的時間間隔按相同規律重複
滿足上式的最小T0 (T0 > 0)稱為信號的基波週期.
非週期信號:
2. 按照信號能量是否有限區分
0( ) ( ),s t s t T t= + − ∞ < < +∞
… …
2
/2
2
/2
: 0 0 ( ) ( )
:
( )
1
lim ( )
ex :
ex : , ,
0 ( ) ( )
T
TT
if E and P s
E s t dt
P s t dt
t
if P and E
T
s t
∞
−∞
−→∞
< < ∞ →
< < ∞
=
=
→ ∞
∫
∫
能量信號 稱 為能量 有限 信號
功率信號 稱 為功率 有限 信
能量
功率
單個矩形脈衝
直流信
號
號 週期信號 隨機信號

4. 4
確知信號類型確知信號類型確知信號類型確知信號類型
確知確知確知確知信號頻域性質信號頻域性質信號頻域性質信號頻域性質
• 功率信號頻譜功率信號頻譜功率信號頻譜功率信號頻譜
• 能量信號頻譜能量信號頻譜能量信號頻譜能量信號頻譜密度密度密度密度
• 能量能量能量能量信號能量譜信號能量譜信號能量譜信號能量譜密度密度密度密度
• 功率功率功率功率信號信號信號信號功率功率功率功率譜譜譜譜密度密度密度密度
確知信號時域性質確知信號時域性質確知信號時域性質確知信號時域性質
• 能量信號自相關函數能量信號自相關函數能量信號自相關函數能量信號自相關函數
• 功率功率功率功率信號信號信號信號自相關自相關自相關自相關函數函數函數函數
• 能量能量能量能量信號互相關信號互相關信號互相關信號互相關函數函數函數函數
• 功率功率功率功率信號互相關函數信號互相關函數信號互相關函數信號互相關函數

5. 5
功率信號的頻功率信號的頻功率信號的頻功率信號的頻譜譜譜譜
週期性功率信號的頻譜
對於週期(T0)功率信號s(t), 可展成指數型Fourier級數
0
0
0
0
/2
2
0 0
0
/2
0
2 /
0
0
1
( ) ( ) , freq. spectrum
where
double side freq. spectrum
is a complex amplitude
1/
( )
1
, ,
(
n
T
j nf t
n
T
j
n n
n
j nt T
n
n
C C nf s t e dt
T
C C e
C
s t C e
f T n n
C s t
T
π
θ
π
−
−
∞
=−∞
∈ −
= =
∴
=
=
=
∞ < < +∞
∫
∑
∵
ℤ
稱為信號的
他反映了信號中各次諧波的幅度和相位值
＝
0
0
/2
/2
,) ,
T
T
dt
−∫ 表示信號的時間平均值 即直流分量
隨頻率(nf0)變化的特性稱為信號的

6. 6
週期功率信號頻譜的週期功率信號頻譜的週期功率信號頻譜的週期功率信號頻譜的性質性質性質性質
對於物理可實現的實信號, 有
物理含義: 頻譜函數的正頻率部分和負頻率部分間存在複數共軛(complex conjugate)關係, 即
• Cn的norm 偶對稱
• Cn的phase 奇對稱
0 0
0 0
0 0
*
/2 /2
2 2
/2 2
*
/
0 0
1 1
( ) ( )
T T
j nf t j nf t
Tn T ns t e dt s t e dt
T T
C Cπ π+
−−
−
−
 
= = = 
 
∫ ∫
n10 2 3 4 5-2 -1-3-4-5
|Cn|
(a) 振幅譜
10 2
3
4 5
-2 -1
-3
-4-5
n
θθθθn
(b) 相位譜
Cn的norm 偶對稱 Cn的phase 奇對稱

7. 7
( ) ( )
( )
0 0
0 0
0 0
0
0
*
/2 /2
2 2 *
/2 /2
0 0
2 /
2 /
0 0 0
1
2 2
0 0
1
1 1
( ) ( )
( )
( ) cos 2 / sin 2 /
cos 2 /
whe
T T
j nf t j nf t
n nT T
j nt T
n
n
j nt T
n n n
n n
n n n
n
C s t e dt s t e dt C
T T
s t C e
s t C e C a nt T b nt T
C a b nt T
π π
π
π
π π
π θ
+ −
− − −
∞
=−∞
∞ ∞
=−∞ =
∞
=
 
= = = 
 
=
= = + +  
 = + + +
 
∫ ∫
∑
∑ ∑
∑
代入
( )1 2 21
re tan / ,
2
n n n n n nb a C a bθ −
= = +
實週期信號可分解為直流分量C0、基波(n = 1時)和各次諧波(n = 1, 2, 3, …)分量
的線性疊加；
( )
2 2
1
tan /
n n
n n n
a b
b aθ −
+
=
稱為單邊譜
上式表明:
實信號s(t)各次諧波的振幅等於
實信號s(t)各次諧波的相位等於θn
頻譜函數Cn又稱為雙邊譜, |Cn|的值是單邊譜的振幅之半. DSB amp = ½ SSB amp.

8. 8
若s(t)是實偶信號，則 Cn為實函數
若s(t)不是偶信號，則 Cn為複函數
0 0
0
0 0
0 0
0 0
0
/2 /2
2
0 0/2 /2
0
/2 /2
0 0/2 /2
0/
( )
1 1
( ) ( )[cos(2 ) sin(2 )]
1 1
,
( )cos(2 ) ( )sin(2 ) Re( ) Im( )
( )sin(2 )
n
T T
j nf t
n T T
T T
n nT T
T
C s t e dt s t nf t j nf t dt
T T
s t nf t dt j s t nf t dt C j C
T T
s t nf t
s
dt
t C
π
π π
π π
π
−
− −
− −
−
= = −
= − = −
∫ ∫
∫ ∫
∵
若 是實偶信號 則 為實函數
0 /2
2
0
n
T
C
=
∴
∫
為實函數

9. 9
, / 2 / 2
( )
0, / 2 ( / 2)
( ) ( ),
V t
s t
t T
s t s t T t
τ τ
τ τ
− ≤ ≤
= 
< < −
= − −∞ < < ∞
Ex. 求週期求週期求週期求週期性方波的頻譜性方波的頻譜性方波的頻譜性方波的頻譜
0 T-T
t
τ V
s(t)
0 0
0 0
0 0
/2
/2
2 2
/2
0 /2
2 /2 2 /2
0
0 0
2 2
1 1
2
sin sinc
2
( ) sinc
j nf t j nf t
n
j nf j nf
j nf t j nf t
n
n n
V
C Ve dt e
T T j nf
V e e V V n
nf
T j nf nf T T T
V n
s t C e e
T T
τ
τ π π
τ
τ
π τ π τ
π π
π
τ πτ
π τ
π π
τ πτ
− −
−
−
−
∞ ∞
=−∞ =−∞
 
= = − 
 
−  
= = =  
 
 
= =  
 
∫
∑ ∑
因為s(t)是實偶信號, 所以頻譜Cn為實函數

10. 10
, 0
( )
0,
( ) ( ),
V t
s t
t T
s t s t T t
τ
τ
≤ ≤
= 
< <
= − − ∞ < < ∞
Ex. 求週期求週期求週期求週期性方波的頻譜性方波的頻譜性方波的頻譜性方波的頻譜
( )
( )
0 0
0
0 0
2 2
0
0 0
2
2 /
0
2 22 /
1 1
2
1
1
2 2
( ) 1
2
j nf t j nf t
n
j nf
j n T
j nf t j nf tj n T
n
n n
V
C Ve dt e
T T j nf
V e V
e
T j nf j n
V
s t C e e e
j n
τ
τ π π
π τ
π τ
π ππ τ
π
π π
π
− −
−
−
∞ ∞
−
=−∞ =−∞
 
= = − 
 
−
= = −
= = −
∫
∑ ∑
因為s(t)不是偶信號, 所以頻譜Cn為複函數
T-T
t
0 τ
V
s(t)

11. 11
確知信號類型確知信號類型確知信號類型確知信號類型
確知確知確知確知信號頻域性質信號頻域性質信號頻域性質信號頻域性質
• 功率信號頻譜功率信號頻譜功率信號頻譜功率信號頻譜
• 能量信號頻譜能量信號頻譜能量信號頻譜能量信號頻譜密度密度密度密度
• 能量能量能量能量信號能量譜信號能量譜信號能量譜信號能量譜密度密度密度密度
• 功率功率功率功率信號信號信號信號功率功率功率功率譜譜譜譜密度密度密度密度
確知信號時域性質確知信號時域性質確知信號時域性質確知信號時域性質
• 能量信號自相關函數能量信號自相關函數能量信號自相關函數能量信號自相關函數
• 功率功率功率功率信號信號信號信號自相關自相關自相關自相關函數函數函數函數
• 能量能量能量能量信號互相關信號互相關信號互相關信號互相關函數函數函數函數
• 功率功率功率功率信號互相關函數信號互相關函數信號互相關函數信號互相關函數

12. 12
能量信號的頻譜能量信號的頻譜能量信號的頻譜能量信號的頻譜密度密度密度密度
頻譜密度的定義:
能量信號s(t)的Fourier變換:
S(f)的inverse Fourier變換為原信號:
S(f)和Cn的主要區別:
S(f)是連續譜，Cn是離散譜；
S(f)的單位是V/Hz，而Cn的單位是V。
實能量信號頻譜密度實能量信號頻譜密度實能量信號頻譜密度實能量信號頻譜密度和實功率信號頻譜實功率信號頻譜實功率信號頻譜實功率信號頻譜的共同特性:
負頻譜和正頻譜的模偶對稱，相位奇對稱，即複數共軛(complex conjugate).
2
2
( ) ( )
( ) ( )
j ft
j ft
S f s t e dt
s t S f e df
π
π
∞
−
−∞
∞
−∞
=
=
∫
∫
[ ]2 2
( ) ( ) , ( ) ( )j ft j ft
s t e dt s t e dt S f S fπ π
∗∞ ∞ ∗− +
−∞ −∞
 = = −
  ∫ ∫∵

13. 13
Ex. 求求求求一個矩形脈衝的頻譜密度一個矩形脈衝的頻譜密度一個矩形脈衝的頻譜密度一個矩形脈衝的頻譜密度
1, / 2
( )
0, / 2
a
t
g t
t
τ
τ
 ≤
= 
>
/2
2
/2
1 sin( )
( ) ( ) sinc( )
2
j ft j f j f
a
f
G f e dt e e f
j f f
τ π π τ π τ
τ
π τ
τ τ π τ
π π τ
− −
−
= = − = =∫
矩形脈衝的頻寬等於其脈衝持續時間的矩形脈衝的頻寬等於其脈衝持續時間的矩形脈衝的頻寬等於其脈衝持續時間的矩形脈衝的頻寬等於其脈衝持續時間的倒數倒數倒數倒數, 即即即即 (1/τ) Hz
= unit gate function = rect(t/τ)

14. 14
δδδδ函數函數函數函數的的的的性質性質性質性質 : δ函數可以用抽樣函數的極限表示
δδδδ函數函數函數函數的的的的性質性質性質性質
δδδδ函數函數函數函數的的的的性質性質性質性質
0, 0,
( )
1, 0
( ) ( )
t
u t
t
u t tδ
<
= 
≥
′ =
當
當
( ) lim sinc( )
sinc
,
( )
, ,
1
, 1
k
k
t kt
k
kt dt
k
δ
π
π
→∞
∞
−∞
=
↑ ↓
=
↑
∫∵
振幅 波形零點的間隔 波形振盪的衰減越快 但積分等於
t
t
t
0 0( ) ( ) ( )f t f t t t dtδ
∞
−∞
= −∫
f
∆(f)
1
0t
δ(t)
0
δδδδ函數函數函數函數的的的的性質性質性質性質 : δ函數也可以看作是單位躍階函數的導數
單位階躍函數的定義 1
0 t
單位躍階函數

15. 15

16. 16

17. 17
確知信號類型確知信號類型確知信號類型確知信號類型
確知確知確知確知信號頻域性質信號頻域性質信號頻域性質信號頻域性質
• 功率信號頻譜功率信號頻譜功率信號頻譜功率信號頻譜
• 能量信號頻譜能量信號頻譜能量信號頻譜能量信號頻譜密度密度密度密度
• 能量能量能量能量信號能量譜信號能量譜信號能量譜信號能量譜密度密度密度密度
• 功率功率功率功率信號信號信號信號功率功率功率功率譜譜譜譜密度密度密度密度
確知信號時域性質確知信號時域性質確知信號時域性質確知信號時域性質
• 能量信號自相關函數能量信號自相關函數能量信號自相關函數能量信號自相關函數
• 功率功率功率功率信號信號信號信號自相關自相關自相關自相關函數函數函數函數
• 能量能量能量能量信號互相關信號互相關信號互相關信號互相關函數函數函數函數
• 功率功率功率功率信號互相關函數信號互相關函數信號互相關函數信號互相關函數

18. 18
能量信號的能量譜能量信號的能量譜能量信號的能量譜能量信號的能量譜密度密度密度密度:
用來描述信號的能量在頻域上的分佈情況
定義: 設能量信號s(t)的Fourier變換(即頻譜密度)為S(f), 則其能量譜密度G(f )為: G(f) = |S(f)|2
能量 Parseval定理:
22
0
( ) ( ) ( ) 2 ( )E s t dt S f df G f df G f df
∞ ∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
= = = =∫ ∫ ∫ ∫
能量守恆
( )
( )
s t real
S f even
∈
∴ ∈
∵
Ex. 求求求求矩形矩形矩形矩形脈衝的能量譜密度脈衝的能量譜密度脈衝的能量譜密度脈衝的能量譜密度
2 2 22
( ) ( ) sinc( )
( ) ( ) sinc( ) sinc( )
aS f G f f
G f S f f f
τ π τ
τ π τ τ π τ
= =
= = =

19. 19
確知信號類型確知信號類型確知信號類型確知信號類型
確知確知確知確知信號頻域性質信號頻域性質信號頻域性質信號頻域性質
• 功率信號頻譜功率信號頻譜功率信號頻譜功率信號頻譜
• 能量信號頻譜能量信號頻譜能量信號頻譜能量信號頻譜密度密度密度密度
• 能量能量能量能量信號能量譜信號能量譜信號能量譜信號能量譜密度密度密度密度
• 功率功率功率功率信號信號信號信號功率功率功率功率譜譜譜譜密度密度密度密度
確知信號時域性質確知信號時域性質確知信號時域性質確知信號時域性質
• 能量信號自相關函數能量信號自相關函數能量信號自相關函數能量信號自相關函數
• 功率功率功率功率信號信號信號信號自相關自相關自相關自相關函數函數函數函數
• 能量能量能量能量信號互相關信號互相關信號互相關信號互相關函數函數函數函數
• 功率功率功率功率信號互相關函數信號互相關函數信號互相關函數信號互相關函數

20. 20
功率信號的功率譜功率信號的功率譜功率信號的功率譜功率信號的功率譜密度密度密度密度
用來描述信號的功率在頻域上的分佈情況
定義: 信號s(t)的功率譜密度P(f)定義為: , ST(f)為截斷信號sT(t)的Fourier變換.
功率 Parseval定理:
週期信號 Parseval定理:
週期信號功率譜密度:
21
( ) lim ( )T
T
P f S f
T→∞
=
/2
2
/2
1
lim ( ) ( )
T
TT
P s t dt P f df
T
∞
− −∞→∞
= =∫ ∫
0
0
/2 2 22
/2
0
2
0
0
1
( ) ,
( ) ( )
where ( )
0 others
T
n nT
n
n
P s t dt C C
T
P C f f nf df
C f nf
C f
n
δ
∞
−
=−∞
∞
−∞
= =
= −
=
= 

∑∫
∫
第 次諧波的功率
2
0( ) ( ) ( )
n
P f C f f nfδ
∞
=−∞
= −∑

21. 21
, / 2 / 2
( )
0, / 2 ( / 2)
( ) ( ),
V t
s t
t T
s t s t T t
τ τ
τ τ
− ≤ ≤
= 
< < −
= − −∞ < < ∞
Ex. 求週期求週期求週期求週期性方波性方波性方波性方波的的的的PSD
0 T-T
t
τ V
s(t)
0 0
0 0
0 0
/2
/2
2 2
/2
0 /2
2 /2 2 /2
0
0 0
2 2
1 1
2
sin sinc
2
( ) sinc
j nf t j nf t
n
j nf j nf
j nf t j nf t
n
n n
V
C Ve dt e
T T j nf
V e e V V n
nf
T j nf nf T T T
V n
s t C e e
T T
τ
τ π π
τ
τ
π τ π τ
π π
π
τ πτ
π τ
π π
τ πτ
− −
−
−
−
∞ ∞
=−∞ =−∞
 
= = − 
 
−  
= = =  
 
 
= =  
 
∫
∑ ∑
( )
2
0
2
2
0
( ) ( ) ( )sinc and
( ) sinc ( )
n
n
n
P f C
V n
C
T T
V
P f f
f f
T
n
f
f
f n
δ
τ πτ
τ
πτ δ
∞
=−∞
∞
=−∞
= −
 
=  
 
 
= − 
 
∑
∑
∵

22. 22
確知信號類型確知信號類型確知信號類型確知信號類型
確知確知確知確知信號頻域性質信號頻域性質信號頻域性質信號頻域性質
• 功率信號頻譜功率信號頻譜功率信號頻譜功率信號頻譜
• 能量信號頻譜能量信號頻譜能量信號頻譜能量信號頻譜密度密度密度密度
• 能量能量能量能量信號能量譜信號能量譜信號能量譜信號能量譜密度密度密度密度
• 功率功率功率功率信號信號信號信號功率功率功率功率譜譜譜譜密度密度密度密度
確知信號時域性質確知信號時域性質確知信號時域性質確知信號時域性質
• 能量信號自相關函數能量信號自相關函數能量信號自相關函數能量信號自相關函數
• 功率功率功率功率信號信號信號信號自相關自相關自相關自相關函數函數函數函數
• 能量能量能量能量信號互相關信號互相關信號互相關信號互相關函數函數函數函數
• 功率功率功率功率信號互相關函數信號互相關函數信號互相關函數信號互相關函數

23. 23
能量信號的自相關函數能量信號的自相關函數能量信號的自相關函數能量信號的自相關函數
定義定義定義定義： ( ) ( ) ( )R s t s t dtτ τ τ
∞
−∞
= + − ∞ < < ∞∫
性質性質性質性質：
自相關函數R(τ) 和時間t無關, 只和時間差τ 有關
當τ = 0時, R(0)等於信號的能量:
R(τ)是τ 的偶函數:
自相關函數R(τ)和其能量譜密度|S(f)|2是一對Fourier變換:
2
(0) ( )R s t dt E
∞
−∞
= =∫
( ) ( )R Rτ τ= −
2 22 2
( ) ( ) ( ) ( )j f j f
S f R e d R S f e dfπ τ π τ
τ τ τ
∞ ∞
−
−∞ −∞
= ⇔ =∫ ∫

24. 24
功率功率功率功率信號的自相關函數信號的自相關函數信號的自相關函數信號的自相關函數
定義定義定義定義：
/2
/2
1
( ) lim ( ) ( )
T
TT
R s t s t dt
T
τ τ τ
−→∞
= + − ∞ < < ∞∫
性質性質性質性質：
當τ = 0時, R(0)等於信號的平均功率:
R(τ)是τ 的偶函數:
自相關函數R(τ)和其功率譜密度P(f)是一對Fourier變換:
/2
2
/2
1
(0) lim ( )
T
TT
R s t dt P
T −→∞
= =∫
( ) ( )R Rτ τ= −
2 2
( ) ( ) ( ) ( )j f j f
R P f e df P f R e dπ τ π τ
τ τ τ
∞ ∞
−
−∞ −∞
= ⇔ =∫ ∫
0
0
/2
/2
0
1
( ) ( ) (, )
T
T
R s t s t dt
T
τ τ τ
−
= + − ∞ < < ∞∫對於週期功率信號

25. 25
Ex. 求求求求週期性餘弦信號週期性餘弦信號週期性餘弦信號週期性餘弦信號 s(t) = Acos(ωωωω0t+θθθθ ) 的自相關函數的自相關函數的自相關函數的自相關函數 、、、、功率譜密度和平均功率功率譜密度和平均功率功率譜密度和平均功率功率譜密度和平均功率
( ) ( )
0 0
0 0
0 0
0 0
/2 /2
2
0 0/2 /2
0 0
0 0 0
2 2 2
/2 /2
0 0 0 0
/2 /2
0 0
2
0 0
1 1
( ) ( ) ( ) cos( )cos[ ( ) ]
2 2 /
1 1
( ) cos cos(2 2 ) cos
2 2 2
( ) or (
2
T T
T T
T T
T T
R s t s t dt A t t dt
T T
f T
A A A
R dt t dt
T T
A
P
τ τ ω θ ω τ θ
ω π π
τ ω τ ω ω τ θ ω τ
ω π δ ω ω δ ω ω δ
− −
− −
= + = + + +
= =
= ⋅ + + + =
= − + +  
∫ ∫
∫ ∫
自相關函數
功率譜密度
( ) ( )
2
0 0
2
1
) ( )
2
( )
4
(0)
2
f
A
P f f f f f
A
P R
ω δ
π
δ δ
=
= − + +  
= =
平均功率

26. 26
能量信號的能量信號的能量信號的能量信號的互互互互相關函數相關函數相關函數相關函數
定義定義定義定義： 12 1 2( ) ( ) ( ) ,R s t s t dtτ τ τ
∞
−∞
= + − ∞ < < ∞∫
性質性質性質性質：
互相關函數R12(τ) 和時間t無關, 只和時間差τ 有關
R12(τ)和兩個信號相乘的前後順序有關:
互相關函數R12(τ) 和互能量譜密度S12(f)是一對Fourier變換:
21 12( ) ( )R Rτ τ= −
2 2
12 12 12 12
*
12 1 2
( ) ( ) (
wh
) ( )
( ) ( ) ( )ere :
j f j f
R S f e df S f R e d
S f S f S f
π τ π τ
τ τ τ
∞ ∞
−
−∞ −∞
= ⇔ =
=
∫ ∫
互能量譜密度的定義

27. 27
功率功率功率功率信號的信號的信號的信號的互互互互相關函數相關函數相關函數相關函數
定義定義定義定義：
/2
12 1 2/2
1
( ) lim ( ) ( ) ,
T
TT
R s t s t dt
T
τ τ τ
−→∞
= + − ∞ < < ∞∫
性質性質性質性質：
R12(τ)和時間t無關, 只和時間差τ有關
R12(τ)和兩個信號相乘的前後順序有關:
R12(τ) 和互功率譜密度C12(f)是一對Fourier變換:
21 12( ) ( )R Rτ τ= −
[ ] 0 02 2
12 12 12 12 0
*
12 1 2
( ) , ( ) ( ) ( )
whe ( ): )r (e
j nf j nf
n
n n
R C e R C f f nf e df
C C C
π τ π
τ τ δ
∞ ∞
−∞
=−∞
= = −
=
∑ ∫
互功率譜密度的定義
若兩個週期性功率信號的週期相同, 則其互相關函數可以寫為:
0
0
/2
12 1 2/2
0
1
( ) ( ) ( ) ,
T
T
R s t s t dt
T
τ τ τ
−
= + − ∞ < < ∞∫

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