1. 大学基础物理（ 1 ）电子
习题课《刚体力学》 习题课《刚体力学》
教案
习题课《刚体力学》
一、基本规律
二、基本要求
三、习题类型
四、典型例题

2. 习题课《刚体力学》 一、基本规律
一、基本规
律 r
&&，式中 r = 1 Σ∆m r
r r r
1. 质心运动定理 ΣFi = mrc c i i
m
r r
2. 转动定律 M = Iα，式中 I = Σ∆mi ri 2
3. 角动量定理
t2 r r r 2 r
质点组 ∫
t1
M 外dt = ∆L 式中 L = Σ∆m i ri ω i
r r r r r
若或 外外外ΣM
M = i =0 M i << M ij → ∆L = 0
t2 r r r r
刚体 ∫t1
M 外dt = ∆L, 式中 L = I ω
r r r
若恒矢量= 0,∴ I ω2 = I ω1 =
ΣM 外i

3. 习题课《刚体力学》 一、基本规律
4. 功能原理
绕定轴转动 +W
W外力矩非保力矩 = ∆ ( Ek + E p ) = ∆E
1 2 1 
纯滚动 W外 + W非 = ∆  mvc + I cω + E p  = ∆E
2
2 2 
dθ M
5. 进动角速度 ωp = =
dt I ω

4. 习题课《刚体力学》 二、基本要求
二、基本要求
1 、掌握刚体的质心和转动惯量的计算方法
2 、熟练掌握刚体绕定轴作匀加速转动的运动学特点
3 、熟练掌握转动定律处理系统中既有定轴转动又有
平动问题的方法
4 、掌握功能原理在定轴转动和滚动中的应用
5 、掌握处理刚体作平面运动和纯滚动问题的方法
6 、熟练掌握角动量守恒和机械能守恒的条件，提高
运用守恒定律解决具体问题的能力。了解进动的
概念。

5. 习题课《刚体力学》 三、习题类型
第 4 章 52 题 , 其中习题 1 0 ～ 51 = 42
三、习题类型
1. 运动学问题及基本概念 如习题 :1 0 ～ 1 5,21 ,28
2. 转动定律的应用 如习题 :1 6,1 7,20,23,25,37
3. 系统中有平动和定轴转动的问题
如习题 :1 8,22,24,26,27,29,30 ～
32
4. 角动量定理的应用 如习题 :33,34,38 ～ 46
5. 功能原理的应用 如习题 :35,36,41 ,47,48
6. 纯滚动、进动问题 如习题 :49 ～ 51

6. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
例 1. 试求质量为 m , 半径为 R 的匀质圆环绕其对称轴的转动惯量 .
dm
解： I = ∫ r 2 dm， 取 pp 系如图示
θ
o r
m m
Q dm = λdl = dl = dθ
2π R 2π z
2π m
∴ I =∫ R ⋅2
dθ = mR 2
0 2π 例
1
例
● 若该刚体为 m, R, L 的匀 2
例3
质圆柱壳, 绕其对称轴的转动 r 例
o 4
例5
惯量为多少？
例6
方法一：取柱坐标系如
图
dz dm 例7
（dm 可视为质点）

7. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
m
Q dm = σ ds = ( ) Rdθ dz， (r = R)
2π RL 例
2
2π L mR 1
例
∴ I =∫ ∫ dθ dz = mR 2 2
0 0 2π L 例3
m m 例
方法二：dm = σ ds = ( )2π Rdz = dz 4
例5
2π RL L
例6
( 不是质点 ) 例7
L m
I = ∫ dI = ∫ R dm = ∫
2
R2
dz = mR 2
0 L
●
该刚体为 m, L, R2 , R1 ( R2 > R1 ) 的匀质圆筒呢 ?
1
答案：I = m ( R12 + R2 )
2
2

8. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
例 2. 如图 , 一匀质细棒可绕过其端点 O 在竖直平面内自由转动 , 当
3g
细棒与水平线成θ 角时，其角加速度 = α cos θ , L
2L
为棒长。求 : π
(1) 细棒由水平位置的静止状态运动到θ = ,ω
角速度
3
为多大？
(2) 此时端点 A 及中心点 B 线速度的大小 . 例
1
例
dω 3 g 3g 3g 2
例3
解 (1) α = = cos θ → dω = cos θ dt → ω dω = cos θ dθ
dt 2 L 2L 2L 例
ω π 3 3g 3g π 3 3g 4
例5
∫0 ω dω = ∫0 2L cos θ dθ → ω = L sin 3 = 2L
2
例6
例7
∴ ω = 3 3g ( 2L )
L
(2) v A = ω L = 3 3gL 2 vB = ω = 3 3gL 8
2

9. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
例 3. 如图 , 在光滑的水平桌面上有一长为 l 质量为M 的匀质细棒
r
以速度 v 运动 , 与一固定在桌面上的钉子
O 相碰 , 碰后细棒将O
绕点
转动 . 试求 :(1) 碰前棒对轴
O 的角动量 ;
(2) 碰后棒绕轴 O 的转动角速度。
M
l 4 1
解 (1) L = ∫ dmv ⋅ x = v ∫ xdm = v ∫ xdx = − Mlv 例
l l − 3l 4 l 4
1
例
1 1 l4 M l l 1
M ∫l M ∫−3l 4 l
Q xc = xdm = xdx = − ∴ L = Mv xc = Mv = Mlv 2
例3
4 4 4
例
可证 : 平动刚体对和运动平面垂直的转轴的角动量等于其 4
例5
质心对该转轴的角动量。 例6
1 1 l 7 12v 例7
(2) 角动量守恒 Mlv = I ω Q I = Ml 2 + M ( ) 2 = Ml 2 ∴ω =
4 12 4 48 7l

10. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
m
例 4. 如图 , 一刚体由长为 l 质量为m 的匀质细杆和质量为 的小球
( 视为质点 ) 固定在其一端而组成 , 且可绕杆的另一端点的轴 O 在
竖直
平面内转动 . 若轴处无摩擦 , 求当杆由水平位置转到与竖直方向成
角时的角速度和此时小球的法向加速度 .
θ0
解 方法 1 应用转动定律求 例
1
例
l 3
M = mgl sin θ + mg sin θ = mgl sin θ 2
例3
2 2
例
M 3  1  9 g sin θ
α = − = − mgl sin θ  ml 2 + ml 2  = − 4
例5
I 2  3  8l
例6
dω dω dθ dω dω 9 g sin θ
Qα = = = ω ∴ω =− 例7
dt dθ dt dθ dθ 8l
ω 9 g θ0 3 9
∫ ω dω = − ∫ sin θ dθ →ω = g cos θ 0 / l an = lω = g cos θ 0
2
0 8l π 2 2 4

11. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
方法 2 应用角动量定理求
设刚体由水平位置转到与竖直方向成 θ 0角经历的时间为 t , 由
角动量定理得
3 4 2
Mdt = dL = Idω → − mgl sin θ dt = ml dω
2 3 例
1
例
dθ 3 dθ 4 2
Q dt = ∴ − mgl sin θ = ml dω 2
例3
ω 2 ω 3 例
4
例5
3 θ0 4 2 ω
分离变量 , 积分 − mgl ∫ sin θ dθ = ml ∫ ω dω 例6
2 π 2 3 0
例7
3 9
得 ω= g cos θ 0 / l an = lω = g cos θ 0
2
2 4

12. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
方法 3 应用动能定理求
例
1
取定轴转动刚体为系统 , 则地球对刚体作用的重力 例
矩 2
例3
3
M = mgl sin θ 例
2 4
例5
1 2
为外力矩 . 由动能定理 ∫ Mdθ = ∆Ek = EK = 2
Iω 例6
例7
θ03 14 2 2 3 14 2 2
即 −∫ mgl sin θ dθ =  ml  ω → mgl cos θ 0 =  ml  ω
π 22 23  2 23 
3 9
∴ ω= g cos θ 0 / l an = lω = g cos θ 0
2
2 4

13. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
方法 4 应用功能原理求
取定轴转动刚体和地球为系统 , 则系统受合外力矩为零 ( 重力
矩
为保守内力矩 ). 转动过程中机械能守恒 , 取初始位置的重力势能为
零,则
1 2 1
初态机械能 0 末态机械能 I ω − mgl cos θ 0 − mgl cos θ 0
2 2
1 2 1 14  3
即 I ω − mgl cos θ 0 − mgl cos θ 0 = 0 →  ml 2  ω 2 = mgl cos θ 0
2 2 23  2
3 9
∴ ω= g cos θ 0 / l an = lω = g cos θ 0
2
2 4
例 例2 例3 例 例5 例6 例7
1 4

14. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
例 5. 一刚性轻杆长为 l ，两端连着两个质量都是 m 的质点 A
和 B ，放置在光滑无摩擦力的水平面上，今有另一质量也是 m
的质点以速度 v0 与质点 B 相碰 , ＋
●
若碰后质点 P 沿原来的反方向弹 A
C ●
回，且碰撞是完全弹性的（如 P B 450
● r ● ＋
图），试求碰后杆绕其质心的角 v0
速度 ω、 AB 质心速度 vc 和 P 反
弹速度 v’ 。 例 例2 例3 例 例5 例6 例7
1 4

15. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
解： (1) A，， P
B
r r
(2)重力 , 支撑力 Σ F = 0，Σ M = 0
r r
(3) P、、 E 守恒 , 取平动和转动的正方向如图示
L
(4) mv0 = 2mvc − mv '
l l 例
mv0 sin 45 = −mv ' sin 45o + I ω
o
1
例
2 2
2
例3
1 2 1 1 1 2
mv0 = (2m)vc + mv ' + I ω
2 2
例
2 2 2 2 4
例5
4 2 v0 4 v0 例6
(5) ω = ，，= v0 v ' =
vc 例7
7 l 7 7

16. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
例 6. 长为 l ，质量为 m 的匀质杆，在光 y
ω
滑桌面上由竖直位置自然倒下，当夹角 θ
为 θ 时，求 r c ●
N ●
(1) 杆的角速度 ω； (2) 质心的速度 vc ； r
mg
π x
若 θ→ 时 , 地面对杆的作用力 N 。
2
r 例
r l
解： ● 杆；、和
●N mg N sin θ ● 取坐标系 1
例
2 2
例3
l
● N − mg = mac ( 1) N sin θ = I cα ( 2 ) 例
2 4
例5
l 例6
质心坐标系为 xc = 0，yc = cos θ
2 例7

17. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
l
∴ vc = yc = − sin θ ⋅ ω
& 3
（） 不是纯滚动 例
2 1
例
l
ac = vc = − （）（）+ ω 2 cos θ
& α sin θ 4 2
例3
2 例
4
例5
系统 : 杆 + 地 ,E 守恒 , 取地面为势能 0 点
l 1 2 1 l 例6
有（） cos θ + mvc + I cω = mg
mg 2
5 例7
2 2 2 2
1 1
 2 g (1 − cos θ )  2 l  2 g (1 − cos θ )  2
∴ ω=  ；vc = − 2 sin θ  (1 + 3sin 2 θ )l 
 (1 + 3sin θ )l 
2
 
π mg 3 3g
令 θ→ ，，， N= ac = − g α =
2 4 4 2l

18. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
例 7. 如图，斜面与水平面的夹角为 θ ，有一根轻而薄
的带子绕在圆柱体（ M ， R ）上面，这带子跨过一轻而
光滑的固定滑轮系在一物体 m 上 . 求
：
(1) 此圆柱体沿斜面向下滚动的加速度 ( 无滑动 )
例
(2) 带子中的张力 1
例
● 2
例3
α ＋ 例
＋ 4
例5
M 例6
R
m 例7
θ

19. 习题课《刚体力学》 四、典型例题
解：研究对象 ; 受力分析 r/
＋ P T
M ：Mg sin θ − T − f = Mac ( 1) α
●
●
c
r
1 a r
R f − T = Iα = MR α
（） 2
( 2) r f
2 Mg
m：T − mg = ma ( 3) r
T
a p = 2ac = 2 Rα = a ( 4) ac = Rα ( 5) ＋
r
M sin θ − 2m a
∴ ac = g， T = m( g + a)
3
M + 4m r
mg
2
END 例 例2 例3 例 例5 例6 例7 返回
1 4

20. 习题课《刚体力学》
第 4 章作
业
作业 自学 预习
第1次 12,15,21, 补 9 §4.4
第2次 23,29,34, 补 10 §4.5,7
第3次 35,41,48, 补 14 §4.6 §6.1
第4次 49. 补 13 §6.1