Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận án tiến sĩ ngành vật lí với đề tài: Nghiên cứu các tính chất phi cổ điển, dò tìm đan rối và viễn tải lượng tử của một số trạng thái phi cổ điển mới, cho các bạn làm luận án tham khảo

1. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI
NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN,
DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ
CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI
LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
HUẾ, 2016

2. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI
NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN,
DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ
CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 62 44 01 03
LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS. Nguyễn Bá Ân
2. PGS.TS. Trương Minh Đức
HUẾ, 2016

3. LỜI CẢM ƠN
Trên con đường học tập, nghiên cứu của mình, tôi đã may mắn gặp
được những người thầy, người cô đáng kính. Tôi không tìm được từ ngữ
nào ngoài lời cảm ơn chân thành để bày tỏ lòng biết ơn cũng như sự kính
trọng của mình đối với những gì các thầy, cô đã dành cho tôi. Xin chân
thành cảm ơn thầy Trương Minh Đức, thầy không những là người định
hướng cho nghiên cứu của tôi, dạy cho tôi cách viết một bài luận nghiên
cứu chi tiết đến từng dấu chấm, dấu phẩy từ khi còn là sinh viên sư
phạm mà còn là người luôn giúp đỡ, động viên và cỗ vũ cho tôi vững tin
vượt qua những khó khăn. Đặc biệt, thầy đã giới thiệu và mang đến cho
tôi cơ hội nhận được sự quan tâm và giúp đỡ của thầy Nguyễn Bá Ân,
một người thầy hết lòng vì học trò. Những ngày tháng ngắn ngủi được
làm việc trực tiếp với thầy tận thủ đô Seoul đã cho tôi không những kiến
thức, sự tự tin mà còn là những kỷ niệm không bao giờ quên về tấm
lòng của một người thầy đã dành cho một đứa học trò không có gì nổi
bật như tôi. Ở một ga tàu điện nhỏ, thầy luôn đến trước và đợi tôi ở đó
mỗi cuối tuần để tôi được nhận những bài giảng từ thầy và thấp thỏm
đợi email tôi báo tin đã về đến nhà an toàn sau mỗi buổi học. Là cuốn
luận văn với chi chít những góp ý từ nội dung đến chi tiết từng câu chữ.
Là nỗi lo lắng khi giới thiệu tôi cho giáo sư Kisik Kim - Đại học Inha
khi mà chưa biết tôi có làm thầy thất vọng hay không. Xin gửi đến thầy
tấm lòng tri ân của người học trò với lời hứa sẽ tiếp tục con đường này
một cách nghiêm túc và có kết quả. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến thầy
Đinh Như Thảo, mặc dầu không trực tiếp hướng dẫn tôi trong nghiên
cứu này nhưng thầy vẫn luôn quan tâm, giúp đỡ và chia sẻ niềm vui với

4. tôi mỗi khi tôi có cơ hội được học tập, nghiên cứu ở nước ngoài, hay khi
tôi đạt được một kết quả nào đó. Kính gửi đến tất cả các thầy, cô đã
từng giảng dạy cho tôi lòng biết ơn sâu sắc.
Trân trọng cảm ơn Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm - Đại
học Huế cùng tất các thầy, cô trong khoa đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho tôi trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo sau Đại học - Trường Đại
học Sư phạm - Đại học Huế với sự giúp đỡ nhiệt tình của chị Trần Thị
Đông Hà trong việc hoàn thành các thủ tục hành chính trong suốt quá
trình học tập cũng như chuẩn bị cho việc bảo vệ luận án.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô, anh, chị, em đồng
nghiệp trong Khoa Vật lý - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng
đã luôn giúp đỡ, tạo diều kiện tốt nhất cho tôi trong nghiên cứu, học
tập và công tác.
Xin cảm ơn Quỹ phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia đã tài
trợ kinh phí cho tôi trong việc công bố các công trình khoa học.
Cuối cùng là lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình. Cuối
cùng không phải vì kém quan trọng mà vì gia đình luôn là những người
đứng sau động viên và hết lòng ủng hộ tôi trong suốt quá trình học tập.
Cảm ơn bố mẹ đã luôn bên cạnh và tự hào về con. Cảm ơn cô em gái đã
luôn vui với những niềm vui của chị, đã tận tình giúp ông bà chăm sóc
nhóc Cafe những ngày chị vắng nhà. Cảm ơn chồng đã luôn bên cạnh
giúp đỡ, động viên, ủng hộ vợ hết mình. Mẹ cũng cảm ơn nhóc Cafe
đáng yêu, ngoan ngoãn và vẫn yêu quý mẹ sau những ngày tháng không
ở bên mẹ. Cảm ơn hai bố con nhiều lắm.
Xin chân thành cảm ơn tất cả!

5. LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các
kết quả, số liệu, đồ thị được nêu trong luận án là trung thực và chưa
từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả luận án

6. KÝ HIỆU VIẾT TẮT
Từ viết tắt Tên đầy đủ tiếng Anh Tên đầy đủ tiếng Việt
BS Beam splitter Thiết bị tách chùm
DC Downconverter Bộ chuyển đổi
PD Photo-detector Máy đếm photon

7. MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Ký hiệu viết tắt
Mục lục
Danh sách hình vẽ
Mở đầu 1
Chương 1. Tổng quan về trạng thái phi cổ điển, tiêu chuẩn
dò tìm đan rối và viễn tải lượng tử 10
1.1. Trạng thái phi cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1. Trạng thái kết hợp - Định nghĩa trạng thái phi cổ
điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.2. Trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.3. Trạng thái kết hợp thêm photon . . . . . . . . . . 19
1.2. Tiêu chuẩn dò tìm đan rối . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1. Phương pháp định lượng độ rối . . . . . . . . . . 23

8. 1.2.2. Tiêu chuẩn đan rối Shchukin-Vogel . . . . . . . . 25
1.3. Viễn tải lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1. Viễn tải lượng tử với biến gián đoạn . . . . . . . 31
1.3.2. Viễn tải lượng tử với biến liên tục . . . . . . . . . 35
Chương 2. Trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai
mode 38
2.1. Định nghĩa trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai
mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2. Hàm Wigner của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3. Tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode . 48
2.3.1. Sơ đồ sử dụng thiết bị tách chùm . . . . . . . . . 49
2.3.2. Sơ đồ sử dụng bộ chuyển đổi tham số không suy
biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Chương 3. Các tính chất phi cổ điển của trạng thái nén dịch
chuyển thêm photon hai mode 61
3.1. Tính chất nén tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2. Tính chất nén hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3. Tính chất phản kết chùm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4. Tính chất đan rối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.1. Điều kiện đan rối . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.2. Hàm phân bố số photon . . . . . . . . . . . . . . 80

9. 3.4.3. Định lượng độ rối . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Chương 4. Viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối nén dịch
chuyển thêm photon hai mode 88
4.1. Biểu thức giải tích của độ tin cậy trung bình . . . . . . . 89
4.2. Tính số và biện luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Kết luận 99
Danh mục công trình khoa học của tác giả đã sử dụng trong luận án103
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10. DANH SÁCH HÌNH VẼ
1.1. Sự phụ thuộc của hệ số nén Sx của trạng thái kết hợp
thêm photon vào tham số dịch chuyển |α| với các giá trị
của m = 0, 5, 10, 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2. Sự phụ thuộc của hệ số Q của trạng thái kết hợp thêm
photon vào tham số dịch chuyển |α| với các giá trị của
m = 0, 5, 10, 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Sự phụ thuộc của hàm G(|ξ|) vào |ξ| cho m, n thỏa mãn
điều kiện (a) m + n = 3 và (b) m + n = 6 . . . . . . . . 48
2.2. Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai
mode sử dụng thiết bị tách chùm . . . . . . . . . . . . . 50
2.3. Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FBS và xác suất thành
công tương ứng P ≡ PBS vào hệ số truyền qua t của các
thiết bị tách chùm BS1 và BS2 khi α = β = s = 0.1 với
{m, n} = {1, 1}, {1, 2} và {2, 2} . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4. Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FBS và xác suất thành
công tương ứng P ≡ PBS vào hệ số truyền qua t của
các thiết bị tách chùm BS1 và BS2 khi m = n = 1 với
α = β = s = 0.1, 0.3 và 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

11. 2.5. Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai
mode sử dụng bộ chuyển đổi tham số không suy biến . . 56
2.6. Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FDC và xác suất thành
công tương ứng P ≡ PDC vào tham số nén z của DC2 và
DC3 khi α = β = s = 0.1 với {m, n} = {1, 1}, {1, 2} và
{2, 2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7. Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FDC và xác suất thành
công tương ứng P ≡ PDC vào tham số nén z của DC2 và
DC3 khi m = n = 1 với α = β = s = 0.1, 0.3 và 0.5 . . . 58
3.1. Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào các góc ϕ1 và ϕ2
khi |α| = 2, |β| = 5 và r = 0.5 cho trường hợp thêm một
photon vào mode a (m = 1, n = 0) . . . . . . . . . . . . 65
3.2. Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào góc ϕ2 khi cố định
ϕ1 = 0 với |α| = 2, |β| = 5 và r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0},
{5, 0} và {10, 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3. Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào các tham số
dịch chuyển ở cả hai mode |α| và |β| khi ϕ1 = ϕ2 = 0,
r = 0.35 cho trường hợp chỉ thêm một photon vào mode
a (m = 1, n = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4. Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào tham số dịch
chuyển (a) |α| (khi cố định |β| = 20); (b) |β| (khi cố định
|α| = 5) với ϕ1 = ϕ2 = 0, r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0},
{5, 0} và {10, 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5. Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào tham số nén r
khi ϕ1 = ϕ2 = 0, |α| = 2.5, |β| = 5 cho {m, n} = {1, 0},
{5, 0} và {10, 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

12. 3.6. Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào các góc γ1 và γ2
khi |α| = 2, |β| = 5 và r = 0.5 cho trường hợp chỉ thêm
một photon vào mode a (m = 1, n = 0) . . . . . . . . . . 70
3.7. Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số dịch
chuyển (a) |α| (khi cố định |β| = 10); (b) |β| (khi cố định
|α| = 2) với γ1 = γ2 = 0, r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0},
{5, 0} và {10, 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8. Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số nén r
khi γ1 = γ2 = 0, |α| = 2 và |β| = 10 cho {m, n} = {1, 0},
{5, 0} và {10, 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.9. Sự phụ thuộc của các hệ số phản kết chùm R11, R31 và
R52 vào góc ϕ khi |α| = 0.1, |β| = 0.7, r = 0.8 cho trường
hợp m = 3, n = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.10. Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm (a) R11 và (b) R42
vào tham số nén r khi |α| = 0.1, |β| = 0.7 và ϕ = π cho
{m, n} = {2, 0}, {4, 0} và {6, 0} . . . . . . . . . . . . . . 74
3.11. Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm Rlk vào tham số
nén r với |α| = 0.1, |β| = 0.7 và ϕ = π cho m = 1, n = 0
khi (a) k = 3, l thay đổi từ 3 đến 6, (b) l = 4, k thay đổi
từ 1 đến 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.12. Sự phụ thuộc của các hệ số phản kết chùm Rlk (gồm R66,
R54, R42 và R52) vào tham số nén r với |α| = 0.1, |β| = 0.7
và ϕ = π cho m = 3, n = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.13. Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm (a) R11 và (b)
R22 vào tham số nén r với |α| = |β| = 0.2 và ϕ = π cho
{m, n} = {3, 3}, {3, 4}, {3, 1} và {3, 0} . . . . . . . . . . 75

13. 3.14. Sự phụ thuộc của hệ số đan rối E vào góc θ với {ϕa, ϕb} =
{0, 0}, {0, π/2} và {0, π} khi cố định các tham số còn lại
tại |α| = |β| = 0.1, r = 1 và m = n = 1 . . . . . . . . . . 78
3.15. Sự phụ thuộc của hệ số đan rối E vào tham số nén r với
|α| = |β| = 0.1, ϕa = ϕb = 0 và θ = π cho {m, n} = {0, 0},
{1, 0}, {1, 1}, {2, 1} và {2, 2} . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.16. Hàm phân bố số photon P
(a)
q cho mode a khi cố định
tham số nén s = 1 của (a) trạng thái nén hai mode, (b)
trạng thái nén thêm photon hai mode với {m, n} = {1, 1}
và (c) trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode
với {m, n} = {1, 1}, α = β = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . 83
3.17. Entropy tuyến tính L của trạng thái nén hai mode, trạng
thái nén thêm photon hai mode với một photon được thêm
vào mỗi mode {m, n} = {1, 1} và trạng thái nén dịch
chuyển thêm photon hai mode với α = β = 0.5 và lượng
photon thêm vào cũng là {m, n} = {1, 1} theo tham số
nén r khi cố định θ = π . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.18. Sự phụ thuộc của entropy tuyến tính L của trạng thái
nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén
r với θ = π và α = β = 0.1 cho {m, n} = {0, 0}, {1, 0},
{1, 1}, {2, 1} và {2, 2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1. Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá
trình viễn tải trạng thái kết hợp |γ sử dụng nguồn rối
nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén
r với θ = π và α = β = 0 cho {m, n} = {3, 3}, {3, 2},
{3, 1} và {3, 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

14. 4.2. Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá
trình viễn tải trạng thái Fock |1 sử dụng nguồn rối nén
dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén r với
θ = π và α = β = 0 cho {m, n} = {3, 3}, {3, 2}, {3, 1} và
{3, 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3. Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá
trình viễn tải trạng thái kết hợp và trạng thái Fock |1 sử
dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode
vào tham số nén r với θ = π, α = β = 0 cho {m, n} = {1, 1} 97
4.4. Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá
trình viễn tải trạng thái Fock |2 sử dụng nguồn rối nén
hai mode và nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai
mode cho {m, n} = {1, 1}, {2, 2} và {3, 3} vào tham số
nén r với θ = π và α = β = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 97

15. 1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thông tin liên lạc luôn là nhu cầu tất yếu của con người trong mọi
thời đại. Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, lĩnh vực thông
tin liên lạc không ngừng phát triển cả về phương tiện và cách thức truyền
tin để đảm bảo thông tin được truyền đi xa, nhanh, chính xác và bảo
mật. Trong công nghệ truyền tin quang học, các nhà khoa học luôn có
sự quan tâm đặc biệt đến việc tìm cách giảm thiểu tối đa các tạp âm hay
các thăng giáng lượng tử trong quá trình truyền tin bởi chính các thăng
giáng này làm cho tín hiệu bị nhiễu, giảm độ chính xác đồng thời kéo
theo giảm cả tốc độ truyền tin. Trên thực tế, các nhà vật lý lý thuyết lẫn
thực nghiệm đã tiếp cận tới giới hạn lượng tử chuẩn và ngày càng tiến
xa hơn để tìm ra các trạng thái vật lý mà ở đó các thăng giáng lượng
tử được hạn chế đến mức tối đa, mang lại sự cải thiện đáng kể về tính
lọc lựa, độ chính xác và đặc biệt là tính bảo mật của thông tin truyền
đi [35]. Tuy nhiên, với cách thức truyền thông tin mà chúng ta vẫn đang
sử dụng hiện nay thì tính bảo mật của thông tin không được đảm bảo.
Đâu đó thông tin vẫn có thể lọt ra ngoài dù đã được mã hóa rất nhiều
lần. Vậy liệu có cách nào để thông tin truyền đi xa mà vẫn đảm bảo
chất lượng và bảo mật một cách tuyệt đối? Câu trả lời nằm trong một
lý thuyết mới được đề xuất gần đây – lý thuyết thông tin lượng tử mà

16. 2
ở đó thông tin không những được mã hóa trong các trạng thái lượng tử
mà còn được xử lý theo các quy luật của cơ học lượng tử [31].
Lý thuyết thông tin lượng tử là sự kết hợp giữa cơ học lượng tử
và lý thuyết thông tin. Với những tính chất đặc biệt của hệ lượng tử,
khi được áp dụng vào các quá trình xử lý thông tin sẽ cho ta những
điều kỳ diệu vượt lên hẳn những quá trình xử lý thông tin cổ điển tối
ưu nhất. Ví dụ, nếu thông tin được mã hóa trong trạng thái lượng tử
thì tính không thể copy của trạng thái lượng tử sẽ đảm bảo cho thông
tin được bảo mật. Từ khi ra đời, lý thuyết thông tin lượng tử không
ngừng phát triển và hiện vẫn đang thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoa
học kể cả lý thuyết và thực nghiệm trên toàn thế giới, trong đó viễn tải
lượng tử được xem như là một trong những quá trình nổi bật nhất [31],
[47]. Một cách ngắn gọn, viễn tải lượng tử là quá trình mà thông tin có
thể được chuyển đi với độ chính xác và tính bảo mật tuyệt đối nhờ sử
dụng một hệ lượng tử đặc biệt (được gọi là hệ đan rối hoàn hảo) kết
hợp với một kênh thông tin cổ điển. Trong quá trình này, thông tin được
chuyển đến người nhận bằng cách hủy trạng thái mang thông tin ở nơi
gửi để rồi khôi phục nó ở nơi nhận thông qua trạng thái đan rối đã được
chia sẻ trước đó mà không cần truyền trực tiếp trạng thái mang thông
tin. Nhờ đó thông tin hoàn toàn được bảo mật. Viễn tải lượng tử được
đưa ra lần đầu tiên bởi Bennett và các cộng sự trong phạm vi biến rời
rạc [24] và sau đó cũng đã được đề xuất với biến liên tục bởi Vaidman
[93]. Ý tưởng của Vaidman tiếp tục được mô tả một cách gần với thực
nghiệm hơn bởi Braunstein và Kimble [30]. Lợi thế của viễn tải lượng
tử sử dụng hệ biến liên tục là có thể truyền tin bằng sóng điện từ. Tuy
nhiên, vấn đề gặp phải đối với biến liên tục là để đảm bảo độ tin cậy
của quá trình viễn tải bằng một (nghĩa là thông tin được chuyển đi với

17. 3
độ chính xác tuyệt đối) cần phải có một nguồn rối hoàn hảo. Trong mô
hình của Braunstein và Kimble, nguồn rối được đề xuất là trạng thái
nén hai mode. Trạng thái này là trạng thái lý tưởng với điều kiện tham
số nén của nó là vô cùng. Thật không may, điều lý tưởng bao giờ cũng
chỉ nằm trong các bản thảo lý thuyết. Trên thực tế, trạng thái nén hai
mode tạo được bằng thực nghiệm có mức độ nén (trong trường hợp này
cũng chính là độ rối) tương đối nhỏ, kéo theo độ tin cậy của quá trình
viễn tải không cao. Thực tế này, kết hợp với nhiều vấn đề thực nghiệm
khác làm cho quá trình viễn tải mặc dù đã được tiến hành thành công
trong phòng thí nghiệm nhưng độ tin cậy đạt được cũng chỉ mới 0.58
[28], [45], [89]. Do vậy, tìm ra giải pháp cho các khó khăn liên quan đến
hiện thực hóa viễn tải lượng tử, mà trước hơn hết là việc tìm nguồn rối
và cải thiện độ rối của nó trong điều kiện thực tế, là những vấn đề hết
sức quan trọng, đang rất được quan tâm hiện nay bởi nguồn rối hoàn
hảo là điều kiện tiên quyết cho sự thành công của viễn tải nói riêng cũng
như bất kỳ một quá trình xử lý thông tin lượng tử nói chung.
Gần đây, trong các nghiên cứu về trạng thái phi cổ điển nổi lên một
trạng thái đáng được quan tâm, đó là trạng thái kết hợp thêm photon
[17]. Như chúng ta đã biết, trạng thái kết hợp là trạng thái cổ điển. Tuy
nhiên, sau khi chịu tác dụng của toán tử sinh photon, nó trở thành một
trạng thái hoàn toàn mới về cả hình thức và tính chất. Các hiệu ứng phi
cổ điển như hiệu ứng nén và sub-Poisson bắt đầu xuất hiện bằng việc
thêm vào trạng thái kết hợp chỉ một photon, cách diễn đạt cho việc tác
dụng toán tử sinh photon lên trạng thái một lần duy nhất. Nếu tiếp tục
lặp lại thao tác này thì các hiệu ứng phi cổ điển trên sẽ thể hiện càng
rõ [17]. Hơn nữa, theo phép đo độ phi cổ điển được đề xuất bởi Lee [64],
tác dụng của toán tử sinh photon không chỉ lên trạng thái kết hợp mà

18. 4
lên bất kỳ một trạng thái nào đó sẽ biến trạng thái đó thành phi cổ điển
với độ phi cổ điển tối đa [65]. Điều này gợi ra một hy vọng rằng việc
tác dụng toán tử sinh photon lên một trạng thái phi cổ điển có thể làm
tăng mức độ của các hiệu ứng phi cổ điển trong đó có hiệu ứng đan rối.
Đặc biệt, mô phỏng thực nghiệm cho tác dụng của toán tử sinh photon
lên trạng thái kết hợp đã được tiến hành thành công chỉ với các thiết bị
quang học thường dùng như thiết bị tách chùm hay bộ chuyển đổi tham
số không suy biến, kết hợp với máy đếm photon [95]. Như vậy, nếu thực
sự các hiệu ứng phi cổ điển, đặc biệt hiệu ứng đan rối, của trạng thái
nén hai mode được tăng cường nhờ tác dụng của toán tử sinh photon thì
trạng thái mới này hứa hẹn những ứng dụng đầy khả quan không những
trong lĩnh vực thông tin lượng tử mà còn trong nhiều lĩnh vực khác, là
những lĩnh vực đòi hỏi một nguồn phi cổ điển mạnh. Đó là lý do chúng
tôi chọn đề tài "Nghiên cứu các tính chất phi cổ điển, dò tìm
đan rối và viễn tải lượng tử của một số trạng thái phi cổ điển
mới". Các trạng thái phi cổ điển mới mà chúng tôi muốn khảo sát ở đây
chính là lớp trạng thái có tên trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode, được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử sinh photon với
số lần lặp lại khác nhau và toán tử dịch chuyển lên trạng thái nén hai
mode. Như những gì mong đợi, đề tài đã chỉ ra được rằng trạng thái nén
dịch chuyển thêm photon hai mode có độ phi cổ điển mạnh hơn và độ
rối được tăng cường so với trạng thái nén thông thường. Từ đó đề xuất
một phương pháp có ý nghĩa thực tiễn để cải thiện độ rối, đó là tác dụng
một hoặc nhiều lần toán tử sinh photon vào cả hai mode của trạng thái
có độ rối hữu hạn cho trước.

19. 5
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu chính của đề tài là khảo sát vai trò của toán tử sinh photon
đối với các tính chất phi cổ điển của trạng thái nén dịch chuyển thêm
photon hai mode và đánh giá hiệu suất của nó khi áp dụng vào quá trình
viễn tải lượng tử. Mục tiêu này được triển khai thành các mục tiêu cụ
thể như sau:
• Tìm hàm Wigner, một hàm phân bố giả xác suất, của trạng thái
nén dịch chuyển thêm photon hai mode cũng như điều kiện của một số
hiệu ứng phi cổ điển thể hiện trong trạng thái này bao gồm nén đa mode
và phản kết chùm bậc cao nhằm chứng tỏ ảnh hưởng tốt của toán tử
sinh photon lên tính chất phi cổ điển của trạng thái.
• Tìm điều kiện đan rối của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode, trên cơ sở đó chứng minh vai trò của toán tử sinh photon trong
việc tăng cường độ rối của trạng thái.
• Xác định độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải lượng tử
khi sử dụng nguồn rối là trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai
mode và chứng tỏ tác dụng tích cực của trạng thái này trong việc cải
thiện độ tin cậy viễn tải.
• Đưa ra các sơ đồ thực nghiệm để thêm photon vào trạng thái nén
dịch chuyển hai mode và khảo sát chi tiết mối liên hệ giữa độ tin cậy
của trạng thái tạo được và xác suất thành công.

20. 6
3. Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Với mục tiêu đã đề ra như trên, đề tài tập trung vào ba nội dung
chính:
• Nghiên cứu chung về trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai
mode bao gồm xác định hệ số chuẩn hóa trong trường hợp tổng quát khi
thêm photon vào cả hai mode và tính hàm Wigner của trạng thái.
• Khảo sát các sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode dựa trên các thiết bị quang học thường dùng như thiết bị tách
chùm, bộ chuyển đổi tham số và máy đếm photon.
• Nghiên cứu một số tính chất phi cổ điển của trạng thái nén dịch
chuyển thêm photon hai mode như tính chất nén tổng, nén hiệu, phản
kết chùm bậc cao và đặc biệt là tính chất đan rối.
• Khảo sát độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải lượng tử sử
dụng nguồn rối là trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode.
Tất cả các nghiên cứu đều bao gồm tìm biểu thức giải tích của các
hệ số đặc trưng cho vấn đề đang xem xét rồi tính số các kết quả giải
tích này, trên cơ sở đó đưa ra các nhận xét và biện luận cần thiết. Do
tính phức tạp trong quá trình đưa ra các biểu thức giải tích cũng như
khi tính số mà một số nghiên cứu chỉ khảo sát với các tham số thực,
nghĩa là cho pha phức của nó bằng không. Điều này sẽ được nhắc đến
cũng như giải thích cụ thể trong phần nội dung của luận án ở mỗi lần
sử dụng giới hạn này.

21. 7
4. Phương pháp nghiên cứu
Để đưa ra biểu thức giải tích của các hệ số đặc trưng cho các hiệu
ứng phi cổ điển, hiệu ứng đan rối, độ tin cậy viễn tải cũng như hàm
Wigner, chúng tôi sử dụng hai phương pháp nghiên cứu lý thuyết đặc
thù trong quang lượng tử và thông tin lượng tử là phương pháp lý thuyết
lượng tử hóa trường lần thứ hai và phương pháp thống kê lượng tử. Bên
cạnh đó, để biện luận các kết quả giải tích thu được, trên cơ sở đó đánh
giá vai trò của toán tử sinh photon, chúng tôi sử dụng phương pháp tính
số bằng phần mềm chuyên dụng Mathematica.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Những kết quả thu được của đề tài đóng góp một phần quan trọng
vào nỗ lực tìm kiếm nguồn rối mới và cải thiện độ rối của nó để có thể
sử dụng cho các quá trình viễn tải lượng tử với biến liên tục trong thực
tế. Đề xuất được phương pháp để cải thiện độ rối, từ đó góp phần phát
triển lý thuyết thông tin lượng tử. Ngoài ra, kết quả của đề tài còn có
vai trò định hướng, cung cấp thông tin cho vật lý thực nghiệm trong việc
dò tìm các hiệu ứng phi cổ điển, tạo ra các trạng thái phi cổ điển và sử
dụng chúng vào quá trình viễn tải lượng tử.
6. Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, danh mục các hình vẽ, danh mục
các công trình của tác giả được sử dụng trong luận án, tài liệu tham
khảo và phụ lục, nội dung của luận án được trình bày trong 4 chương.

22. 8
Nội dung cụ thể của các chương như sau:
• Chương 1 trình bày tổng quan về các nghiên cứu liên quan đến
trạng thái phi cổ điển, dò tìm đan rối và quá trình viễn tải lượng tử
đồng thời tóm tắt một số cơ sở lý thuyết liên quan trực tiếp đến những
nội dung nghiên cứu của đề tài như trạng thái kết hợp, trạng thái nén,
trạng thái kết hợp thêm photon, phương pháp định lượng độ rối, tiêu
chuẩn đan rối Shchukin-Vogel và mô hình viễn tải lượng tử.
• Chương 2 trình bày những nghiên cứu chung về trạng thái nén
dịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm xác định hệ số chuẩn hóa,
tính hàm phân bố giả xác suất Wigner, giải thích và nhận xét hai sơ đồ
khác nhau để tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode.
• Chương 3 trình bày những nghiên cứu về các tính chất phi cổ điển
của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm đưa ra
các biểu thức giải tích về hệ số nén tổng, hệ số nén hiệu, hệ số phản
kết chùm, hệ số đan rối, hàm phân bố số photon và entropy tuyến tính;
xem xét sự phụ thuộc của các hệ số này vào các tham số của trạng thái
cũng như số photon được thêm vào rồi rút ra những nhận xét, biện luận
tương ứng.
• Chương 4 trình bày nghiên cứu về quá trình viễn tải lượng tử sử
dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao gồm tính
toán độ tin cậy trung bình khi viễn tải trạng thái kết hợp hoặc trạng
thái Fock và khảo sát ảnh hưởng của tham số nén của trạng thái cũng
như số photon thêm vào lên độ tin cậy viễn tải.
Các kết quả nghiên cứu của luận án được công bố trong 04 công
trình dưới dạng các bài báo khoa học, trong đó có 01 bài đăng trong
tạp chí chuyên ngành quốc gia (Communications in Physics), 02 bài

23. 9
đăng trên tạp chí chuyên ngành quốc tế nằm trong hệ thống SCI (01
bài trong International Journal of Theoretical Physics, 01 bài trong In-
ternational Journal of Modern Physics B) và 01 bài đăng trên tạp chí
chuyên ngành quốc tế nằm trong hệ thống SCIE (Advances in Natural
Sciences: Nanoscience and Nanotechnology).

24. 10
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI PHI
CỔ ĐIỂN, TIÊU CHUẨN DÒ TÌM ĐAN
RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ
1.1 Trạng thái phi cổ điển
Các trạng thái phi cổ điển là các trạng thái có rất nhiều ứng dụng
quan trọng trong vật lý chất rắn, quang học phi tuyến, quang học lượng
tử và đặc biệt trong thông tin lượng tử [1]. Từ điểm xuất phát ban đầu
[48] cho đến nay, rất nhiều trạng thái phi cổ điển khác nhau đã được đề
xuất về mặt lý thuyết cũng như đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm.
Trong số đó có thể kể đến ba lớp trạng thái mà ứng dụng của chúng đã
được ghi nhận cũng như chứng minh có nhiều tiềm năng trong tương lai.
Lớp trạng thái đầu tiên phải kể đến đó là trạng thái nén. Ý tưởng
về trạng thái nén được Stoler đưa ra vào năm 1970, đó là những trạng
thái mà độ thăng giáng của một đại lượng nào đó có thể nhỏ hơn giá trị
tương ứng của trạng thái bất định cực tiểu đối xứng [86], [87]. Mười lăm
năm sau, trạng thái nén photon được quan sát lần đầu tiên trong phòng
thí nghiệm bởi Slusher [83] và sau đó được khẳng định bởi Kimble [63],

25. 11
Levenson và các cộng sự [68]. Các hiệu ứng nén được mở rộng theo nhiều
kiểu khác nhau chẳng hạn như nén biên độ trực giao, nén số hạt pha.
Trong nén biên độ trực giao lại có thể chia thành nén bậc thấp thông
thường hoặc nén bậc cao theo kiểu Hillery [50] hay kiểu Hong-Mandel
[56], nén đơn mode hay nén đa mode dưới dạng nén tổng [12], [51] và
nén hiệu [13], [14], [51]. Hơn nữa, trạng thái nén không chỉ tồn tại với
photon mà còn được phát triển với các chuẩn hạt khác như polariton
[19], phonon [85], exciton [2], [5], [10], [11], biexiton [6], [91], [92], và
thậm chí trong nguyên tử như nén spin [15]. Đặc biệt, khi phát triển lên
cho trường hợp hai mode, trạng thái nén được chứng minh là trạng thái
đan rối và đã được sử dụng trong các mô hình viễn tải lượng tử cho độ
tin cậy tuyệt đối trong điều kiện lý tưởng [31].
Lớp trạng thái phi cổ điển tiếp theo là trạng thái kết hợp cặp [16],
trạng thái kết hợp chẵn và lẻ [34]. Về sau chúng được phát triển thành
các trạng thái kết hợp phi tuyến với rất nhiều hiệu ứng phi cổ điển hứa
hẹn mang đến nhiều ứng dụng khác nhau. Có thể kể tên một số trạng
thái quan trọng thuộc lớp này là trạng thái kết hợp phi tuyến chẵn và lẻ
[71], [78], trạng thái kết hợp phi tuyến K hạt [1], [7], trạng thái cái quạt
[1], [8] và trạng thái kết hợp bộ ba [9]. Nếu như trạng thái cái quạt có
vai trò như một trạng thái nén đa hướng thì trạng thái kết hợp bộ ba lại
là một trạng thái rối 3 mode và cũng là một nguồn rối quan trọng cho
các ứng dụng trong lĩnh vực thông tin lượng tử và tính toán lượng tử.
Lớp trạng thái phi cổ điển thứ ba cũng có tầm quan trọng không
kém là các trạng thái được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử sinh
photon lên một trạng thái quan tâm nào đó, được gọi là các trạng thái
thêm photon. Trạng thái thêm photon được Agarwal và Tara đưa ra
vào năm 1991 [17] và gần đây được Zavatta xác minh bằng thực nghiệm

26. 12
[95]. Kỹ thuật thêm photon là một trong những kỹ thuật tạo trạng thái
rất quan trọng để có thể tạo ra một trạng thái mong muốn bất kỳ [61].
Hơn nữa, các trạng thái thêm photon là những trạng thái thể hiện nhiều
hiệu ứng phi cổ điển khác nhau cho dù trạng thái gốc ban đầu trước khi
được thêm photon có thể là trạng thái cổ điển như trạng thái kết hợp
[17]. Điều đó gợi cho ta nghĩ đến việc thêm photon vào trạng thái phi cổ
điển, chẳng hạn như nén hai mode, có thể gia tăng các hiệu ứng phi cổ
điển của chúng trong đó có cả hiệu ứng đan rối. Nếu đúng như những gì
mong đợi thì lớp trạng thái này sẽ có tầm quan trọng trong việc cải tiến
chất lượng của các quá trình viễn tải lượng tử bởi nó có thể làm tăng
độ rối của nguồn rối được thêm photon. Đây là mối quan tâm chính của
chúng tôi trong nghiên cứu này và sẽ được trình bày cụ thể trong các
chương sau của luận án. Ở đây, trong khuôn khổ của phần tổng quan,
chúng tôi trình bày sơ lược một số trạng thái phi cổ điển liên quan trực
tiếp đến trạng thái của chúng tôi như trạng thái nén và trạng thái kết
hợp thêm photon. Nhưng trước hết, để có cái nhìn tổng quan về khái
niệm trạng thái phi cổ điển, chúng tôi giới thiệu ngắn gọn về trạng thái
kết hợp như là ranh giới giữa cổ điển và phi cổ điển.
1.1.1 Trạng thái kết hợp - Định nghĩa trạng thái phi cổ điển
Trạng thái kết hợp, ký hiệu |α , được Glauber [48] và Sudarshan
[88] đưa ra vào năm 1963 để mô tả các tính chất của chùm sáng laser.
Đó là trạng thái riêng của toán tử hủy photon
ˆa|α = α|α , (1.1)
trong đó α là một số phức, α = |α|eiϕa
, được gọi là tham số dịch chuyển
với biên độ |α| biến thiên từ 0 đến ∞ và pha ϕa nằm trong khoảng từ 0

27. 13
đến 2π [rad]. Trong hệ cơ sở Fock, trạng thái kết hợp có dạng [46]
|α = exp −
1
2
|α|2
∞
n=0
αn
√
n!
|n , (1.2)
trong đó n là số nguyên không âm. Về phương diện toán học, trạng thái
kết hợp được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển [46]
ˆD(α) = exp(αˆa†
− α∗
ˆa) (1.3)
lên trạng thái chân không như sau:
|α = ˆD(α)|0 . (1.4)
Trạng thái kết hợp mặc dầu là trạng thái cổ điển nhưng các tính
chất của nó đều nằm ở giới hạn cuối cùng còn có thể được chấp nhận
theo quan điểm cổ điển. Do đó ánh sáng kết hợp được xem là ranh giới
giữa ánh sáng cổ điển và phi cổ điển. Điều kiện cần và đủ ứng với ranh
giới này dựa trên đặc điểm của hàm Glauber-Sudarshan P(α) [49], [88].
Hàm P(α) của trạng thái ˆρ là hệ số khai triển của trạng thái trong biểu
diễn trạng thái kết hợp
ˆρ = P(α)|α α|d2
α (1.5)
thỏa mãn điều kiện P(α)d2
α = 1. Như vậy hàm P(α) có tính chất
tương tự như hàm phân bố xác suất. Tuy nhiên, P(α) lại có thể nhận
giá trị âm hoặc có tính kỳ dị mạnh hơn tính kỳ dị của hàm Delta nên
nhìn chung không thể được hiểu như một hàm phân bố cổ điển và vì
vậy P(α) được gọi là hàm phân bố giả xác suất. Trạng thái mà hàm
P(α) của nó có tính chất như một hàm phân bố thống kê thông thường
được gọi là trạng thái cổ điển. Trái lại, trạng thái có hàm P(α) âm
hoặc kỳ dị cao được định nghĩa là trạng thái phi cổ điển. Có thể minh
họa cho định nghĩa này bằng cách xem xét hàm P(α) của trạng thái

28. 14
nhiệt (tiêu biểu cho trạng thái cổ điển), trạng thái kết hợp (ranh giới
giữa trạng thái cổ điển và phi cổ điển) và trạng thái số hạt (đại diện
cho trạng thái phi cổ điển). Trạng thái nhiệt có hàm P(α) dạng Gauss
P(α) = (1/π¯n) exp(−|α|2
¯n) [82], trong đó ¯n là số hạt trung bình. Đây
là một hàm phân bố cổ điển tiêu biểu, trong khi đó, với trạng thái kết
hợp |α0 , hàm P(α) là hàm Delta δ(2)
(α − α0). Dễ dàng suy ra từ tính
chất của hàm Delta rằng đây là giới hạn cuối cùng của một hàm phân
bố cổ điển, và vì vậy, một hàm được xem là kỳ dị cao nếu tính kỳ dị của
nó mạnh hơn tính kỳ dị của hàm Delta, chẳng hạn hàm P(α) của trạng
thái số hạt |n [82]
P(α) =
e|α|2
n!
∂2n
∂αn∂α∗n
δ(2)
(α). (1.6)
Bên cạnh hàm Glauber-Sudarshan P(α), trạng thái phi cổ điển đôi
khi cũng được xác định trên cơ sở của hàm Wigner [22]
W(α) =
2
π
Tr[ ˆD†
(α)ˆρ ˆD(α)(−1)ˆn
]. (1.7)
Mặc dầu không có tính kỳ dị như hàm P(α) nhưng hàm Wigner vẫn có
thể nhận những giá trị âm nên hàm Wigner cũng là một hàm phân bố
giả xác suất. Nói cách khác, tính âm của hàm Wigner cũng có thể được
dùng để xác nhận một trạng thái nào đó là phi cổ điển với lưu ý đây chỉ
là tiêu chuẩn đủ. Cụ thể, một trạng thái có hàm phân bố Wigner âm thì
chắc chắn đó là trạng thái phi cổ điển. Tuy nhiên, điều ngược lại không
phải bao giờ cũng đúng, nghĩa là một trạng thái phi cổ điển không nhất
thiết phải có hàm Wigner âm. Đó là vì có những trạng thái mà hàm
P(α) có thể nhận giá trị âm - tức là trạng thái phi cổ điển - nhưng lại
sở hữu hàm Wigner luôn không âm, chẳng hạn trạng thái nén [46].
Ngoài tiêu chí dựa trên hàm P(α) như vừa đề cập ở trên, ta cũng
có thể nhận biết các trạng thái cổ điển qua việc xem xét các tính chất

29. 15
cụ thể của nó. Theo cách này thì một trạng thái được gọi là phi cổ điển
khi nó thể hiện một hoặc nhiều tính chất phi cổ điển chẳng hạn như
tính thống kê sub-Poisson, tính chất phản kết chùm, tính chất nén,...
Các tính chất phi cổ điển là những tính chất không thể suy ra từ quan
điểm cổ điển và được đề xuất dựa trên giới hạn mà trạng thái kết hợp
đạt được.
Khi xem xét tính thống kê photon, trạng thái kết hợp được chứng
minh tuân theo phân bố Poisson, nghĩa là trung bình của toán tử số hạt
trong trạng thái kết hợp sẽ bằng phương sai của nó. Nếu xem đây là
ranh giới thì nó sẽ chia các trạng thái thành hai nhóm, một nhóm tuân
theo thống kê super-Poisson với phương sai của toán tử số hạt lớn hơn
trung bình của nó và nhóm còn lại tuân theo thống kê sub-Poisson với
tính chất hoàn toàn ngược lại. Như vậy nếu đặt tham số
Q =
ˆn2
− ˆn 2
ˆn
, (1.8)
trong đó ˆn là toán tử số hạt, thì trạng thái tuân theo thống kê super-
Poisson sẽ có Q > 1 và ngược lại cho trường hợp sub-Poisson. Những
trạng thái mang tính thống kê sub-Poisson, nghĩa là có tham số Q < 1,
sở hữu hàm P(α) âm nên chúng là các trạng thái phi cổ điển. Vì vậy,
hiệu ứng sub-Poisson là một trong những tính chất phi cổ điển được
dùng để nhận biết các trạng thái phi cổ điển.
Ta cũng có thể phân biệt trạng thái phi cổ điển với cổ điển qua đặc
điểm của hàm tương quan bậc hai được định nghĩa [46]
g(2)
(τ) =
ˆE(−)
(t) ˆE(−)
(t + τ) ˆE(+)
(t + τ) ˆE(+)
(t)
ˆE(−)(t) ˆE(+)(t) ˆE(−)(t + τ) ˆE(+)(t + τ)
, (1.9)
trong đó ˆE(−)
(t) và ˆE(+)
(t) tương ứng là thành phần tần số âm và thành
phần tần số dương của trường tại thời điểm t. Hàm tương quan bậc hai

30. 16
này cung cấp cho ta thông tin về xác suất quan sát một cặp photon sao
cho một photon được quan sát ở thời điểm t thì photon kia được quan sát
ở thời điểm sau đó một khoảng τ tại cùng một vị trí. Với trạng thái kết
hợp g(2)
(τ) = g(2)
(0) = 1 nghĩa là các photon xuất hiện độc lập với nhau.
Nếu hai photon có xu hướng xuất hiện theo chùm, tức g(2)
(0) > g(2)
(τ),
thì được gọi là photon kết chùm. Ngược lại nếu hai photon có xu hướng
ngày càng xuất hiện riêng lẻ, tức g(2)
(0) < g(2)
(τ), thì được gọi là photon
phản kết chùm. Với trường cổ điển, g(2)
(0) ≥ g(2)
(τ) [46]. Do đó, trạng
thái thể hiện tính phản kết chùm là trạng thái phi cổ điển. Để tiện cho
việc áp dụng vào các trạng thái quang lượng tử, điều kiện tồn tại hai
photon phản kết chùm g(2)
(0) < g(2)
(τ) có thể được viết lại dưới dạng
các toán tử số hạt như sau [66]:
ˆN(2)
− ˆN 2
< 0, (1.10)
trong đó ˆN = ˆa†
ˆa và ˆN(i)
≡ ˆN( ˆN − 1). . . ( ˆN − i + 1) = ˆa†i
ˆai
.
Bên cạnh hai tính chất vừa kể trên, trạng thái phi cổ điển còn có
thể sở hữu một tính chất quan trọng - tính chất nén - dựa trên việc xem
xét độ thăng giáng lượng tử của một biến động lực nào đó. Xét hai toán
tử ˆA và ˆB thỏa mãn hệ thức giao hoán [ ˆA, ˆB] = i ˆC. Hai toán tử này
tuân theo hệ thức bất định Heisenberg
∆ ˆA2
∆ ˆB2
≥
1
4
| ˆC |2
, (1.11)
trong đó ∆ ˆX2
là ký hiệu cho phương sai của toán tử ˆX và được xác định
bởi ∆ ˆX2
= ˆX2
− ˆX 2
. Một trạng thái nào đó nếu thỏa mãn
∆ ˆA2
<
1
2
| ˆC | hoặc ∆ ˆB2
<
1
2
| ˆC | (1.12)
được gọi là trạng thái nén [44]. Tương tự như tính sub-Poisson và tính
phản kết chùm, trạng thái thể hiện tính chất nén là trạng thái phi cổ
điển vì điều kiện (1.12) sẽ dẫn tới tính âm của hàm P(α).

31. 17
Cần lưu ý rằng tính thống kê sub-Poisson, tính chất phản kết chùm
và tính chất nén chỉ là những ví dụ tiêu biểu cho các hiệu ứng có thể xuất
hiện trong trạng thái phi cổ điển, và nhìn chung độc lập với nhau nên
một trạng thái phi cổ điển không nhất thiết phải hội đủ tất cả chúng. Vì
vậy, để đánh giá một trạng thái nào đó là phi cổ điển hay không, người
ta sẽ dùng tiêu chuẩn dựa trên hàm P(α). Các tiêu chuẩn tương ứng
với các tính chất phi cổ điển riêng lẻ chỉ được xem là điều kiện đủ để
nhận biết trạng thái phi cổ điển tương tự như phương pháp dùng hàm
Wigner, và được dùng chủ yếu để khảo sát các hiệu ứng phi cổ điển khả
dĩ của một trạng thái nào đó cũng như đánh giá mức độ thể hiện của
chúng.
1.1.2 Trạng thái nén
Nếu ˆA và ˆB có mặt trong điều kiện (1.12) là cặp toán tử biên độ
trực giao của trường thì trạng thái thỏa mãn điều kiện (1.12) được gọi
là nén biên độ trực giao - trạng thái nén mà chúng tôi muốn nhắc đến
ở đây. Ví dụ, đặt ˆA và ˆB tương ứng là hai toán tử biên độ trực giao
ˆX1 = (ˆa + ˆa†
)/2 và ˆX2 = (ˆa − ˆa†
)/(2i), ta có [ ˆA, ˆB] = [ ˆX1, ˆX2] = i/2 và
vì vậy ˆC = 1/4. Khi đó, theo (1.12), nén biên độ trực giao sẽ tồn tại nếu
∆ ˆX2
1 <
1
4
hoặc ∆ ˆX2
2 <
1
4
. (1.13)
Như đã đề cập, trạng thái nén là trạng thái phi cổ điển vì hàm P(α) của
nó có thể nhận giá trị âm. Cụ thể, phương sai của các toán tử ˆX1 và ˆX2
trong biểu diễn P(α) có dạng [46]
∆ ˆX2
1 =
1
4
1 + P(α) (α + α∗
) − ( ˆa + ˆa†
)
2
d2
α , (1.14)
∆ ˆX2
2 =
1
4
1 + P(α) (α − α∗
)/i − ( ˆa − ˆa†
)/i
2
d2
α . (1.15)

32. 18
Vì các số hạng [...]2
luôn không âm nên điều kiện ∆ ˆX2
1 < 1
4 hoặc ∆ ˆX2
2 < 1
4
đòi hỏi hàm P(α) phải âm.
Về mặt toán học, trạng thái nén của trường đơn mode được tạo
thành bởi tác dụng của toán tử nén đơn mode ˆS(s) được định nghĩa
ˆS(s) = exp
1
2
(s∗
ˆa2
− sˆa†2
) , (1.16)
trong đó s = reiθ
với r được biết như là tham số nén biến thiên từ 0 đến
∞ và góc θ nằm trong khoảng 0 đến 2π rad. Ví dụ đơn giản nhất của
trạng thái nén là chân không nén, được tạo thành bằng cách tác dụng
toán tử nén lên chân không của trường điện từ
|s = ˆS(s)|0 . (1.17)
Trong không gian Fock, trạng thái chân không nén có dạng [46]
|s =
1
√
cosh r
∞
n=0
−
1
2
tanh r
n
(2n)!
n!
einθ
|2n . (1.18)
Dễ dàng nhận ra từ phương trình trên rằng các photon trong trạng thái
nén chỉ xuất hiện theo cặp, nói cách khác, xác suất tìm thấy số photon
lẻ trong trạng thái nén triệt tiêu.
Toán tử nén được định nghĩa như trên cũng chính là toán tử mô tả
tác dụng của bộ chuyển đổi tham số suy biến. Do đó trạng thái nén là
trạng thái hoàn toàn có thể tạo được thông qua thiết bị nói trên. Cụ
thể, trạng thái nén đơn mode sẽ được tạo thành nhờ một quá trình phi
tuyến ngược với quá trình tạo sóng hài bậc hai trong đó một tia laser
mạnh sau khi qua một môi trường phi tuyến tạo thành cặp tia cùng tần
số và bằng một nửa tần số tia laser vào. Cặp tia này được gọi là cặp tia
song sinh và có tính chất của trạng thái nén.
Mở rộng cho trường hợp hai mode, toán tử nén hai mode được định

33. 19
nghĩa như sau [46]
ˆSab(s) = exp(s∗
ˆaˆb − sˆa†ˆb†
), (1.19)
trong đó s là tham số phức tương tự như trường hợp đơn mode. Toán
tử này cũng mô tả cho một quá trình phi tuyến tương tự quá trình tạo
trạng thái nén đơn mode, chỉ khác cặp photon ra khỏi môi trường lúc
này có tần số khác nhau. Trạng thái chân không nén hai mode cũng sẽ
được tạo thành một cách toán học bằng việc tác dụng toán tử nén hai
mode lên trạng thái chân không
|s ab = ˆSab(s)|00 ab. (1.20)
Trong biểu diễn Fock trạng thái này có dạng [46]
|s ab =
1
cosh r
∞
n=0
(− tanh r exp(iθ))n
|n a|n b. (1.21)
Rõ ràng, số photon trong trạng thái này cũng sẽ xuất hiện thành cặp
tương tự như trạng thái nén đơn mode, chỉ khác là cặp photon này gồm
hai photon ở hai mode khác nhau. Điều này có nghĩa là khi xét khía
cạnh tương quan số hạt giữa mode a và mode b ta thấy chúng bị ràng
buộc lẫn nhau, có nghĩa trạng thái nén hai mode là trạng thái đan rối.
Đặc biệt trạng thái này có thể đạt đến khả năng rối lý tưởng khi tham
số nén r → ∞.
1.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon
Trạng thái kết hợp thêm photon được định nghĩa bởi [17]
|α, m =
ˆa†m
|α
α|ˆamˆa†m|α
, (1.22)
trong đó m = 1, 2, ... là số photon được thêm vào và
α|ˆam
ˆa†m
|α = m!Lm(−|α|2
) (1.23)

34. 20
Hình 1.1: Sự phụ thuộc của hệ số nén Sx của trạng thái kết hợp thêm photon vào tham
số dịch chuyển |α| với các giá trị của m = 0, 5, 10, 20 [17].
Hình 1.2: Sự phụ thuộc của hệ số Q của trạng thái kết hợp thêm photon vào tham số
dịch chuyển |α| với các giá trị của m = 0, 5, 10, 20 [17].
với Lm(x) là đa thức Laguerre bậc m. Để tiện cho việc tìm hàm phân
bố số hạt làm cơ sở cho sự khảo sát tính thống kê photon, trạng thái kết
hợp thêm photon thường được biểu diễn trong không gian Fock [17]
|α, m =
exp(−|α|2
/2)
m!Lm(−|α|2)
∞
n=0
αn
(n + m)!
n!
|n + m . (1.24)
Dưới dạng tường minh này, Agarwal và Tara đã chứng minh được trạng
thái |α, m thể hiện cả hai hiệu ứng phi cổ điển bao gồm hiệu ứng nén
và thống kê photon sub-Poisson thông qua việc khảo sát sự phụ thuộc
của hệ số nén theo phương x (Sx = 4∆x2
) và hệ số Q = ∆ˆn2
/ ˆn theo
tham số dịch chuyển α và số photon được thêm vào trạng thái kết hợp.

35. 21
Dễ dàng nhận thấy từ hình 1.1, vẽ Sx, rằng hiệu ứng nén hoàn toàn
có thể xảy ra (Sx < 1) với mọi giá trị của m ngoại trừ m = 0. Điều này
cũng lặp lại với hệ số Q được minh họa trên hình 1.2. Rõ ràng Q < 1
(thể hiện tính sub-Poisson) khi photon được thêm vào. Hơn nữa, cả hai
hiệu ứng này sẽ tăng về cường độ nếu số photon được thêm vào nhiều
hơn. Mặc dầu vẫn còn thiếu sự lý giải thấu đáo cho vai trò của thêm
photon nhưng rõ ràng ảnh hưởng tích cực của nó lên các hiệu ứng phi
cổ điển đã được chứng minh. Không những thế, trạng thái này cũng đã
được tạo ra bằng thực nghiệm gần đây bởi Zavatta và các cộng sự [95].
Nhóm nghiên cứu này cũng đã đo hàm Wigner của trạng thái tạo được
bằng thực nghiệm và chứng tỏ nó có thể nhận những giá trị âm. Giá trị
âm của hàm Wigner là một tiêu chuẩn khác để nhận biết các trạng thái
phi cổ điển.
1.2 Tiêu chuẩn dò tìm đan rối
Các trạng thái phi cổ điển đa mode còn có thêm một tính chất phi
cổ điển đặc biệt được gọi là tính chất đan rối. Những trạng thái thể hiện
tính chất này được gọi là trạng thái đan rối và là chìa khóa trong các
quá trình xử lý thông tin lượng tử và tính toán lượng tử. Do đó, tìm
kiếm các trạng thái đan rối trở thành mối quan tâm hàng đầu trong các
nghiên cứu về thông tin lượng tử.
Tên gọi rối lượng tử được Schr¨odinger đưa ra lần đầu tiên thông
qua thí nghiệm tưởng tượng về một trạng thái kỳ lạ, đó là chồng chập
của trạng thái sống và trạng thái chết của một con mèo (sau này được
gọi là trạng thái con mèo Schr¨odinger) [79]. Thí nghiệm tưởng tượng của
Schr¨odinger được đề xuất không lâu ngay sau khi Einstein, Podolsky và

36. 22
Rosen sử dụng một trạng thái khả dĩ của cơ học lượng tử (sau này gọi
là trạng thái EPR) để suy ra một nghịch lý (sau này gọi là nghịch lý
EPR), mà theo họ cơ học lượng tử không đầy đủ [42]. Tuy nhiên, trạng
thái EPR chỉ đơn thuần là một trạng thái toán học, không thể dùng để
kiểm chứng các luận điểm của Einstein, Podolsky và Rosen trên thực tế.
Do đó một công cuộc tìm kiếm các trạng thái đan rối cùng với các tiêu
chuẩn đan rối bắt đầu và cho đến nay vẫn đang tiếp tục trong nhiều
lĩnh vực khác nhau. Thành công đầu tiên là các tiêu chuẩn đan rối (điều
kiện cần và đủ) áp dụng cho các trạng thái thuần hai thành phần, chẳng
hạn như tiêu chuẩn Schmidt, tiêu chuẩn entropy von Neumann, entropy
tuyến tính... [31]. Tuy nhiên trạng thái thuần là những trạng thái rất khó
tạo ra trên thực tế do luôn có tác dụng của môi trường xung quanh. Nói
cách khác, các trạng thái trong thực tế đều là các trạng thái hỗn tạp do
ta không thể tách hệ vật lý ra khỏi tương tác của nó với môi trường. Vấn
đề bây giờ trở nên phức tạp hơn. Mãi đến khi Peres đưa ra phép chuyển
vị riêng (vào năm 1996) mới được xem là bước ngoặc cho sự phát triển
của các tiêu chuẩn đan rối [31], [76]. Ngay sau đó, một tiêu chuẩn tổng
quát hơn do gia đình Horodecki đưa ra vào năm 1997 [57], tuy nhiên
nó cũng chỉ áp dụng cho hệ biến rời rạc và một lớp nhỏ các trạng thái.
Nghĩa là các tiêu chuẩn đan rối cần được tiếp tục mở rộng cho phạm vi
biến liên tục. Tiêu chuẩn đầu tiên phải kể đến là tiêu chuẩn Duan-Cirac
(2000) [36] rồi đến tiêu chuẩn do Simon đưa ra dựa trên phép chuyển
vị riêng âm, điều kiện đủ cho các trạng thái đan rối, tác dụng lên toán
tử mật độ của trạng thái hai thành phần [84]. Dựa trên ý tưởng của
tiêu chuẩn này, một loạt các tiêu chuẩn khác dưới dạng các bất đẳng
thức được đề xuất dẫn đến việc mở rộng trạng thái đan rối cũng như
phạm vi áp dụng. Trong số này có thể kể đến hai tiêu chuẩn nổi bật,

37. 23
một tiêu chuẩn mang ý nghĩa thực tiễn cao, tiêu chuẩn Hillery-Zubairy
(2005) [52], và một tiêu chuẩn rất mạnh, tiêu chuẩn Shchukin-Vogel [80].
Không dừng lại ở đó, các nghiên cứu xoay quanh vấn đề dò tìm và đo
rối vẫn đang tiếp tục để hướng đến một tiêu chuẩn hoàn hảo (bao gồm
cả điều kiện cần và đủ) áp dụng không chỉ cho hệ hai thành phần mà là
hệ đa thành phần bất kỳ và trên cơ sở đó tìm cách mô phỏng nó để có
thể tiến hành đo rối bằng thực nghiệm [31].
Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, đó là dò tìm hiệu ứng đan rối
của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, sau khi xem xét
các tiêu chuẩn đan rối khả dĩ chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn Shchukin-
Vogel và tiêu chuẩn entropy tuyến tính. Lý do cho lựa chọn này là vì các
tiêu chuẩn này hoàn toàn phù hợp với trạng thái chúng tôi đang khảo
sát và dẫn đến kết quả giải tích có thể tính số được bằng phần mềm
Mathematica. Tiêu chuẩn Shchukin-Vogel dùng để kiểm tra sự tồn tại
của tính chất đan rối kết hợp với tiêu chuẩn entropy tuyến tính để đánh
giá độ rối. Bên cạnh dò tìm đan rối, việc đánh giá mức độ rối của nguồn
rối cũng rất quan trọng, nó giúp ta có thể ước đoán hiệu suất của các
quá trình xử lý thông tin lượng tử trước khi đi vào nghiên cứu cụ thể.
Như là cơ sở lý thuyết cho việc khảo sát tính chất đan rối ở chương 3,
chúng tôi tóm lược những ý chính liên quan đến hai tiêu chuẩn vừa đề
cập ở trên.
1.2.1 Phương pháp định lượng độ rối
Trong trường hợp tổng quát, trạng thái của một hệ lượng tử được
mô tả bằng ma trận mật độ có dạng
ˆρ =
i
pi|ψi ψi|, (1.25)

38. 24
trong đó pi là xác suất để hệ ở trạng thái |ψi . Xét một hệ lượng tử hai
thành phần có trạng thái được mô tả bởi ma trận mật độ ˆρ. Ma trận
mật độ của hai hệ con A và B chính là các ma trận mật độ rút gọn của
ˆρ, tương ứng là ˆρA = TrB ˆρ và ˆρB = TrA ˆρ, trong đó TrA(B) ký hiệu cho
phép lấy vết lên chỉ không gian của hệ A (B). Một hệ lượng tử được gọi
là có thể tách nếu ma trận mật độ của nó có thể được viết dưới dạng
ˆρ =
i
pi ˆρi,A ⊗ ˆρi,B. (1.26)
Ngược lại nếu ˆρ không thể khai triển thành tổng của tích hai ma trận
mật độ thành phần như (1.26) thì trạng thái đó được gọi là trạng thái
không thể tách hay trạng thái đan rối.
Định lượng độ rối có thể hiểu là phép đo mức độ vướng víu giữa
các thành phần trong hệ. Với các trạng thái đan rối hỗn tạp, phép đo
này vô cùng phức tạp. Tuy nhiên, với các trạng thái thuần ta có thể dễ
dàng đo một cách chính xác hoặc ít ra có thể so sánh mức độ rối giữa
các trạng thái cùng một họ. Trong một hệ hai thành phần thuần mà ma
trận mật độ rút gọn của các thành phần mô tả cho trạng thái của một
hệ cô lập, tức ˆρA và ˆρB có tính chất của một trạng thái thuần, thì rõ
ràng không có bất kỳ sự ràng buộc nào giữa A và B. Trái lại nếu ˆρA và
ˆρB là các ma trận mật độ của trạng thái hỗn tạp chứng tỏ giữa A và
B có một mối liên kết nào đó, thể hiện hệ AB là hệ rối. Mức độ hỗn
tạp của các ma trận rút gọn càng lớn chứng tỏ sự tương quan giữa hai
thành phần của hệ càng mạnh. Do đó, độ rối của trạng thái hai thành
phần thuần có thể được đo thông qua phép đo mức độ hỗn tạp của ˆρA
hoặc ˆρB, nói cách khác, thông qua entropy von Neumann của trạng thái
ˆρA (hoặc ˆρB) có dạng [21]
S(ˆρA) = −TrA[ˆρA log2 ˆρA] (1.27)

39. 25
với quy ước 0 log2 0 = 0. Ưu điểm của phương pháp định lượng độ rối
này là độ chính xác tuyệt đối dựa trên quan điểm thống kê. Tuy nhiên,
việc xác định entropy von Neumann đòi hỏi phải chéo hóa ma trận mật
độ ˆρA, là một việc không hề dễ dàng cho các trạng thái bất đối xứng.
Khi chỉ cần so sánh mức độ rối giữa các trạng thái với nhau, entropy
von Neumann là phương pháp quá tinh tế. Lúc đó ta có thể đánh giá độ
thuần (hay hỗn tạp) của ˆρA (hoặc ˆρB) dựa trên tính chất của ma trận
mật độ. Cụ thể, ta có Trˆρ2
của một trạng thái bất kỳ luôn nhỏ hơn hoặc
bằng 1, dấu bằng ứng với trạng thái thuần. Do đó, một đại lượng có tên
gọi entropy tuyến tính, được định nghĩa bởi [61]
L(ˆρA) = 1 − TrA ˆρ2
A, (1.28)
sẽ nằm trong khoảng từ 0 đến 1. L = 0 ứng với TrA ˆρ2
A = 1 thể hiện tính
chất có thể tách của hệ. Nói cách khác, một trạng thái sẽ rối nếu L > 0
và giới hạn L = 1 ứng với trạng thái đan rối cực đại.
1.2.2 Tiêu chuẩn đan rối Shchukin-Vogel
Trên cơ sở tiêu chuẩn chuyển vị riêng [76], Shchukin và Vogel đã
đưa ra được một tiêu chuẩn đan rối khá mạnh, bao trùm lên nhiều tiêu
chuẩn đã được đề xuất trước đó [80]. Có thể tóm tắt ý tưởng chính của
tiêu chuẩn chuyển vị riêng như sau. Phép chuyển vị chỉ tác dụng lên một
trong hai hệ con của một hệ hai thành phần được gọi là phép chuyển vị
riêng. Phép chuyển vị riêng biến ma trận mật độ dương của trạng thái
hai thành phần có thể tách ˆρ = i pi ˆρi,A ⊗ ˆρi,B thành ma trận chuyển
vị ˆρTB
= i pi(ˆρi,A) ⊗ (ˆρi,B)T
cũng xác định dương nên được gọi là phép
chuyển vị riêng dương. Từ đó suy ra ma trận mật độ chuyển vị của một
trạng thái nào đó có một trị riêng âm sẽ là trạng thái đan rối và đây chỉ

40. 26
là điều kiện đủ.
Một toán tử ˆA được gọi là không âm nếu
Φ| ˆA|Φ = Tr( ˆA|Φ Φ|) ≥ 0 (1.29)
với mọi trạng thái |Φ . Đặt ˆf = |00 Φ|, dễ dàng nhận thấy ˆf† ˆf = |Φ Φ|
và do đó Φ| ˆA|Φ = Tr( ˆA ˆf† ˆf) ≡ ˆf† ˆf ˆA. Viết |Φ dưới dạng các toán tử
sinh photon tác dụng lên chân không, nghĩa là |Φ = ˆg†
|00 , trong đó ˆg
là hàm của các toán tử hủy ˆa và ˆb của trường. Khi đó
ˆf = |00 Φ| = |00 00|ˆg (1.30)
có dạng N-tích do |00 00| = : exp(−ˆa†
ˆa − ˆb†ˆb) :. Như vậy một toán tử
ˆA không âm khi và chỉ khi với một toán tử ˆf bất kỳ có dạng N-tích, bất
đẳng thức sau được thỏa mãn
ˆf† ˆf ˆA
= Tr ˆA ˆf† ˆf ≥ 0. (1.31)
Để tổng quát ta có thể đặt
ˆf =
+∞
n,m,k,l=0
cnmklˆa†n
ˆamˆb†kˆbl
, (1.32)
rồi áp dụng cho ma trận mật độ chuyển vị riêng ta được
ˆf† ˆf ˆρTB
=
+∞
n,m,k,l,p,q,r,s=0
c∗
pqrscnmkl ˆa†q
ˆap
ˆa†n
ˆamˆb†sˆbrˆb†kˆbl TB
. (1.33)
Ký hiệu
Mpqrs,nmkl = ˆa†q
ˆap
ˆa†n
ˆamˆb†sˆbrˆb†kˆbl TB
, (1.34)
điều kiện để ma trận mật độ chuyển vị ˆρTB
không âm đơn giản thành
ˆf† ˆf ˆρTB
=
+∞
n,m,k,l,p,q,r,s=0
c∗
pqrscnmklMpqrs,nmkl ≥ 0. (1.35)

41. 27
Bất đẳng thức (1.35) chỉ đúng cho mọi cnmkl khi tất cả các định thức con
của ˆf† ˆf ˆρTB
không âm. Để viết tường minh các định thức con này ta cần
tìm mối quan hệ giữa Mpqrs,nmkl với M0
pqrs,nmkl = ˆa†q
ˆap
ˆa†n
ˆamˆb†sˆbrˆb†kˆbl
.
Để đơn giản, ta có thể ký hiệu M0
pqrs,nmkl như các yếu tố ma trận bằng
cách thay các bộ chỉ số (n, m, k, l) và (p, q, r, s) bởi các ký hiệu đơn
nguyên u và v, một cách tương ứng, với quy ước
u < v ⇔



|u| < |v| hoặc
|u| = |v| và u < v,
(1.36)
trong đó |u| = n + m + k + l và u < v theo nghĩa các hiệu ưu tiên theo
thứ tự r − k, s − l, p − n, q − m dương. Theo quy ước trên, M0
pqrs,nmkl
có thể được viết lại với ký hiệu yếu tố ma trận như sau [39]
r s p q k l n m M0
ij
0 0 0 0 0 0 0 0 M0
11 = 1
0 0 0 0 0 0 0 1 M0
12 = ˆa
0 0 0 0 0 0 1 0 M0
13 = ˆa†
0 0 0 0 0 1 0 0 M0
14 = ˆb
0 0 0 0 1 0 0 0 M0
15 = ˆb†
0 0 0 0 0 0 0 2 M0
16 = ˆa2
0 0 0 0 0 0 1 1 M0
17 = ˆa†ˆa
0 0 0 0 0 0 2 0 M0
18 = ˆa2
... ... ... ... ... ... ... ... ...
Giả sử phép chuyển vị riêng tác dụng lên thành phần B của hệ thì
Mpqrs,nmkl liên hệ với M0
pqrs,nmkl bởi
ˆa†q
ˆap
ˆa†n
ˆamˆb†sˆbrˆb†kˆbl TB
= ˆa†q
ˆap
ˆa†n
ˆam
b†lˆbkˆb†rˆbs
. (1.37)

42. 28
Chuyển sang ký hiệu yếu tố ma trận, tiêu chuẩn Sylvester cho (1.35)
được viết lại dưới dạng
DN =
M11 M12 ... M1N
M21 M22 ... M2N
... ... ... ...
MN1 MN2 ... MNN
≥ 0 ∀N, (1.38)
trong đó Mij được định nghĩa trong biểu thức (1.34) và theo (1.37) nó
được viết lại
Mij = ˆa†q
ˆap
ˆa†n
ˆamˆb†lˆbkˆb†rˆbs
= (M0
ij)TB
. (1.39)
Bây giờ điều kiện chuyển vị riêng dương của hệ hai thành phần tương
ứng với điều kiện không âm của tất cả các định thức con trong
DN =
1 ˆa ˆa† ˆb† ˆb ...
ˆa†
ˆa†
ˆa ˆa†2
ˆa†ˆb†
ˆa†ˆb ...
ˆa ˆa2
ˆaˆa†
ˆaˆb†
ˆaˆb ...
ˆb ˆaˆb ˆa†ˆb ˆb†ˆb ˆb2
...
ˆb†
ˆaˆb†
ˆa†ˆb† ˆb†2 ˆbˆb†
...
... ... ... ... ... ...
. (1.40)
Nói cách khác chỉ cần tồn tại một định thức con bất kỳ trong DN bé
hơn không thì ma trận chuyển vị riêng xác định âm, và trạng thái tương
ứng khi đó là trạng thái đan rối.
1.3 Viễn tải lượng tử
Viễn tải lượng tử là phương pháp chuyển một trạng thái chưa biết
từ người gửi (A) đến người nhận (B) cách nhau một khoảng bất kỳ trong
không gian nhờ sử dụng một trạng thái đan rối được chia sẻ trước đó

43. 29
giữa A và B kết hợp với một kênh thông tin cổ điển mà ở đó mọi thao
tác đều được A và B thực hiện tại nơi của mình dựa trên sự định hướng
của thông tin cổ điển được A thông báo với B theo cách thông thường
và không cần bảo mật. Với một quá trình viễn tải lượng tử lý tưởng,
thông tin sẽ được chuyển giao với độ chính xác và bảo mật tuyệt đối.
Ý tưởng về viễn tải lượng tử được đề xuất lần đầu tiên vào năm 1993
bởi Bennett và các cộng sự [24]. Mô hình viễn tải đầu tiên này được áp
dụng cho qubit và các hệ hữu hạn chiều. Mô hình này ngay sau đó được
Vaidman phát triển lên cho hệ biến liên tục [93] sử dụng nguồn rối là
trạng thái EPR. Với trạng thái đan rối cực đại EPR, trạng thái nhận
được ở B hoàn toàn đồng nhất với trạng thái cần chuyển đi thể hiện độ
tin cậy tuyệt đối của quá trình viễn tải. Độ tin cậy ở đây là đại lượng đo
mức độ chồng phủ lên nhau giữa trạng thái người nhận nhận được với
trạng thái cần viễn tải mà người gửi ban đầu sở hữu. Tuy nhiên, mô hình
này chỉ là mô hình lý thuyết lý tưởng bởi như đã đề cập đến trong phần
trước, trạng thái EPR chỉ là trạng thái toán học. Để thực nghiệm hóa ý
tưởng của viễn tải lượng tử với biến liên tục, Braunstein và Kimble đã
thay nguồn rối EPR bởi trạng thái nén hai mode ˆSab(s)|00 ab và chứng
minh quá trình viễn tải tương ứng có thể đạt độ tin cậy tuyệt đối khi
tham số nén của nguồn rối đạt giá trị vô cùng [30]. Vì nguồn rối nén
hai mode hoàn toàn có thể tạo được bằng thiết bị quang học phi tuyến
nên mô hình viễn tải của Braunstein và Kimble ngay sau đó đã được
xác minh bằng thực nghiệm [45]. Trên cơ sở mô hình của Braunstein và
Kimble, một loạt các mô tả toán học khác nhau được phát triển để áp
dụng cho từng trường hợp cụ thể của trạng thái đan rối cũng như trạng
thái cần chuyển đi. Do tính phức tạp của biểu diễn Wigner, Milburn và
Braunstein đã chuyển bài toán viễn tải sang biễu diễn Schr¨odinger đồng

44. 30
thời đưa ra ý tưởng về viễn tải dựa trên phép đo số hạt - pha thay vì
đo hiệu tọa độ và tổng xung lượng như trong mô hình gốc ban đầu [70].
Với nguồn rối Gauss và trạng thái cần chuyển đi là trạng thái biến liên
tục thì các tính toán sẽ được đơn giản hơn nhiều nếu mô hình viễn tải
được chuyển sang biểu diễn của các trạng thái kết hợp được đưa ra bởi
Gabris và các cộng sự [59]. Các tính toán liên quan đến nguồn rối phi
Gauss sẽ phù hợp hơn với mô hình viễn tải trong biểu diễn trạng thái
số hạt của Hofmann và các cộng sự [55]. Khi các nguồn rối là trạng thái
hỗn tạp thì bài toán viễn tải cũng đã được giải quyết với mô hình ánh
xạ CP của Takeoka [90].
Có thể nói các mô hình về viễn tải lượng tử đã khá hoàn thiện về
mặt lý thuyết. Vấn đề then chốt bây giờ là làm thế nào để hiện thực nó
trong điều kiện phải tính đến các quá trình mất mát do tương tác với
môi trường, cũng như tính phi lý tưởng của các trạng thái đan rối tạo
được trên thực tế. Giải pháp cho khó khăn này là chưng cất rối, thuật
ngữ chỉ các quá trình nhằm chưng cất các trạng thái đan rối không hoàn
hảo thành các trạng thái đan rối với độ rối được cải thiện bằng các giao
thức xử lý định xứ kết hợp với kênh thông tin cổ điển [31]. Nhìn chung có
thể chia chưng cất rối thành hai nhóm, một là thuần hóa các trạng thái
đan rối hỗn tạp do tương tác với môi trường trong quá trình nó được
chia sẻ đến người nhận và người gửi [25] và nhóm còn lại là tổng hợp các
trạng thái đan rối thuần cho trước thành một số lượng ít hơn các trạng
thái đan rối tốt hơn [23]. Với các trạng thái đan rối biến gián đoạn, việc
tổng hợp rối có vẻ khả quan với nhiều cách tiếp cận khác nhau được
phát triển từ hai đề xuất khởi xướng là phép chiếu Schmidt và phương
pháp Procrustean [27], [23], [72], [73]. Cả hai phương pháp đều thu được
trạng thái đan rối cực đại từ các trạng thái đan rối không hoàn hảo với

45. 31
một xác suất thành công nào đó. Tuy nhiên, mọi việc lại không được
thuận lợi khi áp dụng cho các trạng thái đan rối liên tục, thậm chí nó
còn làm cho các trạng thái đan rối được tổng hợp trở nên tồi tệ hơn [31],
[75]. Bằng cách cải tiến phép đo trong các phương pháp kể trên, Duan
và Giedke đã đưa ra được mô hình chưng cất rối khá thành công có thể
áp dụng cho hệ rối liên tục [37], [38], [41]. Tuy nhiên, hiện thực nó lại là
vấn đề quá khó [31]. Như vậy, vấn đề quan trọng ở đây không chỉ dừng
lại ở việc tìm ra phương pháp cải thiện độ rối mà còn phải nghĩ đến
việc mô phỏng nó bằng thực nghiệm. Có vậy thì phương pháp tìm được
mới thực sự có ý nghĩa. Và đó cũng là mục tiêu mà đề tài hướng đến,
khảo sát vai trò của toán tử sinh photon lên nguồn rối Gauss như một
kỹ thuật cải thiện độ rối và đánh giá hiệu quả của phương pháp này đối
với quá trình viễn tải lượng tử. Cách cải thiện độ rối này có ưu điểm rõ
rệt là có thể tiến hành hoàn toàn định xứ, nghĩa là sau khi chia sẻ tài
nguyên lượng tử, người gửi và người nhận có thể thêm một số photon
tùy ý vào mode của mình một cách độc tập tại nơi của mình. Những
kiến thức cơ sở về viễn tải lượng tử được trình bày trong hai tiểu mục
sau đây.
1.3.1 Viễn tải lượng tử với biến gián đoạn
Năm 1993, Bennett và các cộng sự đề xuất một quá trình chuyển
thông tin mà ở đó trạng thái mang thông tin bị hủy ở nơi này để lại
được khôi phục tại một nơi khác một cách chính xác và bảo mật tuyệt
đối mà không cần truyền trực tiếp hệ vật lý mang thông tin. Nghe thì
có vẻ giống như hiện tượng dịch chuyển tức thời trong giả thiết khoa
học viễn tưởng nên Bennett và các cộng sự đặt tên cho quá trình này
là viễn tải lượng tử. Tuy nhiên, cần phải lưu ý rằng, khác với giả thiết

46. 32
khoa học viễn tưởng, quá trình chuyển thông tin này không hề vi phạm
thuyết tương đối của Einstein. Cụ thể, thông tin sẽ đến được B sau một
khoảng thời gian nhất định nào đó kể từ khi thông tin bị hủy ở A. Đó là
vì trong quá trình chuyển thông tin theo cách này, thông tin được tách
thành hai phần, phần phi cổ điển được chuyển đi tức thời nhờ tính chất
đặc biệt của trạng thái đan rối, và phần cổ điển được gửi đi qua một
kênh thông tin cổ điển thông thường [24]. Dĩ nhiên thông tin chỉ được
khôi phục hoàn toàn ở B khi người nhận có đủ cả hai phần này, nghĩa
là phải chờ cho đến khi nhận được thông tin cổ điển, nói cách khác tốc
độ chuyển tin không thể nhanh hơn tốc độ của ánh sáng.
Giả sử A cần gửi đến B thông tin được mã hóa trong trạng thái của
một qubit mà thậm chí A có thể không biết
|ψin = α|0 + β|1 , (1.41)
trong đó α và β là cặp số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa |α|2
+|β|2
=
1. Thuật ngữ qubit ở đây chỉ một hệ lượng tử có hai trạng thái trực giao,
thường được ký hiệu là |0 và |1 , chẳng hạn photon với hai hướng phân
cực trực giao, điện tử với hai định hướng ngược nhau của spin, nguyên
tử hai mức, v,v. Để thực hiện điều này trước hết A và B cần chia sẻ với
nhau một trạng thái đan rối hai qubit có dạng
|ψE ab =
1
√
2
(|0 a|1 b − |1 a|0 b), (1.42)
trong đó A sở hữu qubit a còn B sở hữu qubit b. Như vậy trạng thái ban
đầu của quá trình viễn tải lượng tử là một trạng thái ba qubit
|ψ abc ≡ |ψE ab|ψin c =
1
√
2
(|0 a|1 b − |1 a|0 b)(α|0 c + β|1 c), (1.43)
trong đó ta đã kí hiệu c cho qubit của A để phân biệt với hai qubit a và

47. 33
b được chuẩn bị trong trạng thái đan rối. Trong hệ cơ sở trạng thái Bell
|ψ−
ca =
1
√
2
(|0 c|1 a − |1 c|0 a), (1.44)
|ψ+
ca =
1
√
2
(|0 c|1 a + |1 c|0 a), (1.45)
|Φ−
ca =
1
√
2
(|0 c|0 a − |1 c|1 a), (1.46)
|Φ+
ca =
1
√
2
(|0 c|0 a + |1 c|1 a), (1.47)
trạng thái |ψ abc có thể được biểu diễn lại dưới dạng
|ψ abc =
1
2
[|ψ−
ca(−α|0 b − β|1 b) + |ψ+
ca(−α|0 b + β|1 b)
+ |Φ−
ca(α|1 b + β|0 b) + |Φ+
ca(α|1 b − β|0 b)]. (1.48)
Trước hết, A sẽ tiến hành phép đo hai qubit của mình trong hệ cơ sở
Bell (được gọi là phép đo Bell). Sau phép đo, trạng thái |ψ abc sụp đổ
về một trong bốn trạng thái chứa qubit của B bao gồm −α|0 b − β|1 b,
−α|0 b + β|1 b, α|1 b + β|0 b, hoặc α|1 b − β|0 b với xác suất bằng nhau
tùy theo kết quả của phép đo. Dễ dàng nhận thấy rằng các trạng thái
này liên hệ với trạng thái |ψin , phương trình (1.41), bởi tác dụng của
các toán tử Pauli
ˆI(−α|0 b − β|1 b) = − (α|0 b + β|1 b), (1.49)
ˆσz(−α|0 b + β|1 b) = − (α|0 b + β|1 b), (1.50)
ˆσx(α|1 b + β|0 b) = α|0 b + β|1 b, (1.51)
ˆσy(α|1 b − β|0 b) = i(α|0 b + β|1 b). (1.52)
Điều này đồng nghĩa với việc chỉ cần tác dụng một trong các toán tử
Pauli trên lên qubit đang sở hữu, B hoàn toàn có thể khôi phục lại trạng
thái ban đầu với độ chính xác tuyệt đối. Tuy nhiên cho đến lúc này B
vẫn chưa thể làm gì được, cụ thể hơn là B chưa biết mình sẽ phải chọn

48. 34
toán tử nào để tác dụng, vì không biết chính xác qubit đang sở hữu là
trạng thái nào trong số bốn trạng thái trên. Do đó, trong bước tiếp theo,
A cần phải gửi kết quả của phép đo Bell đến B qua một kênh thông tin
cổ điển thông thường bởi kết quả này chỉ đơn giản là một thông tin
thuần túy cổ điển. Điều đặc biệt là thông tin này được gửi đi chỉ với 2
bit với mọi |ψin và không nhất thiết phải bảo mật vì một người thứ ba
sẽ chẳng thu được bất kỳ thông tin nào về trạng thái |ψin c, cái mà đã
bị hủy sau phép đo, nếu không sở hữu một nửa trạng thái đan rối đã
chia sẻ với A, tức trạng thái mà chỉ B mới có.
Mô hình viễn tải áp dụng cho qubit được trình bày ở trên có thể
được tổng quát lên cho hệ có hơn hai trạng thái trực giao. Khi đó nguồn
rối sử dụng phải là trạng thái đan rối hoàn hảo có dạng
|ψE ab =
1
√
N
N−1
j=0
|j a|j b, (1.53)
trong đó j = 0, 1, 2, ..., N −1 ký hiệu cho các thành phần trực giao trong
cơ sở của hệ N-trạng thái. Tương tự như trên, A tiến hành phép đo Bell
trên tổ hợp trạng thái cần viễn tải với một nửa trạng thái đan rối. Các
trạng thái Bell bây giờ được mở rộng thành
|ψmn
=
1
√
N
N−1
j=0
e2πijn/N
|j |(j + m) mod N , (1.54)
trong đó n, m = 0, 1, ..., N − 1 và mod là toán tử chia lấy dư. Sau phép
đo, hệ của B sẽ quy về trạng thái
ca ψmn
|ψin c|ψE ab ∝
1
√
N
N−1
j=0
αje2πijn/N
|(j + m) mod N b. (1.55)
Khi nhận được kết quả của phép đo từ A, tức thông tin về hai số m và
n, B sẽ tác dụng vào hệ của mình toán tử unita có dạng
ˆUnm =
N−1
k=0
e2πijn/N
|k (k + m) mod N|, (1.56)

49. 35
và thu lại được trạng thái viễn tải một cách chính xác.
1.3.2 Viễn tải lượng tử với biến liên tục
Vaidman đã chứng minh rằng viễn tải lượng tử cũng có thể được mở
rộng cho trường hợp hệ biến liên tục [93]. Một cách tương tự, trước đó A
và B cần chia sẻ với nhau trạng thái đan rối biến liên tục |ψCE ab trong
đó A nhận mode a còn mode b được gửi đến B. Đặt trạng thái chưa biết
cần chuyển đi ở mode c, phép đo Bell trong trường hợp này là phép đo
đồng thời hiệu tọa độ ˆx− = ˆxc − ˆxa và tổng xung lượng ˆp+ = ˆpc + ˆpa giữa
mode a và c. Gọi |M(η) ac là trạng thái riêng của phép đo này, ta có
ˆx− |M(η) ac = Re(η) |M(η) ac = X− |M(η) ac , (1.57)
ˆp+ |M(η) ac = Im(η) |M(η) ac = Y+ |M(η) ac , (1.58)
trong đó số phức η = X− +iY+ biểu thị kết quả của phép đo Bell với X−
là kết quả của phép đo hiệu tọa độ và Y+ là kết quả của phép đo tổng
xung lượng giữa hai mode a và c, Re(η) và Im(η) tương ứng là phần thực
và phần ảo của η. Trong biểu diễn Fock, biểu diễn phù hợp với nguồn
rối phi Gauss được khảo sát trong đề tài, trạng thái |M(η) ac có dạng
[55]
|M(η) ac =
1
√
π
∞
i=0
ˆDc(η) |i, i ac , (1.59)
trong đó ˆDc(η) là toán tử dịch chuyển tác dụng lên mode c. Sau phép
đo, do tính chất đặc biệt của các trạng thái lượng tử, trạng thái ở mode
a cũng như trạng thái viễn tải |ψin c bị phá hủy, trạng thái |ψ abc sụp đổ
thành
|Ψ b = ac M(η)|ψCE ab|ψin c, (1.60)
với xác suất P(η) = b Ψ|Ψ b. Trạng thái này mang thông tin của |ψin c
do sự vướng víu lượng tử giữa mode a và mode b. Tuy nhiên, nó không

50. 36
hoàn toàn trùng với trạng thái gốc ban đầu |ψin do ảnh hưởng của phép
đo. Để có thể khôi phục lại trạng thái |ψin , B cũng cần phải tác dụng
lên trạng thái |Ψ b của mình một phép biến đổi unita với đối số liên quan
đến kết quả η của phép đo. Cũng tương tự như trước, trạng thái viễn
tải chỉ được khôi phục chính xác trong điều kiện nguồn rối hoàn hảo và
khi đó phép biến đổi unita tác dụng lên trạng thái của hệ B là phép dịch
chuyển không gian pha một lượng η [30]. Như vậy, để kết thúc quá trình
viễn tải, B tác dụng lên trạng thái của mình toán tử dịch chuyển ˆD(η)
và thu được trạng thái cuối cùng
|ψout b = ˆD(η)|Ψ b = ˆDb(η) ac M(η)|ψCE ab|ψin c. (1.61)
Để tiện lợi, đôi khi người ta biểu diễn trạng thái cuối dưới dạng một
toán tử, được gọi là toán tử viễn tải, ˆT(η) tác dụng lên trạng thái vào
|ψin c [55]
|ψout b = ˆT(η)|ψin c. (1.62)
So sánh giữa (1.61) và (1.62) cho ta biểu thức tường minh của toán tử
viễn tải
ˆT(η) = ˆDb(η) ac M(η)|ψCE ab. (1.63)
Đến đây, lưu ý rằng trạng thái |ψout b cần được chuẩn hóa về dạng
|ψout =
|ψout b
b ψout|ψout b
=
1
P(η)
ˆT(η)|ψin . (1.64)
Như đã đề cập ở trên, với nguồn rối hoàn hảo, trạng thái cuối của
quá trình viễn tải sẽ chính xác là trạng thái vào, nghĩa là | ψout|ψin | = 1.
Tuy nhiên, các nguồn rối trên thực tế không thể có độ rối hoàn hảo làm
cho |ψout = |ψin . Khi đó, muốn đánh giá mức độ thành công của quá
trình viễn tải, ta cần phải đo mức độ chồng phủ nhau giữa |ψout và |ψin
thông qua một đại lượng được gọi là độ tin cậy của quá trình viễn tải và

51. 37
ký hiệu là F. Với mỗi lần viễn tải ứng với kết quả η của phép đo Bell,
độ tin cậy F(η) được xác định bởi
F(η) = | ψin|ψout |2
=
1
P(η)
| ψin| ˆT(η)|ψin |2
. (1.65)
Và để xác định độ tin cậy cho một quá trình viễn tải bất kỳ, ta lấy trung
bình F(η) lên cho tất cả các khả năng của phép đo
Fav = d2
ηP(η)F(η) = d2
η| ψin| ˆT(η)|ψin |2
, (1.66)
trong đó d2
η = dRe(η)dIm(η) và tích phân được lấy lên toàn bộ không
gian phức của η. Một quá trình viễn tải lượng tử được gọi là thành công
nếu độ tin cậy Fav của nó lớn hơn 1/2 (giới hạn trên của độ tin cậy
ứng với quá trình viễn tải trạng thái lượng tử nhưng xử lý theo kiểu cổ
điển [31]). Dĩ nhiên, mục đích cuối cùng của quá trình viễn tải không
chỉ dừng lại ở con số lớn hơn 1/2 mà là làm thế nào để trạng thái nhận
được càng gần với trạng thái cần viễn tải càng tốt, nghĩa là phải tìm
cách để tăng độ tin cậy trung bình bằng cách tăng độ rối của nguồn rối
sử dụng trong viễn tải.

52. 38
Chương 2
TRẠNG THÁI NÉN DỊCH CHUYỂN
THÊM PHOTON HAI MODE
Kỹ thuật thêm photon gần đây nổi lên như một chủ đề rất hấp
dẫn vì nó là nền tảng trong việc tạo ra một trạng thái lượng tử bất
kỳ (kỹ thuật tạo trạng thái) [61]. Đặc biệt, thêm photon luôn làm cho
một trạng thái bất kỳ trở thành phi cổ điển, mối quan tâm của ngành
quang lượng tử. Hơn nữa, trong trường hợp đa mode, thêm photon còn
có thể làm các trạng thái đan rối có độ rối mạnh hơn, cung cấp nguồn
quan trọng để tiến hành các nhiệm vụ lượng tử nói chung trong đó có
viễn tải lượng tử. Trong chương này chúng tôi tổng quát hóa một trạng
thái thêm photon đã được đưa ra bởi Wang [94] (trong đó toán tử sinh
photon chỉ tác dụng lên một trong hai mode của trạng thái nén dịch
chuyển) cho trường hợp thêm photon vào cả hai mode và tìm hàm phân
bố Wigner của nó. Với một trạng thái lượng tử bất kỳ, các hàm phân
bố giả xác suất đóng một vai trò quan trọng vì chúng cung cấp cho ta
các thông tin cần thiết của trạng thái, trong đó hàm phân bố Wigner
luôn được quan tâm hơn cả bởi nó có thể đo được bằng thực nghiệm.
Cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng đó là làm thế nào để tạo
ra được trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode bằng thực

53. 39
nghiệm. Trong phần cuối của chương này, chúng tôi trình bày hai cách
tạo ra trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử dụng các
thiết bị quang học thường dùng trong quang lượng tử như thiết bị tách
chùm, bộ chuyển đổi tham số không suy biến và máy đếm photon.
2.1 Định nghĩa trạng thái nén dịch chuyển thêm
photon hai mode
Như đã nhắc đến trong chương trước, trạng thái nén được tạo thành
bằng cách tác dụng toán tử nén lên một trạng thái bất kỳ. Ví dụ đơn giản
nhất của các trạng thái nén là trạng thái chân không nén |s = ˆS(s)|0 .
Tổng quát hơn, ta có trạng thái nén được tạo thành bằng cách tác dụng
toán tử nén lên trạng thái kết hợp, kí hiệu |s, α , như sau:
|s, α = ˆS(s)|α = ˆS(s) ˆD(α)|0 , (2.1)
được gọi là trạng thái kết hợp nén. Về mặt toán học, trạng thái này sẽ
phức tạp hơn trạng thái chân không nén. Tuy nhiên, về mặt thực nghiệm
thì nó lại được tạo ra một cách dễ dàng hơn. Do đó, sẽ thú vị hơn nếu
chúng ta nghiên cứu trạng thái kết hợp nén thay vì chân không nén.
Để giảm thiểu bớt khó khăn trong tính toán với trạng thái này, ta lại
thay thế nó bởi một trạng thái tương đương, có tên trạng thái nén dịch
chuyển và ký hiệu là |α , s , trong đó α = r eiϕ
là tham số phức liên
hệ với α bởi α = α cosh r − α ∗
eiϕ
sinh r . Trạng thái nén dịch chuyển
|α , s , theo như tên gọi của nó, sẽ khác với trạng thái kết hợp nén |s, α
bởi việc hoán đổi vị trí của toán tử nén và toán tử dịch chuyển, cụ thể:
|α , s = ˆD(α ) ˆS(s)|0 . (2.2)

54. 40
Sở dĩ ta nói hai trạng thái này tương đương là vì [22]
|α , s = ˆD(α ) ˆS(s)|0 = ˆS(s) ˆD(α)|0 = |s, α . (2.3)
Như vậy, các kết quả tính toán cho trạng thái kết hợp nén với tham số
dịch chuyển α có thể được suy ra từ trạng thái nén dịch chuyển có tham
số α liên hệ với α như đã đề cập ở trên.
Trong trường hợp hai mode, trạng thái nén dịch chuyển, kí hiệu
|α, β; s , được thiết lập bằng cách tác dụng lần lượt toán tử nén hai
mode ˆSab(s) và toán tử dịch chuyển hai mode ˆDab(α, β) = ˆDa(α) ˆDb(β)
lên trạng thái chân không của trường điện từ
|α, β; s ab = ˆDab(α, β) ˆSab(s)|0, 0 ab, (2.4)
trong đó a và b ký hiệu cho hai mode của trường, các toán tử ˆDa(α),
ˆDb(β) và ˆSab(s) lần lượt được định nghĩa trong các biểu thức (1.3) và
(1.19) với tham số nén s = reiθ
và các tham số dịch chuyển α = |α|eiϕa
,
β = |β|eiϕb
. Tác dụng các toán tử sinh photon, tương ứng với kỹ thuật
thêm photon, vào cả hai mode của trạng thái trên cho ta một trạng thái
mới
|m, n; α, β; s ab = Nmn(α, β, s)ˆa†mˆb†n
|α, β; s ab (2.5)
và gọi là trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode. Vì toán tử
sinh photon không phải là toán tử unita nên trong biểu thức định nghĩa
trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode phải có mặt hệ số
chuẩn hóa
Nmn(α, β, s) =
1
ab α, β; s|ˆbnˆamˆa†mˆb†n|α, β; s ab
. (2.6)
Để thuận tiện cho việc biểu thị kết quả của các tính toán phức tạp sau
này, ta đặt hệ số
Cmn(α, β, s) = ab α, β; s|ˆbn
ˆam
ˆa†mˆb†n
|α, β; s ab. (2.7)

55. 41
Khi đó hệ số chuẩn hóa của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai
mode liên hệ với hệ số này bởi
Nmn(α, β, s) =
1
Cmn(α, β, s)
. (2.8)
Trước khi đi vào các tính toán cụ thể để xác định hệ số chuẩn hóa,
ta cần làm rõ một chút về cụm từ thêm photon được dùng để đặt tên
cho trạng thái. Một cách trực giác, ta sẽ nghĩ rằng "thêm một photon"
là tăng số photon trung bình của trạng thái lên một, nghĩa là số photon
trung bình của trạng thái sau khi tăng photon ˆn sẽ nhiều hơn số
photon trung bình của trạng thái ban đầu ˆn một lượng chính xác bằng
một. Tuy nhiên, tính toán cụ thể với một trạng thái |ψ bất kỳ sẽ cho
ta kết quả ˆn − ( ˆn + 1) ∝ ∆ˆn2
với ∆ˆn2
là phương sai của số photon
trong trạng thái |ψ và chỉ bằng một nếu |ψ là trạng thái Fock. Trong
trường hợp tổng quát ˆn = ˆn + 1 và vì vậy cụm từ "thêm m photon"
vào trạng thái |ψ phải được hiểu là tác dụng m lần toán tử sinh photon
lên trạng thái đó, còn "tăng số photon thêm vào" được dùng để chỉ việc
tăng số lần tác dụng của toán tử sinh photon.
Thủ thuật đơn giản nhất để tính hệ số Cmn(α, β, s) là hoán đổi vị
trí của các toán tử để trong biểu thức của Cmn(α, β, s) xuất hiện các số
hạng ˆD†
ab
ˆDab và ˆS†
ab
ˆSab. Khi đó các số hạng này sẽ đồng nhất với 1 do
tính chất unita của toán tử dịch chuyển và toán tử nén. Muốn vậy, ta
phải để ý đến các đồng nhất thức [82]
ˆD†
(α)ˆa ˆD(α) = ˆa + α, (2.9)
ˆD†
(α)ˆa† ˆD(α) = ˆa†
+ α∗
, (2.10)
ˆS†
(s)ˆa ˆS(s) = ˆa cosh r − ˆa†
eiθ
sinh r, (2.11)
ˆS†
(s)ˆa† ˆS(s) = ˆa†
cosh r − ˆae−iθ
sinh r. (2.12)

56. 42
Từ đó suy ra các đồng nhất thức phức tạp hơn
ˆS†
ab (s) ˆD†
a (α) ˆa† ˆDa (α) ˆSab (s) = ˆa†
cosh r − ˆbe−iθ
sinh r + α∗
, (2.13)
ˆS†
ab (s) ˆD†
a (α) ˆa ˆDa (α) ˆSab (s) = ˆa cosh r − ˆb†
eiθ
sinh r + α, (2.14)
ˆS†
ab (s) ˆD†
b (β)ˆb† ˆDb (β) ˆSab (s) = ˆb†
cosh r − ˆae−iθ
sinh r + β∗
, (2.15)
ˆS†
ab (s) ˆD†
b (β)ˆb ˆDb (β) ˆSab (s) = ˆb cosh r − ˆa†
eiθ
sinh r + β. (2.16)
Trên cơ sở các đồng nhất thức này, ta có
ˆa†mˆb†n
|α, β; s ab = ˆa†mˆb†n ˆDab(α, β) ˆSab(s)|0, 0 ab
= ˆDab(α, β) ˆSab(s) ˆb†
cosh r − ˆae−iθ
sinh r + β∗
n
× ˆa†
cosh r − ˆbe−iθ
sinh r + α∗
m
|0, 0 ab
= m!n! ˆDab(α, β) ˆSab(s)
m
i=0
n
p=0
min(i,p)
q=0
(α∗
)m−i
(β∗
)p−q
(m − i)!q!(p − q)!
×
−e−iθ
sinh r
q
(cosh r)i+n−p
|i − q a|n − p b
(i − q)! (n − p)!
.
(2.17)
Lấy liên hợp phức kết quả trong (2.17) cho ta giá trị của ab α, β; s|ˆbn
ˆam
rồi thay cả hai vào (2.7) ta được [54]
Cmn(α, β, s) =
m
i=0
n
p=0
min[i,p]
q=0
m!2
n!2
(m − i)!(i − q)!(n − p)!(p − q)!q!
×
∆
(cosh r)2(i+n−p)−∆
(− sinh r)2q−∆
(m − i + ∆)!(p − q + ∆)!(q − ∆)!
× |α|2m−2i+∆
|β|2p−2q+∆
ei∆ϕ
, (2.18)
trong đó ϕ = θ − ϕa − ϕb và ∆ trong tổng ∆ chạy từ ∆ = max[i −
m, q − p] đến ∆ = q.
Trong trường hợp chỉ thêm photon vào mode a, trong biểu thức

57. 43
(2.18) ta cho n = p = q = ∆ = 0 và thu được
Cm0(α, β, s) =
m
i=0
m!2
cosh2i
r|α|2(m−i)
(m − i)!2i!
= m!(cosh r)2m
L0
m(−|α|2
sech2
r),
(2.19)
trong đó Lk
m(x) là đa thức Laguerre liên kết có dạng
Lk
m(x) =
m
j=0
(−x)j
(m + k)!
j!(j + k)!(m − j)!
. (2.20)
Như vậy ta nhận được đúng trạng thái đã được Wang đưa ra trong [94]
|m, 0; α, β; s ab = Nm0(α, β, s)ˆa†m
|α, β; s 00
=
ˆa†m
|α, β; s 00
m!(cosh r)2mL0
m(−|α|2sech2
r)
. (2.21)
2.2 Hàm Wigner của trạng thái nén dịch chuyển
thêm photon hai mode
Ba phương pháp thống kê thường dùng trong quang lượng tử là
phương pháp hàm sinh moment, phương pháp hàm đặc trưng và phương
pháp dựa trên hàm phân bố giả xác suất. Phương pháp đầu tiên được
dùng để mô tả tính thống kê đơn lẻ của mode trường như số hạt hoặc
pha còn hai phương pháp còn lại cho ta mô tả thống kê của trường một
cách đầy đủ hơn. Cụ thể, cả hai phương pháp này đều cho phép ta tính
giá trị kỳ vọng của bất kỳ biến động lực nào của trường. Hơn nữa, hàm
đặc trưng hoặc phân bố giả xác suất chứa tất cả các thông tin cần thiết
để xây dựng lại ma trận mật độ mô tả cho trạng thái của trường. Trong
khi hàm đặc trưng là một hàm phức thì các hàm phân bố giả xác suất có
giá trị thực [22]. Đặc biệt, trong số ba hàm phân bố giả xác suất thường
dùng thì hàm Wigner là hàm có thể đo được bằng thực nghiệm. Do đó,

58. 44
phương pháp hàm Wigner luôn là lựa chọn ưu tiên khi muốn khảo sát
tính thống kê của một trường điện từ bất kỳ nếu tính toán với nó không
quá phức tạp.
Trong biểu diễn trạng thái kết hợp, hàm Wigner được định nghĩa
trong (1.7) trở thành [17], [18]
W(z) =
2e2|z|2
π
d2
u −u|ˆρ|u exp[2(u∗
z − uz∗
)], (2.22)
trong đó z, u là các số phức và |u ký hiệu cho trạng thái kết hợp. Mở
rộng cho trường hai mode, hàm Wigner (2.22) có dạng
W(za, zb) =
4
π2
exp(2|za|2
+ 2|zb|2
)
× d2
uad2
ub −ua, −ub|ˆρ|ua, ub exp[2(u∗
aza + u∗
bzb − uaz∗
a − ubz∗
b )].
(2.23)
Với trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, ta có
ˆρ =|m, n; α, β; s m, n; α, β; s|
=N2
mn (α, β, s) ˆa†mˆb†n ˆDab(α, β) ˆSab(s)|0, 0 0, 0| ˆS†
ab(s) ˆD†
ab(α, β)ˆbn
ˆam
,
(2.24)
do đó hàm Wigner của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode
được xác định bởi
W(za, zb) =
4N2
mn (α, β, s)
π2
exp(2|za|2
+ 2|zb|2
)
× d2
uad2
ub d2
uad2
ub exp[2(u∗
aza + u∗
bzb − uaz∗
a − ubz∗
b )]
× −ua, −ub|ˆa†mˆb†n ˆDab(α, β) ˆSab(s)|0, 0
× 0, 0| ˆS†
ab(s) ˆD†
ab(α, β)ˆbn
ˆam
|ua, ub