ĐỀ TOÁN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2002 – 2003

1. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TP
HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2002 – 2003
Ngày Thứ Nhất
Môn Toán cho các lớp Khoa học Tự nhiên
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1: Rút gọn biểu thức:
a/ A = √√5 − √3 − √29 − 12√5
b/ B =
𝑥8
+3𝑥4
+4
𝑥4+𝑥2+2
Câu 2: Cho phương trình:
x2 – 2(m - 1)x + 2m – 4 = 0 (có ẩn số là x)
a/ Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìmgiá trị nhỏ nhất của y = x2
1 + x2
2.
Câu 3:
a/ Chứng minh: x2 + y2 ≥
(𝑥+𝑦)2
2
.
b/ Chứng minh: 𝑥4
+ 𝑦4
≥
(𝑥+𝑦)4
8
.
c/ Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: 8(x4 + y4) +
1
𝑥𝑦
≥ 5.
Câu 4: Giải các phương trình:
a/ √ 𝑥 + 3 + 4√ 𝑥 + 1 + √ 𝑥 + 8 − 6√ 𝑥 − 1 = 5;
b/ (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4.
Câu 5: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) cắt đường tròn (O) tại hai điểm
A và B. Từ một điểm M trên đường thẳng (d) và ở ngoài đường tròn (O), (d) không
đi qua O, ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).
a/ Chứng minh rằng: 𝑁𝑀𝑂̂ = 𝑁𝑃𝑂̂.
b/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định
khi M di động trên đường thẳng (d).
c/ Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình
vuông.
d/ Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP di động trên một
đường cố định khi M di động trên (d).
Ngày Thứ Hai

2. Môn Toán cho các lớp chuyên Toán, chuyên Tin
(Thời gian: 150 phút)
Câu 6: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm và tính các nghiệm ấy
theo m: x + |x2 – 2x + m| = 0.
Câu 7: Phân tích thành nhân tử: A = x10 + x5 + 1
Câu 8: Giải phương trình và hệ phương trình:
a/
𝑥2
3
+
48
𝑥2
= 10(
𝑥
3
−
4
𝑥
);
b/ √ 𝑥 + 2 + 3√2𝑥 − 5 + √ 𝑥 − 2 − √2𝑥 − 5 = 2√2;
c/ {
𝑥𝑦2
− 2𝑦 + 3𝑥2
= 0
𝑦2
+ 𝑥2
𝑦 + 2𝑥 = 0
Câu 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:
𝑦 =
𝑥2
𝑥2−5𝑥+7
.
Câu 10:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có
AB < AC. Lấy điểm M thuộc cung 𝐵𝐶̂ không chứa điểm A của đường tròn (O). Vẽ
MH vuông góc BC, MK vuông góc CA, MI vuông góc AB (H thuộc BC, K thuộc
AC, I thuộc AB). Chứng minh rằng:
𝐵𝐶
𝑀𝐻
=
𝐴𝐶
𝑀𝐾
+
𝐴𝐵
𝑀𝐼
.
Câu 11:Cho tam giác ABC. Giả sử các đường phân giác trong và ngoài của góc A
của tam giác ABC lần lượt cắt đường thẳng BC tại D, E và có AD = AE.
Chứng minh rằng: AB2 + AC2 = 4R2 với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.