1. www.VNMATH.com

2. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 Dạng 1: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1)
với a+b=c+d và m ≠ 0
Cách giải:
Phương trình (1) được viết lại:
[x2 +(a+b)x +ab][ x2 +(c+d)x +cd] =m
Vì a+b = c+d nên ta đặt t=x2 +(a +b)x= x2 +(c+d)x lúc
đó phương trình (1) được viết lại như sau:
(t +ab)(t+cd) = m  t2 +(ab+cd)t +abcd –m =0
Giải phương trình theo t  x
Ví dụ: giải phương trình sau
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 120
 (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=120
 (x2 +5x +4)(x2 +5x+6)=120
Đặt t = x2+5x Lúc đó phương trình được viết lại:
(t+4)(t+6)=120
 t2 +10t-96 =0
 t=6, t=-16
Với t=6 thì x2 +5x-6=0  x=1, x=-6
Với t=-16 thì x2 +5x+16=0 ( vô nghiệm)
BÀI TẬP
1. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=4
2. (2x-1)(2x+3)(x+2)(x+4)+9=0
3. (x+2)(x+4)(x2 +6x+1)=8
4. (x+1)(x+2)(x+5)(x+6)=252
5. (16(x2 -1)(x2 +8x+15)=105
Tìm m để phương trình sau
6. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=m có nghiệm
7. x(x+1)(x+2)(x+3)=m có 4 nghiệm phân biệt.
8. (x+2)(x+4)(x2 +4x +m)=8m có 4 nghiệm dương phân
biệt
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 3

3. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
mx nx
 Dạng 2: + =k
ax2+bx+c ax2+dx+c
Với giả thiết biểu thức ở mẫu luôn khác không
Cách giải:
Trước tiên ta nhận xét x=0 không phải là nghiệm của
phương trình đã cho.
Khi x≠ 0 ta chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x,
lúc đó phương trình đã cho (2) được viết lại như sau:
m n
+ =k (2.1)
c c
ax+b+ ax+d+
x x
c
Đặt t= ax+ lúc đó phương trình (2.1) được viết lại:
x
m n
+ =k (2.2)
t+b t+d
Giải phương trình (3) ta được nghiệm giả sử đó t1, t2 rồi
từ đó ta suy ra nghiệm của phương trình (2) bằng cách
giải các phương trình
c c
ax+ = t1 , ax+ = t2
x x
Ví dụ: giải phương trình
4x 3x
+ 2 =1 (2.3)
4x2-8x+7 4x -10x+7
Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình
đã cho.
Xét x≠ 0 lúc đó chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức
cho x ta được
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 4

4. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
4 3
+ =1 (2.4)
7 7
4x-8+ 4x-10+
x x
7
Đặt t = 4+ khi đó phương trình (2.4) dược viết lại là
x
4 3
+ =1
t-8 t-10
Quy đồng mẫu thì ta có phương trình
t2 -25t +144=0.
Phương trình này có hai nghiệm t 1=16, t2=9
7
Với t1=16 ta có phương trình 4x+ =16
x
7 1
 4x2 -16x +7=0  x1 = , x2 =
2 2
Với t2 =9 ta có phương trình
7
4x + =9  4x2 -9x+7=0 (không có nghiệm thực)
x
7 1
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x1 = , x2 =
2 2
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
2x x 3
1. + 2 =
3x2-x+1 3x -4x+1 2
2x 13x
2. + 2 =6
2x2-5x+3 2x +x+3
2x 6x
3. 2 + 2 =1
x +8x+5 x +x+5
3x 2x 8
4. 2 - 2 =
x -4x+1 x +x+1 3
2x 6x
Cho phương trình sau + 2 =m
x2+8x+5 x +x+5
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 5

5. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Tìm m để phương trình đã cho thoả mãn các điều kiện
sau:
5. Phương trình đã cho có nghiệm
6. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
7. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
8. Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
9. Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt
10. Với giá trị nào của m thì phương trình
3x 2x
+ 2 =1 có 4 nghiệm dương phân biệt
x2-4mx+1 x +mx+1
x1, x2, x3, x4 thoả mãn x1+x2+x3+x4 = 14
 Nhân đây tôi cũng muốn nói đến dạng phương trình
cùng họ hàng với dạng toán trên.
1 1 1 1
+ 2 + 2 = (*)
x2+9x+20 x +11x+30 x +13x+42 18
Giải như sau:
Ta thấy (*) được viết lại:
1 1 1 1
+ + =
(x+4)(x+5) (x+5)(x+6) (x+6)(x+7) 18
1 1 1 1 1 1 1
 - + - + - =
x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 18
1 1 1
 - =  x2 +11x-26 =0  x1= 2, x2= -13
x+4 x+7 18
Tương tự giải phương trình sau:
1 1 1
2 + 2 +…… + 2 =k
x +3x+2 x +5x+6 x +(2n-1)x+n2-n
Giả sử A là sự thành công trong cuộc sống. Vậy
thì A=X+Y+Z trong đó X=làm việc, Y=vui chơi,
Z=im lặng (Albert Einstein's).
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 6

6. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
4 4
 Dạng 3 (x+a) + (x+b) =c (3)
a+b
Cách giải: Đặt t= x+ lúc đó phương trình (3) được
2
viết lại như sau:
 a-b4  a-b4
t+  + t-  =c
 2   2 
4 (a-b)4
2 2
 2t +3(a-b) t + -c=0
8
Giải phương trình trùng phương này ta tìm được t rồi từ
t suy ra giá trị của x
Ví dụ: Giải phương trình (x+1)4 + (x+3)4 = 272
Giải: Đặt t=x+2 Lúc đó phương trình đã cho được
viết lại là: (t-1)4 +(t+1)4 =272
 t4 +6t2 -135=0 Đặt X=t2 0 khi đó ta có
X2 +6X-135=0  X=9, X=-15<0 (loại)
Khi X=9  t2 =9  t 1=3, t 2=-3  x1= 1, x2 = -5
Vậy phương trình có hai nghiệm là x1=1,x2=-5
BÀI TẬP
Giải phương trình sau:
1. (x-2)4 + (x-4)4 =2
2. (x+4)4 + (x+6)4 =82
3. (x+3)4 + (x+5)4 =2
Tìm m để phương trình (x+1)4 +(x+5)4 =m
4. có nghiệm
5. có 2 nghiệm phân biệt
6. có 4 nghiệm phân biệt
7. có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng
8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(x+1)4+(x+m)4 =82
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 7

7. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 Nhân đây tôi cũng muốn mở rộng dạng toán này
thông qua ví dụ sau:
Ví dụ: Giải phương trình: (x-2)6 + (x-4)6 =64
Đặt t=x-3 khi đó phương trình viết lại như sau:
(t+1)6 + (t-1)6 =64  t6 +15t4 +152 -31=0
Đặt X=t2  0 lúc đó phương trình viết lại như sau:
X3 +15X2 +15X-31=0
 (X-1)(X2 +16X+31)=0
 X 1=1, X2=-8+ 33 <0( loại) X3=-8- 33<0(loại)
Với X=1  t2 =1  t1=1, t 2=-1  x1=4, x2=2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x1=4, x2=2
Tương tự giải phương trình sau:
1. (x-1)6 +(x-2)6 =1
2. (x+2)6 + (x+4)6 =64
3. Tìm m để phương trình (x-1)6 + (x-3)6 =m có nghiệm
NGHIỆM CỦA ĐỜI ANH
Lối vào tim em như một đường hàm số
Uốn vòng vèo như đồ thị hàm sin
Anh tìm vào tọa độ trái tim
Mở khoảng nghiệm có tình em trong đó
Ôi mắt em phương trình để ngỏ
Rèm mi mịn màng nghiêng một góc anpha
Mái tóc em dài như định lí Bunhia
Và môi em đường tròn hàm số cos
Xin em đừng bảo anh là ngốc
Sinh nhật em anh tặng trái cầu xoay
Và đêm Noel hình chóp cụt trên tay
Anh giận em cả con tim thổc thức
Mãi em ơi phương trình không mẫu mực
Em là nghiệm duy nhất của đời anh.
Mục đích sống ở trên đời là sống có mục đích.
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 8

8. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 Dạng 4: af2(x) + bf(x)g(x) + cg2(x) =0 (4)
Với dạng này ta xét hai trường hợp:
TH1: g(x)=0 , gọi x= xo là nghiệm của phương trình
g(x)=0
Lúc đó nếu f(xo)=0 thì x=xo là nghiệm của phương trình
(4) đã cho.
Ngược lại nếu f(xo)≠ 0 thì kết luận nghiệm của phương
trình g(x)=0 không phải là nghiệm của phương trình đã
cho.
TH2: g(x)≠ 0, ta chia cả hai vế của phương trình (4) đã
cho g(x).Khi đó ta có:
 f(x) 2  f(x) 
ag(x) + bg(x) +c =0 (4.1)
   
f(x)
Đặt t= khi đó phương trình (4.1) đã cho trở thành
g(x)
at2 +bt +c=0 (4.2)
Giải phương trình này ta tìm được t
Giả sử t=t o là nghiệm của phương trình (4.2) Khi đó
nghiệm của phương trình (*) đã cho là nghiệm của
f(x)
phương trình =t  f(x)=tog(x)
g(x) o
Ví dụ:Giải phương trình: (x2 +6)2-8x(x2+6)+7x2 =0
Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương
trình đã cho.Khi đó với x≠ 0 ta chia hai vế của phương
trình cho x2. Lúc đó phương trình được viết lại như sau
(x2+6)2 (x2+6)
-8 +7=0
x2 x
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 9

9. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
(x2+6)
Đặt t= khi đó phương trình đã cho được viết lại
x
như sau: t2-8t+7=0  t1=1, t2=7
Khi t1=1 thì ta có phương trình x2 - x +6 =0 (Vô
nghiệm)
Khi t2=7 thì ta có phương trình x2 -7x+6 =0
 x1 =1, x2 =6
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1=1, x2 =6
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1. (x+3)2- x2 -x+6 = 2(x-2)2
2. 2(x2+x+1)2 -7(x-1)2 =13(x3-1)
3. 4x + 6x = 9x
4. 2(x-1)2 + 3(x2 -1)=5(x+1)2
2x x x
5. 2010 -3.4002 +2.4 =0
x x x
6. 3.16 +2.81 =5.36
1 1 1
7. 2.4x +6x =9x
8. Giải và biện luận các phương trình sau:
a. 2(x2 +x+1)2 +(m-1)(x3-1) +(x-1)2 =0
x x x
b. 49 - 4.21 +m.9 =0
9. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
x1, x2 thoả mãn 2< x1 x2  5
 2x  2x
2+ 5
  + 5-2
 +m=0
- Không gì gần sát cái đúng bằng cái sai. (Albert Einstein's)
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 10

10. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
m m m m
 Dạng 5 + - - =n (5)
x+a x+b x+c x+d
Trong đó a+c = b+d = p và giả thiết phương trình đã cho
là xác định.
Vói loại này ta có phương pháp giải như sau:
Đưa phương trình về dạng:
m m m m
- + - =n quy đồng ta được:
x+a x+c x+b x+d
m(c-a) m(d-b)
2 + 2 =n
x +px+ac x +px+bd
Khi đó đặt t=x2+px ta được phương trình có dạng
k h
+ =n
t+ t+
Phương trình trên thì các bạn có thể giải được dễ dàng
nhờ phương pháp quy đồng rồi từ đó có thể suy ra
nghiệm của (1)
Ví dụ:
Giải phương trình
1 1 1 1 59
+ - - = (5.1)
x+3 x+4 x+5 x+6 420
Theo cách làm như đã hướng dẫn ta có phương trình (5)
tương đương với phương trình sau:
3 1 59
2 + 2 =
x +9x+18 x +9x+20 420
Đặt t = x2 +9x khi đó ta có phương trình sau
3 1 59
+ =
t+18 t+20 420
-1152
Giải phương trình trên ta có nghiệm là , 10
59
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 11

11. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Khi đó ta có các nghiệm của phương trình đã cho
-9 3 1121 -9 3 1121
là: 1, -10, + , -
2 118 2 118
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1 1 1 1 29
1. + - - =
x+2 x+5 x+4 x+7 252
4 4 4 4 43
2. 2 + 2 - 2 - 2 =
x -3 x -5 x +7 x +9 36
3. Giải và biện luận phương trình sau:
3 3 3 3
+ - - =m (5.2)
x2+1 x2+2 x2+3 x2+4
4. Tìm m để phương trình (5.2) có hai nghiệm phân biệt
mà hai nghiệm ấy phải thuộc [-2, 2], khi nào thì (5.2)
có 4 nghiệm phân biệt.
- Ai đó ví người theo nghề giáo như những người
chèo đò cần mẫn đưa khách sang sông. Bao thế hệ
người đến rồi đi và chỉ có người lái đò ở lại... Thầy
cô là thế, luôn miệt mài với công việc của mình để
dìu dắt bao thế hệ trí thức, luôn sẵn sàng cho đi
những gì tinh túy nhất cuộc đời mình mà không
mong nhận lại điều gì...
- Đừng khóc vì những gì đã mất mà hãy cười với
những gì đang có.
- Mọi sáng tạo và cái mới chỉ có thể tới được trên cơ
sở cách nhìn nhận mới, cách nghĩ mới, không theo
lối mòn cũ.
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 12

12. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 Dạng 6* x4 =ax2 +bx+c (6) trong đó a, b,c
là hằng số.
Với dạng này ta có phương pháp giải như sau:
Chọn giá trị mR sao cho m thoả mãn
(2m+a)x2 +bx +c+m2 = (x+)2 (6.1)
Thực chất để xảy ra (6.1) thì điều kiện cần và đủ là
b2-4(2m+a)(c+m2)=0
Từ đó giải phương trình này theo m thì ta có thể tìm
được giá trị m cần tìm.
Ta có x4 =ax2 +bx+c
 x4 +2mx2 +m2 =(2m+a)x2 +bx +c+m2
Với cách chọn giá trị m như trên ta có thể đưa về
dạng (x2+m)2= (x+)2
 (x2-x-+m)(x2+x++m)=0
Đây là phương trình tích nên bạn có thể giải được dễ
dàng
Ví dụ: Giải phương trình: x4=6x2 - 37x +3 (6.2)
Trước hết ta cần chọn giá trị m sao cho
37-4(2m+6)(m2+3)=0
Phương trình này có một nghiệm thực duy nhất là
5
m=-
2
Như đã trình bày trong phần cách giải (6) ta có
25 37
x4 -5x2 + = x2 - 37x+
4 4
 2 5 2  372
 x -2 = x- 
   2 
 2 5 37 2 37 5
 x +x- - x -x+ - =0
 2 2  2 2
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 13

13. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Giải phương trình tích này ta có các nghiệm là:
1 112 37 1 112 37 1 112 37 1 112 37
  ,   ,  , 
2 2 2 2 2 2 2 2
Chú ý đối với phương trình x4=6x2+bx+3 thì ta
1
2
(b -64)3
chọn giá trị m cần chọn là m= -1
2
BÀI TẬP
Giải phương trình sau
1. x4 = 6x2 + 56x+3
19
2. x4 =x2 +2x-
5
3. Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm
phân biệt
x4= 6x2 + (8m3+64) x +3 (6.3)
4. Khi nào thì phương trình (6.3) có 2 nghiệm dương
phân biệt nằm thuộc vào [-2, 2]
- Thế giới quá rộng lớn. Những con người bé nhỏ cứ
đi mãi, đi mãi trên khắp các con đường. Thế rồi tình
cờ, hai trong số họ gặp nhau. Nói với nhau vài câu
rồi rời đi. Giúp đỡ nhau tí chút để trở thành bạn bè.
Hay nhiều hơn nữa, họ ở lại bên nhau, nương tựa,
nâng đỡ tâm hồn nhau. Bao nhiêu phương án có thể
xảy ra. Tôi chợt hiểu, để tìm thấy một người khiến
thật tâm mình rung động, yêu thương không tính
toán, trao gửi hết tất cả bí mật mới khó khăn và
thiêng liêng làm sao... (Dạt vòm – Phan Hồn Nhiên)
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 14

14. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 Dạng 7 a(ax2+bx+c)2 +b(ax2+bx+c) +c=x (7)
Đặt t= ax2+bx+c khi đó ta có hệ phương trình sau:
ax2 +bx+c=t

 2
at +bt+c=x

Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm của
phương trình đã cho.
Ví dụ: Giải phương trình sau:
(x2+3x-4)2 +3(x2+3x-4) =x+4 (7.1)
Đặt t=x2+3x-4 Khi đó ta có hệ phương trình sau:
x2+3x-4=t

 2
 t +3t-4=x
(7.2)

Giải hệ (7.2) bằng cách lấy phương trình thứ nhất trừ
phương trình thứ hai khi đó ta có
(x2-t2)+4(x-t)=0  (x-t)(x+t+4)=0
Với t=x thì ta có các nghiệm là 5 1, 1 5
Với t=-x-4 thì các nghiệm là 0, 4
Vậy phương trình (7.1) có 4 nghiệm là
0, 4, 5-1, - 5-1
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1. (x2+4x+2)2 +4(x2+4x+2)=x-2
2. (x2 -4x+3)2 -4x2 +15x-9=0
Cho phương trình (x2+5x+m)2+5x2+24x+6m=0
3. Giải phương trình khi m=-12
4. Giải phương trình khi m=-22
5. Giải và biện luận nghiệm của phương trình đã cho.
6. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có it
nhất hai nghiệm dương phân biệt.
Cho phương trình sau:
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 15

15. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2m(2mx2 +3x+m)2 +6mx2 +8x+4m=0
2
7. Giải phương trình khi m=-
3
8. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho chỉ có
hai nghiệm phân biệt.
9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(x2-2x+2)2 +2(1-m)(x2-2x+2)+m2 -2m+4=0
Yêu Toán nhất
Tặng IMO-48 lần đầu tiên tổ chức tại Việt Nam 7/2007
(Tôi chỉ trích dẫn)
Bạn ơi, Toán học là gì?
Đó là thủ thuật, đó là tinh khôn!
Là tư duy lôgic, ma lanh,
Giúp cho đời những giải pháp nhanh,
Rút ngắn thời gian và đầu tư công của,
Để thu về cuộc sống optimal!
Chính vì thế mà ta đã yêu!
Yêu, yêu nhất suốt đời ta là Toán!
Toán cho ta một bầu trời trí tuệ,
Một kho tàng chìa khóa để tư duy.
Hệ thống công thức, định lý Toán là một loài hoa,
Nở rộ hàng ngày và đẹp mãi trong ta.
Song đặc biệt chúng không bao giờ tàn lụi,
Chỉ có đẹp thêm, đẹp thêm, tràn đầy sức sống!
Nay Toán yêu của ta có thêm Tin cộng lực
Dù yêu Tin, ta vẫn yêu Toán nhất trên đời!
Hà Nội, 30/7/2007
- Thành công có 99% là mồ hôi và nước mắt.
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 16

16. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 Dạng 8: ax2+bx+c= px2+qx+r
trong đó aq=bp≠ 0 và giả thiết biểu thức trong căn là
không âm
Với loại này ta có cách giải như sau:
Viết phương trình đã cho dưới dạng:
 2 b c q r
a.x + a x+a = p x2+ x+ (8.1)
  p p
b q
Khi đó đặt t = x2+ x= x2+ x (do aq=bp≠ 0)
a p
Phương trình (8.1) được viết lại là:
a  c r
t+  = t+ (việc giải phương trình này đã dễ
p  a p
dàng hơn rồi bạn nhỉ !).
Tiến hành giải phương trình này ta được t rồi từ đó
suy ra nghiệm x của phương trình đã cho
Ví dụ Giải phương trình sau
x2-3x+2= 2x2-6x+28 (8.2)
Đặt t= x2-3x khi đó phương trình đã cho viết lại
như sau:

t+20
t+2= 2 t+14   2
(t+2) =2(t+14)
 t1=4, t2=-6

Khi t=4 thì ta có x2-3x =4  x1=-1, x2=4.
Khi t=-6 thì ta có x2-3x=-6  phương trình không có
nghiệm thực.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thực là -1, 4
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1. 2x2 -3x+2= 4x2-6x+28
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 17

17. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2. x2-7x +2= 2x2-14x+84
Cho phương trình sau x2 -7x+m - 3x2-21x+85 =0
3. Giải phương trình khi m=19
4. Giải và biện luận theo m nghiệm của phương
trình.
Cho phương trình 6x2-12x+5= 2x2-4x+m (8.3)
5. Giải phương trình khi m= 85, m=2.
119
6. Giải phương trình khi m=
72
7. Tìm giá trị m để phương trình (8.3)chỉ có hai
nghiệm mà hai nghiệm đó đều dương.
8. Tìm giá trị của m để phương trình (8.3) có bốn
nghiệm phân biệt.
- Cuộc đời làm nhà giáo là hiến dâng sức lực, trí tuệ, tài
năng, sức sống cho lớp lớp học sinh. Đó là một cuộc đời
nặng nhọc, mòn mỏi trái tim, là những đêm không ngủ, là
những sợi tóc bạc. Đó là một cuộc sống vất vả nhất nhưng
vui tươi nhất, là một sáng tạo đầy hồi hộp. Chúng ta sáng
tạo ra con người và chính vì thế đó là một niềm hạnh phúc
lớn lao, một hạnh phúc chân chính. Lao động của chúng ta
là lao động không có gì so sánh nổi, là lao động từ năm này
qua năm khác, là sự nghiệp trăm năm trồng người. Bởi vậy,
nghề giáo là những nghề cao quý. Để trở thành một nhà
giáo ưu tú phải có một tình yêu vô hạn đối với lao động, có
năng lực chuyên môn, có tinh thần sáng khoái, có trí tuệ
sáng suốt, có tâm hồn cao đẹp để những lời giảng vang lên
không phải là những âm thanh trống rỗng mà chính là
nguồn mạch nuôi lớn tâm hồn và trí tuệ học sinh.
- Hồn tôi mãi mãi cháy bỏng, hồn tôi mãi mãi vun xới và
nâng niu…Nếu có kiếp sau, tôi xin được làm thầy giáo dưới
bầu trời Việt Nam.
(Những lời trên là của thầy trưởng Khoa Văn trường ĐHSP
Huế trong dịp kỉ niệm ngày nhà giáo Việt Nam(20-11-2009)
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 18

18. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 1 2  1 2
 Dạng 9   +   =c
f(x)+a f(x)+b
(9)
Giả sử các biểu thức ở mẫu luôn khác không.
a+b b-a
Với loại này ta đặt X= f(x)+ và = khi đó
2 2
phương trình đã cho được viết lại như sau:
 1 2  1 2
  + =c
X- X+
Tiến hành quy đồng mẫu ta có phương trình sau:
cX4 -2(c2 +1)X2 + c4 -22=0 (9.1)
Phương trình (9.1) là một phương trình trùng phương
theo X mà bạn có thể giải được dễ dàng .
Khi tìm được X = X0 là nghiệm thì dựa vào cách đặt
X ta đưa phương trình đã cho về dạng:
a+b
f(x) + =X0
2
Lúc này bạn có thể tìm được x dễ dàng bằng cách
giải phương trình trên.
 k 2  k 2
Lưu ý: Dạng phương trình f(x)+a + f(x)+b =c ta
   
luôn đưa về được dạng phương trình (9)
Ví dụ: Giải phương trình:
 1 2  1 2 40
  +  = (9.2)
sin(x)-1 sin(x)-2 9
3
Đặt t=sin(x)- khi đó phương trình (9.2) viết lại
2
như sau:
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 19

19. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 1 2  1 2 40 9 5
t+ 1 +  1 =  18t2 + = 40t4 -20t2 +
t-
 2  2 9 2 2
 40t4 -38t2 -2= 0  t1=-1, t 2=1
1 
Với t=-1 sin(x)=  x= (-1)k + k (kZ)
2 6
5
Với t=1  sin(x)= ( vô nghiệm)
2
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là

x= (-1)k + k (kZ)
6
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
 1 2  1 2 5
1. x2-3 + x2-2 =
    4
 3 2  3 2
2. 2cos2(x)-2
  + 2  =40
  2sin (x)+1
 4 2  4 2
3. e2x+1 + e2x+3 =5
   
 3 2  3 2
4.   +  =10
x+4 x-2 x+4 x-6
 12 2  12 2
Cho phương trình x2-3x+5 +x2-3x+6 =m (9.3)
   
5. Giải phương trình khi m=25.
6. Biện luận số nghiệm của phương trình (9.3).
- Bạn và tôi cùng chung mục đích, lý tưởng thì ắt phải đi
chung trên một con đường...rồi cuối cùng sẽ gặp nhau.
- Đừng sợ hãi khi bạn phải đối đầu với một đối thủ mạnh
hơn, mà phải vui mừng vì bạn đã có cơ hội chiến đấu
hết mình.
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 20

20. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 Dạng 10 (Phương trình phản phương)
ax4+bx3+cx2 bx+a=0 (a≠ 0) (10)
Với loại này ta có nhận xét x=0 không phải là
nghiệm của phương trình đã cho
Khi x≠ 0 thì ta chia hai vế xủa phương trình cho x2
b a
khi đó ta được ax2+bx+c  + =0
x x2
 1 2  1
 axx +bxx+c 2=0
   
1
Đặt t= x  khi đó ta có phương trình mới
x
at2 +bt +c 2=0 (10.1)
Việc giải phương trình (10.1) là dễ dàng, tìm được t
sau đó dựa vào cách đặt t ta suy ra x.
Ví dụ: Giải phương trình x4 -4x3 +x2 +4x+1= 0
Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương
trình đã cho.
Với x≠ 0, thì ta chia hai vế của phương trình
cho x2 khi đó ta có
 12  1
x-  -4x-  +3=0
 x  x
1
Đặt t=x- lúc đó ta có phương trình
x
t2-4t+3=0  t1=1, t2 =3
Với t=1 thì ta có phương trình
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 21

21. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1+ 5 1- 5
x2-x-1=0  x1= , x2=
2 2
Với t=3 thì ta có phương trình
3+ 13 3- 13
x2 -3x-1=0  x3= , x4=
2 2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm
1+ 5 1- 5 3+ 13 3- 13
x1= , x2= , x3= 2 , x4= 2
2 2
BÀI TẬP
Giải phương trình
1. 9x4 -9x3 -52x2 -9x+9=0
2. x4+ 2x3 -6x2 -2x+1=0
3. x4+10x3 +26x2 +10x+1=0
Cho phương trình x4+5x3 +mx2 +5x+1=0 (10.2)
4. Giải phương trình khi m=-12.
5. Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
6. Cho phương trình sau
x4- (m+1)x3 +(m+2)x2- (m+1)x+1=0
Tìm m để phương trình có nghiệm.
7. Cho phương trình sau
x4 +mx3 +x2 +mx +1=0
Tìm m để phương trình có ít nhất hai nghiệm âm khác
nhau.
8. Biết phương trình x4-bx3- cx2- bx+1=0 có nghiệm
Chứng minh rằng: b2+(c+2)2 >3
Con đường phía trước vẫn còn nhiếu khó khăn ,
nhưng quan trọng ta có bản lĩnh đề vượt qua hay
không ? Chính niềm đam mê sẽ góp thêm sức mạnh
cho ta
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 22

22. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 Dạng 11 (Phương trình hồi quy)
ax4 +bx3+cx2  dx+k=0 (11) trong đó kb2=ad2
Ở đây chỉ xét trường hợp k≠ 0, còn khi k=0 thì
phương trình đã suy biến về phương trình bậc ba.
Với loại này ta có cách giải như sau
d k
Trước hết để thuận tiện ta đặt = =
b a
Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của
phương trình (11).
Với x≠ 0, ta chia hai vế của phương trình (11) cho
x2 thì thu được phương trình sau:
d k
ax2 +bx +c  + 2 =0
x x
 2 2  
 ax + 2 +bx +c =0
 x   x
 2  
 ax  +bx  +c  2a=0
 x  x

Đặt t= x  khi đó ta có phương trình bậc hai
x
at2+bt+c  2a=0 Việc giải phương trình này ta có
thể thực hiện dễ dàng. Tìm được t từ đó ta tìm
được x dựa vào cách đặt t.
Ví dụ: Giải phương trình: x4+x3-8x2+2x+4=0
Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương
trình đã cho.
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 23

23. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Tiến hành chia hai vế của phương trình đã cho cho
2  2 4   2
x khi đó ta thu được: x +x2 + x+x -8=0
   
2
Đặt t= x+ lúc đó ta sẽ có được phương trình là:
x
t2 +t-12=0  t1 =3, t2=-4
Với t=3 thì ta có phương trình
x2-3x+2=0  x1 =1, x2=2
Với t= -4 thì ta có phương trình
x2+4x+2=0  x3 =-2+ 2 , x4=-2- 2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thực là:
x1 =1, x2=2, x3 =-2+ 2 , x4=-2- 2
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1. 4x4+2x3 -8x2 +3x+9=0
2. x4 + x3 -8x2 -3x+9=0
Cho phương trình x4+x3+mx2+2x+4=0
3. Tìm m để phương trình đã cho có bốn nghiệm
phân biệt.
4. Tìm m để phương trình có một số lẻ nghiệm.
Cho phương trình 9x4+3x3 -2m2x2+4x+16=0
5. Giải phương trình khi m=4
6. Giải phương trình khi m= 12-2 3 , m= 12+ 3
7. Tìm m để phương trình có một số chẳn nghiệm.
8. Khi nào thì phương trình có một số chẳn nghiệm
- Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè.
- Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng.
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 24

24. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT
AX3+BX2+CX+D=0(A≠ 0) (12)
Sau đây tôi xin cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quát
hơn về phương trình bậc ba.
Trước hết ta chú ý rằng phương trình (12) luôn luôn
được đưa về dạng x3+ax2+bx+c=0 (12.1) nên ta chỉ
cần xét phương trình này.
a
Đặt x=t- khi đó phương trình (12.1) được đưa về
3
dạng
 a 3  a 2  a 
t-  +at-  +bt-  +c=0
 3  3  3
2 3
3  a  2a ab 
 t + b- 3 t +  27 - 3 +c =0
   
2 3
a 2a ab
Đặt p= b- , q= - +c khi đó ta có phương
3 27 3
trình t3 +pt+q=0 (12.2)
3
TH1: Nếu p=0 thì ta có phương trình t3+q=0 t=- q
Tức là đã giải được  nên ta không cần xét tiếp nữa
p
TH2: Nếu p>0 thì ta đặt t = u khi đó (12.2) viết lại
3
 p 3 p -3 3q
là:  u +p u +q=0  u3+3u=
 3  3 p p
-3 3q
Đặt m= khi đó ta có phương trình u3+3u = m
p p
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 25

25. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
-p
TH3: Nếu p<0 thì ta đặt t= u khi đó (12.2) viết lại
3
 -p 3 -p 3 3 3q
là:  u + p u +q=0  u -3u =
 3  3 p -p
3 3q
Đặt m= thì ta có phương trình là u3 -3u =m
p -p
Kết luận:
Mọi phương trình bậc ba luôn luôn có thể đưa về dạng
x3 +3x=m hoặc x3 -3x=m
Ta có đồ thị hàm y=x3+3x như sau
Dựa vào đồ thị ta nhận xét phương trình x3 +3x=m có
duy nhất nghiệm.
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 26

26. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Đồ thị hàm số y= x3 -3x
Dựa vào đồ thị ta có nhận xét phương trình x3 -3x=m
Có ba nghiệm phân biệt nếu -2 < m < 2
Có một nghiệm nếu m > 2 hoặc m<-2
Có hai nghiệm nếu m=-2 hoặc m=2
Giải phương trình x3+3x=m
 13  1 1
Từ đẳng thức a-a  +3a-a  = a3- 3
    a
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 27

27. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1
Nên ta suy ra phương trình x3 +3x =a - có một
a
3 1
nghiệm duy nhất là x = a -
3
a
1
Xét phương trình x3 +3x =m và ta đặt m= a- khi đó ta
a
chon một giá trị a thoả mãn là đủ
Việc chọn a chính là giải phương trình bậc hai
2 m+ m2+4 m- m2+4
a -ma-1=0  a 1= a2=
2 2
ta chọn giá trị nào trong hai giá trị trên cũng được, giả
sử chọn a1
Khi đó ta có phương trình:
3 m+ m2+4 1
x +3x = -
2 m+ m2+4
2
3 m+ m2+4 1
x= - 
2
3 m+ m2+4
2
Giải phương trình x3 -3x=m
Trường hợp 1: m >2 hoặc m < -2
 13  1 3 1
Từ đẳng thức a+a  - 3a+a  =a + 3 cũng làm tương
    a
tự như giải phương trình x3+3x=m ta tìm được nghiệm
là:
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 28

28. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
3 m+ m2-4 1
x= -
2 3 m+ m2-4
2
Trường hợp 2:
Nếu m=2 thì rõ ràng phương trình x3 -3x=m có hai
nghiệm là x1=-1, x2=2.
Nếu m=-2 thì phương trình x3 -3x=m có hai
nghiệm là x1=1, x2= -2.
Trường hợp 3: -2 < m<2
Trước tiên ta chứng minh x (-2,2)  m (-2,2)
Thật vậy, ta đặt x=2cos thì phương trình trở thành
8cos3 - 6cos = m  2(4cos3 - 3cos)= m
 2cos3 = m  m (-2,2) (đpcm)
Vạy trong trường hợp này thì ta đặt x=2cos
 (0,) lúc này phương trình x3 -3x=m sẽ có dạng là
m
2cos3 = m  cos3 =
2
m  k2
Đặt cos= (0,) khi đó ta có = + (kZ)
2 3 3
Vậy nghiệm của phương trình x3 -3x=m trong trường
hợp này là:
  2   4
x1= 2cos , x2= 2cos  +  , x3= 2cos + 
3 3 3  3 3 
m
trong đó cos= (0,).
2
Quá trình giải phương trình bậc ba tổng quát ta phải đi
theo các bước như trên. Sau đó dựa vào cách đặt các
biến mà ta suy ra nghiệm của phương trình ban đầu.
- Tôi tư duy có nghĩa là tôi tồn tại!
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 29

29. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Ví dụ: Giải phương trình x3 +2x2 +3x +4=0 (12.3)
Hướng dẫn:
2
Bằng cách đặt x = t - ta đưa phương trình đã cho
3
5 70
về dạng t3 + t+ =0. (12.4)
3 27
5
Bằng cách đặt t= X ta có thể đưa (12.4) về dạng
3
-14
X3 +3X = (12.5)
5
Phương trình (12.4) có duy nhất nghiệm (vì có dạng 3x3
+3x=m) và như đã trình bày ở phần giải phương trình
tổng quát ta tìm được nghiệm của phương trình (12.5) là
3 3 6-7 1
X= -
5 3
3 6-7
5
Vậy nghiệm của phương trình (12.3) là:
 3 3 6-7 1 
5 -  2
x=  5 3 -
3 3 6-7 3
 
 5 
Bây giờ bạn có thể thử sức mình với các bài sau:
Giải phương trình:
1. x3+3x2+4x+5=0
2. x3+4x2+2x+5=0
3. x3- 6x+ 4 2 =0
4. 72x3 -108x2-18x+ 27+8 6 =0
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 30

30. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT BẬC BỐN
AX4+BX3+CX2+DX+E=0(A≠ 0) (13)
Trước hết ta chú ý rằng phương trình (13) luôn có thể
được đưa về dạng x4 +ax3+bx2+cx+d=0 (13.1) nên ta
chỉ cần xét phương trình này.
 Khi a2+b2+c2=0 thì ta dễ dàng tìm được nghiệm của
phương trình.
 Khi a2+b2+c2≠ 0
a
Đặt x= y- khi đó phương trình (13.1) được viết lại
4
như sau:
 a 4  a 3  a 2  a 
y-  +ay-  + by-  +cy- +d=0
 4  4   4  4
3 3 2 4
 3a  2 a ab  ba 3a ac 
 y4+ b- 8 y +  8 + 2 +c y+  16 -256- 4 +d =0
     
3 3 2 4
3a a ab ba 3a ac
Đặt p= b - q= + +c r = - - +d
8 8 2 16 256 4
Khi đó ta đưa về phương trình
y4+ py2+ qy+r = 0
 2 p 2   2 p2
 y +2+ - 2y2-qy+ +p-r+ 4  =0 (13.2)
    
Bây giờ ta đặt ra yêu cầu là chọn giá trị  để biểu thức
2  2 p2 
2y -qy +  +p-r+ 4  (13.3) là bình phương đúng.
 
Thực chất quá trình chọn giá trị  chính là đi tìm  để
2  2 p2 
 = q - 8 +p-r+ 4  =0 (13.4)
 
Phương trình (13.4) là một phương trình bậc ba theo
biến  do đó phương trình (13.4) có ít nhất một nghiệm
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 31

31. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
(giải phương trình bậc ba tổng quát đã trình bày ở phần
trước). Vì vậy, ta luôn tìm được giá trị  thoả mãn yêu
cầu mà đặt ra.
Giả sử = 0 là giá trị làm cho biểu thức (13.3) trở thành
bình phương đúng. Khi đó
2  2 p2   q 2
20y -qy + 0 +p0-r+ =  20y- 
 4   40
Nên phương trình (13.2) được viết lại như sau
 2 p 2   q 2
 y + +0 -  20y-  = 0
 2    4 0
 2 p 2   q 2
  y +2+0 =  20y- 
    40
 2 p q  2 p q 
 y - 20y+ +0+ y + 20y+ +0- =0
 2 2 20 2 2 20
y2- 20y+p+0+ q
=0
 2 2 20
 p q (13.5)
y2+ 20y+ +0- =0
 2 2 20
2
-20 -20p- 20q -202-20p+ 20q
1= 2=
0 0
Bây giờ ta sẽ đi vào các trường hợp cụ thể:
a) 1<0 và 2<0 thì phương trình vô nghiệm.
b) 1=0 và 2<0 hoặc 1<0 và 2=0 thì phương trình
20 20
có một nghiệm kép y= hoặc y= -
2 2
c) 1>0 và 2<0
1<0 và 2>0
1=0 và 2=0
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 32

32. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Trong cả ba trường hợp này phương trình có hai nghiệm
trong đó hai trường hợp đầu hai nghiệm của phương
trình là nghiệm đơn trường hợp thứ ba là hai ngiệm kép.
d) 1>0 và 2=0
1=0 và 2>0
Trong hai trường hợp này phương trình có ba nghiệm
trong đó có một nghiệm là nghiệm kép và hai nghiệm
đơn.
e) 1>0 và 2>0, trong trường hợp này phương trình có
bốn nghiệm phân biệt( bốn nghiệm đơn).
20+ -202- 20q-20p
y1=
2 0
20- -202- 20q-20p
y2=
2 0
20- -202+ 20q-20p
y3= -
2 0
20+ -202+ 20q-20p
y4= -
2 0
Chú ý rằng: Do a, b,c không đồng thời bằng không nên theo
cách đặt q thì q≠ 0 do đó theo phương trình (13.4) thì giá
trị 0≠ 0.Vì vậy các biểu thức ở trên luôn xác định.
Sau khi tìm hiểu một cách tổng quát về phương trình
bậc bốn thì bạn có thể thử với một số ví dụ như sau
1) x4+2x3-23x2+12x+5=0
2) x4+2x3+3x2+4x+5=0
3) x4+2x3+3x2+4x+5=0
4) x4+2x3+3x2+4x+2=0
5) x4+5x3-20x2+12x-2=0
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 33

33. www.VNMATH.com
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 Phụ lục một số nhà toán học có công trong việc
giải các phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn và
cao hơn
François Viète Niccolo Tartaglia
Carl Friedrich Gauss Evariste Galois
Niels Henrik Abel
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 34