Kuliah ini membahas tentang gelombang secara umum dan definisi dasar gelombang seperti amplitudo, panjang gelombang, angka gelombang, frekuensi, kecepatan fase dan kecepatan grup. Kuliah ini juga membahas analisis spektral dan transformasi Fourier untuk menguraikan fungsi menjadi komponen-komponen gelombangnya.

1. Kuliah 13
Pendahuluan tentang Gelombang

2. • Persamaan yg berkuasa mendukung banyak gerakan
menyerupai gelombang (gelombang secara luas
didefinisikan sbg osilasi dari variabel-variabel terikat).
• Sebagian gelombang yg didukung oleh persamaan-
persamaan yg berkuasa adalah:
– Gelombang gravitas (permukaan) eksternal.
– Gelombang gravitas internal
– Gelombang gravitas inersia
– Gelombang akustik (termasuk gelombang Lamb)
– Gelombang Rossby
– Gelombang Kelvin
– Gelombang Kelvin-Helmholtz

3. – Beberapa gelombang tsb adalah penting bagi dinamika sistem skala
sinoptik, sedangkan yg lain hanya sbg “noise”
– Utk memahami meteorologi dinamik, kita harus memahami gelombang
yg dpt terjadi di atmosfer.
• Definisi dasar
– Amplitudo – setengah dari selisih ketinggian antara puncak
dan lembah.
– Panjang gelombang ( )- jarak antara puncak (atau lembah)
yg berurutan.
– Angka gelombang (K) – 2 / ; banyaknya radian dlm satu
satuan jarak yg searah dg penjalaran gelombang (kadang-
kadang angka gelombang didefinisikan sbg 1/ , yg dlm hal
ini adalah banyaknya gelombang per satuan jarak).

4. • Makin besar angka gelombang berarti panjang
gelombang makin pendek.
• Satuannya adalah radian m-1, atau kadang-kadang
hanya ditulis m-1.
• Kita dpt juga mendefinisikan angka gelombang
sepanjang masing-masing sumbu.
– k adalah angka gelombang dlm arah x (k=2 / x).
– l adalah angka gelombang dlm arah y (k=2 / y).
– m adalah angka gelombang dlm arah z (k=2 / z).
• Vektor angka gelombang ditentukan oleh

K ki lˆ mk
ˆ j ˆ
ˆ
( jangan disalah artikan k dan k ) dan titik - titik
dlm arah penjalaran gelombang.

5. – Frekuensi angular ( ) – 2 kali banyaknya puncak
yg melewati sebuah titik dlm satu satuan waktu.
• Satuan: radian s-1, kadang-kadang hanya ditulis s-1.
– Kecepatan fase (phase speed) (c) – kecepatan
masing-masing puncak atau lembah.
• Utk gelombang yg bergerak hanya dlm arah x, c= /k.
• Utk gelombang yg bergerak hanya dlm arah y, c= /l.
• Utk gelombang yg bergerak hanya dlm arah z, c= /m.
• Utk gelombang yg bergerak dlm arah
acak, c= /K, dimana K adalah angka gelombang total
yg ditentukan oleh K2 = k2 + l2 + m2.

6. • Utk gelombang yg bergerak dlm arah acak, ada
kecepatan fase (phase speed) sepanjang masing-masing
sumbu, ditentukan oleh cx = /k, cy = /l, cz = /m.
Perhatikan bhw itu semua bukan komponen vektor!
c2 c x c y cz2
2 2
c ˆ j ˆ
cxi c y ˆ cz k
Vektor kecepatan fase (phase velocity) sebenarnya
ditentukan oleh
 
c K.
K2

7. • Kecepatan group (group velocity) (cg) –
kecepatan dimana energi gelombang
bergerak. Komponennya ditentukan oleh:
 ˆ ˆ ˆ
cg i j k
k l m
Jika kecepatan grup sama seperti kecepatan fase dari
masing-masing gelombang yg membentuk paket,
maka gelombang tsb adalah non-dispersif. Jika
kecepatan grup berbeda dari kecepatan fase
gelombang yg membentuk paket, maka gelombang
tsb adalah dispersif.

8. – Hubungan dispersi – sebuah persamaan yg
menghasilkan frekuensi angular gelombang sbg
fungsi angka gelombang
F (k , l , m)
Setiap jenis gelombang mempunyai hubungan
dispersi yg unik. Satu dari tujuan kita mempelajari
gelombang adalah menentukan hubungan
dispersi.

9. Persamaan utk Gelombang
• Persamaan utk gelombang yg bergerak dlm
arah x positif adalah
u( x, t ) A sin(kx t ) B cos(kx t )
Cara lain penulisan persamaan tsb adalah
u( x, t ) A sin k ( x ct ) B cosk ( x ct )
Utk gelombang yg bergerak dlm arah x
negatif, persamaan tsb adalah
u( x, t ) A sin(kx t ) B cos(kx t)

10. • Rumus Euler
– Rumus Euler menegaskan bhw
i
e cos i sin
Dari rumus Euler kita mempunyai dua identitas berikut:
ei e i
cos
2
ei
ei
sin i
2
Dg menggunakan rumus Euler, sebuah gelombang yg
bergerak dlm arah x positif
i ( kx t)
u ( x, t ) Ae

11. • Sebuah gelombang yg bergerak dlm arah x
negatif dpt ditulis sbg
i ( kx t)
u ( x, t ) Ae
dimana amplitudo A bisa merupakan sebuah bilangan
kompleks,
A ar iai
dan menghasilkan informasi ttg fase dari gelombang.

12. • Kita akan sering menggunakan notasi kompleks
tsb utk gelombang krn notasi tsb membuat
diferensiasi lebih langsung krn anda tdk hrs
mengingat apakah ada perubahan tanda atau tdk
(spt anda lakukan ketika mendiferensiasi fungsi
sinus dan cosinus).
• Amplitudo kompleks, A, memberikan informasi
ttg fase gelombang. Dlm bentuk ini berikut ini kita
mempunyai hubungan fase antara dua
gelombang (u dan v), yg ditentukan oleh
i ( kx t)
u Ae
i ( kx t)
v Be

13. u v satu fase
0
u iv berbeda fase 90
0
u v berbeda fase180
0
u iv berbeda fase 270

14. Analisis Spektral
• Jarang mendapatkan gelombang dg panjang
gelombang tunggal di atmosfer.
• Sebaliknya, banyak gelombang dg panjang gelombang
yg berbeda saling tumpang tindih.
• Namun, kita dapat menggunakan konsep analisis
spektral utk mengisolasi dan mempelajari gelombang
individu, kemudian mengenali bhw kita dpt
menjumlahkannya jika kita perlu.
• Maka selalu ingat bhw gangguan atmosfer yg nyata
merupakan kumpulan dari banyak gelombang individu
dg panjang gelombang berbeda.

15. • Deret Fourier – berlaku utk Fungsi Periodik,
Kontinu
• Hampir semua fungsi periodik, kontinu
(periode = L) dpt ditunjukkan dg jumlah
tekberhingga dari fungsi sinus dan cosinus sbg
2 nx 2 nx
f ( x) a0 an bn
n 1 L n 1 L

16. • Dimana koefisien Fourier ditentukan oleh
L/2
1
ao f ( x)dx
L L/2
L/2
2 2 nx
an f ( x) cos dx
L L/2
L
L/2
2 2 nx
bn f ( x) sin dx.
L L/2
L

17. • Koefisien Fourier menghasilkan amplitudo dari
berbagai gelombang sinus dan cosinus yg
diperlukan utk menggandakan fungsi semula.
• Koefisien 0 merupakan rata-rata fungsi.
• Koefisien n merupakan koefisien gelombang cosinus
(bagian genap dari fungsi).
• Koefisien bn adalah koefisien gelombang sinus (bagian ganjil
dari fungsi).
• Utk yg benar-benar fungsi genap, bn semuanya
akan nol, sedangkan utk yg benar-benar fungsi
ganjil, n semuanya akan nol.

18. • Deret Fourier dpt juga disajikan dg
menggunakan notasi kompleks, dan dlm
hubungan ini
i 2 nx
f ( x) n exp
n L
Dimana koefisien nadalah bilangan kompleks, dg
bagian real menyatakan amplitudo gelombang
cosinus, dan bagian imajiner menyatakan amplitudo
gelombang sinus,
L/2
1 1 i 2 nx
n an ibn f ( x) exp dx
2 L L/2
L

19. • Setiap koefisien Fourier, n, berkaitan dg
gelombang sinusoidal dg panjang gelombang
tertentu.
• Jika fungsi semula mengandung satu
gelombang murni, maka akan hanya ada dua
koefisien Fourier ( 1dan b1). Makin banyak
sinusoidal (makin banyak angka gelombang)
diperlukan utk menyatakan fungsi tsb, makin
perlu banyak koefisien Fourier.

20. • Umumnya:
– Fungsi yg semakin halus (smoother) memerlukan lebih
sedikit gelombang utk dibentuk kembali, dan memiliki
lebih sedikit komponen frekuensi yg lebih tinggi.
– Fungsi yg semakin tajam (sharper) memerlukan lebih
banyak gelombang utk dibentuk lagi, dan memiliki lebih
banyak komponen frekuensi yg lebih tinggi.
– Fungsi yg lebih luas memerlukan lebih sedikit gelombang
utk dibentuk, dan memiliki lebih sedikit komponen
frekuensi yg lebih tinggi.
– Fungsi yg lebih sempit memerkukan lebih banyak
gelombang utk dibentuk lagi, dan memiliki lebih banyak
komponen frekuensi yg lebih tinggi.

21. • Transformasi Fourier – berlaku utk Fungsi
tidak-periodik, kontinu.
• Analisis Fourier dpt dikembangkan ke fungsi yg
kontinu, tetapi bukan fungsi periodik (fungsi
aperiodik). Ini dilakukan dg menyajikan
kembali fungsi sbg integral takberhingga
1
f ( x) F (k ) exp ikx dk (1)
2
Dimana koefisien Fourier dinyatakan dg F(k), yg
merupakan bilangan kompleks yg ditentukan oleh
F (k ) f ( x) exp ikx dx (2)

22. • Persamaan (1) dan (2) dinamakan pasangan
transformasi Fourier.
• Persamaan (1) adalah pernyataan dari fungsi dlm ruang
“fisik”.
• Persamaan (2) merupakan representasi dari fungsi dlm
“frekuensi” atau ruang “angka gelombang”.
• Seperti dg deret Fourier, bagian real dari koefisien
Fourier, Re[F(k)], menyatakan cosinus, atau bagian
genap dari fungsi, sedangkan bagian imajiner, Im[F(k)],
menyatakan sinus, atau bagian ganjil dari fungsi.

23. • Spektra Fourier dari beberapa Contoh Fungsi.
• Seperti dinyatakan sebelumnya, fungsi yg tajam,
sempit mempunyai lebih banyak gelombang dg
frekuensi yg lebih tinggi dlm spektra Fouriernya,
daripada fungsi yg halus dan luas.
• Di bawah ini ditunjukkan gambar sbg contoh
fungsi dan spektra Fourier yg terkait.
• Empat gambar pertama menunjukkan fungsi
kotak dg berbagai lebar, sedangkan empat
gambar ke dua menunjukkan kurva Gaussian dg
berbagai lebar.

24. • Hal yg perlu dicatat:
– Umumnya fungsi yg makin sempit, makin luas
spektrumnya, dan sebaliknya.
– Deret pangkat dari kurva Gaussian juga
merupakan kurva Gaussian.
– Fungsi impuls mempunyai spektrum pangkat yg
luas takberhingga, sedangkan fungsi yg luas tak
berhingga mempunyai lonjakan tunggal pd
spektrum pangkatnya.

27. Latihan
1. Tunjukkan bhw di bawah ini adalah benar:
i ( kx t)
cos(kx t) Re e
i ( kx t)
cos(kx t) Re e
sin(kx t) Re ei ( kx t)
i ( kx t)
sin(kx t) Re ie

28. 2. Tunjukkan bhw berikut ini benar:
i ( kx t) i ( kx t)
e ike
x
2
i ( kx t) 2 i ( kx t)
2
e k e
x
i ( kx t) i ( kx t)
e i e
t
2
i ( kx t) 2 i ( kx t)
2
e e
t

29. PR
3. Sebuah gelombang dinyatakan dalam notasi
kompleks sbb:
u ( x, t ) Aei ( kx t)
dimana A 2 3i. Tunjukkan bhw ini ekivalen dg
pernyatan gelombang sbb
u ( x, t ) 2 cos(kx t ) 3 sin(kx t ).

30. 4. Cari perbedaan fase antara dua gelombang
berikut: i ( kx t )
u ( x, t ) Ae
v ( x, t ) Bei ( kx t)
utk harga-harga A dan B berikut
a. A 2 3i; B 3 2i
b. A 2 3i; B 2 3i
c. A 2 3i; B 3 2i
d. A 2 3i; B 4 6i
e. A 2 3i; B 9 6i