1. §Æng Ngäc D¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh
Chuyªn ®Ò: Rót gän biÓu thøc
(Dïng Cho d¹y vµ häc «n thi vµo THPT)
C¸c kiÕn thøc cÇn nhí
1) Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí:
(A+B)2
= A2
+2AB+B2
(A-B)2
= ¢2
-2AB+B2
A2
-B2
= (A-B)(A+B)
(A+B)3
=A3
+3A2
B+3AB2
+B3
(A-B)3
=A3
-3A2
B+3AB2
-B3
A3
+B3
=(A+B)(A2
-AB+B2
)
A3
-B3
=(A-B)(A2
+AB+B2
)
2) C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc:
2
A A=
.AB A B= (Víi A≥0; B≥0)
A A
B B
= (Víi A≥0; B>0)
2
A B A B= (Víi B≥0)
2
A B A B= (Víi A≥0; B≥0)
2
A B A B= - (Víi A<0; B≥0)
1A
AB
B B
= (Víi A.B≥0; B≠0)
A A B
BB
= (Víi B>0)
2
( )C A BC
A BA B
=
-±
m
(Víi A≥0; A2
≠B)
( )C A BC
A BA B
=
-±
m
(Víi A≥0; B≥0 vµ A≠B)

2. §Æng Ngäc D¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh
Bµi tËp
Bµi 1 Cho biÓu thøc:
1 1
1 1
a a a a
A
a a
æ öæ ö+ -÷ ÷ç ç= + -÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè øè ø+ -
a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó A cã nghÜa
b) Rót gän A
c) T×m a ®Ó A=-5; A=0; A=6
d) T×m a ®Ó A3
= A
e) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× A A=
Bµi 2: Cho biÓu thøc:
1 1
2 2 2 2 1
x
Q
x x x
= + +
- + -
a/ T×m ®iÒu kiÖn ®Ó Q cã nghÜa
b/ Rót gän Q
c/ TÝnh gi¸ trÞ cña Q khi
4
9
x =
d/ T×m x ®Ó
1
2
Q = -
e/ T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña Q nguyªn.
Bµi 3 Cho biÓu thøc:
2 1
1
x x
P
x x x
-
= -
- -
a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa
b) Rót gän P
c) T×m x ®Ó P>0
d) T×m x ®Ó P P=
e) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2P x= -
f) T×m gi¸ trÞ x nguyªn ®Ó gi¸ trÞ cña P nguyªn

3. §Æng Ngäc D¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh
Bµi 4 Cho biÓu thøc:
1 1 1
4
1 1
a a
A a a
a a a
æ öæ ö+ + ÷ ÷ç ç= - + -÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè øè ø- -
a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó A cã nghÜa
b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi
5 2 6 5 2 6
5 2 6 5 2 6
a
+ -
= +
- +
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó A A>
d) T×m a ®Ó A=4; A=-16
e) Gi¶i ph¬ng tr×nh: A=a2
+3
Bµi 5 Cho biÓu thøc:
1
2 2 1 1
a a a a a
M
a a a
æ öæ ö- +÷ ÷ç ç= - -÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè øè ø+ -
víi a>0; a≠1
a) Rót gän M
b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó M=-4
c) TÝnh gi¸ trÞ cña M khi 6 2 5 6 2 5a = - + +
d) Chøng minh r»ng M≤0 víi a>0; a≠1
Bµi 6 Cho biÓu thøc:
( )2 1 1
1 : 1
1 1
a a a a
K a a a
a a
é ùæ öæ ö- +÷ ÷ç çê ú= - + - +÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çê úè øè ø- +ë û
víi a>0; a≠1
a) Rót gän K
b) TÝnh gi¸ trÞ cña K khi a=9
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× K K=
d) T×m a ®Ó K=1
e) TÝm c¸c gi¸ trÞ tù nhiªn cña a ®Ó gi¸ trÞ cña K lµ sè tù nhiªn
Bµi 7 Cho biÓu thøc:
3
1 1 1
x x x
Q
x x x
-
= + +
- + -
víi x≥0; x≠1

4. §Æng Ngäc D¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh
a/ Rót gän Q
b/ Chøng minh r»ng Q<0 víi ∀x≥0; x≠1
c/ TÝnh gi¸ trÞ cña Q khi
20001 19999 20001 19999
20001 19999 20001 19999
x
- +
= +
+ -
Bµi 8 Cho biÓu thøc:
9 3 1 1
:
3 9 3
x x x
T
x x x x x
æ ö æ ö+ +÷ ÷ç ç= + -÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø+ - -
víi x>0; x≠9
a/ Rót gän T
b/ Tinh gi¸ trÞ cña T khi
7 5 7 5
7 5 7 5
x
+ -
= +
- +
c/ T×m x ®Ó T=2
d/ Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× T<0
e/ T×m x∈Z ®Ó T∈Z
Bµi 9 Cho biÓu thøc:
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
L
x x x x
- - +
= - -
+ - - +
víi x≥0; x≠1
a) Rót gän L
b) TÝnh gi¸ trÞ cña L khi
2 3 2 3
2 3 2 3
x
+ -
= +
- +
c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña L
Bµi 10 Cho biÓu thøc:
1 3 6
2 3 5 6
x
A
x x x x
+
= + -
- - - +
a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó A cã nghÜa
b) Rót gän A
c) T×m x ®Ó A=1; A=-2

5. §Æng Ngäc D¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh
d) T×m x ®Ó A A=
e) T×m x∈Z ®Ó T∈Z
f) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A
Bµi 11: Chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn:
a) ( )
1
: :
a b b a a ab b
A a a b b
ab a b a b
æ ö+ + + ÷ç ÷= - - ç ÷ç ÷÷ç- +è ø
víi a>0; b>0; a≠b
b)
2
( ) 4x y y x x y xy
B
xy x y
- + -
= -
-
víi x>0; y>0; x≠y
c)
3
2 2 1
2 1 1
a a a a a
C
a a a a
æ öæ ö+ - + - - ÷ç÷ ÷ç ç= - ÷ ÷ç ç÷÷ç ÷è øç ÷+ + - ç ÷è ø
víi a>0; a≠1
d)
2 5 1 10
3 2 4 3 5 6
x x x
D
x x x x x x
+ +
= + +
+ + + + + +
víi x≥0
e) ( )
2
:
a a b b b
E ab a b
a b a b
æ ö+ ÷ç ÷= - - +ç ÷ç ÷÷ç + +è ø
víi a>0; b>0; a≠b
f)
1 1 1 1 1
1 1
a a a a a a
F a
a a a a a a a
æ öæ ö- + + -÷ ÷ç ç= + - - +÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè øè ø- + - +
víi a>0; a≠1
Email: diepngoc0307@yahoo.com.vn

6. §Æng Ngäc D¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thuû - Nam §Þnh
d) T×m x ®Ó A A=
e) T×m x∈Z ®Ó T∈Z
f) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A
Bµi 11: Chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn:
a) ( )
1
: :
a b b a a ab b
A a a b b
ab a b a b
æ ö+ + + ÷ç ÷= - - ç ÷ç ÷÷ç- +è ø
víi a>0; b>0; a≠b
b)
2
( ) 4x y y x x y xy
B
xy x y
- + -
= -
-
víi x>0; y>0; x≠y
c)
3
2 2 1
2 1 1
a a a a a
C
a a a a
æ öæ ö+ - + - - ÷ç÷ ÷ç ç= - ÷ ÷ç ç÷÷ç ÷è øç ÷+ + - ç ÷è ø
víi a>0; a≠1
d)
2 5 1 10
3 2 4 3 5 6
x x x
D
x x x x x x
+ +
= + +
+ + + + + +
víi x≥0
e) ( )
2
:
a a b b b
E ab a b
a b a b
æ ö+ ÷ç ÷= - - +ç ÷ç ÷÷ç + +è ø
víi a>0; b>0; a≠b
f)
1 1 1 1 1
1 1
a a a a a a
F a
a a a a a a a
æ öæ ö- + + -÷ ÷ç ç= + - - +÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè øè ø- + - +
víi a>0; a≠1
Email: diepngoc0307@yahoo.com.vn