107

1. 1
Геометрія 11 клас
Тема уроку: Об’єми і площі поверхонь многогранниківітіл обертання.
Тип уроку: Комбінований урок.
Мета уроку: Застосування формул для знаходження об’ємів і площ поверхонь
многогранників і тіл обертання в прикладних задачах. Дослідження
ізопериметричного коефіцієнта житла як показника комфортності. Розвиток таких
ключових компетентностей як спілкування державною мовою; математичної
грамотності; уміння застосовувати математичні (числові та геометричні) методи
для вирішення прикладних завдань у різних сферах діяльності;здатності до
розуміння і використання простих математичних моделей; уміння будувати такі
моделі для вирішення проблем; інформаційно-цифрової компетентності, уміння
навчатися впродовж життя, здатність до пошуку та засвоєння нових знань,
набуття нових вмінь і навичок; екологічної грамотності, уміння розумно та
раціонально користуватися природними ресурсами в рамках сталого розвитку.
Обладнання:мультимедійна дошка, комп’ютери.
ХІД УРОКУ
І. Перевірка домашнього завдання.
Учням було запропоновано створити
документ спільного доступу у формі
презентації PowerPoint в колективному блозі
11-А класу. Завдання полягало в пошуку
інформаціі, що стосується видів житла різних
народів. А саме: українська хата, вігвам,
юрта, чум, іглу, яранга, житло народів кирди
в Камеруні. Також, учні повинні були
створити опорний конспект з формул
стереометрії за шаблоном. (додаток 1,
додаток 2)

2. 2
ІІ. Мотиваціянавчальноїдіяльності.
Останнім часом все частіше говорять про те, що світові запаси природних
ресурсів є обмеженими. Відомо, що велика кількість енергії витрачається на
опалення приміщень. Перед населенням планети давно стоїть проблема
енергозбереження. Одним із способів зекономити тепло є забезпечення житла з
найменшою втратою тепла через його поверхню. Можна суттєво зменшити
розміри житла, але людина повинна мати досить простору, щоб відчувати себе
комфортно. Таким чином, виникає питання: як досягнутипоєднання максимально
можливого об’ємужитлового просторупри мінімальній площі поверхні, через яку
може виходити тепло.
Первісні люди вирішували це питання дослідним шляхом. В результаті
умовах певного клімату та наявних будівельних матеріалів у різних народів
з’явились національні житла. Це питання залишається для людства актуальним.
Розв’язанням проблеми даного дослідження є ізопериметрична проблема
геометрії: в просторі – серед усіх замкнених поверхонь заданої площі існує
поверхня, яка містить в собі найбільший об’єм.
Як ви вважаєте, що це за поверхня?
Отже, це і є головне завдання сьогоднішнього уроку.
Постановка проблеми:
 Який з народів планети зумів створити найкомфортніше житло?
 Який зв'язок між почуттям комфортності і формою житла?
 Яка з будівель є найбільш комфортною?
Задача Пахома
Селянин Пахом, який мріяв про власну землю і зібрав необхідну суму
грошей, повинен був виконати вимоги старшини: «Скільки за день землі обійдеш,
то вся твоя буде. Але якщо до заходу сонця не повернешся на місце, з якого
вийшов, пропали твої гроші». Вибіг зранку Пахом і повернувся ввечері
знесилений. Пробіг він чотирикутник з периметром 40км.
𝑆 =
2 + 10
2
∙ 13 = 78км2

3. 3
ІІІ. Засвоєння нових знань.
Засвоєння поняття ізопериметричних задач, та формули для обчислення
коефіцієнта комфортності житла
ІV. Актуалізація опорних знань.
Повторення формул стереометрії за допомогою мультимедійної дошки.
1 учень: встановити відповідність між геометричними тілами та їх площами
поверхонь;
2 учень: встановити відповідність між геометричними тілами та їх об’ємами.
V. Застосування набутих знань в дослідницькій діяльності.

4. 4
1) Обчислення коефіцієнта комфортності української хати.
Математична модель – прямокутний паралелепіпед.
Дано: a=6м, b=3м, c=2,7м.
Знайти: 𝑆пов, 𝑉,𝐾.
Розв′язання
𝑺пов = 𝟐(𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄); 𝑽 = 𝒂𝒃𝒄;
𝑲 =
𝟑𝟔 ∙ 𝝅𝑽𝟐
𝑺𝟑
= 𝟎, 𝟒𝟒;

5. 5
2) Обчислення коефіцієнта комфортності чума, яранги, вігвама.
Математична модель – конус.
Дано: H = 4м,R = 3м.
Знайти: Sпов, V,K.
Розв′
язання: 𝒍 = √𝑹𝟐 + 𝑯𝟐; 𝑺пов = 𝝅𝑹𝟐
+ 𝝅𝑹𝒍;
𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝑹𝟐
𝑯;
𝑲 =
𝟑𝟔 ∙ 𝝅𝑽𝟐
𝑺𝟑
=
𝟒 ∙ 𝑯𝟐
∙ 𝑹
(𝑹 + 𝑯)𝟑
=
𝟑
𝟖
= 𝟎, 𝟑𝟕𝟓;
3) Обчислення коефіцієнта комфортності житла народів Кирди в
Камеруні.
Математична модель – циліндр.
Дано: R=2м., H=3м.
Знайти: 𝑆пов ;𝑉; 𝐾;
Розв’язання
𝑺 = 𝟐𝝅𝑹(𝑹 + 𝑯); 𝑺 = 𝟐 ∙ 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟐 ∙ 𝟓 = 𝟔𝟐, 𝟖м𝟐
;
𝑽 = 𝝅𝑹𝟐
𝑯; 𝑽 = 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 = 𝟑𝟕, 𝟔𝟖м𝟑
;
𝑲 =
𝟑𝟔𝝅𝑽𝟐
𝑺𝟑
= 𝟎, 𝟔𝟒𝟖.

6. 6
4) Обчислення коефіцієнта комфортності юрти степових кочівників.
Математична модель – циліндр + конус.
Дано: 𝑅 = 3м; 𝐻ц = 𝐻к = 2м.
Знайти: 𝑆пов, 𝑉,𝐾.
Розв’язання:
𝑺пов = 𝑺о.ц. + 𝑺б.ц. + 𝑺б.к. = 𝝅𝑹𝟐
+ 𝟐𝝅𝑹𝑯 + 𝝅𝑹𝒍;
𝑽 = 𝑽ц + 𝑽к = 𝝅𝑹𝟐
𝑯 +
𝟏
𝟑
𝝅𝑹𝟐
𝑯 =
𝟒
𝟑
𝝅𝑹𝟐
𝑯;
𝑲 =
𝟑𝟔 ∙ 𝝅𝑽𝟐
𝑺𝟑
=
𝟑𝟔 ∙ 𝝅 ∙
𝟏𝟔
𝟗
𝝅𝟐
∙ 𝑹𝟒
𝑯
𝝅𝟑 ∙ (𝑹𝟐 + 𝟐𝑹𝑯 + 𝑹𝒍)
= 𝟎, 𝟔𝟒;
5) Обчислення коефіцієнта комфортності іглу.
І́глу (англ. igloo) — зимова куполоподібна хижа з прямокутних і
трапецієподібних плит снігу або льоду в ескімосів, діаметром 3-4 метри і
висотою близько двох метрів. Внутрішня температура нагрівається до
кімнатної, стіни оплавляються, але конструкція не тане, через сніг, який
виводить зайве тепло назовні хижі в мороз.

7. 7
Математична модель – півкуля.
Дано: 𝑅 = 2м;
Знайти: 𝑆пов, 𝑉, 𝐾.
Розв’язання:
𝑺пов =
𝟏
𝟐
∙ 𝟒𝝅𝑹𝟐
+ 𝝅𝑹𝟐
= 𝟑𝝅𝑹𝟐
;
𝐕 =
𝟏
𝟐
∙
𝟒
𝟑
∙ 𝛑𝐑𝟑
=
𝟐
𝟑
𝛑𝐑𝟑
;
𝑲 =
𝟑𝟔 ∙ 𝝅𝑽𝟐
𝑺𝟑
=
𝟑𝟔 ∙ 𝝅 ∙
𝟒
𝟗
𝝅𝟐
∙ 𝑹𝟔
𝟐𝟕 ∙ 𝝅𝟑 ∙ 𝑹𝟔
= 𝟎, 𝟓𝟗;
Результати роботи учнів відображались в онлайн-режимі на інтерактивній
дошці. Одночасно відбувалась корекція помилок у вигляді коментарів в таблиці
Exel.
6) Обчислення коефіцієнта комфортності сфери.
Колективна робота з використанням мультимедійної дошки.

8. 8
VІ. Підсумок уроку.
Висновки:
 Ізопериметричний коефіцієнт комфортності залежить від форми
житла;
 Найбільший коефіцієнт комфортності має сфера;
 Найменший коефіцієнт комфортності має житло у формі конуса,
піраміди;
 З точки зору співвідношення житлового простору і поверхні, через
яку виходить тепло, житло сферичної форми ідеально;
VІІ. Домашнє завдання.
1) Обчислитикоефіцієнт комфортностіпіраміди Хеопса
Розв’язання
𝑆осн = 230 ∙ 230 = 52900м2
;
𝑙 = √1152 + 146,62=186,32м;
𝑆б =
1
2
𝑃осн ∙ 𝑙 =
1
2
∙ 230∙ 4 ∙ 186,32 = 85707,2м2
;

9. 9
𝑆пов = 𝑆осн + 𝑆б = 138607,2м2
;
𝑉 =
1
3
∙ 𝑆осн ∙ 𝐻 =
1
3
∙ 52900 ∙ 146,6 = 2585046,67м3
;
𝐾 =
36𝜋𝑉2
𝑆3
= 0,28.
2) Обчислитикоефіцієнт комфортностіукраїнськоїхати, враховуючидах у
форміправильної трикутної призми.

10. 10
Додаток 1
𝑆осн 𝑆б 𝑆пов V
Призма
Піраміда
Зрізана
піраміда
Циліндр
Конус
Зрізаний
конус
Куля
(сфера)

11. 11
Додаток 2
𝑺осн 𝑺б 𝑺пов V
Призма В залежності
від
многокутника
в основі
𝑃
осн ∙ 𝐻 2 ∙ 𝑆осн + 𝑆б 𝑆осн ∙ 𝐻
Піраміда В залежності
від
многокутника
в основі
1
2
𝑃
осн ∙ 𝑙
𝑆осн + 𝑆б
1
3
𝑆осн ∙ 𝐻
Зрізана
піраміда
1
2
(𝑃1 + 𝑃2 ) ∙ 𝑙
𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆б
1
3
𝐻(𝑆1 + √𝑆1𝑆2 + 𝑆2)
Циліндр 𝜋 ∙ 𝑅2
2𝜋𝑅𝐻 2𝜋𝑅(𝑅 + 𝐻) 𝜋𝑅2
𝐻
Конус 𝜋 ∙ 𝑅2
𝜋𝑅𝑙 𝜋𝑅(𝑅 + 𝑙) 1
3
𝜋𝑅2
𝐻
Зрізаний
конус
𝜋𝑙(𝑅 + 𝑟) 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆б
1
3
𝜋𝐻(𝑅2
+ 𝑅𝑟 + 𝑟2
)
Куля (сфера) 4𝜋 ∙ 𝑅2 4
3
𝜋 ∙ 𝑅3

12. 12
Додаток 3

13. 13

14. 14
Додаток 4
𝑆пов V K
Призма
І
Конус
ІІ
Циліндр
ІІІ
Циліндр
+
Конус
ІV
Півкуля
V
Куля
(сфера)
VІ

15. 15
Аналіз уроку за критеріями компетентнісного навчання
Вчитель Крячик М.В.
Предмет Геометрія
Клас 11
Тема уроку: Об’єми і площі поверхонь многогранників і тіл обертання.
Мета уроку: Застосування формул для знаходження об’ємів і площ поверхонь многогранників і тіл
обертання в прикладних задачах. Дослідження ізопериметричного коефіцієнта житла як показника
комфортності. Розвиток таких ключових компетентностей як спілкування державною мовою; математичної
грамотності; уміння застосовувати математичні (числові та геометричні) методи для вирішення прикладних
завдань у різних сферах діяльності;здатності до розуміння і використання простих математичних моделей;
уміння будувати такі моделі для вирішення проблем; інформаційно-цифрової компетентності, уміння
навчатися впродовж життя, здатність до пошуку та засвоєння нових знань, набуття нових вмінь і навичок;
екологічної грамотності, уміння розумно та раціонально користуватися природними ресурсами в рамках
сталого розвитку.
Етапи уроку Зміст етапу Критерії оцінювання Організація діяльності
Організац.
момент
Привітання, перевірка
відсутніх
створення настрою на діяльність
у вирішенні поставлених завдань
Демонстрація та аналіз
виконання домашнього
завдання .
Учням було запропоновано
створити документ спільного
доступу у форміпрезентації
PowerPoint в колективному
блозі 11-А класу. Завдання
складалося з пошуку
інформаціі, що стосується
видів житла різних народів, та
створення опорного
конспекту з формул
стереометрії за шаблоном.
- повна готовність класу та
обладнання до уроку;
- організація уваги учнів
Актуалізація
знань
Перевірка обсягу і
якості засвоєння
навчального
матеріалу, що буде
використаний при
вивченні нової
навчальної дії.
Проведення вхідного
діагностування для
визначення
готовності сприйняти
новий навчальний
матеріал
- колективна пізнавальна
діяльність всіх учнів;
За допомогою інтерактивної
дошки – повторення формул
для знаходження площ та
об’ємів многогранників і тіл
обертання.
- спрямування питань і завдань на
розвиток навичок мислення
(класифікація, аналогії,
узагальнення, пошук
закономірностей);
- створення нестандартних
ситуацій у використанні знань;
- стародавня задача Пахома
- залучення учнів до коментування
відповідей; взаємоконтроль і
самоконтроль при
діагностуванні;
-
- визначення зони найближчого
розвитку учнів (груп учнів)
-

16. 16
Визначення
мети і завдань
уроку
Ознайомлення учнів з
навчально-виховними
задачами уроку, з
планом діяльності, з
формами контролю
ступені досягнення
мети уроку
Спільне з учнями
цілепокладання
- декомпозиція триєдиної мети
уроку на навчально-пізнавальні
задачі;
- Предмет дослідження:
ізопериметричний
коефіцієнт житла як
показник комфортності;
- Мета дослідження:
з’ясувати, житло якої
форми є найбільш
комфортним з точки зору
співвідношення об’єму
житлового простору та
втрати тепла через його
поверхню;
- Задачі:
- Ознайомитись, які бувають
національні житла, їх
розміри та форми;
- Виконати необхідні
обчислення та визначити
коефіцієнти комфортності
для кожного виду житла;
- Порівняти отримані
результати та ’ясувати,
житло якої форми є
найбільш комфортним з
точки зору співвідношення
об’єму житлового простору
та втрати тепла через його
поверхню;
- чітке формулювання навчальної
мети уроку (спільно з учнями),
розуміння учнями практичної
значущості навчальної мети та
критеріїв її досягнення;
- діагностичність завдань уроку
(можливість оцінити ступінь
досягнення мети через
виконання навчально-виховних
завдань)
Формування
пізнавальної
мотивації
Пошук зв'язку з
досвідом, інтересами,
знаннями учні;
спонукання до нової
діяльності,
проблемне завдання,
яке дасть змогу
підсилити акцент на
майбутній роботі,
здивувати, зацікавити
- активність пізнавальної
діяльності учнів на наступному
етапі;
- ознайомлення учнів з
ізопериметричною
проблемою геометрії.
- розуміння учнями практичної
значущості навчального
матеріалу;
- інтерес до декількох способів
вирішення задачі, до форм
співробітництва, різних видів
діяльності, підключення учнів до
самоконтролю;
Створення мотиваційного поля:
-На етапі цілепокладання
-На окремих етапах уроку
Засвоєння
нового
навчального
матеріалу
Зв'язок з життям,
практичною
діяльністю. Інтеграція
змісту.
Навчання учнів
власній діяльності по
оволодінню змістом
навчального
матеріалу, умінням та
навичкам раціонально
вчитися
- конструювання етапу на основі
принципів розвиваючого
навчання;
- засвоєння формули для
обчислення
ізопериметричного
коефіцієнта комфортності
житла.
- чітке формулювання завдань,
запитань, безпосередньо
пов'язаних між собою і з
навколишньою дійсністю,
- опора на наочність, плани,
схеми, проговорення своїх дій,
оформлення результатів
спостереження в усній і
письмовій формах;
- застосування прийомів
структурування навчального
матеріалу, усвідомлення
узагальнених способів
виконання навчальних дій;

17. 17
- врахування закономірностей
розвитку та індивідуальних
особливостей учнів.
Закріплення
нових знань
Відпрацювання умінь
та навичок.
Закріплення методики
вивчення питання і
методики відповіді
учня при черговій
перевірці знань.
Поглиблення
усвідомлення
навчального матерілу,
перевірка розуміння
сутності нових
понять.
- використання різних способів
закріплення знань, завдань, які
потребують мисленнєвої
активності, розв’язування
творчих і практичних завдань;
Застосування вивчених
формулв дослідницькій
діяльності. Дослідження
ізопериметричного
коефіцієнта для різних
математичних моделей і
порівняння отриманих
результатів.
Групова робота. Кожна
група працює на загальний
результат.
- поетапність відпрацювання
навчальних дій, відповідність
допомоги учню рівню засвоєння
ним навчального матеріалу;
- попередження помилок
узагальнення шляхом виконання
вправ на зразок: незакінчені
фрази, які потрібно закінчити;
помилки, які потрібно
виправити;
- використання змінних
діалогічних пар;
- діагностика недоліків у
розумінні та застосуванні
навчального матеріалу.
- Закріплення матеріалу
- шляхом творчого застосування
на практиці, в нестандартних
ситуаціях
Організація
рефлексії
Розвиток уміння
робити критеріально-
орієнтоване
оцінювання обсягу та
якості виконання
роботи, рівня
досягнення
навчальних цілей
- Наявність чітких критеріїв
оцінювання;
- якісна, словесна оцінка
діяльності вчителем;
- підкреслення позитивного
особистого досвіду кожного
учня, підкріплення ситуації
успіху, диференційована оцінка
праці,
- визначення труднощів і вибір
шляхів їхнього подолання;
- використання прагнення учнів до
визнання та оцінки їх роботи,
врахування особистих нахилів
- Перевірка правильності
виконання обчислень та їх
корекція відбувається в
онлайн - режимі за
допомогою інтерактивної
дошки та таблиць Exel.
Подання
домашнього
завдання
Мотивування д/з.
Інструктаж щодо
виконання д/з.
Перевірка розуміння
змісту д/з і способів
його виконання
- Обов’язкове і систематичне
виконання етапу в межах уроку;
- Домашнє завдання
подається в колективному
блозі, в електронному
робочому зошиті. Завдання
полягає в обчисленні
ізопериметричного
коефіцієнта комбінацій
геометричних тіл, які не
були розглянуті на уроці.
- Варіативність д/з
- підготовленість д/з всім ходом
уроку.
Результативніс
ть уроку
Формування
предметних і
загальнонавчальних
компетентностей,
розвиток ключових
компетентностей
Формування складових предметної математичної компетентності:
- Процедурна
- Логічна
- Технологічна
- Дослідницька
- Методологічна
Розвиток складових:
- спроможність особистості бачити та застосовувати математику в
реальному житті,
- розуміння змісту і методу математичного моделювання, уміння

18. 18
будувати математичну модель, досліджувати її методами
математики, інтерпретувати отримані результати, оцінювати
похибку обчислень
уміння застосовувати математичні методи для вирішення
прикладних завдань у різних сферах діяльності.
Розвиток ключових компетентностей
- Спілкування державною мовою – спілкування на уроці
відбувалось тільки на державній мові
- Математична компетентність – використання теоретичних знань в
прикладних задачах
- Інформаційно-цифрова компетентність – використання
інформаційних технологій на уроці і при підготовці до уроку
- Основні компетентності у природничих науках і технологіях –між
предметні зв’язки (математика, інформатика,географія,
будівництво, архітектура)
- Уміння вчитися впродовж життя – уміння знаходити і
систематизувати необхідну інформацію за допомогою ІТ-
технологій
- Ініціативність і підприємливість – при підготовці до уроку і
виконання домашнього завдання
- Обізнаність та самовираження у сфері культури – ознайомлення з
видами житла різних народів, як частиною їх культури
Екологічна грамотність і здорове життя – проблема
енергозбереження
Ступінь досягнення результату:
- Результат досягнутий кожним учнем
- Результат досягнутий більшою
частиною класу
- Результат досягнутий окремими
учнями
Висновки, рекомендації: