157

1. 1
Урок геометріїу 9 класі
Тема. Розв’язуваннятрикутників. Прикладнізадачі.
Мета:
закріпити, систематизувати і перевірити знання учнів з теми: «Розв’язування
трикутників»; вміння та навички знаходження невідомих елементів трикутника
за трьома відомими; уміння застосовувати набуті знання до розв’язування
трикутників і прикладних задач; поглибити та розширити діапазон знань учнів з
теми;
формувати навички та уміння практичного використання набутих теоретичних
знань, навчити робити облік рівня знань своїх навчальних досягнень,
формувати зацікавленість у результатах спільної роботи; розвивати творчі
здібності і логічне мислення учнів при знаходженні ними раціональних шляхів
для розв’язування практичних задач;
формувати організаційну, соціально-особистісну, інформаційну, життєтворчу
компетентності;
виховувати прагнення до знань, інтерес до математики, її історії, розглянувши
історичні відомості про виникнення тригонометрії як науки, про вклад в
розвиток тригонометрії різних вчених-математиків;
показати застосування тригонометрії в навігації, геодезії, показати важливість
математичних знань у повсякденному житті , виховувати почуття
взаємодопомоги, взаємопідтримки.
Тип уроку: Урок застосування знань, умінь та навичок учнів.
Форма уроку: Урок - практикум. Захист проектів
Обладнання: картки із завданнями, маршрутні листи, таблиці Брадіса, калькулятори,
комп’ютер, презентації, проектор, портрети вчених, практичні задачі в малюнках.
Учні повинні знати:
– теореми косинусів і синусів та наслідки з них,
– співвідношення між кутами трикутника і протилежними сторонами.
Учні повинні вміти:
– застосовувати теореми синусів і косинусів та наслідки з них до розв’язування
трикутників,
– знаходити невідомі елементи трикутника за трьома відомими,
– застосовувати набуті знання при розв’язуванні прикладних задач.
Очікувані результати: після уроку учні зможуть:
 повторити основний теоретичний матеріал про трикутник;

2. 2
 удосконалити свої вміння й навички розв'язування задач з теми «Розв’язування
трикутників»;
 робити логічні висновки, аналізувати вивчений матеріал;
 поглибити вміння оцінювати свої знання
Хід уроку
І. Організаційний етап.
Організація уваги учнів. Перевірка готовності класу до заняття.
Усміхніться один одному і привітайтесь до гостей. Роботи в нас дуже багато і тому
пропоную – не просто слухати, а чути;
не просто дивитись, а бачити;
не просто відповідати, а міркувати;
дружно і плідно працювати.
ІІ. Перевірка домашнього завдання.
Перевіряють учні-асистенти вчителя за зразком на перерві і доповідають про стан
виконання домашнього завдання учнями кожної групи.
ІІІ. Оголошення теми та мети уроку. Мотивація навчальної діяльності.
Ми з вами закінчуємо вивчення однієї з найцікавіших тем геометрії. На
сьогоднішньому уроці ми повторимо те що вивчили, згадаємо те, що забули і вміло
застосуємо отриманнізнання до розв’язування задач. Знання стають міцнішими, якщо
вони застосовуються у практичній діяльності. Тому проведемо урок практичного
застосування знань, що ви отримали під час вивчення теми «Розв’язування
трикутників» і ви дізнаєтеся, чи потрібні нам ці знання в повсякденному житті, як
можна застосувати знання даної теми в житті.
Запишіть тему уроку: Розв’язування трикутників. Прикладні задачі.
Прикладна математика—це окрема математична наука. Існує вона декілька
тисячоліть. Вчені Древнього Єгипту обчислювали площі ланів, які щороку заливались
Нілом, об’єми і площі приміщень при будівництві. І взагалі, вся математика в ті часи
була прикладною. В V—ІV сторіччі до н. е. у Греції почала створюватись теоретична
(чиста) математика. І сьогодні на уроці ми будемо розв’язувати задачі прикладного
змісту, тобто задачі, умови яких містять нематематичні поняття.
План уроку записанийу маршрутному листі, який є в кожного на парті. В
маршрутному листі є таблиця, в яку кожен учень вписує своє прізвище та ім’я. Також
у таблиці записано скількома балами оцінюється завдання кожного етапу уроку.
Учні самостійно занотовують кількість набраних балів за кожен вид роботи.В
кінці уроку учні підсумовують кількість набраних балів і оголошують свої результати.
Маршрутний лист уроку
Прізвище, ім’я учня
Теоретичний бліц-турнір (правильна відповідь – 2 бали)
Графічний диктант (правильна відповідь – 2 бали)

3. 3
Захист проектів (4 бали)
Робота в групах (повний розв’язок прикладної задачі– 3 бали)
Кросворд (правильна відповідь – 1 бал)
Всього балів:
ІV. Актуалізація знань, умінь та навичок.
1. Теоретичний бліц-турнір«Перевірка пульсу».
Перш ніж розпочати роботу, пропоную повторити трохи теорії (метод «Незакінчене
речення»). Учитель зачитує запитання, учні відразу відповідають. Неправильні
відповіді виправляють самі учні (і лише за необхідності – вчитель). Вкінці бліц-
турніру учні виставляють у маршрутний лист кількість набраних балів (знав всі
відповіді - 2 бали, половину відповідей-1 бал, менше половини відповідей- 0 балів)
1) Що означає «розв’язати трикутник»?
2) Скільки елементів трикутника мають бути відомими, щоб його можна було
3) розв’язувати?
4) За якими трьома елементами не можна розв’язати
трикутник і чому?
5) Які теореми потрібно знати, щоб розв’язати трикутник?
6) Сформулюйте теорему косинусів. Запишіть теорему
косинусів для сторони а.
7) Сформулювати теорему синусів. Запишіть теорему синусів.
8) Сформулюйте теорему про суму кутів трикутника.
9) Якщо в трикутнику АВС відомі дві сторони та кут між ними, то третю сторону
можна знайти за теоремою…
10) Якщо в трикутнику відомі сторони, то кути можна знайти…
11) Якщо в трикутнику АВС відомі два кути і одна сторона, то ще одну
сторону можна знайти за теоремою…
12) Як можна визначити вид трикутника за кутами, якщо відомі сторониа, в, с.
2. Графічний диктант «Математична кардіограма»
Учні креслять пряму лінію, якщо твердження правильне, то будують трикутник з
вершиною вгору, якщо твердження неправильне, то будують трикутник вершиною
вниз,і, якщо учень не знає відповіді – пропускає клітинку
Твердження для диктанту:
1) Якщо в трикутнику
2
2
2
c
b
a 
 > 0, то кут, протилежний стороні с
гострий
2) У трикутнику проти більшого кута лежить менша сторона.
3)
.
sin
sin 

b
а

4) Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його
сторін

4. 4
5) У будь-якомутрикутнику відношення сторонидо синусапротилежного кута
дорівнює діаметру кола, описаного навколо цього трикутника.
6)

cos
2
2
2
2
вс
с
в
а 


7)   .
cos
180
cos 
 

8) );
(
90 

 



9) Якщо в трикутнику
2
2
2
c
b
a 
 <0, то кут, протилежний стороні с тупий
10) За трьомасторонамиможна розв’язати трикутник.
(Учні, що сидять за однією партою, міняються зошитами та виконують
взаємоперевірку. Ключ до перевірки графічного диктанту проектується на екран:
V. Застосування знань, закріплення вмінь і навичок при розв’язуванні задач.
1. Захист учнями міні-проектів.
2. Гімнастика дляочей «Уявний трикутник»
Трохивтомилися, тому , як завждизробимо фізхвилинку для очей. (1 хв.)
Уявимо собітрикутник золотого кольору. Переводимо погляд з верхнього кута в
нижній лівий, знову у вехній , тепер у нижній правий. Уважно подивилися на
трикутник золотавого кольору. Кілька разів швидко моргнули. як метелик крильцями.
3. Розвязуваннязадач. Закріпленнявмінь та навичок
Робота у групах.
Клас поділено на групи по 6 учнів, , кожна отримує задачу з малюнком. На
обговорення задачі відводиться 5 хвилин. Розв’язання задачі записується в зошит.
Кожний учень своєї групи повинен вміти пояснити свою задачу. Після розв’язання
задач, представник кожної групи звітує перед класом ( за 1 хв пояснити алгоритм
розв’язання та обчислювання , малюнок на екрані. Задач всього дві, тому кожні дві
групи розв’язують одну і ту саму задачу, мають можливість перевіряти себе. За
правильне розв’язання по3 бали). Інші учні класу записують задачі товаришів у
зошит.

5. 5
Задача 1.Набудівництві залізниці потрібно на ділянці АВ прокласти тунель. За
даними на малюнку поясніть, як знайти довжину тунелю. Обчисліть довжину тунелю.
Задача 2 Два мандрівники вирушили одночасно по двохпрямолінійних дорогах, які
виходять з однієї точкипід кутом 60°. Перший рухається зі швидкістю 5км/год,
другий—4км/год . Яка відстань між ними буде через 2 год ?
Задача 3. Для вимірювання відстані між опорами А і В високовольтних ліній,
які розділено водою, вибрали пункт С і виміряли СА = 40 м, СВ = 30м, АСВ =
950. Визначити АВ.
А В
950 С

6. 6
Задача 4. Знайти відстань між двома недоступними предметами В і С, що
знаходяться на протилежних берегах річки, якщо АС = 8 м, С = 350, А =700.
В
700 350
А 8 м С
Задача 5. Щоб визначити висоту годинникової вежі старого корпусу нашої школи,
виміряли відстань АВ = 12м і кути 
 60
 , 
 70
 . Знайдіть висоту вежі.
Спільний проект. Складаємо спільний проектрозв’язання жартівливої задачі,
перевівши її на мову математики:
Трисусіди ,щобиводу
завжди мати
криницю почали копати.
Ранком Степан обізвався:
"Сумнів тут один закрався!
Хай довжини всіх доріг
будуть рівними для всіх!
Ображати друзів гріх!"
Як зробитице їм трьом,
ти скажи, яким шляхом?
Розв'язання:
1)Сполучити 3 точки трикутником
2)Знайти центр описаного кола, як точки перетину серединнихперпендикулярів до
сторін трикутника

7. 7
3)Зробитинеобхідні виміри на місцевості
4)За наслідком з теореми синусів обчислитирадіус описаного кола.
VІ. Підсумок уроку. Рефлексія.
1. Кросворд «Розв’язування трикутників»
4 5
1
2
7
6
3
По горизонталі:
1.Таблиці Брадіса.
2. Теорема, яка дозволяє знайти квадрат будь-якої сторони трикутника.
3. Чим для теореми синусів є рівність ?
2
sin
R
а


По вертикалі:
4. Трикутник, у якого один із кутів дорівнює 90о.
5. Теорема, яка використовується при розв’язуванні трикутників, якщо відомо
один кут і дві сторони, або одна сторона і два кути.
6. Яка сторона лежить у трикутнику проти більшого кута?
7. З ростом кута синус кута …

8. 8
Відповіді:
По горизонталі: Чотиризначні. 2. Косинусів. 3. Наслідком.
По вертикалі: 4. Прямокутний.5. Синусів. 6.Більша. 7. Зростає.
2. Виставлення і коментування оцінок.
Учні оголошують свої результати.
3. Метод «Чотири ЩО?»
1) Що ви дізналися, навчилися на уроці?
2) Що сподобалося найбільше?
3) Що було найскладнішим?
4) Що треба ще вивчити, над чим ще треба додатково попрацювати?
4. Метод «Похвали себе». Чи отримав ти задоволення від власної праці?
VІІ. Домашнє завдання.
Повторити §11-13. Скласти і розв’язати 1-2 практичні задачі на розв’язування
трикутників. Підготуватись до контрольної роботи

9. 9
Додатки
Робота над проектом
Тема навчального проекту: Розв’язування трикутників. Прикладні задачі
Провідна ідея навчального проекту:
Нічого немає більш практичного, ніж хороша теорія.
Л. Больцман
Мета дослідження: засвоївши теореми синусів, косинусів, наслідки з них,
розв’язувати трикутники та задачі прикладного
змісту.
Задачі дослідження:
 Розглянути теореми синусів та косинусів;
 Навчитись застосовувати теорему косинусів та теорему синусів для
розв’язування трикутників і задач прикладного змісту;
 Розширитизнання та кругозір учнів через ознайомлення з історичними фактами
щодо виникнення тригонометрії та вклад учених у її розвиток;
 Навчитись користуватись комп’ютерними програмами PowerPoint, Publisher для
оформлення результатів, випуску математичної газети.
 Вміти правильно використовувати Інтернет ресурси.
Навчальні предмети: геометрія@історія@інформатика.
Учасники проекту: учні 9-А класу
Рекомендації до уроку:
Підготовка презентацій-звітів творчими групами, які працювали у різних напрямах:
– Група 1 «Перші кроки тригонометрії»
– Група 2 «Розв’язування трикутників» у геодезії»
– Група 3 «Розв’язування трикутників» у навігації »
– Група 4 «Розв’язування трикутників» у військовій справі »
Форма звіту презентація або газета;
Термін виконання – 2 тижні,
Обладнання уроку: комп’ютер, ноутбук, мультимедійна установка, екран, картка-
маршрутний лист.
Група 1. «З історії тригонометрії»
Ви знаєте, що стародавні мандрівники орієнтувалися за зорями та планетами. Вони
могли досить точно визначити місцезнаходження корабля в океані або каравану в
пустелі за розташуванням світил на небосхилі. При цьому одним з орієнтирів була
висота, на яку піднімалося над горизонтом те чи інше світило в даній місцевості в
певний момент часу. Зрозуміло,що

10. 10
безпосередньо виміряти цю висоту неможливо. Тому вчені стали розробляти методи
непрямих вимірювань. Тут істотну роль відігравало розв’язування трикутника, дві
вершини якого лежали на поверхні Землі, а третя була Зорею.
Для розв’язання подібнихзадач стародавнім вченим потрібно було навчитися
знаходити взаємозв’язкиміж елементами трикутника. Вавилоняни вже на початку III
тисячоліття до н.е. вміли визначати положення сонця і зірок на небосхилі, тобто
володіли певними знаннями тригонометричногохарактеру.
Довгийчас тригонометрія була підсобною наукою у астрономії. Завдякипраці
кількох поколінь учених тригонометрія стала самостійною наукою – наукою, яка
вивчає залежність між сторонамита кутами трикутника
Так у ІV –V ст.н.е. у тригонометричнихтрактатах індійських вчених з’являються
поняття синуса і косинуса. Тоді вчені Індії, зводили розв’язування будь-яких
трикутників до розв’язування прямокутних трикутників і не потребували теорему
синусів і не знали її. Вважають, що теорему синусів вперше довів іранський
математик Ібн-Ірак. Європейськіматематики теоремою синусів почали користуватися,
лише з ХVI століття
Теорема косинусів була відома ще стародавнім грекам. У другій книзі «Начал»
Евкліда розглянуто питання про квадрат сторони трикутника, яка лежить проти
гострого і проти тупого кута. Безпосередньо для плоских трикутників теорему
косинусів довів арабський астроном і математик Абу-л-Вафа (940—998). Дещо
пізніше доводить і використовує цю теорему знаменитий середньоазіатський учений-
енциклопедист Ал-Біруні (973-1048). Словесно теорема косинусів була вперше
сформульована французьким математиком Француа Вієтом в ХVI столітті.
Абу-л-Вафа Ал-Біруні Франсуа Вієт
Теоремикосинусів і синусів взаємопов'язані. З кожної з них можн а вивести іншу,
виконавши відповідні тригонометричніспіввідношення. Взагалі, тригонометрія, як і
кожна наука, виникли і розвивалися з потреб людини, насамперед, в народів з
розвиненоюторгівлею і сільським господарством
Задача 1. Залізний стержень довжиною 2 м потрібно зігнути під кутом 60°так, щоб
відстань між кінцями дорівнювала 1,5 м. Де має знаходитись точказгину?
Розв’язання. Нехай довжина однієї частини стержня дорівнює х м, тоді довжина
його другої частини (200- х) м. За теоремою косинусів
1502 = х2 + (200 – х )2 - 2х( 200 – х ) cos60º;

11. 11
22500 = х2 + 400 00 - 400х + х2 - 2х(200 – х )
2
1
;
3х2 – 600х + 175 00 = 0
D =b2 - 4ac = 6002 - 4317500=150000, 
150000 387
х1 = 164,5 см,
Х2 = 35,5 см
Відповідь: 164,5 см і 35,5 см
Група 2. «Розв’язування трикутників в навігації»
Навіга́ція (від лат. navigare — керувати кораблем ) - галузь знань про керування
транспортним засобом для спрямування його до цілі. Використовується на воді, на
землі, в повітрі. До традиційної навігації відносять засоби визначення координат,
вимір напряму та відстані на морі, шляхи вибору та відображення курсу корабля на
карті, вирахування шляху судна, визначення його положення в морі за береговими,
небесними та підводними орієнтирами, оцінка похибки навігаційних приладів;
питання керування і безаварійного проведення судна за особливих умов плавання.
Уміння здійснити плавання найзручнішим за даних умов шляхом, найбільш точно
провести судно в порт призначення, з необхідною точністю визначитимісце судна в
морі практично на будь-яких відстанях — усе це залежить від судноводія. Але
конкретні обставини на морі, інколи дуже складні, не завжди дозволяють штурману
отримати необхідну інформацію з потрібною точністю навіть за допомогою
сучасних технічних засобів. Тому судноводіння, що базується на науково-
математичній основі, гарантує безпеку судна під час плавання в будь-якихумовах.. І всі
задачі розв'язуються із застосуванням знань тригонометрії.
Задача . Два теплоходи А і В, що знаходяться в відкритому морі на відстані 20 км
один від одного , одночасно отримали сигнал sos з корабля С.
Радіопеленг по відношенню до прямої АВ на судні А дорівнює 55 градусів, а на
судні В – 80 градусів. Який теплохід першим прийдена допомогу, якщо максимальна
швидкість судна А - 60 км/год, а судна В - 45 км/год?

12. 12
Група 3. «Розв’язування трикутників в геодезії»
Є професії, які вимагають дуже часто розв’язувати трикутники. Насамперед цим
займаються геодезисти. Яке б велике будівництво не розпочиналось, першими туди
йдуть геодезисти, щоб зняти план місцевості та охарактеризувати рельєф. Коли ж на
основі їх матеріалів у проектних організаціях опрацюють проект, геодезисти знову
міряють кути, розв’язують трикутники, забивають кілочки—«прив’язують»
опрацьований проект до місцевості. А навіщо вони розв’язують трикутники? Щоб
визначити потрібні відстані, не вимірюючи їх безпосередньо. Є ще спеціалісти, які
розв’язують подібні задачі в шахтах, тунелях, метро та інших підземних розробках.
Це—маркшейдери. Їм також часто доводиться розв’язувати трикутники. І взагалі, без
розв’язування трикутників неможливо було б побудувати ні будинку, ні мосту, ні
метро.
Задача . Необхідно побудуватиміст
через річку з точки А в точку В.
Інженер з'ясував, що відстань від
точки А до точки С вдалину від берега
складає 100 м., а в трикутнику АВС
кут А дорівнює 96, 5 º, а кут С
дорівнює 46, 8 º. Якої довжинибуде
міст?
Розв’язання. Затеоремоюпро суму кутів трикутника отримаємо:
В=180º-(А+С)=180º-(96,5º+46,8º)=180º-143,3º=36,7º
За теоремою синусів
B
AC
C
АВ
sin
sin
 ,
Звідси м
B
C
AC
AB 122
5976
,
0
7289
,
0
100
7
,
36
sin
8
,
46
sin
100
sin
sin








Відповідь: 122 метри.
Група 4. «Розв’язуваннятрикутниківу військовій справі»

13. 13
Математика в сучасних умовах відіграє вельми важливу роль в дослідженні
збройноїборотьбиі використаннівиявлених залежностей і закономірностей, які
виявляють своюдію через принципи військового мистецтва. Математика дає
можливість моделювати бойовідії, а отже, і розкриватипринаймніосновнізв'язкив
процесах ведення збройноїборотьби.
Задача. Радар засік ворожийлітак на відстані 42 км і отримав команду знищити. При
розрахункувийшло, що для потрапляння в літак необхідно запустити ракету під кутом
30º, так як за час польоту ракети літак пролетить 24 км. Скільки пролетить ракета до
зіткнення з літаком?
Розв’язання:  СВА= ВАL, як внутрішні
різносторонні.
За теоремоюсинусів в трикутнику АВС
𝐴𝐶
𝑠𝑖𝑛𝐵
=
𝐶𝐵
𝑠𝑖𝑛𝐴
.
Тоді sin A=
𝐶𝐵∗𝑠𝑖𝑛𝐵
42
=
24∗0,5
42
=
12
42
=
2
7
 A=17º або A= 180-17º = 163, але 30+163≥180
 C=180 º-(17º+30º)=133º
𝐴𝐵2
=𝐴𝐶2
+𝐵𝐶2
-2BCACcosC
𝐴𝐵2
=422
+242
-4224cos133=1764+976-2016(-0,68)=2340-1370,88=969,12
AB=√969,12  31 км