267

1. Міністерство освіти і науки України
Запорізький авіаційний коледж ім.О.Г.Івченка
Куля. Сфера.
Конспект відкритого заняття
Запоріжжя, 2019

2. Тема заняття: Куля. Сфера.
Мета заняття:
Формувати поняття кулі і сфери, центра кулі (сфери), радіуса, діаметра,
діаметральної площини, великого кола та круга, дотичної площини до кулі.
Вчити знаходити елементи кулі (сфери) та визначати взаємне
розміщення площин і кулі у просторі.
Вчити застосовувати знання властивості про переріз кулі площиною
для розв’язування задач.
Виховувати інтерес до геометрії. Активізувати навчання шляхом
використання привабливих і швидкозмінних форм подачі інформації.
Обладнання: Інтерактивна дошка, циркулі, штангенциркулі, предмети у
вигляді кулі та сфери ( м’яч, глобус, склянакулька, повітряна кулька,
тенісний м’ячик, дитячаіграшка у вигляді кулі та ін..),робочийзошитз
друкованоюосновою. Програмнийзасіб (ППЗ) «Геогебра5».
Тип заняття: вивчення нового матеріалу формування нових знань, умінь і
навичок

3. Хід заняття:
І. Організаційний етап
IІ. Актуалізація опорних знань і вмінь.
III. Перевірка домашнього завдання
ІV. Повідомлення теми та мети заняття.
V. Вивчення нового матеріалу.
VI.Релаксація.
VII. Закріплення вивченого матеріалу.
Розв'язування задач
1. Розвязування задач з використанням програмного
забезпечення Геогебра 5
2. Самостійна робота студентів
VIII. Підсумок уроку. Домашнє завдання.
І. Організаційний етап
Вирішуються організаційні питання щодо початку заняття. На
партах для кожного студента приготовлені робочі зошити з
друкованою основою.
Перевірити чи є у студентів на партах зошити, олівці, циркулі. Записати
число, аудиторна робота.
До нашого сьогоднішнього заняття я підібрала слова чеського математика
Яна Коменського «Вважай нещасливим той день чи той час, в який ти не
засвоїв нічого нового і нічого не добавив до своєї освіти»
Нехай ці слова ведуть вас до мрії все життя.
Сьогодні на занятті ми дізнаємось щось нове, а значить що день буде
щасливим.
IІ. Актуалізація опорних знань і вмінь.

4. - Що таке коло?
- Назвіть формулу для обчислення довжини кола.
- Що таке круг?
- Назвіть формулу для обчислення площі круга.
- Сформулюйте теорему Піфагора.
1.Встановити відповідні пари:
1. Довжина кола …
2. Площа квадрата із стороною 2π…
3. Площа круга …
4. Довжина півкола …
5. Подвоєнаплоща круга …
R R
А) 4π2
Б) 2πR
B) πR2
Г) 2πR2
Д) Інша відповідь
2.В прямокутномутрикутнику АВС (С = 900)
1. Відношення прилеглого катета до
гіпотенузи …
2. Відношення протилежного катета до
гіпотенузи …
3. Відношення протилежного катета до
прилеглого …
4. Відношення прилеглого катета до
протилежного …
5. Відношення сторонитрикутника до
синуса протилежного кута
Викладач. Молодці! Добресправились із
завданням.
А) 2R
Б) sin α
B) cos α
Г) tg α
Д) ctg α
III. Перевірка домашнього завдання
Викладач.
Шановні студенти! Працюємо в режимі накопичення балів, які
записуються в таблицю оцінювання роботи студентів на кожному етапі
заняття, отже розраховую на спільну активну роботу.
 Що задавали додому?
 Які питання виникли під час розв’язування задачі?

5. Студент пояснює розв’язання задачі
ІV. Повідомлення теми та мети заняття.
1. Вступне слово
Отже ми з вами вже познайомились з двома тілами обертання це
циліндр та конус і сьогодні на занятті познайомимось з
наступною фігурою, яке також є тілом обертання
Дитячий м’ячик, тенісний або футбольний м’яч, повітряна кулька…
У кожного з вас свої дитячі спогади, пов’язані з грою з м’ячем.
У школі вивчення, наприклад, географії прямо пов’язане з таким
тілом, як куля. Та і сама поверхня нашої планети Земля ми,
ідеалізуючи, вважаємо кулею
(На парті є глобус, футбольний м’яч, м’ячі для метання, скляна кулька,
тенісний м’ячик, резинова кулька, новорічна кулька, повітряна кулька.)
Може ця фігура вже вам знайома?
2.Запис теми заняття в зошитах
3. Сьогодні на занятті ви дізнаєтесь:
 Що таке куля, сфера
 Чим вони схожі та чим відрізняються
 Які елементи є у кулі, сфери
 Згадаємо, які можливі випадки перетину кола і прямої на площині

6.  Познайомимось з властивостями перетину сфери та площини в
просторі
 Навчимось використовувати отримані знання для розв’язання задач
4. Завдання для студентів: розділити ці предмети на 2 групи: «куля» та
«сфера». Вивчивши тему ми перевіримо чи правильно ви поділили на групи.
V. Вивчення нового матеріалу.
Використовуючи презентацію до заняття, демонструються динамічні
фрагменти заняття «Куля і сфера»: означення кулі і сфери, як тіла обертання;
означення радіуса та діаметра кулі (сфери); діаметрально протилежних точок;
січної площини; формулюються основні властивості перерізів кулі
площинами, дається означення дотичної до кулі (сфери) площини та її
властивості.
Куля та сфера
Кулею називається тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра.
Кулею називається тіло, яке складається із всіх точок простору, які
знаходяться на відстані не більшій даної (яка називається радіусом кулі) від
даної точки (яка називається центром кулі).
(Вчитель на дошці малює кулю, центр кулі, радіус, діаметр. Студенти
працюють у зошиті)
Сферою називається фігура, утворена обертанням кола навколо його
діаметра.
Сферою називається поверхня, яка складається із всіх точок простору, що
знаходяться на даній відстані (яка називається радіусом) від даної точки (яка
називається центром).
Радіус сфери це відрізок, який з'єднує центр сфери з точкою сфери.
Діаметр сфери це відрізок, який з'єднує дві точки сфери і проходить через
центр сфери.

7. Куля, сфера.
Q
О
A
S
М
N
О – центр кулі,
ОМ = ОN = OA =
= OQ = OS – радіус,
MN = SQ – діаметр.
Розглянемо взаємне розміщення кулі(сфери) та площини в просторі
паралельно згадаємо розміщення прямої та круга на площині
1. Пряма і круг не перетинаються Куля(сфера) і площина не мають
спільних точок не перетинаються

8. 2. Пряма і круг дотикаються Куля (сфера) і площина мають тільки
одну спільну точку.
Площина, яка має зі сферою тільки
одну спільну точку називається
дотичною площиною до сфери.
Дотична площина до сфери
перпендикулярна до радіуса,
проведеного в точку дотику
3. Пряма і круг перетинаються Куля(сфера) і площина
перетинаються. Переріз сфери
площиною є коло.
Якщо відстань від центра кулі до
площини менша від радіуса кулі, то
перерізом кулі площиною є круг.
Площина, яка проходить через центр
кулі (сфери), називається
діаметральною площиною.
Переріз кулі (сфери) діаметральною
площиною називається великим
кругом (великим колом).

10. VI.Релаксація.
А зараз трошки відпочинемо. Сядьте зручніше. Хвилинку релаксації для нас
проведеДаря Бєла. Вона провела дослідницьку роботуі розкаженам про
картини відомих художників на яких зображено кулю .

11. Пабло Пікассо «Дівчина на кулі»
«Дівчинка на кулі» — картина Пабло Пікассо, написана в 1905 році
На картині зображена бродяча група акробатів. На задньому плані картини
зображена випадкова перехожа з дитиною, собака і пасеться білий кінь.
Куля і куб, що стоять на землі — цирковий реквізит — представляють собою
протилежності. Обігрується контраст руху і нерухомості. Дівчинка граціозно
погойдується, утримуючи рівновагу, атлет сидить застиглий, немов моноліт.
«Дівчина з перлинною сережкою» — одна з найвідоміших
картин нідерландськогохудожника Яна Вермеєра. Її часто називають північною
чи голландською Моною Лізою.
Картина була написана приблизно у 1665 році. Про неї відомо дуже мало. За
однією з версій художник зобразив власну доньку Марію. Художник
спробував зафіксувати момент, коли дівчина повертає головуу бік глядача до
когось, кого вона тільки що помітила. Відповідно до назви, увага глядача
фокусується на перлинній сережці у вусі дівчини.
«Галате́я зі сфе́рами», або «Галате́я сфер» — картина Сальвадора Далі,
написана у 1952 році. На картині зображена дружина художника Галатея.
Одна з найяскравіших робіт ядерно-містичного періоду. Далі вивчав науку
й теорію атомного розпаду. Обличчя Гала формується з середовища,
заповненого сферами, котрі на осі симетрії живописного полотна набувають
дивного тривимірного вигляду .

12. Леонардо да Вінчі «Спаситель світу»
«Спаситель світу» — картина Леонардо да Вінчі, яку довгий час вважали
втраченою. Її замовником зазвичай називають короля Франції Людовіка XII.
11 жовтня 2017 року було оголошено, що 15 листопада картину виставлять
на торгах "Крістіз" у Нью-Йорку. Стартова ціна лоту складала 100 млн
доларів]
. 15 листопада картину продано за 400 млн доларів (450 млн з
урахуванням комісії аукціону). Після продажу картина «Спаситель світу»
стала найдорожчим у світовій історії твором мистецтва.
VII. Закріплення вивченого матеріалу.
Розв'язування задач
Розвяжемо задачу із ЗНО. Це типові завдання з геометрії на знаходження
площі перерізу кулі площиною. Оскільки розпочинаємо вивчення теми то
задачу розв’яжемо заготовим малюнком.
3. Розвязання задач заготовим малюнком
№1(усно)
А
О
В
С
D
Радіус кулі дорівнює см. Одна точка знаходиться
на відстані 3 см, друга – на відстані см, а третя
– на відстані 2 см. Де розміщена кожна точка?
(У середині кулі, на поверхні кулі, поза кулею, визначити
неможливо).
2
2
8
М
ОС =
ОА =
ОВ =
ОМ =
ОD =
ОС = ОВ = ОD = R

13. №2
О
Q
S
O1
B
Якщо кулю радіусом 17 перетнуто січною площиною
на відстані 8 від її центру. Знайти площу перерізу.
А) 30 π
Б)125 π
В)225 π
Г)300 π
Д) Інша відповідь
Знайти довжину лінії перетину.
№3
О
Куля з центром в точці О дотикається до площини α
в точці А, а точка В лежить в α. ОВ = d, = β.
Знайдіть: а) ОА; б) АВ.
α
А
В
ŔÂÎ

А) d tg β
Б) d sin β
В) d ctg β
Г) d cos β
Д) Інша відповідь
4. Розвязування задач з використанням програмного
забезпечення Геогебра 5

14. О
S
A
Q
B
O1
α
Площина перетинає кулю. Діаметр, проведений в одну
із точок поверхні кулі, має довжину 2 см і утворює
з площиною кут 600. знайдіть довжину лінії перетину.
3
Закріплюється властивість про
переріз кулі площиною: Будь-
який переріз кулі площиною є
круг. Центр круга є основою
перпендикуляра, опущеного з
центра кулі на січну площину.
О
S
A
Q
B
O1
α
Площина перетинає кулю. Площа перерізу дорівнює 2π см2
Знайти радіус кулі, якщо кут нахилу цього радіусу до
площини перерізу – 450.
Закріплення властивості про
переріз кулі площиною.
Обернена задача розв’язується з
коментуванням.
Студенти працюють в робочих
зошитах.
О
Q
A
O1
B С
Вершини трикутника лежать на сфері, а його сторони
дорівнюють 4 см, 4 , 8 см. Знайдіть відстань від
центра сфери до площини трикутника, якщо радіус сфери
Дорівнює 5 см.
3
Закріплення властивості про
переріз кулі площиною.
Розв’язування задачі записується
на дошці.
Студенти працюють в робочих
зошитах

15. 5. Самостійна робота студентів
1.
Варіант 1
Радіус кулі дорівнює 15
см. Де розміщена точка
А, якщо вона віддалена
від центра кулі на
відстань 4 см?
А) поза кулею;
Б) на сфері;
В) всередині кулі;
Г) визначитинеможливо
1.
Варіант 2
Радіус кулі дорівнює 26
см. Де розміщена точка А,
якщо вона віддалена від
центра кулі на відстань 5
см?
А) поза кулею;
Б) на сфері;
В) всередині кулі;
Г) визначитинеможливо
2. Яке з наведених чисел не
може бути кількістю
спільних точокпрямої і
сфери?
А) 3
Б) 2
В) 1
Г) 0
2. Яке з наведених чисел
може бути кількістю
центрів симетрії сфери?
А) 3
Б) 2
В) 1
Г) 0
3. Точки (3; 1;5)
А  і (5; 3;1)
В 
є кінцями одного з
діаметрів сфери.
Обчисліть координати
точки О , яка є центром
цієї сфери.
А) (4; 2;3)
О 
Б) (8; 4;6)
О 
В) ( 2;1; 3)
О  
3. Точки (4;0;5)
А і ( 2;4; 1)
В   є
кінцями одного з діаметрів
сфери. Обчисліть
координатиточки О , яка є
центром цієї сфери.
А) ( 3;2;2)
О 
Б) ( 1;2; 3)
О  
В) ( 6;4;4)
О 

16. Г) ( 4;2; 3)
О   Г) ( 2; 1;3)
О  
4. Точки ( 4;2;1)
М  і
( 3;0; 1)
N   є кінцями
одного з діаметрів сфери.
Чому дорівнює рідіус цієї
сфери?
А) 3 см
Б) 3 см
В) 1,5 см
Г) 4 см.
4. Точки К( 3;0; 1)
  і Р(1;2;3) є
кінцями одного з діаметрів
сфери. Чому дорівнює
рідіус цієї сфери?
А) 3 см
Б) 3 см
В) 3 см
Г) 1,5 см.
VIII. Підсумок уроку. Домашнє завдання.
 Що називається кулею? Сферою?
 Чому ці геометричнітіла називають тілами обертання?
 Назвіть основніелементи кулі та сфери.

17.  Чим являється переріз кулі площиною?
 Де лежить центр цього перерізу?
 Яке взаємне розташування площини і кулі?
 Яка площина називається дотичною до кулі площиною?
 Скільки спільних точокмає з кулею дотичнаплощин
Домашнє завдання: Математика 11 клас, рівень стандарту, А.Мерзляк,
2019р, п.21 читати, виконати №21.9, 21.14, 21.17