鍋島　政孝

1. R の部分集合族 O を次で定める:
O = {(−∞,a) : a ∈ R}∪{∅,R}.
(1) O は開集合系の公理を満たすことを示せ.
(2) 区間(−∞,0)および(−∞,0]は位相空間(R,O)のコンパクト部分
集合か. 理由をつけて答えよ.
(3) 和集合 (0, 1) ∪ (2, 3) は位相空間 (R, O) の連結部分集合か. 理
由をつけて答えよ.
(4) f を R を定義域とする実数値関数とし, 位相空間 (R, O) から位相
空間 (R, O) への写像とみな す. 写像 f が連続ならば f は単調増加て
゙あることを示せ. ただし, 実数値関数 f が単調増加で あるとは,x
≤ x′ のとき f(x) ≤ f(x′) が成り立つときをいう.

2. R の部分集合族 O を次で定める:
O = {(−∞,a) : a ∈ R}∪{∅,R}
(1) O は開集合系の公理を満たすことを示せ.
証明
公理１ 空集合と全体が入る
公理２ 和集合が入る
公理３ 有限個の共通部分が入る。
(2) 区間(−∞,0)および(−∞,0]は位相空間(R,O)のコンパクト部分集合か. 理由をつけて答えよ.
証明 (−∞,0)⊂ 𝑖(−∞, 𝑎𝑖)ならばあるiが存在して(−∞,0)⊂ −∞, 𝑎𝑖 なのでコンパクトである。
また[a,0]はハイネボレルの定理からRの普通の位相に関してコンパクト集合。Oの位相はRの普通の位相よりも弱
い。O上でもコンパクト。
(3) 和集合 (0, 1) ∪ (2, 3) は位相空間 (R, O) の連結部分集合か. 理由をつけて答えよ.
Xの部分集合Aが連結であるとはXの開集合U、VでA⊂UUV A∩U∩V＝空集合 A∩U≠空集合 A∩V≠空集合
となるものが存在しないことである。[斎藤]集合と位相参照
このようなUとVは明らかに存在しない。(A⊂UUVならばU⊂VかV⊂Uとなるから）
(4) f を R を定義域とする実数値関数とし, 位相空間 (R, O) から位相空間 (R, O) への写像とみな す. 写像 f が連続ならば f は単調増加
であることを示せ. ただし, 実数値関数 f が単調増加で あるとは,x ≤ x′ のとき f(x) ≤ f(x′) が成り立つときをいう.
証明
単調増加でないとする。するとfの増減の場合分けから𝑓−1で写したものがOの集合にならないことがわかる。