相対位相

1. 1 次元ユークリッド空間 R の部分集合 [−2, 1] を I とし,I に R から相対位相を 入れ位相空間
とみなす.相異なる 4 つの元からなる集合 {a, b, c, d} を A とし,写像 g:I→Aを
g(x)=
a (−2≤x<−1)
b (x=−1,0)
c (−1<x<0)
d (0<x≤1)
で定める.A には g により I から誘導された位相を入れる.(従って,A の部分集合 U が A の
開集合であるとは,g による U の逆像 𝑔−1(U) が I の開集合であるときに 言う.)
(1) Aがハウスドルフ空間かどうか理由を付けて答えよ.
答え ハウスドルフでない
理由
aとbを分離することを考える。𝑔−1(b)を含む開集合∩(-2,-1)≠≠空集合 よってA上aとbを分離
することができない。
(2) S = {a, b, c} ⊂ A とする.S の内部,S の閉包,S の境界を求めよ.
答え
内点xとはxを含むある近傍がSに含まれていることである。
aを含む近傍で一番小さいのは{a}, bを含む近傍で一番小さいのは{a,b,c}, cを含む近傍で一番小
さいのは{c}
閉包の点xとはxを含む任意の開集合Uに対してU∩S≠空集合となることである。よってSを含む。
またdを含む近傍で一番小さいのは{d}よってSの平包には含まれない。 よって閉包はS。
境界とは閉包ー内部である。よって空集合。