コンパクト性とC１級の問題

1. f(x)をR上の実数値C1 級関数で0≤x≤1のとき0≤f(x)≤1を満たすものと する。
F(f) = {x ∈ [0,1] | f(x) = x} と定める。 以下の問いに答えよ。
(1)F(f) は [0,1] の空でない閉集合であることを示せ。
証明 [斎藤毅]集合と位相p138
(2)さらに, すべての x ∈ F(f) に対して f′(x) ̸= 1 とする. ただし, f′(x) は f(x) の 導関
数を表す. このとき F(f) は有限集合であることを示せ.
証明
fがC1 級であることからf′(x)はwell defindで連続関数である。
もしF(f)が無限個あるとすると、ある点y ∈ [0,1] に対して、すべてのεに対し
Uε(y)∩F(f)≠空集合。(もしそうでないとすると、すべての点y ∈ [0,1]に対しあるεが存
在してUε(y)∩F(f)＝空集合とでき、 [0,1]のコンパクト性からF(f)が有限であることに
なる)そのようなyに対しf’(y)が1でないとすると、
f(y)-f(y+h)/hはhによってはf(y)-y-h/hとなり、これはすべてのεに対し、あるδが存在し、
y’∈Uδ(y)かつy’ ∈ F(f)で|(f(y)-y-h)/h – (y-y-h)/h|＜εとなる。つまり１に収束しなかった
場合、hの選び方によってはf’(y)はwell defindではない。よって矛盾。