PAT 1 (มี.ค. 55)

1. PAT 1 (มี.ค. 55) 1
PAT 1 (มี.ค. 55)
รหัสวิชา 71 วิชา ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1)
วันเสาร์ที 3 มีนาคม 2555 เวลา 13.00 - 16.00 น.
ตอนที 1 ข้อ 1 - 25 ข้อละ 5 คะแนน
1. สําหรับเซต ܵ ใดๆ ให้ ܵᇱ
แทนคอมพลีเมนต์ของเซต ܵ กําหนดให้ ‫,ܣ‬ ‫ܤ‬ และ ‫ܥ‬ เป็นเซตในเอกภพสัมพัทธ์ ࣯
โดยที ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ = ‫ܤ‬ , ‫ܥ‬ ⊂ ‫ܣ‬ และ ‫ܤ‬ ∩ ‫ܥ‬ ≠ ∅
ถ้าเซต ࣯ มีสมาชิก 12 ตัว เซต ‫ܣ‬ᇱ
∪ ‫ܤ‬ᇱ
มีสมาชิก 10 ตัว และเซต ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ᇱ
มีสมาชิก 4 ตัว
แล้วจะมีเซต ‫ܥ‬ ทังหมดกีเซต
1. 60 เซต 2. 48 เซต 3. 16 เซต 4. 8 เซต
2. กําหนดให้ ‫,݌‬ ‫,ݍ‬ ‫ݎ‬ และ ‫ݏ‬ เป็นประพจน์ใดๆ
ประพจน์ ሾሺ‫݌‬ ∧ ~‫ݍ‬ሻ ∨ ~‫݌‬ሿ ⇒ ሾሺ‫ݎ‬ ∨ ‫ݏ‬ሻ ∧ ሺ‫ݎ‬ ∨ ~‫ݏ‬ሻሿ สมมูลกับประพจน์ในข้อใดต่อไปนี
1. ‫݌‬ ⇒ ‫ݎ‬ 2. ‫ݍ‬ ⇒ ‫ݎ‬
3. ሺ‫݌‬ ∨ ‫ݎ‬ሻ ∧ ሺ‫ݍ‬ ∨ ‫ݎ‬ሻ 4. ሺ‫ݍ‬ ∨ ‫ݎ‬ሻ ∧ ሺ‫ݍ‬ ∨ ‫ݏ‬ሻ

2. 2 PAT 1 (มี.ค. 55)
3. ถ้า ‫ܣ‬ แทนเซตของจํานวนเต็มทังหมด ทีสอดคล้องกับอสมการ 3|‫ݔ‬ − 1| − 2‫ݔ‬ > 2|3‫ݔ‬ + 1|
และ ‫ܤ‬ แทนเซตคําตอบของอสมการ ‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬ + 2ሻሺ‫ݔ‬ + 1ሻଶ
< 0 แล้วข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. เซต ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬ มีสมาชิก 5 ตัว 2. ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ = ‫ܣ‬
3. เซต ‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ มีสมาชิก 1 ตัว 4. ሺ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬ሻ ∪ ሺ‫ܤ‬ − ‫ܣ‬ሻ = ‫ܤ‬
4. กําหนด R แทนเซตของจํานวนจริง ให้ ‫ݎ‬ = { ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ∈ R × R | |‫ݕ|ݔ‬ + ‫ݕ‬ − ‫ݔ‬ − 1 = 0 }
พิจารณาข้อความต่อไปนี
ก. ‫ݎ‬ เป็นความสัมพันธ์ทีมีโดเมน D௥ = { ‫ݔ‬ ∈ R | ‫ݔ‬ ≠ −1 }
ข. ความสัมพันธ์ ‫ݎ‬ିଵ
เป็นฟังก์ชัน
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
5. กําหนดให้ 0° < ߠ < 45° และให้ ‫ܣ‬ = ሺsin ߠሻ୲ୟ୬ఏ
‫ܤ‬ = ሺsin ߠሻୡ୭୲ ఏ
‫ܥ‬ = ሺcot ߠሻୱ୧୬ఏ
‫ܦ‬ = ሺcot ߠሻୡ୭ୱఏ
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ‫ܣ‬ < ‫ܤ‬ < ‫ܥ‬ < ‫ܦ‬ 2. ‫ܤ‬ < ‫ܣ‬ < ‫ܥ‬ < ‫ܦ‬
3. ‫ܣ‬ < ‫ܥ‬ < ‫ܦ‬ < ‫ܤ‬ 4. ‫ܥ‬ < ‫ܦ‬ < ‫ܤ‬ < ‫ܣ‬

3. PAT 1 (มี.ค. 55) 3
6. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลียม โดยมี ܽ, ܾ และ ܿ เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม B และ มุม C ตามลําดับ
ถ้ามุม C เท่ากับ 60° ܾ = 5 และ ܽ − ܿ = 2
แล้วความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลียม ABC เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 25 2. 29 3. 37 4. 45
7. วงรีทีมีแกนเอกอยู่บนแกน ‫ݔ‬ แกนโทอยู่บนแกน ‫ݕ‬ ระยะระหว่างจุดโฟกัสทังสองเท่ากับ 12 หน่วย ถ้าความยาวของ
คอร์ดทีผ่านจุดโฟกัสหนึงและตังฉากกับแกนเอกของวงรี เท่ากับ 10 หน่วย แล้วสมการของวงรี คือข้อใดต่อไปนี
1. 5‫ݔ‬ଶ
+ 9‫ݕ‬ଶ
= 405 2. 9‫ݔ‬ଶ
+ 5‫ݕ‬ଶ
= 81
3. 5‫ݔ‬ଶ
+ 9‫ݕ‬ଶ
= 225 4. 9‫ݔ‬ଶ
+ 5‫ݕ‬ଶ
= 20
8. พาราโบลาทีมีจุดโฟกัส F อยู่ทีจุดศูนย์กลางของวงกลม ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
− 6‫ݔ‬ + 4‫ݕ‬ + 4 = 0 และมีจุดยอด V อยู่ที
จุดตัดของวงกลมกับแกน ‫ݕ‬ ถ้า A และ B เป็นจุดบนพาราโบลาซึงส่วนของเส้นตรง ABതതതത ผ่านจุดโฟกัส F และตัง
ฉากกับแกนของพาราโบลา แล้วพืนทีของรูปสามเหลียม VAB เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 9 ตารางหน่วย 2. 12 ตารางหน่วย 3. 18 ตารางหน่วย 4. 36 ตารางหน่วย

4. 4 PAT 1 (มี.ค. 55)
9. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ถ้า ‫ܣ‬ เป็นเซตคําตอบของอสมการ ቀ
ଷ
ହ
ቁ
൫ହ௫మିଶଷ௫ାଷ൯
> ቀ
ହ
ଷ
ቁ
ሺ௫ାହሻ
แล้ว ‫ܣ‬ เป็นสับเซตในข้อใดต่อไปนี
1. { ‫ݔ‬ ∈ R | ሺ5‫ݔ‬ − 1ሻሺ‫ݔ‬ − 3ሻ < 0 } 2. { ‫ݔ‬ ∈ R | ሺ4‫ݔ‬ − 1ሻሺ‫ݔ‬ − 4ሻ < 0 }
3. { ‫ݔ‬ ∈ R | ሺ2‫ݔ‬ − 1ሻሺ‫ݔ‬ − 5ሻ < 0 } 4. { ‫ݔ‬ ∈ R | | ‫ݔ‬ − 1| < 2 }
10. กําหนดให้ ‫ݔ‬ > 1 , ܽ > 1 , ܾ > 1 และ ܿ > 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี
ก. ถ้า ܾଶ
= ܽܿ แล้ว ሺlog௔ ‫ݔ‬ሻሺlog௕ ‫ݔ‬ − log௖ ‫ݔ‬ሻ = ሺlog௖ ‫ݔ‬ሻሺlog௔ ‫ݔ‬ − log௕ ‫ݔ‬ሻ
ข. ถ้า ܿ > ܾ + 1 และ ܽଶ
+ ܾଶ
= ܿଶ
แล้ว
logሺ௖ା௕ሻ ܽ + logሺ௖ି௕ሻ ܽ = 2൫logሺ௖ା௕ሻ ܽ൯൫logሺ௖ି௕ሻ ܽ൯
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
11. ให้ ‫ܣ‬ เป็นเซตคําตอบของสมการ log൫√‫ݔ‬ + 1 + 5൯ = log ‫ݔ‬
และ ‫ܤ‬ เป็นเซตคําตอบของสมการ logଶሺ3‫ݔ‬ሻ + logସሺ9‫ݔ‬ሻ + log଼ሺ27‫ݔ‬ሻ = 3 + 2 log଺ସሺ‫ݔ‬ሻ
ผลคูณของสมาชิกทังหมดในเซต ‫ܣ‬ ∪ ‫ܤ‬ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. ଵଶ
ଽ
2. ଵ଺
ଽ
3. ଷଶ
ଽ
4. ଽ଺
ଽ

5. PAT 1 (มี.ค. 55) 5
12. กําหนดให้ จุด A(−1, 1), B(2, 5) และ C(2, −3) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลียม ABC ให้ L เป็นเส้นตรงทีผ่าน
จุด A และจุด B ลากส่วนเส้นตรง CDതതതത ตังฉากกับเส้นตรง L ทีจุด D แล้วเวกเตอร์ ADሬሬሬሬሬറ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. −
଻
ଶହ
ሺ3ଓ̅ − 4ଔ̅ሻ 2. ଻
ଶହ
ሺ3ଓ̅ − 4ଔ̅ሻ 3. −
଻
ଶହ
ሺ3ଓ̅ + 4ଔ̅ሻ 4. ଻
ଶହ
ሺ3ଓ̅ + 4ଔ̅ሻ
13. กําหนดให้ ܽ, ܾ, ܿ, ݀, ‫ݔ‬ และ ‫ݕ‬ เป็นจํานวนจริง และ
‫ܣ‬ = ൤
1 ‫ݔ‬
‫ݕ‬ −1
൨ , ‫ܤ‬ = ቂ
ܽ ܾ
ܿ ݀
ቃ , ‫ܥ‬ = ቂ
−1 0
0 1
ቃ และ I = ቂ
1 0
0 1
ቃ
ถ้า ‫ܣ‬ଶ
= I และ ‫ܤܣ‬ = 2‫ܥ‬ แล้ว ค่าของ detሺ‫ܤ‬ିଵሻ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 0.25 2. 0.5 3. 2 4. 4
14. กําหนดให้ ‫ݑ‬ത และ ‫̅ݒ‬ เป็นเวกเตอร์ใดๆ ซึงไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ พิจารณาข้อความต่อไปนี
ก. |‫ݑ‬ത − ‫̅ݒ‬|ଶ
< |‫ݑ‬ത|ଶ
− |‫̅ݒ‬|ଶ
ข. ถ้า ‫ݑ‬ത ตังฉากกับ ‫̅ݒ‬ แล้ว |‫ݑ‬ത − ‫̅ݒ‬|ଶ
= |‫ݑ‬ത|ଶ
+ |‫̅ݒ‬|ଶ
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

6. 6 PAT 1 (มี.ค. 55)
15. พิจารณาข้อความต่อไปนี
ก. สําหรับ ܽ และ ܾ เป็นจํานวนเต็มบวก จะได้ว่า
∞
=
∑
1n
௔೙ା௕೙
ሺ௔ା௕ሻ೙ =
௔మା௕మ
௔௕
ข. ถ้า ܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … เป็นลําดับเลขคณิตของจํานวนจริง โดยที ௔భା௔మା⋯ା௔೙
௔భା௔మା௔యା⋯ା௔೘
=
௡మ
௠మ
สําหรับจํานวนเต็มบวก ݊ และ ݉ ทีแตกต่างกัน แล้ว ௔೘
௔೙
=
ଶ௠ିଵ
ଶ௡ିଵ
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
16. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดให้ ݂ : R → R เป็นฟังก์ชันทีมีอนุพันธ์ทุกอันดับ โดยที
݂ᇱᇱሺ‫ݔ‬ሻ = 2‫ݔ‬ + 1 และ ݂ᇱሺ2ሻ = 2
สมการของเส้นตรงทีตังฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ‫ݕ‬ = ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ทีจุด (1, 3) คือข้อใดต่อไปนี
1. ‫ݕ‬ = −
ଵ
ଶ
‫ݔ‬ + 2 2. ‫ݕ‬ =
ଵ
ଶ
‫ݔ‬ +
ହ
ଶ
3. ‫ݕ‬ = −
ଵ
ଶ
‫ݔ‬ +
ହ
ଶ
4. ‫ݕ‬ =
ଵ
ଶ
‫ݔ‬ + 2
17. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ให้ ݂ : R → R , ݃ : R → R และ ℎ : R → R เป็นฟังก์ชัน โดยที
݂ሺ‫ݔ‬ሻ =
௔௫ାଵ
௫మାଵ
เมือ ܽ เป็นจํานวนจริง ݃ሺ‫ݔ‬ሻ = ሺ‫ݔ‬ଶ
+ 1ሻ݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ และ ℎሺ‫ݔ‬ሻ = ൝
݂ሺ‫ݔ‬ሻ เมือ ‫ݔ‬ ≥ 2
݃ሺ‫ݔ‬ሻ เมือ ‫ݔ‬ < 2
ถ้าฟังก์ชัน ℎ ต่อเนืองที ‫ݔ‬ = 2 แล้ว ค่าของ 2ℎሺ−2ሻ − ℎሺ2ሻ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 0.6 2. 0.8 3. 1 4. 3

7. PAT 1 (มี.ค. 55) 7
18. ให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ให้ ݂ : R → R , ݃ : R → R และ ℎ : R → R เป็นฟังก์ชันทีมีอนุพันธ์ทุกอันดับ
โดยที ℎሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ଶ
+ 4 , ݃ሺ‫ݔ‬ሻ = ℎሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻ − 1ሻ และ ݂ᇱሺ1ሻ = ݃ᇱሺ1ሻ = 1
แล้วค่าของ ݂ሺ1ሻ เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 2 2. 1.5 3. 1 4. 0.5
19. กําหนดสมการจุดประสงค์ คือ ܲ = 3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ โดยมีอสมการข้อจํากัด ดังนี
‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ ≤ 6 , 2‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ ≤ 8 , −‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ ≤ 1 , ‫ݔ‬ ≥ 0 และ 0 ≤ ‫ݕ‬ ≤ 2
ค่าของ ܲ มีค่ามากสุด เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 10 2. 12 3. ଷ଼
ଷ
4. 18
20. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ของนักเรียนจํานวน 30 คน มีค่าเฉลียเลขคณิตและส่วนเบียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 25
คะแนนและ 5 คะแนน ตามลําดับ ถ้านําคะแนนของนายสายชลและนางสาวฟ้ าซึงสอบได้ 20 คะแนนและ 30
คะแนน ตามลําดับ มารวมด้วยแล้วส่วนเบียงเบนมาตรฐานจะเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

8. 8 PAT 1 (มี.ค. 55)
21. กําหนดให้ ‫ܣ‬ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} สุ่มหาสับเซตของ ‫ܣ‬ ทีมีสมาชิก 3 ตัว ความน่าจะเป็นทีจะได้สับเซต
{ܽ, ܾ, ܿ} ⊂ ‫ܣ‬ โดยที ܽ < ܾ < ܿ และ ܽ, ܾ, ܿ เป็นลําดับเลขคณิต เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. ଺
ଶଵ଴
2. ଽ
ଶଵ଴
3. ଺
ଷହ
4. ଽ
ଷହ
22. ตารางต่อไปนี เป็นข้อมูลเกียวกับอายุของพนักงานจํานวน 50 คน
ถ้าอายุตําสุดของพนักงาน คือ 21 ปี แล้วค่าเฉลียเลขคณิตของ
ข้อมูลชุดนีเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 35 2. 37.5
3. 41 4. 43
23. นักเรียนชันมัธยมศึกษาปีที 6 จํานวน 20 คน แบ่งเป็น 2 กลุ่มๆละ 10 คน ทําแบบทดสอบวัดความถนัดฉบับหนึงมี
คะแนนเต็ม 20 คะแนน ได้คะแนนของนักเรียนแต่ละคนดังนี
พิจารณาข้อความต่อไปนี
ก. ความสามารถของนักเรียนกลุ่มที 1 มีความแตกต่างกันมากกว่านักเรียนกลุ่มที 2
ข. สัมประสิทธิของส่วนเบียงเบนควอร์ไทล์ของกลุ่มที 1 และกลุ่มที 2 เท่ากับ ହ
ଵସ
และ ଷ
ଵସ
ตามลําดับ
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
อายุไม่เกิน (ปี) จํานวน (คน)
25 9
30 17
35 24
40 37
45 43
50 50
กลุ่มที 1 7 6 5 8 3 6 9 7 6 10
กลุ่มที 2 6 9 15 12 1 8 7 7 5 6

9. PAT 1 (มี.ค. 55) 9
24. นิยาม ܽ ∗ ܾ = ܽ௕
สําหรับ ܽ และ ܾ เป็นจํานวนจริงบวกใดๆ
ถ้า ܽ, ܾ และ ܿ เป็นจํานวนจริงบวก แล้วข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ܽ ∗ ሺܾ ∗ ܿሻ = ሺܽ ∗ ܿሻ ∗ ܾ 2. ሺܽ ∗ ܾሻ ∗ ܿ = ܽ ∗ ሺܾܿሻ
3. ܽ ∗ ሺܾ ∗ ܿሻ = ሺܽ ∗ ܾሻ ∗ ܿ 4. ሺܽ + ܾሻ ∗ ܿ = ሺܽ ∗ ܿሻ + ሺܾ ∗ ܿሻ
25. กําหนดให้ ܽ = ඥ7 + 4√3 , ܾ = ඨ2ට2ඥ2√2 … และ ܿ = √2 + √3 ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ଵ
௖
>
ଵ
௔
>
ଵ
௕
2. ଵ
௖
>
ଵ
௕
>
ଵ
௔
3. ଵ
௕
>
ଵ
௔
>
ଵ
௖
4. ଵ
௕
>
ଵ
௖
>
ଵ
௔
ตอนที 2 ข้อ 26 - 50 ข้อละ 7 คะแนน
26. ในการสํารวจสโมสรแห่งหนึงมีสมาชิกจํานวน 100 คน พบว่าชอบอ่านนวนิยายหรือหนังสือพิมพ์หรือนิตยสาร อย่าง
น้อย 1 รายการ และ มี 75 คน ชอบอ่านนวนิยาย
มี 70 คน ชอบอ่านหนังสือพิมพ์ และ
มี 80 คน ชอบอ่านนิตยสาร
มีสมาชิกอย่างน้อยกีคนทีชอบอ่านทังสามรายการ

10. 10 PAT 1 (มี.ค. 55)
27. ให้ ܽ และ ܾ เป็นจํานวนจริง ถ้า ܽ‫ݔ‬ହ
+ ܾ‫ݔ‬ + 4 หารด้วย ሺ‫ݔ‬ − 1ሻଶ
ลงตัว แล้ว ܽ − ܾ เท่ากับเท่าใด
28. จงหาค่าของ 2 sinଶ
60° ሺtan 5° + tan 85°ሻ − 12 sin 70°
29. ให้ ‫ܣ‬ เป็นเซตคําตอบของสมการ arccosሺ‫ݔ‬ሻ = arccos൫‫3√ݔ‬൯ + arccos൫√1 − ‫ݔ‬ଶ൯
และให้ ‫ܤ‬ เป็นเซตคําตอบของสมการ arccosሺ‫ݔ‬ሻ = arcsinሺ‫ݔ‬ሻ + arcsinሺ1 − ‫ݔ‬ሻ
จํานวนสมาชิกของเซต ܲሺ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬ሻ เท่ากับเท่าใด เมือ ܲሺܵሻ แทนเพาเวอร์เซตของเซต ܵ

11. PAT 1 (มี.ค. 55) 11
30. กําหนดให้ ‫,ܣ‬ ‫ܤ‬ และ ‫ܥ‬ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (nonsingular matrix) มิติ 3 × 3
และ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์การคูณ มิติ 3 × 3
ถ้า ‫ܣ‬ = ൥
ܽ ܾ ܿ
݀ ݁ ݂
݃ ℎ ݅
൩ เมือ ܽ, ܾ, ܿ, ݀, ݁, ݂, ݃, ℎ และ ݅ เป็นจํานวนจริง และ ‫ܣ‬ଷ
= 2I , det(‫ܥ‬ିଵ
) = 4 และ
‫ܤ‬௧
‫ܥ‬ = ൥
−3݃ −3ℎ −3݅
−ܽ −ܾ −ܿ
2݀ 2݁ 2݂
൩ แล้ว detሺ‫ܤ‬ሻ เท่ากับเท่าใด
31. ให้ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ହ
+ ܽ‫ݔ‬ସ
+ ܾ‫ݔ‬ଷ
+ ܿ‫ݔ‬ଶ
+ ݀‫ݔ‬ + ݁ เมือ ܽ, ܾ, ܿ, ݀, ݁ เป็นจํานวนจริง
ถ้ากราฟ ‫ݕ‬ = ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ตัดกับกราฟ ‫ݕ‬ = 3‫ݔ‬ + 2 ที ‫ݔ‬ = −1, 0, 1, 2
แล้วค่าของ ݂ሺ3ሻ − ݂ሺ−2ሻ เท่ากับเท่าใด
32. กําหนดให้ ‫ݖ‬ଵ และ ‫ݖ‬ଶ เป็นจํานวนเชิงซ้อน
โดยที |‫ݖ‬ଵ + ‫ݖ‬ଶ| = 3 และ |‫ݖ‬ଵ − ‫ݖ‬ଶ| = 1 (เมือ |‫|ݖ‬ แทนค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเชิงซ้อน ‫ݖ‬)
ค่าของ |‫ݖ‬ଵ|ଶ
+ |‫ݖ‬ଶ|ଶ
เท่ากับเท่าใด

12. 12 PAT 1 (มี.ค. 55)
33. ให้ ‫ܣ‬ เป็นเซตของจํานวนเชิงซ้อน ‫ݖ‬ ทังหมดทีสอดคล้องกับ 2|‫|ݖ‬ − 3‫ݖ‬ = 9i – 2
และ ‫ܤ‬ = ቄ |‫|ݓ‬ଶ
ቚ ‫ݓ‬ =
ሺଵା୧ሻ௭
ଶା୧
เมือ ‫ݖ‬ ∈ ‫ ܣ‬ቅ เมือ iଶ
= −1
ผลบวกของสมาชิกทังหมดในเซต ‫ܤ‬ เท่ากับเท่าใด
34. ลําดับเรขาคณิตชุดหนึง มีอัตราส่วนร่วมเป็นจํานวนจริงบวก
ถ้าผลบวกของสองพจน์แรก เท่ากับ 20 และผลบวกของสีพจน์แรก เท่ากับ 65
แล้ว ผลบวกของหกพจน์แรก เท่ากับเท่าใด
35. จงหาค่าของ ∞→n
lim
ଵ
௡
ቆට1 +
ଵ
ଵమ +
ଵ
ଶమ + ට1 +
ଵ
ଶమ +
ଵ
ଷమ + ⋯ + ට1 +
ଵ
௡మ +
ଵ
ሺ௡ାଵሻమቇ

13. PAT 1 (มี.ค. 55) 13
36. กําหนดให้ ‫ݐ‬௡ = 2௡
เมือ ݊ = 1, 2, 3, … และ ܽ௡ = 5௧೙ + 5ି௧೙ เมือ ݊ = 1, 2, 3, …
ค่าของ ∞→n
lim
௔೙శభ
௔భ௔మ…௔೙
เท่ากับเท่าใด
37. กําหนดให้ R แทนเซตของจํานวนจริง ถ้า ݂ : R → R และ ݃ : R → R เป็นฟังก์ชัน โดยที ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 2‫ݔ‬ + 3
และ ሺ݃ ∘ ݂ሻሺ‫ݔ‬ሻ = 8‫ݔ‬ଷ
+ 44‫ݔ‬ଶ
+ 80‫ݔ‬ + 48 สําหรับทุกจํานวนจริง ‫ݔ‬
แล้วค่าของ ‫׬‬ ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ݀‫ݔ‬
଺
଴
เท่ากับเท่าใด
38. กําหนดให้ R แทนเซตของจําวนจริง กําหนด ݃ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ + 3 สําหรับทุกจํานวนจริง ‫ݔ‬
ถ้า ݂ : R → R เป็นฟังก์ชัน และสอดคล้องกับ
ሺ݂ ∘ ݃ሻሺ‫ݔ‬ሻ + 2ሺ݂ ∘ ݃ሻሺ1 − ‫ݔ‬ሻ = 6‫ݔ‬ଶ
− 10‫ݔ‬ + 17
2ሺ݂ ∘ ݃ሻሺ‫ݔ‬ሻ + ሺ݂ ∘ ݃ሻሺ1 − ‫ݔ‬ሻ = 6‫ݔ‬ଶ
− 2‫ݔ‬ + 13
ค่าของ ݂ሺ383ሻ เท่ากับเท่าใด

14. 14 PAT 1 (มี.ค. 55)
39. กําหนดให้ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ଷ
+ ܽ‫ݔ‬ + ܾ เมือ ܽ และ ܾ เป็นจํานวนจริงทีแตกต่างกัน และให้ Lଵ และ Lଶ เป็นเส้นสัมผัส
เส้นโค้ง ที ‫ݔ‬ = ܽ และ ‫ݔ‬ = ܾ ตามลําดับ
ถ้า Lଵ ขนานกับ Lଶ และ
0
lim
→h
ଽ௛
௙ሺଵା௛ሻି௙ሺଵሻ
= 1 แล้วค่าของ ‫׬‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬
ଶ
଴
เท่ากับเท่าใด
40. จงหาค่าของ
4
lim
π
→x
൫ୡ୭୲య ௫ିଵ൯ୡ୭ୱୣୡమ ௫
ଵାୡ୭ୱଶ௫ିଶୱ୧୬మ ௫
41. ให้ ܵ เป็นเซตของพหุนาม ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ܽ‫ݔ‬ଷ
+ ܾ‫ݔ‬ଶ
+ ܿ‫ݔ‬ + ݀ โดยที ܽ, ܾ, ܿ, ݀ เป็นสมาชิกในเซต {0, 1, 2, … }
ซึงมีสมบัติสอดคล้องกับ 2ܽ + ܾ + ܿ + ݀ = 4 จํานวนสมาชิกของเซต ܵ เท่ากับเท่าใด

15. PAT 1 (มี.ค. 55) 15
42. ข้อมูลชุดหนึงประกอบด้วยจํานวน 11, 3, 6, 3, 5, 3, ‫ݔ‬ ให้ ܵ เป็นเซตของ ‫ݔ‬ ทีเป็นไปได้ทังหมด ซึงทําให้ ค่าเฉลีย
เลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ของข้อมูลชุดนี มีค่าแตกต่างกันทังหมด และ ในบรรดาค่าเฉลียเลขคณิต มัธยฐาน
และฐานนิยม เหล่านีนํามาจัดเรียงกันใหม่จากน้อยไปมากแล้วเป็นลําดับเลขคณิต จงหาผลบวกของสมาชิกทังหมด
ในเซต ܵ
43. มีหนังสือทีแตกต่างกัน 5 เล่ม คือ หนังสือ ก หนังสือ ข หนังสือ ค หนังสือ ง และ หนังสือ จ สุ่มเลือกหนังสือเหล่านีมา
ครังละ 3 เล่ม ความน่าจะเป็นทีจะได้หนังสือ ก หรือ หนังสือ ข เท่ากับเท่าใด
ข้อมูลต่อไปนี สําหรับตอบคําถามข้อ 44 และข้อ 45
ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึง มีนักเรียนจํานวน 30 คน ปรากฏว่ามีนักเรียน 17 คน สอบได้
คะแนนในช่วง 10 – 39 คะแนน มีนักเรียน 10 คน สอบได้คะแนนในช่วง 40 – 49 คะแนน และมีนักเรียน 3 คน
สอบได้คะแนนในช่วง 50 – 59 คะแนน
44. ถ้าแบ่งคะแนนเป็นเกรด 3 ระดับ คือ เกรด A เกรด B และเกรด C โดยที 10% ของนักเรียนได้เกรด A และ 20%
ของนักเรียนได้เกรด B แล้ว คะแนนสูงสุดของเกรด C เท่ากับกีคะแนน

16. 16 PAT 1 (มี.ค. 55)
45. จากข้อมูลข้างต้น สมมุติว่าคะแนนมีการแจกแจงปกติ มีสัมประสิทธิการแปรผันเป็น ଵ
ଷ
ถ้าคะแนนสูงสุดของเกรด B
มีคะแนนมาตรฐานเป็น 1.5 แล้ว คะแนนเฉลียของนักเรียนห้องนีเท่ากับกีคะแนน
46. จงหาจํานวนวิธีทังหมดในการจัด ชาย 3 คน และหญิง 3 คน ซึงมี นาย ก. และ นางสาว ข. รวมอยู่ด้วย ให้ยืนเป็น
แถวตรง 2 แถวๆละ 3 คน โดยที นาย ก. และ นางสาว ข. ไม่ได้ยืนติดกันในแถวเดียวกัน
47. ถ้า ݀ เป็นจํานวนเต็มบวกทีมากกว่า 1 และจํานวน 1059 , 1417 และ 2312 หารด้วย ݀ แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน
คือ ‫ݎ‬ แล้วค่าของ ݀ + ‫ݎ‬ เท่ากับเท่าใด

17. PAT 1 (มี.ค. 55) 17
48. กําหนดให้ ܽ, ܾ, ܿ และ ݀ เป็นจํานวนจริง ถ้ากราฟ ‫ݕ‬ = −|‫ݔ‬ − 1 − ܽ| + ܾ และ
กราฟ ‫ݕ‬ = |‫ݔ‬ − ܿ| − ݀ ตัดกันทีจุด (2, 5) และ (8, 3) แล้วค่าของ ܽ + ܾ + ܿ + ݀ เท่ากับเท่าใด
49. กําหนดให้ ܾܽ เป็นจํานวนสองหลัก โดยที ܽ, ܾ ∈ {1, 2, … , 9} และ ܽ เท่ากับสองเท่าของ ܾ
ถ้า (310 × ܾܽ) − (465 × ܾܽ) = 2790 แล้ว ܽ + ܾ เท่ากับเท่าใด
50. กําหนด ܵ เป็นเซตของ (ܽ, ܾ, ܿ, ݀, ݁, ݂) โดยที ܽ, ܾ, ܿ, ݀, ݁, ݂ ∈ {0, 1, 2, … , 9} ซึงมีสมบัติสอดคล้องกับ
ܽଷ
− ܿଶ
= 4 , 2௕
− ݀ଶ
= 7 และ ݁ଷ
− ݂ଶ
= −1 จํานวนสมาชิกของเซต ܵ เท่ากับเท่าใด

18. 18 PAT 1 (มี.ค. 55)
เฉลย
1. 2 11. 3 21. 4 31. 135 41. 22
2. 3 12. 3 22. 1 32. 5 42. 22
3. 1 13. 1 23. 4 33. 10 43. 0.9
4. 4 14. 3 24. 2 34. 166.25 44. 43.5
5. 2 15. 1 25. 4 35. 1 45. 33
6. 4 16. 2 26. 25 36. 24.96 46. 528
7. 1 17. 4 27. 6 37. 990 47. 343
8. 3 18. 2 28. 6 38. 763 48. 15
9. 2 19. 3 29. 1 39. 4 49. 9
10. 1 20. 2 30. 48 40. 3 50. 6
แนวคิด
1. 2
݊ሺ‫ܣ‬ᇱ
∪ ‫ܤ‬ᇱሻ = 10 → ݊ሺ‫ܤ‬ሻ = 2 ; ݊(‫ܣ‬ ∩ ‫ܤ‬ᇱ
) = 4 = ݊ሺ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬ሻ
จํานวนเซต ‫ܥ‬ = สับเซตทังหมดของ ‫ܣ‬ − สับเซตของ ‫ܣ‬ ที ∩ ‫ܤ‬ แล้วเป็น ∅ = 2଺
− 2଺ିଶ
= 64 – 16 = 48
2. 3
≡ ሾT ∧ ሺ~‫ݍ‬ ∨ ~‫݌‬ሻሿ ⇒ ሾ‫ݎ‬ ∨ Fሿ ≡ ሺ~‫ݍ‬ ∨ ~‫݌‬ሻ ⇒ ‫ݎ‬ ≡ ሺ‫ݍ‬ ∧ ‫݌‬ሻ ∨ ‫ݎ‬
3. 1
‫ܣ‬ แบ่ง 3 กรณี : (−∞, −
ଵ
ଷ
) ได้ −4, … , −1 ; [−
ଵ
ଷ
, 1) ได้ 0 ; [1, ∞) ไม่มีคําตอบ → −4, … , 0
‫ܤ‬ ไม่สลับ ± ตรง 1 ได้ (−2, −1) ∪ (−1, 0)
4. 4
‫ݕ‬ =
௫ାଵ
|௫|ାଵ
→ D௥ = R → ก. ผิด ; ถ้า ‫ݔ‬ ≥ 0 ได้ ‫ݕ‬ =
௫ାଵ
௫ାଵ
= 1 หมด → many to one → ข. ผิด
5. 2
‫ܣ‬ กับ ‫ܤ‬ : sin ߠ < 1 , tan ߠ < cot ߠ → ሺsin ߠሻ୲ୟ୬ఏ
> ሺsin ߠሻୡ୭୲ఏ
→ ‫ܣ‬ > ‫ܤ‬
‫ܥ‬ กับ ‫ܦ‬ : cot ߠ > 1 , sin ߠ < cosߠ → ሺcot ߠሻୱ୧୬ఏ
< ሺcot ߠሻୡ୭ୱఏ
→ ‫ܥ‬ < ‫ܦ‬
‫ܣ‬ กับ ‫ܥ‬ : ‫ܣ‬ ฐาน < 1 ยกกําลังเลขบวก ได้ ‫ܣ‬ < 1 , ‫ܥ‬ ฐาน > 1 ยกกําลังเลขบวก → ‫ܥ‬ > 1 → ‫ܣ‬ < ‫ܥ‬
6. 4
ሺܽ − 2ሻଶ
= ܽଶ
+ 5ଶ
− 2ܽሺ5ሻ cos 60° → ܽ = 21
7. 1
ܿ =
ଵଶ
ଶ
= 6 ; ܽଶ
− ܾଶ
= 36 ,
ଶ௕మ
௔
= 10 → ܽଶ
= 81 , ܾଶ
= 45
8. 3
ሺ‫ݔ‬ − 3ሻଶ
+ ሺ‫ݕ‬ + 2ሻଶ
= 9 → F(3, −2) ; แทน ‫ݔ‬ = 0 → ตัดแกน ‫ݕ‬ ที V(0, −2) → ܿ = 3
AB = ลาตัสเรคตัม = ยาว 4ܿ = 12 → พท =
ଵ
ଶ
× 12 × 3 = 18

19. PAT 1 (มี.ค. 55) 19
9. 2
ฐาน < 1 ต้องกลับเครืองหมาย → 5‫ݔ‬ଶ
− 23‫ݔ‬ + 3 < −‫ݔ‬ − 5 → ‫ݔ‬ ∈ ቀ
ଶ
ହ
, 4ቁ
10. 1
ሺlog௔ ‫ݔ‬ሻሺlog௕ ‫ݔ‬ − log௖ ‫ݔ‬ሻ =
ଵ
୪୭୥ೣ ௔
ቀ
ଵ
୪୭୥ೣ ௕
−
ଵ
୪୭୥ೣ ௖
ቁ =
୪୭୥ೣ(௖/௕)
ሺ୪୭୥ೣ ௔ሻሺ୪୭୥ೣ ௕ሻሺ୪୭୥ೣ ௖ሻ
ทํานองเดียวกัน ฝังขวาได้ =
୪୭୥ೣ(௕/௔)
ሺ୪୭୥ೣ ௔ሻሺ୪୭୥ೣ ௕ሻሺ୪୭୥ೣ ௖ሻ
เท่ากัน เพราะ ܽܿ = ܾଶ
→
௖
௕
=
௕
௔
logሺ௖ା௕ሻ ܽ + logሺ௖ି௕ሻ ܽ =
ଵ
୪୭୥ೌ ௖ା௕
+
ଵ
୪୭୥ೌ ௖ି௕
=
୪୭୥ೌ ௖మି௕మ
ሺ୪୭୥ೌ ௖ା௕ሻሺ୪୭୥ೌ ௖ି௕ሻ
=
୪୭୥ೌ ௔మ
ሺ୪୭୥ೌ ௖ା௕ሻሺ୪୭୥ೌ ௖ି௕ሻ
=
ଶ
ሺ୪୭୥ೌ ௖ା௕ሻሺ୪୭୥ೌ ௖ି௕ሻ
= ทางขวา
11. 3
‫ܣ‬ : √‫ݔ‬ + 1 + 5 = ‫ݔ‬ → ‫ݔ‬ ≥ 5 และ ‫ݔ‬ଶ
− 11‫ݔ‬ + 24 = 0 → ‫ݔ‬ = 3, 8
‫ܤ‬ : ሺ3‫ݔ‬ሻሺ9‫ݔ‬ሻ
భ
మሺ27‫ݔ‬ሻ
భ
య = ሺ2ଷሻሺ‫ݔ‬ሻ
మ
ల → ‫ݔ‬ =
ସ
ଽ
12. 3
ADሬሬሬሬሬറ = โปรเจคชันของ ACሬሬሬሬሬറ บน ABሬሬሬሬሬറ = ൫หACሬሬሬሬሬറห cosߠ൯
୅୆ሬሬሬሬሬሬറ
ห୅୆ሬሬሬሬሬሬറห
= ൬
୅େሬሬሬሬሬറ ∙ ୅୆ሬሬሬሬሬሬറ
ห୅୆ሬሬሬሬሬሬറห
൰
୅୆ሬሬሬሬሬሬറ
ห୅୆ሬሬሬሬሬሬറห
(ถ้า ߠ > 90° มันจะปรับเครืองหมายให้อัตโนมัติ) แทน ABሬሬሬሬሬറ = ൤
5 − 1
2 − ሺ−1ሻ
൨ = ቂ
4
3
ቃ , ACሬሬሬሬሬറ = ൤
−3 − 1
2 − ሺ−1ሻ൨ = ቂ
−4
3
ቃ
ADሬሬሬሬሬറ = ൬
୅େሬሬሬሬሬറ ∙ ୅୆ሬሬሬሬሬሬറ
ห୅୆ሬሬሬሬሬሬറห
൰
୅୆ሬሬሬሬሬሬറ
ห୅୆ሬሬሬሬሬሬറห
= ቀ
ሺସሻሺିସሻାሺଷሻሺଷሻ
ହ
ቁ ቀ
ଵ
ହ
ቂ
4
3
ቃቁ = −
଻
ଶହ
ቂ
4
3
ቃ
13. 1
൤
1 ‫ݔ‬
‫ݕ‬ −1
൨ ൤
1 ‫ݔ‬
‫ݕ‬ −1
൨ = ቂ
1 0
0 1
ቃ → 1 + ‫ݕݔ‬ = 1 → ‫ݕݔ‬ = 0 → det ‫ܣ‬ = (1)(−1) – ‫ݕݔ‬ = −1
เอา ‫ܤܣ‬ = 2‫ܥ‬ มาใส่ det ตลอด ได้ det ‫ܣ‬ det ‫ܤ‬ = 4 det ‫ܥ‬ → det ‫ܤ‬ =
ସሺିଵሻ
ିଵ
= 4
14. 3
ก. ถ้า ‫ݑ‬ത = ‫̅ݒ‬ ได้ 0 < 0 ผิด (ถึง ‫ݑ‬ത ≠ ‫̅ݒ‬ ก็ยังผิด เพราะ ‫ݑ‬ത , ‫̅ݒ‬ , ‫ݑ‬ത − ‫̅ݒ‬ ประกอบเป็นสามเหลียม ก. ผิด ในกรณี
สามเหลียมมุมป้ าน) ; ข ถูก จากพีทากอรัส
15. 1
∞
=
∑
1n
௔೙ା௕೙
ሺ௔ା௕ሻ೙ =
∞
=
∑
1n
௔೙
ሺ௔ା௕ሻ೙ +
∞
=
∑
1n
௕೙
ሺ௔ା௕ሻ೙ =
ೌ
ೌశ್
ଵ ି
ೌ
ೌశ್
+
್
ೌశ್
ଵ ି
್
ೌశ್
=
௔
௕
+
௕
௔
=
௔మା௕మ
௔௕
௔భା௔మା⋯ା௔೙
௔భା௔మା௔యା⋯ା௔೘
=
೙
మ
ሺଶ௔భାሺ௡ିଵሻௗሻ
೘
మ
ሺଶ௔భାሺ௠ିଵሻௗሻ
=
௡మ
௠మ →
ଶ௔భାሺ௡ିଵሻௗ
ଶ௔భାሺ௠ିଵሻௗ
=
௡
௠
→ 2ܽଵ݉ + ݉݊݀ − ݉݀ = 2ܽଵ݊ + ݉݊݀ − ݊݀ → ሺ2ܽଵ − ݀ሻሺ݉ − ݊ሻ = 0 แต่ ݉ ≠ ݊ ดังนัน 2ܽଵ = ݀
จะได้ ௔೘
௔೙
=
௔భାሺ௠ିଵሻௗ
௔భାሺ௡ିଵሻௗ
=
௔భାሺ௠ିଵሻ(ଶ௔భ)
௔భାሺ௡ିଵሻ(ଶ௔భ)
=
௔భ൫ଵାሺ௠ିଵሻሺଶሻ൯
௔భ൫ଵାሺ௡ିଵሻሺଶሻ൯
=
ଶ௠ିଵ
ଶ௡ିଵ
16. 2
݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ − 4 → ที (1, 3) ชัน = −2 → เส้นตรงชัน =
ଵ
ଶ
→ สมการคือ ௬ିଷ
௫ିଵ
=
ଵ
ଶ
→ ‫ݕ‬ =
ଵ
ଶ
‫ݔ‬ +
ହ
ଶ

20. 20 PAT 1 (มี.ค. 55)
17. 4
݃ሺ‫ݔ‬ሻ = ሺ‫ݔ‬ଶ
+ 1ሻ ቀ
൫௫మାଵ൯ሺ௔ሻିሺ௔௫ାଵሻ(ଶ௫)
ሺ௫మାଵሻమ ቁ =
௔ିଶ௫ି௔௫మ
௫మାଵ
ℎ ต่อเนือง → ݂ሺ2ሻ = ݃ሺ2ሻ →
ଶ௔ାଵ
ହ
=
௔ିସିସ௔
ହ
→ ܽ = −1
2ℎሺ−2ሻ − ℎሺ2ሻ = 2݃ሺ−2ሻ − ݂ሺ2ሻ = 2 ቀ
ିଵାସାସ
ହ
ቁ − ቀ−
ଵ
ହ
ቁ = 3
18. 2
݃ሺ‫ݔ‬ሻ = ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻ − 1ሻଶ
+ 4 → ݃ᇱሺ‫ݔ‬ሻ = 2ሺ݂ሺ‫ݔ‬ሻ − 1ሻ൫݂ᇱሺ‫ݔ‬ሻ൯ → 1 = 2ሺ݂ሺ1ሻ − 1ሻ(1) → ݂ሺ1ሻ = 1.5
19. 3
วาดรูป ได้จุดต้องสงสัยคือ (2, 2), (
ଵ଴
ଷ
,
ସ
ଷ
), (4, 0) ได้มากสุดที (
ଵ଴
ଷ
,
ସ
ଷ
) =
ଷ଼
ଷ
20. 2
เดิม ∑ ‫ݔ‬ = (25)(30) = 750 ,
∑ ௫మ
ଷ଴
− 25ଶ
= 5ଶ
→ ∑ ‫ݔ‬ଶ
= 19500
ใหม่ ∑ ‫ݔ‬ = 750+20+30 = 800 → ‫̅ݔ‬ =
଼଴଴
ଷଶ
= 25 , ∑ ‫ݔ‬ଶ
= 19500+20ଶ
+30ଶ
= 20800
‫ݏ‬ = ට
ଶ଴଼଴଴
ଷଶ
− 25ଶ = 5
21. 4
݀ = 1 : 123, 234, … , 567 = 5 ; ݀ = 2 : 135, 246, 357 = 3 ; ݀ = 3 : 147 = 1 →
ହାଷାଵ
൫ళ
య൯
22. 1
݀̅ =
ଽሺିଷሻା଼ሺିଶሻା଻ሺିଵሻା଴ା଺(ଵ)ା଻(ଶ)
ହ଴
=
ିଷ଴
ହ଴
= −0.6
‫̅ݔ‬ = (−0.6)(5) + 38 = 35
23. 4
ข้อ ก. ต้องวัดโดยใช้การกระจายสัมพัทธ์ ดังนัน จะทําข้อ ข. ก่อน แล้วใช้ข้อ ข. มาตัดสินข้อ ก.
ข้อ ข. เรียงข้อมูลแต่ละกลุ่ม จากน้อยไปมากได้ดังนี
Qଵ = ตัวที (ଵ)ሺଵ଴ାଵሻ
ସ
= ตัวที 2.75 ; Qଷ = ตัวที (ଷ)ሺଵ଴ାଵሻ
ସ
= ตัวที 8.25
กลุ่ม 1 : Qଵ= 5 + 0.75(6 − 5) = 5.75 , Qଷ= 8 + 0.25(9 − 8) = 8.25 →
଼.ଶହିହ.଻ହ
଼.ଶହିହ.଻ହ
=
ହ
ଶ଼
กลุ่ม 2 : Qଵ= 5 + 0.75(6 − 5) = 5.75 , Qଷ= 9 + 0.25(12 − 9) = 9.75 →
ଽ.଻ହିହ.଻ହ
ଽ.଻ହିହ.଻ହ
=
଼
ଷଵ
ดังนัน ข ผิด และเนืองจาก ହ
ଶ଼
<
଼
ଷଵ
ดังนัน กลุ่ม 1 กระจายน้อยกว่า จึงแตกต่างกันน้อยกว่า ดังนัน ก ผิด
21 - 25 9
26 - 30 8
31 - 35 7
36 - 40 13
41 - 45 6
46 - 50 7
กลุ่มที 1 3 5 6 6 6 7 7 8 9 10
กลุ่มที 2 1 5 6 6 7 7 8 9 12 15

21. PAT 1 (มี.ค. 55) 21
24. 2
เพราะ ൫ܽ௕
൯
௖
= ܽ௕௖
25. 4
ܽ = 2 + √3 ; ܾଶ
= 2ට2ඥ2√2 … = 2ܾ → ܾ = 0 , 2 ; → ܾ < ܿ < ܽ
26. 25
ܽ + ܾ + ܿ + 2݀ + 2݁ + 2݂ + 3݃ = 75 + 70 + 80 = 225 …(1)
ܽ + ܾ + ܿ + ݀ + ݁ + ݂ + ݃ = 100 …(2)
(1) − 2(2) : ݃ − ܽ − ܾ − ܿ = 25
27. 6
ܽ + ܾ + 4 = 0 …(1)
ܽ‫ݔ‬ହ
+ ܾ‫ݔ‬ + 4 หารสังเคราะห์ด้วย ‫ݔ‬ − 1 ได้ ܽ‫ݔ‬ସ
+ ܽ‫ݔ‬ଷ
+ ܽ‫ݔ‬ଶ
+ ܽ‫ݔ‬ + ܽ + ܾ → 5ܽ + ܾ = 0 …(2)
แก้ (1) , (2) ได้ ܽ = 1 , ܾ = −5
28. 6
=
ଷ
ଶ
ቀ
ୱ୧୬ହ°
ୡ୭ୱହ°
+
ୡ୭ୱହ°
ୱ୧୬ହ°
ቁ − 12 sin 70° =
ଷ
ୱ୧୬ଵ଴°
− 12 sin 70° =
ଷା଺ሺୡ୭ୱ଼଴°ିୡ୭ୱ଺଴°ሻ
ୱ୧୬ଵ଴°
=
଺ୡ୭ୱ଼଴°
ୱ୧୬ଵ଴°
= 6
29. 1
acos൫‫3√ݔ‬൯ = acosሺ‫ݔ‬ሻ − acos൫√1 − ‫ݔ‬ଶ൯ ใส่ cos ตลอด ได้ ‫3√ݔ‬ = ‫1√ݔ‬ − ‫ݔ‬ଶ + √1 − ‫ݔ‬ଶ|‫|ݔ‬
ถ้า ‫ݔ‬ < 0 ได้ ‫3√ݔ‬ = 0 ขัดแย้ง ดังนัน ‫ݔ‬ ≥ 0 และ ‫3√ݔ‬ = 2‫1√ݔ‬ − ‫ݔ‬ଶ → ‫ݔ‬ = 0 ,
ଵ
ଶ
ตรวจคําตอบ ได้ทังสองตัว
แทน 0 ,
ଵ
ଶ
ใน ‫ܤ‬ จริงทังสองตัว → ‫ܣ‬ − ‫ܤ‬ = ∅
30. 48
detሺ‫ܣ‬ଷሻ = 8 det(I) → det ‫ܣ‬ = 2 ; detሺ‫ܤ‬௧
‫ܥ‬ሻ = ሺ−3ሻሺ−1ሻሺ2ሻሺ−1ሻሺ−1ሻ det ‫ܣ‬ = 12
detሺ‫ܤ‬௧
‫ܥ‬ሻ = det ‫ܤ‬ ∙
ଵ
ସ
→ det ‫ܤ‬ = (12)(4)
31. 135
หาจุดตัด แก้ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 3‫ݔ‬ + 2 → ݂ሺ‫ݔ‬ሻ − 3‫ݔ‬ − 2 = ሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ‫ݔ‬ሻሺ‫ݔ‬ − 1ሻሺ‫ݔ‬ − 2ሻሺ‫ݔ‬ − ݇ሻ , ݇ ∈ {−1,0,1,2}
݂ሺ3ሻ = (4)(3)(2)(1)(3 − ݇) + 11 = 83 − 24݇
݂ሺ−2ሻ = (−1)(−2)(−3)(−4)(−2 − ݇) − 4 = −52 − 24݇
32. 5
จากสูตร |‫ݖ‬ + ‫|ݓ‬ଶ
= |‫|ݖ‬ଶ
+ |‫|ݓ‬ଶ
+ ሺ‫ݓݖ‬ഥ + ‫̅ݖ‬‫ݓ‬ሻ และ |‫ݖ‬ − ‫|ݓ‬ଶ
= |‫|ݖ‬ଶ
+ |‫|ݓ‬ଶ
− ሺ‫ݓݖ‬ഥ + ‫̅ݖ‬‫ݓ‬ሻ
บวกกัน จะได้ |‫ݖ‬ଵ + ‫ݖ‬ଶ|ଶ
+ |‫ݖ‬ଵ − ‫ݖ‬ଶ|ଶ
= 2|‫ݖ‬ଵ|ଶ
+ 2|‫ݖ‬ଶ|ଶ
แต่ |‫ݖ‬ଵ + ‫ݖ‬ଶ|ଶ
+ |‫ݖ‬ଵ − ‫ݖ‬ଶ|ଶ
= 3ଶ
+ 1ଶ
= 10 = 2|‫ݖ‬ଵ|ଶ
+ 2|‫ݖ‬ଶ|ଶ
→ |‫ݖ‬ଵ|ଶ
+ |‫ݖ‬ଶ|ଶ
= 5
ܽ ܾ
ܿ
݀
݁
݂
݃

22. 22 PAT 1 (มี.ค. 55)
33. 10
2|‫|ݖ‬ = 3‫ݖ‬ + 9i − 2 → ฝังซ้ายเป็น R → ‫ݖ‬ = ܽ − 3i → 2√ܽଶ + 9 = 3ܽ − 2 → ܽ = −
଼
ହ
, 4
|‫|ݓ‬ଶ
= ൬
√ଵమାଵమ√ସమାଷమ
√ଶమାଵమ
൰
ଶ
= 10
34. 166.25
ܽଵ + ܽଵ‫ݎ‬ = 20 ; ܽଵ‫ݎ‬ଶ
+ ܽଵ‫ݎ‬ଷ
= 65 − 20 = 45 = ‫ݎ‬ଶሺܽଵ + ܽଵ‫ݎ‬ሻ = ‫ݎ‬ଶ
(20) → ‫ݎ‬ଶ
=
ସହ
ଶ଴
=
ଽ
ସ
ܽଵ‫ݎ‬ସ
+ ܽଵ‫ݎ‬ହ
= ‫ݎ‬ସሺܽଵ + ܽଵ‫ݎ‬ሻ = ቀ
ଽ
ସ
ቁ
ଶ
(20) = 101.25 → 65 + 101.25
35. 1
ට1 +
ଵ
௡మ +
ଵ
ሺ௡ାଵሻమ = ට
௡మሺ௡ାଵሻమା௡మାଶ௡ାଵା௡మ
௡మሺ௡ାଵሻమ = ට
௡మሺ௡ାଵሻమାଶ௡ሺ௡ାଵሻାଵ
௡మሺ௡ାଵሻమ = ට
ሺ௡ሺ௡ାଵሻାଵሻమ
௡మሺ௡ାଵሻమ =
௡ሺ௡ାଵሻାଵ
௡ሺ௡ାଵሻ
= 1 +
ଵ
௡(௡ାଵ)
= 1 +
ଵ
௡
−
ଵ
௡ିଵ
→ เทเลสโคป ได้ ∞→n
lim
ଵ
௡
ሺ݊ + 1ሻ = 1
36. 24.96
เอา 5ଶ
− 5ିଶ
คูณบนล่าง ข้างล่างจะเข้าสูตร นଶ
− ลଶ
ได้เรือยๆ สุดท้าย ได้ 5ଶ೙శభ
− 5ିଶ೙శభ
=
൫ହమିହషమ൯ቀହమ೙శభ
ାହషమ೙శభ
ቁ
ହమ೙శభ
ିହషమ೙శభ = 25 −
ଵ
ଶହ
37. 990
݇ = 2‫ݔ‬ + 3 → ‫ݔ‬ =
௞ିଷ
ଶ
→ ݃ሺ݇ሻ = ሺ݇ଷ
− 9݇ଶ
+ 27݇ − 27ሻ + 11ሺ݇ଶ
− 6݇ + 9ሻ + 40ሺ݇ − 3ሻ + 48
= ݇ଷ
+ 2݇ଶ
+ ݇ → ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ = 2݇ଷ
+ 4݇ଶ
+ 2݇ + 3 →
ଶ൫଺ర൯
ସ
+
ସ൫଺య൯
ଷ
+
ଶ൫଺మ൯
ଶ
+ 3ሺ6ሻ = 990
38. 763
ሺ݂ ∘ ݃ሻሺ‫ݔ‬ሻ = ݂൫݃ሺ‫ݔ‬ሻ൯ จะหา ݂ሺ383ሻ ต้องให้ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ + 3 = 383 → ‫ݔ‬ = −20, 19
แทน ‫ݔ‬ = −20 ได้ ݂ሺ383ሻ + 2ሺ݂ ∘ ݃ሻሺ21ሻ = 2617 …(1) กับ 2݂ሺ383ሻ + ሺ݂ ∘ ݃ሻሺ21ሻ = 2453 …(2)
2(2) − (1) ได้ 3݂ሺ383ሻ = 2289
39. 4
0
lim
→h
௙ሺଵା௛ሻି௙ሺଵሻ
௛
= 9 = ݂ᇱሺ1ሻ = 3ሺ1ሻଶ
+ ܽ → ܽ = 6 ; Lଵ ขนาน Lଶ → 3ܽଶ
+ ܽ = 3ܾଶ
+ ܽ
แต่ ܽ, ܾ ต่างกัน → ܾ = −6 ; ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ଷ
+ 6‫ݔ‬ − 6 →
ଶర
ସ
+
଺൫ଶమ൯
ଶ
− 6ሺ2ሻ = 4
40. 3
=
ሺୡ୭୲௫ିଵሻ൫ୡ୭୲మ ௫ାୡ୭୲௫ାଵ൯ୡ୭ୱୣୡమ ௫
ଶୡ୭ୱమ ௫ିଶୱ୧୬మ ௫
=
ቀ
ౙ౥౩ ೣష౩౟౤ ೣ
౩౟౤ ೣ
ቁ൫ୡ୭୲మ ௫ାୡ୭୲௫ାଵ൯ୡ୭ୱୣୡమ ௫
ଶሺୡ୭ୱ௫ିୱ୧୬௫ሻሺୡ୭ୱ௫ାୱ୧୬௫ሻ
=
ቀ
భ
౩౟౤ ೣ
ቁ൫ୡ୭୲మ ௫ାୡ୭୲௫ାଵ൯ୡ୭ୱୣୡమ ௫
ଶሺୡ୭ୱ௫ାୱ୧୬௫ሻ
→
൫√ଶ൯ሺଵାଵାଵሻ൫√ଶ൯
మ
ଶ൬
√మ
మ
ା
√మ
మ
൰
= 3

23. PAT 1 (มี.ค. 55) 23
41. 22
กรณี ܽ = 2 → ܾ + ܿ + ݀ = 0 → 0,0,0 → 1 แบบ
กรณี ܽ = 1 → ܾ + ܿ + ݀ = 2 → 0,0,2 กับ 0,1,1 → 2 ቀ
ଷ!
ଶ!
ቁ แบบ
กรณี ܽ = 0 → ܾ + ܿ + ݀ = 4 → 0,0,4 กับ 0,1,3 กับ 0,2,2 กับ 1,1,2 → 3 ቀ
ଷ!
ଶ!
ቁ + 3! แบบ
บวกทุกกรณี ได้ 1 + 5ቀ
ଷ!
ଶ!
ቁ + 3! = 22
42. 22
เรียง ได้ 3, 3, 3, 5, 6, 11 ยังไม่รู้ตําแหน่ง ‫ݔ‬ → Mode = 3 แน่ และ ‫ݔ‬ ต้อง > 3 ไม่งัน Med = Mode
จะได้ ‫̅ݔ‬ =
ଷାଷାଷାହା଺ାଵଵା௫
଻
=
ଷଵା௫
଻
>
ଷଵାଷ
଻
= 4.85 และ Med = ቄ
‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ∈ ሺ3, 5ሿ
5 ‫ݔ‬ > 5
กรณี Med = ‫ݔ‬ : กรณี 3, ‫̅ݔ‬, Med เป็นเลขคณิตไม่ได้ เพราะ ‫̅ݔ‬ > 4.85 และ Med = ‫ݔ‬ ∈ ሺ3, 5ሿ
กรณี 3, Med, ‫̅ݔ‬ ได้ ଷଵା௫
଻
= 2‫ݔ‬ − 3 → ‫ݔ‬ = 4
กรณี Med = 5 : กรณี 3, ‫̅ݔ‬, 5 ไม่ได้ เพราะ ‫̅ݔ‬ > 4.85 กรณี 3, 5, ‫̅ݔ‬ ได้ ଷଵା௫
଻
= 7 → ‫ݔ‬ = 18
43. 0.9
ไม่ได้ (ก หรือ ข) มีแบบเดียว คือ ค ง จ → 1 −
ଵ
൫ఱ
య൯
44. 43.5
สูงสุดของ C = P଻଴ = ตัวที ଻଴ሺଷ଴ሻ
ଵ଴଴
= ตัวที 21 = 39.5 + ቀ
ଶଵିଵ଻
ଵ଴
ቁ 10
45. 33
สูงสุดของ B = Pଽ଴ = ตัวที ଽ଴ሺଷ଴ሻ
ଵ଴଴
= ตัวที 27 = ตัวสุดท้ายของชัน 2 = ขอบบน = 49.5
1.5 =
ସଽ.ହି௫̅
௦
…(1) กับ ௦
௫
=
ଵ
ଷ
…(2) แก้ได้ ‫̅ݔ‬ = 33
46. 528
นับแบบทียืนติดกัน = เลือกแถวให้ กข × เลือกอีกคนให้แถว กข × สลับในแถว กข × สลับในอีกแถว = 2×4×4×3!
= 192 → 6! − 192 = 528
47. 343
݀ = ห.ร.ม. (1417 − 1059 , 2312 − 1417) = 179 , ตังหารได้ ‫ݎ‬ = 164
48. 15
แทน (2, 5), (8, 3) ต้องจริงทังคู่ → 5 = −|1 − ܽ| + ܾ …(1) ; 3 = −|7 − ܽ| + ܾ …(2)
5 = |2 − ܿ| − ݀ …(3) ; 3 = |8 − ܿ| − ݀ …(4)
(1) − (2) : 2 = |7 − ܽ| − |1 − ܽ| → ܽ ∈ [1, 7] ไม่งัน 7 − ܽ กับ 1 − ܽ จะเครืองหมายเหมือนกัน แล้วห่างกัน
6 ตลอด → 2 = (7 − ܽ) − ൫−ሺ1 − ܽሻ൯ → ܽ = 3 → ܾ = 7
(3) − (4) : 2 = |2 − ܿ| − |8 − ܿ| → ܿ ∈ [2, 8] → 2 = −ሺ2 − ܿሻ − ሺ8 − ܿሻ → ܿ = 6 → ݀ = −1

24. 24 PAT 1 (มี.ค. 55)
49. 9
ܽ = 2ܾ → ܾܽ = 10ܽ + ܾ = 21ܾ , ܾܽ = 10ܾ + ܽ = 12ܾ → แก้ 310(21ܾ) − 465(12ܾ) = 2790
ได้ ܾ = 3 → ܽ = 6
50. 6
แทนค่าดู ได้ (ܽ, ܿ) = (2, 2) ; (ܾ, ݀) = (3, 1), (4, 3), (5, 5) ; (݁, ݂) = (0, 1), (2, 3)
→ 1 × 3 × 2