Pat15603

PAT 1 (มี.ค. 56) 1
PAT 1 (มี.ค. 56)
รหัสวิชา 71 วิชา ความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1)
วันเสาร์ที่ 2 มีนาคม 2556 เวลา 13.00 - 16.00 น.
ตอนที่ 1 ข้อ 1 - 25 ข้อละ 5 คะแนน
1. กาหนดให้ แทน ประพจน์ “ถ้า แล้ว เมื่อ , และ เป็นเซตใดๆ”
และให้ แทน ประพจน์ “ถ้า แล้ว และ เมื่อ , และ เป็นเซตใดๆ”
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ประพจน์ [( ) ] มีค่าความจริงเป็น จริง
(ข) ประพจน์ ( ) ( ) มีค่าความจริงเป็น เท็จ
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
2. กาหนดให้ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ และให้ , และ เป็นเซตใดๆใน พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) [( ) ( )] =
(ข) เพาเวอร์เซตของเซต ( ) เท่ากับเพาเวอร์เซตของเซต ( )
14 May 2014

2 PAT 1 (มี.ค. 56)
3. กาหนดให้ ( ) แทน | | < 2 และให้ ( ) แทน |2 + 1| >
เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใดต่อไปนี้ที่ทาให้ [ ( )] [ ( )] มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. ( ∞, 4) 2. ( 5, 1) 3. ( 3, 2) 4. ( 1, ∞)
4. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ให้ = { ∈ R | | | + | | ≤ 7 } และ
= { ∈ R | < 12 + | | }
(ก) { ∈ R | 1 ≤ < 4 }
(ข) เป็นเซตจากัด (finite set)

PAT 1 (มี.ค. 56) 3
5. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง กาหนดให้ = { ( ) ∈ | √ | | √ }
(ก) ( 1, 8)
(ข) = { ∈ R | 8 < ≤ 12 }
6. ให้ และ เป็นเซต โดยที่จานวนสมาชิกของเซต และ เท่ากับ 4 และ 5 ตามลาดับ
และจานวนสมาชิกของเซต เท่ากับ 7 พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ความสัมพันธ์ใน มี 4 ความสัมพันธ์
(ข) ความสัมพันธ์จาก ไป มี 64 ความสัมพันธ์

4 PAT 1 (มี.ค. 56)
7. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ความสัมพันธ์ { ( , ) ∈ R × R | = 4 , > 0 } เป็นฟังก์ชัน
(ข) ถ้า ( ) = {
≤
และ ( ) = สาหรับ ∈ R
แล้วค่าของ ( )(25) = 14
8. ให้พาราโบลา มีสมการเป็น = 0 ถ้าวงกลมวงหนึ่งผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา และ
สัมผัสกับเส้นตรง = 0 ณ จุด (4, 3) แล้วสมการของวงกลมตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. = 0 2. = 0
3. = 0 4. = 0

PAT 1 (มี.ค. 56) 5
9. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) =
(ข) √ = 1 +
10. ถ้า เป็นจานวนจริงที่มากสุด โดยที่ 0 < < 1 และสอดคล้องกับ
( ) ( ) = √ ( ) แล้ว ค่าของ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. 1 2. 0 3. 4. √
11. กาหนดให้ ( ) = {
| |
| |
ค่าของ ( ( ( ))) ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
1. 6 2. 6 3. 3 4. 3

6 PAT 1 (มี.ค. 56)
12. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า เป็นเซตคาตอบของอสมการ ( ) 1
แล้ว เป็นสับเซตในข้อใดต่อไปนี้
1. { ∈ R | | | = } 2. { ∈ R | |2 + 5| > 9 }
3. { ∈ R | 0 ≤ | + 3| ≤ 5 } 4. { ∈ R | > 3 }
13. กาหนดให้ และ เป็นเมทริกซ์ มีมิติ 3×3 โดยที่ det( ) = 2 และ = [ ] เมื่อ และ เป็น
จานวนจริง ถ้า = 2I เมื่อ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ที่มีมิติ 3×3 แล้ว เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 0 2. 1 3. 2 4. 2.5

PAT 1 (มี.ค. 56) 7
14. กาหนดให้ = ( ) เป็นฟังก์ชันจุดประสงค์ โดยมีอสมการข้อจากัดดังนี้
≤ 48 , ≤ 22 , ≤ 42 , 0 และ 0
ถ้า มีค่ามากสุดเท่ากับ 288 แล้ว ค่ามากที่สุดของ ที่เป็นจานวนเต็มบวกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 20 2. 18 3. 16 4. 14
15. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ให้เวกเตอร์ ̅ = ̅ ̅ ̅ เมื่อ และ เป็นจานวนจริงและให้เวกเตอร์ ̅ = ̅ ̅ ̅
และ ̅ = ̅ ̅ ̅ ถ้าเวกเตอร์ ̅ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ ̅ และเวกเตอร์ ̅ แล้ว = 1
(ข) ให้เวกเตอร์ ̅ = ̅ ̅ และ ̅ = ̅ ̅ เป็นเวกเตอร์ในระนาบ ถ้า | ̅| =
√
และ ̅ ̅ = 3
แล้วเวกเตอร์ ̅ ทามุม 60° กับเวกเตอร์ ̅

8 PAT 1 (มี.ค. 56)
16. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถ้าด้านตรงข้ามมุม A ยาว 14 หน่วย ความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม
เท่ากับ 30 หน่วยและ = 5 sin แล้ว sin 2 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2. √
3. 4. √
17. กาหนดให้ = 0 เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา ถ้าพาราโบลารูปหนึ่งมีแกน
สมมาตรขนานแกน ตัดแกน ที่จุด (1, 0) และผ่านจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลาที่กาหนดให้ แล้ว จุดในข้อใด
ต่อไปนี้ไม่อยู่บนพาราโบลา
1. (2, ) 2. ( 1, ) 3. (3, ) 4. (4, )
18. กาหนดให้ { } เป็นลาดับของจานวนจริงโดยที่ = สาหรับ …
ผลบวกของอนุกรม เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2. 3. 4. 2

PAT 1 (มี.ค. 56) 9
19. ค่าของ
x
lim (√ ( ) ) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 0 2. 3. 1 4.
20. กาหนดให้ C เป็นเส้นโค้ง = เมื่อ > 0 และให้ L เป็นเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้ง C ที่จุด (1, 1)
ถ้าเส้นตรง L ตัดกับพาราโบลา ( ) = ที่จุด A และจุด B
แล้วระยะห่างระหว่างจุด A และจุด B เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. √ 2. √ 3. √ 4. √
21. กาหนดให้ ( ) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ถ้า และ เป็นเหตุการณ์ใดๆ ในแซมเปิลสเปซ
โดยที่ ( ) = , ( ) = และ ( ) = พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ( ) =
(ข) ( ) =

10 PAT 1 (มี.ค. 56)
22. ในการโยนลูกเต๋าสองลูกจานวนหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้ผลคูณของแต้มบนลูกเต๋าทั้งสอง หารด้วย 4 ลงตัว
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2. 3. 4.
23. ครอบครัวหนึ่งมีสมาชิก 6 คน มีอายุเฉลี่ย 34 ปี ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุเท่ากับ 8 ปี อีก 6 ปีต่อมามีญาติ
สองคนมาขออยู่อาศัยด้วย โดยที่ญาติทั้งสองคนนี้มีอายุเท่ากัน เท่ากับอายุเฉลี่ยของคนทั้ง 6 คนในครอบครัวนี้พอดี
สัมประสิทธิ์การแปรผันของอายุของคนทั้ง 8 คนนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. √
2. √
3. √
4. √
24. กาหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งมีดังนี้ 2 , 4 , 3 , 5 , 12 , 5 , 18 , 6 , 4 , 2 , 9 , 4
1. มัธยฐานน้อยกว่าฐานนิยม 2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมากกว่ามัธยฐาน
3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับมัธยฐาน 4. ฐานนิยมมากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต

PAT 1 (มี.ค. 56) 11
25. กาหนดให้ √ √ , √ √ , = √ √ และ √ √ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. 2.
3. 4.
ตอนที่ 2 ข้อ 26 - 50 ข้อละ 7 คะแนน
26. กาหนดให้ และ เป็นเซตจากัด โดยที่
สับเซตของ ที่มีสมาชิก 2 ตัว มีทั้งหมด 10 เซต และสับเซตของ ที่มีสมาชิก 2 ตัว มีทั้งหมด 6 เซต
ถ้า จานวนสมาชิกชอง ( ( )) เท่ากับ 16 เมื่อ ( ) แทน เพาเวอร์เซตของ
แล้ว จานวนสมาชิกของเซต เท่ากับเท่าใด
27. ถ้า และ เป็นจานวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ ( ) = ( ) เมื่อ =
แล้ว ค่าของ + เท่ากับเท่าใด

12 PAT 1 (มี.ค. 56)
28. กาหนดให้ เป็นจานวนจริง โดยที่ sin + cos =
ถ้า ( ) = เมื่อ และ เป็นจานวนเต็ม โดยที่ ห.ร.ม. ของ และ เท่ากับ 1
แล้ว เท่ากับเท่าใด
29. ให้ R แทนเซตชองจานวนจริง ถ้า = { ∈ | √
( ) √
( ) } และ
= { ∈ | √ √ }
แล้วสามเท่าของผลคูณของสมาชิกในเซต ทั้งหมดเท่ากับเท่าใด
30. กาหนดให้ แทนเซตคาตอบของสมการ ( √ )
(
√
)
= 126
ผลบวกของสมาชิกในเซต ทั้งหมดเท่ากับเท่าใด

PAT 1 (มี.ค. 56) 13
31. กาหนดให้วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 0) และมีโฟกัส และ อยู่บนแกน จุด A(4, 1) เป็นจุดบนวงรีโดยที่
ผลบวกระยะทางจากจุด A(4, 1) ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองมีค่าเท่ากับ 6√ ให้เส้นตรง L ตัดแกน ที่จุด (4.5, 0)
และสัมผัสกับวงรีที่จุด A(4, 1) ถ้า เป็นระยะห่างระหว่างจุด (0, 0) กับเส้นตรง L แล้ว ค่าของ | || |
เท่ากับเท่าใด
32. กาหนดให้ 0 < < โดยที่ = (
√
√
) (√ ) เมื่อ 0 < < 1
ค่าของ เท่ากับเท่าใด
33. ให้ เป็นเซตของจานวนจริง ทั้งหมดที่ทาให้เมทริกซ์ [ ] เป็นเมทริกซ์เอกฐาน
และให้ เท่ากับผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต
ถ้า = [ ] แล้ว ค่าของ ((( ) ) ) เท่ากับเท่าใด

14 PAT 1 (มี.ค. 56)
34. กาหนดให้ , , … … เป็นลาดับเรขาคณิตของจานวนจริงบวก โดยมี เป็นอัตราส่วนร่วม และ
+ + … = 2012
ค่าของ 1 + 5 + 12 + 22 เท่ากับเท่าใด
35. ถ้า เป็นจานวนเชิงซ้อนที่อยู่ในควอดรันต์ (quadrant) ที่หนึ่งบนระนาบเชิงซ้อน
โดยที่ |
( )( )
( )
| = 1 และ | | = √ แล้วผลบวกของส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ เท่ากับเท่าใด
36. กาหนดให้ , , , , และ , , , , , เป็นลาดับเลขคณิตของจานวนจริงบวก
โดยที่ = , = และ ถ้า ( ) ( )
= เมื่อ ห.ร.ม. ของ กับ เท่ากับ 1
แล้ว เท่ากับเท่าใด

PAT 1 (มี.ค. 56) 15
37. สาหรับ … ให้ = 1 + 2 + 3
ค่าของ
n
lim
…
( )( )( )…( )
เท่ากับเท่าใด
38. กาหนดให้ ( ) = { √
โดยที่ เป็นจานวนจริง ถ้า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด = 4
แล้ว ( ) เท่ากับเท่าใด
39. ให้ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจานวนจริง โดยที่อัตราการเปลี่ยนแปลงของ ( ) เทียบกับ
เท่ากับ เมื่อ และ เป็นจานวนจริง และให้ ( ) = ( ) ( ) ถ้า ( ) = 18 ,
( ) = 6 และ ( ) = ( ) ( ) แล้วค่าของ ( ) เท่ากับเท่าใด

16 PAT 1 (มี.ค. 56)
40. กาหนดให้ ( ) เป็นพหุนามกาลังสาม ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนจริง โดยที่มี + 1 เป็นตัวประกอบของ ( )
5 + 2i เป็นคาตอบชองสมการ ( ) = 0 และ ( ) = 58 ค่าของ
2
0
 [ ( ) ( )] เท่ากับเท่าใด
41. ต้องการนาเลขโดด 1, 1, 2, 2, 3, 3 ทั้ง 6 ตัวมาจัดเรียงเป็นจานวนที่มี 6 หลัก จะสร้างจานวนที่มี 6 หลักได้ทั้งหมด
กี่จานวน เมื่อ เลข 1 ทั้งสองตัวไม่ติดกันและเลข 3 ทั้งสองตัวไม่ติดกัน
42. กาหนดให้ และ เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่ , , และ
ค่าของ มีค่ามากที่สุดเท่ากับเท่าใด

PAT 1 (มี.ค. 56) 17
43. กาหนดให้ ∈ { … } จงหาจานวน 3 หลัก ที่มีค่ามากสุด
โดยที่สอดคล้องกับสมการ =
(หมายเหตุ แทนจานวน 3 หลัก และ , , , , , แทนจานวน 2 หลัก)
44. จังหวัดแห่งหนึ่งมีอาเภอ 6 อาเภอ แต่ละอาเภอส่งผู้แทนอาเภอละ 2 คนเป็นชาย 1 คนและเป็นหญิง 1 คน ถ้า
ต้องการคัดเลือกกรรมการ 4 คน เป็นชาย 2 คน และหญิง 2 คน จากตัวแทนทั้ง 12 คน โดยในบรรดากรรมการ 4 คน
นี้จะต้องเป็นชายและหญิงอย่างน้อย 1 คู่ มาจากอาเภอเดียวกัน จะมีวิธีการคัดเลือกกี่วิธี
45. กาหนดให้ ̅, ̅ และ ̅ เป็นเวกเตอร์บนระนาบซึ่งกาหนดโดย ̅ = ̅ ̅ , ̅ = ̅ ̅ และ ̅ = ̅ ̅
เมื่อ และ เป็นจานวนจริง ถ้า |̅ ̅| = 5 , เวกเตอร์ ̅ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ ̅ และ ̅ ̅ > 0
แล้วค่าของ | ̅ ̅| เท่ากับเท่าใด

18 PAT 1 (มี.ค. 56)
46. ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงปกติ นาย ก. และนาย ข. เป็นนักเรียนในห้องนี้ถ้า
มีนักเรียนในห้องนี้ร้อยละ 9.48 สอบได้คะแนนมากกว่าคะแนนสอบของ นาย ก. มีนักเรียนร้อยละ 10.64 สอบได้
คะแนนน้อยกว่าคะแนนสอบของ นาย ข. และ นาย ข. สอบได้คะแนนน้อยกว่าคะแนนสอบของนาย ก. อยู่ 51
คะแนน แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครั้งนี้เท่ากับเท่าใด
เมื่อกาหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ระกว่าง 0 ถึง ดังตารางต่อไปนี้
47. จากการสารวจคะแนนสอบของนักเรียน 6 คน ที่มีคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ ( ) และคะแนนสอบวิชา
คณิตศาสตร์ ( ) ปรากฏว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์เท่ากับ 9 คะแนน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับ 6 คะแนน และ
6
1

i
= 428 ,
6
1

i
= 694 และ
6
1

i
= 268
ถ้าคะแนนสอบวิชาทั้งสองมีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบเส้นตรง และนักเรียนคนหนึ่งที่มีคะแนนวิชาคณิตศาสตร์
เท่ากับ 7.5 คะแนน แล้วคะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ โดยประมาณควรจะมีค่าเท่ากับเท่าใด
0.24 0.27 1.24 1.31
พื้นที่ 0.0948 0.1064 0.3936 0.4052

PAT 1 (มี.ค. 56) 19
48. สาหรับ , ∈ { . …} กาหนดให้ ( ) เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่
( ) = {
( )
( ( ) )
ค่าของ (1, 2) + F(3, 1) เท่ากับเท่าใด
49. สาหรับ และ เป็นจานวนจริงบวกใดๆ กาหนดให้ เป็นจานวนจริงบวก ที่มีสมบัติต่อไปนี้
(1) ( ) = ( )
(2) ( ) =
(3) 1 1 = 1
ค่าของ 2 (5 (5 6)) เท่ากับเท่าใด
50. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า : R → R เป็นฟังก์ชัน ซึ่งสอดคล้องกับ
( )( ) = 4 + ( ( )) สาหรับทุกจานวนจริง แล้วค่าของ ( ) เท่ากับเท่าใด

20 PAT 1 (มี.ค. 56)
เฉลย
1. 2 11. 2 21. 1 31. 162 41. 42
2. 1 12. 3 22. 3 32. 2 42. 5927
3. 2 13. 4 23. 1 33. 2 43. 396
4. 3 14. 2 24. 2 34. 16 44. 135
5. 4 15. 4 25. 3 35. 11 45. 200
6. 3 16. 2 26. 7 36. 205 46. 20
7. 1 17. 4 27. 20 37. 3 47. 12
8. 4 18. 1 28. 373 38. 24 48. 10
9. 1 19. 4 29. 5 39. 354 49. 6
10. 3 20. 2 30. 4 40. 168 50. 4
แนวคิด
1. 2
เป็นเท็จ เช่น = {1} , = {1} , = {} และ ก็เป็นเท็จ เช่น = {1, 2} , = {1} , = {2}
จะได้ (ก) คือ [( ) ] ≡ T ถูกต้อง และ (ข) คือ ( ) ( ) ≡ T ผิด
2. 1
ก. เนื่องจาก ดังนั้น ( ) ( ) =
ดังนั้น [( ) ( )] = ( ) = → ก. ถูก
ข. ( ) = ( ) = = ( ) → ข. ถูก
3. 2
เป็นเท็จ เมื่อ T → F
ข้างหน้า จะได้ หรือ ( ) หรือ ≤
ได้ ( 2, ∞) ( ∞, 0) ( ∞, 1] = R ดังนั้น [ | | ] ยังไงก็จริง
ข้างหลัง ยกกาลังสองได้ (เพราะเป็นบวกทั้งสองข้าง) ได้ ( ) < ตัวหารห้ามเป็น 0 → 2
คูณ ( ) ตลอดได้ (เป็นบวก ไม่ต้องกลับเครื่องหมาย) แล้วย้ายข้าง ได้ ( ) ( ) < 0
→ ( )( ) < 0 ได้คาตอบคือ ( ∞, 6) ( , ∞)
ดังนั้น เอกภพสัมพัทธ์ที่จะทาให้ข้างหลังเป็นเท็จ ต้องไม่มีส่วนไหนอยู่ในช่วง ( ∞, 6) ( , ∞) → ตอบ 2
4. 3
แบ่งกรณี กรณี ( ∞, 0) ได้ ≤ 2 → → [ , 0)
กรณี [0, ) ได้ ≤ 2 → → [0, )
กรณี [ , ∞) ได้ 3 ≤ 12 → ≤ 4 → [ , 4] รวมทุกกรณีได้ = [ , 4]
แบ่งกรณี กรณี ( ∞, 0) ได้ < 0 → ( )( ) < 0 → ∈ ( 4, 3) → ( 4, 0)
กรณี [0, ∞) ได้ < 0 → ( )( ) < 0 → ∈ ( 3, 4) → [0, 4)
รวมทุกกรณี ได้ = ( 4, 4)
= [ , 4) → ก ผิด , = {4} → ข ถูก

PAT 1 (มี.ค. 56) 21
5. 4
หา : เนื่องจาก ผลรูท 0 ดังนั้น √ | | = √ ≤ 3
ยกกาลังสองทั้งสองข้าง และเนื่องจาก ในรูท 0 จะได้ 0 ≤ | | ≤ 9
ลบ 12 แล้วคูณ 1 ได้ 3 ≤ | | ≤ 12 จะได้ = [ 12, 3] [3, 12]
หา : ทาแบบเดียวกัน จะได้ √ = √ | | ≤ 3
และจะได้ 0 ≤ ≤ 9 จะได้ = [ 1, 8]
= [3, 8] มี 8 ดังนั้น ก ผิด , = [ 12, 3] (8, 12] มีเลขลบด้วย ดังนั้น ข ผิด
6. 3
ก. ( ) = 4 + 5 – 7 = 2 → มี = 16 → ก ผิด
ข. ( ) = 4 – 2 = 2 , ( ) = 5 – 2 = 3 → มี = 64 → ข ถูก
7. 1
ก. เป็นวงกลมที่เอาเฉพาะเส้นภายใน กับ ลากแนวดิ่งตัดไม่เกิน 1 จุด → ก. ถูก
ข. หา ( ) ให้ = 25 ได้ = 27 ขัดกับเงื่อนไข ≤ 0
ให้ = 25 ได้ = ±5 ถ้าจะให้ตรงกับเงื่อนไข > 0 จะได้ = 5 ดังนั้น ( ) = 5
หา ( ) ให้ 3 = 5 ได้ = 2 แทนใน จะได้ 14 → ข. ถูก
8. 4
พาราโบลาคือ ( ) = ( ) → F = ( , 1) = ( 2, 1)
ลองเอา ( 2, 1) แทน จะได้ 28 + 7 ± ( 8) ± 82 ± 55 = 0 ต้องเป็น 28 + 7 + ( 8) 82 + 55 → ข้อ 4
ถ้าไม่เช็คตัวเลือก ให้วงกลมมี ศก ที่ ( , ) ดังนั้น ( ) ( ) = ( ) ( )
→ =
→ 12 + 4 = 20 → = 5 …( )
และจากความชัน จะได้ = → 3 = → …( )
3(1) – (2) : 7 = 2 → = → = ได้ = ( ) ( )
ได้สมการวงกลมคือ ( ) ( ) = ( ) ( )
จัดรูปได้ ( ) ( ) ( ) ( ) = 0
→ ( ) ( ) = 0
→ = 0
9. 1
ก) = = = → ถูก
ข) √ =
√
=
(
√
)
=
(
√
)
=
( )
=
( )
=
( )

22 PAT 1 (มี.ค. 56)
= = + 1 → ถูก
10. 3
ใส่ tan ตลอด ได้ ( )( )
=
√ ( )
( )
→ = √ ( ) → =
→ = 0 → ( ) = 0 → = → =
11. 2
| | < ดังนั้น ( ( ( ))) = ( ( ))
| | ดังนั้น ( ( )) = ( ) = ( )
| | < ดังนั้น ( ) = 6
12. 3
หลัง log เป็นลบไม่ได้ ดังนั้น > 1 จะได้
คูณ ทั้งสองข้างได้ ไม่ต้องกลับเครื่องหมาย เพราะ > 1 ทาให้ เป็นบวก → 2
→ 0 ( )( ) → ∈ [ 1, 2] → แต่ > 1 ดังนั้น คาตอบคือ (1, 2]
ลองเอา = 2 แทนดู ข้อ 1. ได้ฝั่งขวาติดลบ ไม่จริงแน่นอน ข้อ 2. ได้ 9 > 9 ไม่จริง ข้อ 3. ได้ 0 ≤ 5 ≤ 5 จริง
ข้อ 4. ได้ 8 > 12 ไม่จริง → ตอบข้อ 3
หมายเหตุ ถ้าจะแก้ ข้อ 1. อยู่ในรูป | | = จะได้ ≤ ดังนั้น ≤ 0
แยกได้ ( )( ) → [ 3, 1]
13. 4
ได้ ( ) = 2I → 2| | = → ( )( ) = 8 → = 2.5
14. 2
จุดตัดอยู่ใกล้กัน ต้องหาทุกจุดตัด ไม่งั้นรูปจะไม่ถูก
= 48 กับ = 22 ตัดกันที่ (4, 9)
= 22 กับ = 42 ตัดกันที่ (10, 6)
= 48 กับ = 42 ตัดกันที่ (12, 3)
จุดมุม คือ (0, 0), (0, 11), (4, 9), (12, 3), (14, 0)
ได้ = 0 , 11 + 66 , 13 + 54 , 15 + 18 ,
จับแต่ละตัว = 288 แล้วแก้หา ได้ = 18 จาก 13 + 54 กับ = 18 จาก 15 + 18
ลองแทน = 18 จะได้ 288 มากสุดในบรรดา 11 + 66 , 13 + 54 , 15 + 18 ,
15. 4
ก. ตั้งฉาก = ดอทกันได้ 0 → = 0 และ = 0 จับลบกัน ได้ = 0
แทนกลับไป ได้ = 0 ดังนั้น = 0 → ก ผิด
14 16 22
11
12
21
= 22
= 42
= 48

PAT 1 (มี.ค. 56) 23
ข. 3 = |̅|| ̅| cos → cos =
√ (
√
)
= 1 → = 0 → ข ผิด
16. 2
จากกฎของ sin ได้ และจากที่โจทย์ให้ จะได้ = ได้ = → 3 = 80 – 5
→ = 10 , = 6 → กฏของ cos ได้ = ( )( ) → =
มุมในสามเหลี่ยม มี 0° < < 180° ได้ = 120° → sin 2 =
√
17. 4
จัดรูปได้ ( ) ( ) = 199 + 9 64 →
( ) ( )
= 1 → V = ( 3, 2), (5, 2)
ผ่าน ( 3, 2), (5, 2) แสดงว่าจุดยอด คือ (1, ?) โจทย์บอกผ่าน (1, 0) แสดงว่าจุดยอดคือ (1, 0)
ได้สมการคือ ( ) = 4 → แทน (5, 2) ได้ = 2 → ( ) = 8 → ข้อ 4 แทนแล้วไม่จริง
18. 1
= ( ) = ( )
→ เทเลสโคป ได้ = ( ) → ได้ผลบวก = ( ) =
19. 4
=
x
lim
(√ ( ) )(√ ( ) )
√ ( )
=
x
lim
√ ( )
=
x
lim
√ ( )
= + 2 =
20. 2
= → = → ที่ (1, 1) ชัน 9 → ผ่าน (1, 1) ได้ L : =
แก้หาจุดตัด = → = 0 → = 9, 1 → (9, 73), (1, 1)
ได้ระยะห่าง = √ = 8√ = √
21. 1
จากแผนภาพ จะได้ ( ) ( ) ( ) = → ( ) = =
จาก ( ) = ได้ ( ) = ได้ ( ) = ( ) ( ) = =
และได้ ( ) = ( ) ( ) = =
ดังนั้น ( ) = = → ก ถูก และ ( ) = = → ข ถูก
22. 3
กรณีลูกแรกออก 1, 3, 5 → ลูกหลังต้องออก 4 → 3 แบบ
กรณีลูกแรกออก 2, 6 → ลูกหลังต้องออก 2, 4, 6 → 6 แบบ
กรณีลูกแรกออก 4 → ลูกหลังออกอะไรก็ได้ → 6 แบบ → รวม 15 แบบ

24 PAT 1 (มี.ค. 56)
23. 1
6 ปีต่อมา ทั้ง 6 คน อายุเฉลี่ยเพิ่มเป็น 40 ปี แต่ เท่าเดิม = 8
ดังนั้น √
∑( )
= 8 จะได้ ∑( ) =
เนื่องจากอีก 2 คนใหม่ที่เพิ่มมา มีอายุ = ̅ = 40 ดังนั้น ∑( ) ของทั้ง 8 คน จะยังเท่าเดิม =
ดังนั้น ของทั้ง 8 คน คือ = √ = √ = 4√
ดังนั้น สัมประสิทธิ์การแปรผัน = ̅
=
√
=
√
24. 2
เรียงได้ 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 9, 12, 18 → Mode = 4 , Med = 4.5 , ̅ = = 6.17
25. 3
ยกกาลัง 6 ตลอด ได้ , , , เอา 5 7 หารตลอด เหลือ , , 5, 7
26. 7
แก้สมการ ( ) = 10 ได้ ( ) = 5 กับ ( ) = 6 ได้ ( ) = 4
ย้อนสูตร สองเที่ยว จะได้ มี 2 ตัว ดังนั้น ( ) = 5 + 4 – 2 = 7
27. 20
ข้อนี้ถ้าจะคิดจริงๆ มีได้หลายคาตอบตอบ คนออกข้อสอบ น่าจะอยากจะให้เราทา โดยการเทียบเลขชี้กาลัง
เนื่องจากทางขวา = = ดังนั้น = 0 และ = 256 (ปกติทาแบบนี้ไม่ได้นะ - -")
จาก = 0 จะได้ ยกกาลัง ทั้งสองข้าง ได้ …( )
จาก = = ดังนั้น แทนใน (1) ได้ = ยกกาลัง อีก ได้
แต่ = 256 ดังนั้น ได้ = 8 ได้
แทน ใน = 0 และ = 256 ได้ = 4 , = 16 ดังนั้น คาตอบ คือ 20
(แต่จริงๆ ข้อนี้มีคาตอบอื่นอีก เช่น = 78.46162 , = 78.46162)
28. 373
( ) = =
เอาสมการ = มายกกาลังสองสองข้าง จะได้ 1 + = จะได้ =
จะได้ = = 373
29. 5
:
( )
( )
= 3 → = , : = 4 + √ → = → ตอบ 5

PAT 1 (มี.ค. 56) 25
30. 4
ให้ √ = → = 126 → = 126 → คูณ ตลอด
ได้ ( ) ( ) = 0 → ( ( ) )( ) = 0 → = 1, 2 แต่ เป็นรูท 0
ได้ √ = 2 → = 0 → = 1 , 5 → ตอบ 4
31. 162
ได้แกนเอก = √ → = √ → ผ่าน (4, 1) แสดงว่า
( √ )
= 1 → = 3
L ชัน .
= 2 ผ่านจุด (4, 1) ได้ = → = 0 → =
| ( ) |
√
=
√
วงรี มี = √( √ ) = 3 → โฟกัส (3, 0), ( 3, 0) → | || | = (√ )(√ ) = 10
ได้ | || | = (
√
) 10 = 162
32. 2
ใส่ tan ตลอด ได้ =
√
√
√
(
√
√
)(√ )
=
√ √
√
√ √
√
= = 1 และ = = 1
ดังนั้น = 1 + 1 = 2
33. 2
จะได้ = 0 → = 0 → = 1 → = 1
ดังนั้น ((( ) ) ) = = 1 + 1 = 2
34. 16
ดึง ออกจากตัวส่วน ได้ ( )
+ ( )
+ ( )
… ( )
= 2012
ฝั่งซ้ายได้ บวกกัน = = 1006 ตัว → = =
ให้ = 1 + + + … (1) → หาร 2 จะได้ = + … ( )
(1) – (2) : = 1 + + + … ( ) → หาร 2 จะได้ = + + + … ( )
(3) – (4) : = 1 + + + … = 4 → = 16
35. 11
|
( )( )
( )
| = | | = | ( )( )
( )( )
| = | | = | | =
√( )
√( ) ( )
= 1
→ ( ) = ( ) ( ) → 2 + 1 = + 9 4 + 4 → = + 3
จาก | | = √ จะได้ ( ) = 65 → = 0 → ( )( ) = 0
อยู่ ได้ = 4, = 7 → ตอบ 4 + 7 = 11

26 PAT 1 (มี.ค. 56)
36. 205
จะได้ = → = → =
( ) ( )
= = = = → = 205
37. 3
จะได้ =
( )
ดังนั้น =
( )
( ) =
( )
=
( )
( )( )
ดังนั้น …
( )( )( )…( )
= …
=
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
…
( )
( )( )
จะตัดกันได้ เหลือ
ดังนั้น ลิมิตของลาดับ = 3
38. 24
√
√
√
=
( )( √ )
=
( √ )
ดังนั้น
( ( ) √ ( ) ( ) )
= → = 8 → ( ) =
( )
= 24
39. 354
( ) = , ( ) = จาก ( ) = 6 จะได้ = 6
จาก ( ) = 18 จะได้ = 18 → = 12 → ( ) =
จาก ( ) = ( ) ( ) จะได้ 48 + 12 + = 3 + 3 + + → = 54
( ) = ( )( ) ( )( )
จะได้ ( ) = ( )( ) ( )( ) = 354
40. 168
จะได้ 5 – 2i เป็นคาตอบด้วย → ( ) = ( )( ( ))( ( ))
= ( )( ) จาก ( ) = 58 จะได้ ( )( ) = 58 → = 2
ดังนั้น ( ) = ( )( ) =
จะได้ ( ) = ดังนั้น ( ) ( ) =
อินทิเกรตได้ → ตอบ ( ( )) ( ) = 168
41. 42
= แบบทั้งหมด – แบบที่ 1 ติดกัน – แบบที่ 3 ติดกัน + แบบที่ 1 ติดกันและ 3 ติดกัน
= = 90 – 30 – 30 + 12 = 42 แบบ
42. 5927
มากสุด 99 → < 594 → มากสุด 593 → → มากสุด 2964 →

PAT 1 (มี.ค. 56) 27
43. 396
100 =
78 = 12 + → 26 = ≤ 36 + 63 = 99 → ≤ 3
= 3 ได้ = 78 ไล่แทน = 9 ลงมา จนกว่าจะเจอที่หารด้วย 7 ลงตัว ได้ = 9 , = 6
44. 135
= แบบทั้งหมด – แบบที่ไม่มีคู่ไหนมาจากอาเภอเดียวกัน
= ( )( ) ( )( ) = 225 – 90 = 135
45. 200
|̅ ̅| = √ ( ) = 5 → = 4, 2 และจาก ̅ ⊥ ̅ จะได้ = 0 → = ,
แต่ ̅ ̅ > 0 จะได้ > 0 → > → เหลือ = และ = 2
5̅ + ̅ = ( ̅ ̅) ( ̅ ̅) = ̅ ̅ → | ̅ ̅| = = 200
46. 20
จะได้พื้นที่ของนาย ก. คือ 0.5 – 0.0948 = 0.4052 → ก = 1.31
จะได้พื้นที่ของนาย ข. คือ (0.5 – 0.1064) = 0.3937 → ข = 1.24
ก ข = 1.31 – ( 1.24) = 2.55 = ก ข
= → = .
= 20
47. 12
ทานาย ฟิสิกส์ ( ) จาก คณิตศาสตร์ ( ) ต้องใช้ ̂ =
จะได้ ∑ = 54 และ ∑ = 36 จะได้ระบบสมการคือ 54 = 6 + 36 และ 428 = 36 + 268
ตัดเป็นอย่างต่า ได้ 9 = + 6 และ 107 = 9 + 67 แทน จากสมการแรก ได้ 107 = 9(9 – 6 ) + 67
→ 26 = 13 → = 2 , = 3 → ตอบ 3 + 2(7.5) = 12
48. 10
ค่อยๆหาไล่จาก น้อยๆ เริ่มจากกลุ่ม = 0 ใช้เงื่อนไขที่สอง
( ) = 1 , ( ) = 2 , ( ) = 3 , ( ) = 4 , ( ) = 5
พวก = 1 : (0,1) = (1,0) = 2
(1,1) = ( ( ) ) = ( ) = 3
(2,1) = ( ( ) ) = ( ) = 4
(3,1) = ( ( ) ) = ( ) = 5
พวก = 2 : (0,2) = (1,1) = 3
(1,2) = ( ( ) ) = (3,1) = 5
ดังนั้น (1, 2) + F(3, 1) = 5 + 5 = 10

28 PAT 1 (มี.ค. 56)
49. 6
จาก (1) แทน = 1 จะได้ 1 = (1 1) = เปลี่ยนชื่อ เป็น ได้ =
แทน = ในข้อ (2) ได้เป็น =
แทน = ในข้อ (1) ได้เป็น ( ) =
ถ้าจะหา ก็แทน = 5 , = จะได้ = ( ) = = 6
จะเห็นว่า เครื่องหมาย คือให้ตอบตัวหลังนั่นเอง ดังนั้น 2 (5 (5 6)) = 6
50. 4
จะได้ ( ( )) = 4 + ( ( )) …( )
แทน ด้วย 0 จะได้ ( ( )) = 4 + ( ( )) …( )
จาก (2) ใส่ ทั้งสองข้าง ได้ ( ( ( ))) = ( ) …( )
แทน ใน (1) ด้วย ( ) จะได้ ( ( ( ))) = 4 + ( ) ( ( ( ))) …( )
แต่จาก (2) จะได้ ( ( )) = 4 ดังนั้น ( ( ( ))) = 4 + ( )( ) …( )
จาก (3) และ (5) จะได้ ( ) = 4
เครดิต
ขอบคุณ คุณ สนธยา เสนามนตรี , คุณ ณัฐสรณ์ เส็งเฮ้า , คุณ Quest Internal , คุณ Ntt Dks และ อีกคนหนึ่งที่มา
โพสท์ข้อสอบบนวอลผม (เค้าบอกผมว่าถ้าผมโหลดเสร็จให้ลบทิ้ง ผมจาชื่อเค้าไม่ได้ เพราะผมลบโพสเค้าไปแล้ว = ="
ขอโทษนะครับ _/_ ) ขอบคุณ คุณ Kue Kung สาหรับข้อสอบฉบับเต็ม
ขอบคุณ ท่านอาจารย์ Sila Sookrasamee และ คุณ Weetip Tanarat ที่ช่วยตรวจคาตอบ ด้วยนะครับ

Pat15603

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (13)

Similar to Pat15603

Similar to Pat15603 (20)

Pat15603