2. 
Μεηνώ όια
ηα
πνάγμαηα
θαη ηα
βάδω ζηε
ζεηνά

Λύκω θαη
ηεκ
ελίζωζε
x+κ=0
Εγώ θαη
μμηνάδω θαη
ιύκω θαη
ηεκ ελίζωζε
μx+κ=0

3. Μέχρι τώρα eχουμε εξετάσει τις πολυωνυμικές
εξισώσεις της μορφής:
α₀xⁿ + α₁xⁿ⁻¹ + . . . . . . . . + αn-1x + αn =0
Πολυώνυμα με
ακεραίους
συντελεστές
•Γθζεηηθέξ Γληζώζεηξ
•Λμγανηζμηθέξ Γληζώζεηξ
•Σνηγςκμμεηνηθέξ Γληζώζεηξ

4. Πενηιαμβάκμοκ αγκώζημοξ ζημοξ εθζέηεξ ηςκ
ανηζμώκ
Ακ γηα πανάδεηγμα: 12x = 144 x = 2
Ακ γηα πανάδεηγμα: 1,0994x = 17,32 ?
Ση είκαη ημ x; Γίκαη ημ x νεηόξ ή άννεημξ
ανηζμόξ

5. Λμγανηζμηθέξ Γληζώζεηξ
Ακ γηα πανάδεηγμα: log₁₀x = 2
Αοηό ζεμαίκεη όηη ημ 10 πνέπεη κα έπεη εθζέηε ημ 2
γηα κα μαξ δώζεη ημ x=102=100
Ακ γηα πανάδεηγμα: lnx=3
Αοηό ζεμαίκεη όηη ημ e πνέπεη κα έπεη εθζέηε ημ 3
γηα κα μαξ δώζεη ημ x=e3
Ση είκαη ημ x; Γίκαη ημ x νεηόξ ή άννεημξ
ανηζμόξ

6. Τριγωνομετρικζσ Εξιςώςεισ
Στθρίηονται ςτα μικθ των πλευρών ενόσ ορκογωνίου τριγώνου και τα
μεγζκθ των γωνιών του
Απέναντικάθετοσ
Προςκείμενη κάθετοσ
Οι τριγωνομετρικζσ ςχζςεισ περιλαμβάνουν τισ διάφορεσ ςχζςεισ
ανάμεςα ςε μια γωνία, τθ κ, ενόσ ορκογωνίου τριγώνου και τα μικθ
των τριών πλευρών

7. Τι είδουσ αριθμοφσ, όμωσ, παίρνουμε όταν βάηουμε διαφορετικζσ
τιμζσ ςτουσ εκθζτεσ, ςτουσ λογαρίθμουσ και ςτισ τριγωνομετρικζσ ??
Ρθτοφσ;; (φυςικοφσ, κλάςματα)
Άρρθτουσ ;;
Κι όμωσ, οι περιςςότερεσ λφςεισ ςε αυτζσ τισ εξιςώςεισ είναι
άρρθτοι αριθμοί !

8. :
Ο ιόγμξ ηεξ πενηθένεηαξ
ηοπαίμο θύθιμο με ηε
δηάμεηνμ ημο είκαη
ζηαζενόξ
= Π
8

9. e = lim ( 1 + 1/ ) ,
8
ν ∈ Ν
Οη ηημέξ πμο ζα παίνκεη ε ( 1 + 1/ν )ν όηακ μεγαιώκμομε ημ κ
ώζηε κα ηείκεη ζημ ∞
Γπμμέκςξ, e είκαη ημ όνημ πμο παίνκμομε όηακ αθήκμομε ημ
κ κα γίκεηαη όιμ θαη μεγαιύηενμ
Όπςξ αθνηβώξ θαη ζηεκ πενίπηςζε ημο π, μπμνμύμε κα
πνμζεγγίζμομε ημ e, λεθηκώκηαξ με κ=1 θαη ακηηθαζηζηώκηαξ ζημκ
ηύπμ, αολάκμκηαξ δηανθώξ ημ κ
Αν ςυνεχίςουμε αοηή ηε δηαδηθαζία, ζα θηάζμομε ζηεκ αθόιμοζε
ηημή με πνμζέγγηζε 10 δεθαδηθώκ ζέζεςκ: e = 2,7182818284

10. Τημέξ ηεξ αθμιμοζίαξ ( 1 + 1/ ν)ν
ν=1 2
ν=2 2,250
ν=3 2,370
ν=4 2,441
ν=5 2,488
ν=100 2,704813829
ν=1000 2,716923923
ν=100000 2,718145926

11. Leonhard Euler
(1707 – 1783)
Όνηζε ηε πνήζε ημο γνάμμαημξ e,
πμο ζομβμιίδεη άιιε μηα
ζεμειηώδε ζπέζε ηςκ
μαζεμαηηθώκ:

12. Γπηπιέμκ, με ημ e ζοζπεηίδεηαη μηα ζεηνά, ε μπμία ακαθαιύθζεθε ημ
1655 από ημ Νεύηςκα (1642-1727).
΢εηνά είκαη άζνμηζμα όνςκ
Η ζογθεθνημέκε ζεηνά πνεζημμπμηεί θαη ηεκ έκκμηα ημο
παναγμκηηθμύ, δειαδή n!=n•(n-1)•(n-2)…3•2•1θαη είκαη ε ελήξ :
Το 0! ισούται εξ ορισμού με 1.

13. Όμως…. γιαηί ηο ℮?
Ο λόγος για τον οποίο οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες
ενδιαφέρονται για το ℮, είναι ότι εμφανίζεται ξαφνικά σε
πολλά διαφορετικά σημεία όταν προσπαθούμε να επιλύσουμε
προβλήματα.
Αυτό σχετίζεται με την (ωραία) ιδιότητα ότι, για μικρές
τιμές του x, έχουμε:
ex

14. Λύζεης ποισωλύκωλ ασηού ηοσ είδοσς κπορούλ λα αποηειέζοσλ :
 Οη θσζηθοί αρηζκοί
 Τα θιάζκαηα
 Οη ρίδες
Της ιύζεης ηωλ ποισωλύκωλ ποσ οη ζσληειεζηές ηοσς είλαη
αθέραηοη, ηης ορίδοσκε ως αιγεβρηθούς αρηζκούς.
Ασηό ζεκαίλεη όηη οη θσζηθοί αρηζκοί, ηα θιάζκαηα θαη οη ρίδες
είλαη όια αιγεβρηθοί αρηζκοί, αθού αποηειούλ ιύζεης
ποισωλύκωλ ασηού ηοσ είδοσς.

15. Από ηεκ ανπαηόηεηα, έκα ακαπάκηεημ ενώηεμα αθμνμύζε ημ ακ είκαη
δοκαηόκ κα θαηαζθεοάζμομε έκα ηεηνάγςκμ με εμβαδόκ ίζμ με αοηό
εκόξ ζογθεθνημέκμο θύθιμο.
Ακ λεθηκήζμομε με έκακ θύθιμ αθηίκαξ ίζεξ με 1, ηόηε ημ εμβαδόκ ημο
ηζμύηαη με π.
Γ = πR²
Γηα κα θαηαζθεοάζμομε έκα ηεηνάγςκμ πμο ημ εμβαδόκ ημο κα
είκαη ίζμ με π, πνέπεη κα θαηαζθεοάζμομε μηα εοζεία πμο ημ
μήθμξ ηεξ κα είκαη ίζμ με √π, ώζηε, όηακ ορςζεί ζημ ηεηνάγςκμ,
κα μαξ δώζεη ημ δεημύμεκμ εμβαδόκ.
Σεηναγςκηζμόξ ημο θύθιμο
Με άιια ιόγηα, ακ μ π είκαη αιγεβνηθόξ ανηζμόξ, δειαδή ακ απμηειεί
ιύζε θάπμημο θακμκηθμύ πμιοςκύμμο, ηόηε μ θύθιμξ μπμνεί κα
ηεηναγςκηζηεί. Δηαθμνεηηθά δεκ μπμνεί.

16. Ο Euler ήηακ μ πνώημξ πμο ακανςηήζεθε, ημ 1748,
ακ ημ e θαη ημ π είκαη αιγεβνηθμί ανηζμμί.
Όμςξ.. ακ ημ e θαη ημ π δεκ είκαη αιγεβνηθμί
ανηζμμί, ηόηε ηη ανηζμμί ζα μπμνμύζακ κα είκαη;;
Οη μαζεμαηηθμί απμθαιμύκ ημοξ με αιγεβνηθμύξ
ανηζμμύξ οπενβαηηθμύξ ανηζμμύξ.
Πανόιμ πμο ημ ενώηεμα ηέζεθε πνώηε θμνά ημ
1748, δεκ απακηήζεθε μέπνη ημ 1844……

17. Πναγμαηηθμί
Ανηζμμί
Ρθτοί
Ακζραιοι
Φυςικοί
Αιγεβνηθμί
Υπενβαηηθμί

18. Εθείκε ηε πνμκηά, μ
Γάιιμξ μαζεμαηηθόξ
Ζμδέθ Λημοβίι Joseph
Liouville,
(1809 – 1882),
δεμημύνγεζε ημκ
πνώημ ανηζμό πμο
απμδεδεηγμέκα ήηακ
οπενβαηηθόξ.

19. Σμ 1883, μ ΢ανι Γνμίη
Charles Hermite, (1822
– 1901),
απέδεηλε όηη ημ e είκαη
οπενβαηηθόξ ανηζμόξ.

20. Τμ 1882, μ Φένκηηκακη Φμκ
Λίκηεμακ, Carl Louis Ferdinand
von Lindemann, (1852 – 1939),
απέδεηλε όηη ημ π είκαη
οπενβαηηθόξ ανηζμόξ. Αοηό
απάκηεζε μνηζηηθά ζημ πνόβιεμα
ημο ηεηναγωκηζμμύ ημο θύθιμο,
απμδεηθκύμκηαξ όηη είκαη αδύκαημκ
κα γίκεη.

21. Υπάνπμοκ θη άιιμη οπενβαηηθμί ανηζμμί ;;
Έπεη απμδεηπηεί πωξ ημ eπ είκαη οπενβαηηθόξ,
Επηπιέμκ, ελαθμιμοζμύκ κα είκαη άγκωζηεξ μη ηδηόηεηεξ
απιώκ παναζηάζεωκ, όπωξ ημ e + π θαη ημ e • π.
Δεκ είκαη γκωζηό, όμωξ,
ακ ημ ee
ή πe
ή ππ είκαη οπενβαηηθμί ή αιγεβνηθμί ανηζμμί.

22. ea , ακ ημ α είκαη αιγεβνηθόξ θαη με μεδεκηθόξ ανηζμόξ θαη, ηδίςξ, όπη ημ e.
(ζεώνεμα Lindemann–Weierstrass), π.
 eπ (ζηαζενά ημο Gelfond) όπςξ επίζεξ θαη ημ e-π/2=i i (ζεώνεμα
Gelfond–Schneider)
 ab όπμο ημ a είκαη αιγεβνηθόξ, εθηόξ ημο 0, 1 θαη ημ b έκαξ άννεημξ
αιγεβνηθόξ (ζεώνεμα Gelfond–Schneider) , γηα πανάδεηγμα : (ζηαζενά
Gelfond–Schneider)
 Σμ εμα, ημ ζοκα θαη ε εθα θαη ηα πμιιαπιαζηαζηηθά ημοξ ακηίζηνμθα
γηα θάζε με μεδεκηθό αιγεβνηθό ανηζμό α (ζεώνεμα Lindemann – Weierstrass)
 lna, ακ ημ a είκαη αιγεβνηθόξ θαη δηάθμνμξ ημο 0 θαη ημο 1 (ζεώνεμα
Lindemann–Weierstrass)
 Γ(1/3), Γ(1/4) θαη Γ(1/6)
 Ω (ζηαζενά ημο Chaitin)
 ΢ηαζενά ηςκ Prouhet – Thue – Morse
Αριθμοί που γνωρίζουμε ότι είναι υπερβατικοί
όπου β>1 και
(floor function)

23. Πόζμη οπενβαηηθμί ανηζμμί οπάνπμοκ;
Γίκαη άναγε πενηζζόηενμη από ημοξ αιγεβνηθμύξ ανηζμμύξ;
Έπεη κόεμα κα ιέμε όηη έκα απεηνμζύκμιμ ανηζμώκ είκαη
μεγαιύηενμ ή μηθνόηενμ από έκα άιιμ;
Η πνμζπάζεηα κα απακηεζμύκ αοηά ηα ενςηήμαηα άκμηλε
έκακ εκηειώξ κέμ μνίδμκηα ζηε μαζεμαηηθή ζθέρε, ζε
ό,ηη αθμνά ημ άπεηνμ θαη μαξ πανείπε μηα εκηοπςζηαθά
βαζηά ακηίιερε ηεξ θύζεξ ημο απείνμο . . . .

24. Για να αποκηήζοσμε ηον έλεγτο ηοσ απείροσ, όμως, είναι καλύηερα να
καηανοήζοσμε πρώηα ηοσς φσσικούς αριθμούς.
Το πρώηο απειροζύνολο με ηο οποίο ήρθαν ζε επαθή οι άνθρωποι, ήηαν ηο
ζύνολο ηων θσζικών αριθμών.
Όηαν δύο πεπεραζμένα ζύνολα έτοσν ηον ίδιο πληθικό αριθμό, ηόηε ηο ένα
ζύνολο μπορεί να απεικονιζηεί αμθιμονοζήμανηα επί ηοσ άλλοσ ζσνόλοσ.
Αν δεν περιζζεύει κανένα ζηοιτείο ζε κάποιο από ηα δύο ζύνολα, ηόηε
έτοσν ηον ίδιο πληθικό αριθμό.
Θα τρηζιμοποιήζοσμε ηην ίδια αρτή όηαν μιλάμε για ηα απειροζύνολα και
θα ηα ζσγκρίνοσμε τρηζιμοποιώνηας ηη μέθοδο ηης απεικόνισης….

25. ΟΡΙ΢ΜΟ΢: Ακ ηα Α θαη Β είκαη δύμ απεηνμζύκμια, θη ακ όια ηα ζημηπεία
ημο Α απεηθμκίδμκηαη έκα πνμξ έκα επί όιςκ ηςκ ζημηπείςκ ημο Β, ηόηε
ηα Α θαη Β έπμοκ ημκ ίδημ πιεζηθό ανηζμό.
Αθμύ ηα δύμ ζύκμια Α θαη Β είκαη απεηνμζύκμια, μ πιεζηθόξ ημοξ
ανηζμόξ δεκ μπμνεί κα είκαη θάπμημξ πεπεναζμέκμξ ανηζμόξ.
΢οκεπώξ, ζα είκαη απαναίηεημ ηειηθά κα μνίζμομε θάπμηα επηπιέμκ
ζύμβμια πμο ζα εθθνάδμοκ ημκ πιεζηθό ανηζμό ηςκ απεηνμζοκόιςκ.
Κάζε απεηνμζύκμιμ πμο μπμνεί κα ηεζεί ζε
αμθημμκμζήμακηε απεηθόκηζε με ημοξ θοζηθμύξ
ανηζμμύξ, μκμμάδεηαη ανηζμήζημμ ζύκμιμ.

26. ΘΓΩΡΗΜΑ :
Κάζε ανηζμήζημμ απεηνμζύκμιμ έπεη ημκ ίδημ
πιεζηθό ανηζμό με ημοξ θοζηθμύξ ανηζμμύξ (ίδημ
μέγεζμξ) .
Τμ ζεώνεμα αοηό αθήκεη κα εκκμεζεί όηη έκα
άπεηνμ οπμζύκμιμ εκόξ ανηζμήζημμο ζοκόιμο έπεη
ημ ίδημ μέγεζμξ με ημ ανπηθό ζύκμιμ.
Ο ιόγμξ πμο ε έκκμηα αοηή μαξ θάκεη κα
κηώζμομε ‘‘πανάλεκα’’, είκαη μηα ηδηόηεηα ηωκ
πεπεναζμέκωκ ανηζμώκ, πμο δεκ ηεκ έπμοκ μη
άπεηνμη ανηζμμί.

27. Φαναθηενηζηηθή ηδηόηεηα
ημο απείνμο

28. 1 2 3 4  
2
1 ..4 ..9 ..16  


29. 1 2 3 4 5…
2212 32 42 52…

30. ε
π
22
π

31. 2 2
f(x)=εθ(x)

32. Όια ζρεδόλ όζα πξέπεη λα κάζνπκε
γηα ηνπο ππεξβαηηθνύο, νθείινληαη
ζ’ απηόλ.
Έδεζε κηα εμαηξεηηθά
ελδηαθέξνπζα, αιιά ηξαγηθή
δωή.

33.  Γεννήθηκε στην Αγ. Πετρούπολη, στη Ρωσία, στις 3 Μαρτίου 1845
 Πατέρας του ήταν ο Γκέοργκ Γουόλντεμαν Κάντορ, ένας Δανός
έμπορος, και μητέρα του η Μαρία Μπεμ Κάντορ
 Το 1856 η οικογένεια μετακόμισε στη Φρανκφούρτη του Μάιν, στο
κρατίδιο της Έσης, για να αποφύγει ο Γκέοργκ ο πρεσβύτερος τους δριμείς
ρώσικους χειμώνες
 Όταν ο Γκέοργκ έγινε 15 χρονών, επέδειξε μεγάλο ταλέντο στα
μαθηματικά και γράφτηκε στο Ανώτερο Πολυτεχνείο Γραντ – Ντουκάλ
στο Ντάρμστατ
 Το 1863 εισήχθη στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, όπου επέλεξε να
σπουδάσει μαθηματικά, φυσική και φιλοσοφία
 Ήταν θεοσεβούμενος
 Το 1872 εγκαταστάθηκε στο Χάλε , όπου γνωρίστηκε και έγινε φίλος με
έναν άλλο νεαρό Γερμανό Μαθηματικό, τον Ρίχαρντ Ντέντεκιντ

34. Ο Κάντορ έθεσε το εξής ερώτημα :
Θέτοντας αυτό το ερώτημα αναρωτιόταν αν οι πραγματικοί
αριθμοί, στους οποίους συμπεριλαμβάνονται οι αλγεβρικοί
και οι υπερβατικοί αριθμοί, είναι αριθμήσιμοι.
Αν οι υπερβατικοί και οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι
αριθμήσιμοι, τότε το άθροισμά τους θα είναι κι αυτό
αριθμήσιμο.
Στις 29 Νοεμβρίου 1873, ο Κάντορ έγραψε ένα γράμμα
στο φίλο του, Ρίχαρντ Ντέντεκιντ….
Είναι αριθμήσιμοι οι υπερβατικοί αριθμοί;;

35. Δύο Αποδείξεις
Κατέληξε ςτο ςυμπέραςμα ότι
οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι αριθμήςιμοι
γιατί είναι υπερβολικά πολλοί

36.  Την παρουσίασε στον Ντέντεκιντ το
Δεκέμβριο του 1873 και δημοσίευσε το 1874
Χρησιμοποίησε την εις άτοπον απαγωγή
Υπέθεσε ότι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί
θα μπορούσαν να απεικονιστούν
αμφιμονοσήμαντα επί των φυσικών αριθμών
κι έδειξε ότι αυτό οδηγούσε σε αντίφαση

37. Αναπτύχθηκε μερικά χρόνια αργότερα. Στηρίχθηκε
στο δεκαδικό μας σύστημα.
Είναι ουσιαστικά ίδια με την πρώτη απόδειξη, αφού
χρησιμοποιεί την έμμεση μέθοδο
(αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση)
Σ’ αυτή την περίπτωση υποθέτουμε ότι οι αριθμοί
συμβολίζονται με τη δεκαδική τους μορφή