1. 1
Σενάπιο 7. Μελέηη ηηρ ζςνάπηηζηρ f(x) = αx2
+βx+γ
Γνωζηική πεπιοσή:
Άιγεβπα Α΄ Λςθείος.
Η ζςνάπηεζε y= αx2
+βx+γ (γπαθηθή παπάζηαζε, µονοηονία, αθπόηαηα).
Θέµα:
Σο πποηεηνόµενο ζέµα αθοπά ηεν θαηαζθεςή ηερ γπαθηθήρ παπάζηαζερ ηερ
ζςνάπηεζερ ηος ηπηυνύµος µέζα από δύο βαζηθέρ µεηαθοπέρ ηερ γπαθηθήρ
παπάζηαζερ ηερ βαζηθήρ ζςνάπηεζερ y= αx2
. Επηπιέον αθοπά ηοςρ
µεηαζσεµαηηζµούρ ηερ γπαθηθήρ παπάζηαζερ όηαν µεηαβάιιεηαη ο ζςνηειεζηήρ α.
Με βάζε ηα πποεγούµενα µποπεί να γίνεη ε µειέηε ηυν ζςναπηεζηαθών ηδηοηήηυν
ηος ηπηυνύµος.
Τεσνολογικά επγαλεία:
Σο ζενάπηο πποηείνεηαη να ςιοποηεζεί µε ηο ιογηζµηθό Geogebra.
Σκεπηικό:
Βαζική ιδέα
Η θαηαζθεςή ηερ γπαθηθήρ παπάζηαζερ ηερ ζςνάπηεζερ y= αx2
+βx+γ θαη ε µειέηε
ηυν ζςναπηεζηαθών ηδηοηήηυν ηερ ζα µποπούζε να ςιοποηεζεί µέζα από ηηρ
µεηαθοπέρ ηερ βαζηθήρ δεςηεποβάζµηαρ ζςνάπηεζερ y= αx2
. Οη µεηαθοπέρ αςηέρ
είναη δςναηόν να οπηηθοποηεζούν θαη να γίνοςν δςναµηθέρ αν ε δηδαζθαιία
ςποζηεπησηεί από ένα δηεπεςνεηηθό ιογηζµηθό ηο οποίο να έσεη σαπαθηεπηζηηθά CAS.
Επηπιέον, ζα µποπούζαν οη µαζεηέρ να δηεπεςνήζοςν ηεν ζεµαζία ηυν ζςνηειεζηών
α, β, γ όηαν αςηοί µεηαβάιιονηαη δςναµηθά.
Πποζηιθέµενη αξία.
Η δηδαζθαιία ηερ ζςνάπηεζερ y= αx2
+βx+γ, µε βάζε ηο ζσοιηθό εγσεηπίδηο,
ζηεπίδεηαη απσηθά ζηοςρ αιγεβπηθούρ µεηαζσεµαηηζµούρ ηοςρ οποίοςρ εθαπµόδοςµε
ζηο ηπηώνςµο ώζηε να έπζεη ζηε µοπθή
4
4-
-)
2
(xxx 2
2
22




 .
΢ηεν ζςνέσεηα παποςζηάδεηαη ε µεηαηόπηζε ηερ γπαθηθήρ παπάζηαζερ ηερ τ= ασ2
µε βάζε ηεν µοπθή πος έσεη ηο µεηαζσεµαηηζµένο ηπηώνςµο. ΢ύµθυνα µε ηο
εγσεηπίδηο ε ηειηθή µοπθή ηος ηπηυνύµος ‘αποθαιύπηεη’ θαηά θάποηον ηπόπο ηηρ
απαπαίηεηερ γενηθέρ µεηαθοπέρ πος ζα ππέπεη να ςποζηεί ε γπαθηθή παπάζηαζε ηερ
y=αx2
ε οποία έσεη ήδε µειεηεζεί ζε πποεγούµενε παπάγπαθο. Καζώρ δεν

2. 2
ςπάπσοςν επγαιεία δςναµηθήρ αναπαπάζηαζερ ηυν γπαθηθών παπαζηάζευν ηο
εγσεηπίδηο πεπηοπίδεηαη ζηεν παποςζίαζε µηθπού απηζµού ζηαηηθών εηθόνυν γηα
ηο αποηέιεζµα ηυν µεηαθοπών θαη ηεν θαηαζθεςή ηερ γπαθηθήρ παπάζηαζερ ηος
ηπηυνύµος.
Με ηο παπόν ζενάπηο οη µαζεηέρ ζα αποδώζοςν θαη’ απσήν θηναηζζεηηθό νόεµα ζηηρ
µεηαθοπέρ ηερ βαζηθήρ γπαθηθήρ παπάζηαζερ θαζώρ ζα ππαγµαηοποηούν ηηρ
µεηαθοπέρ αςηέρ οη ίδηοη. Επηπιέον οη µαζεηέρ ζα έσοςν ηεν δςναηόηεηα να
δηεπεςνήζοςν εηδηθέρ πεπηπηώζεηρ γπαθηθών παπαζηάζευν ηπηυνύµυν όπυρ γηα
παπάδεηγµα ηπηώνςµο µε β=0 ή γ=0 ή ∆=0 θ.ι.π.
Αθόµε ζα ζςνδέζοςν ηηρ µεηαβοιέρ ηυν ηηµών ηυν ζςνηειεζηών α, β, γ µε ηοςρ
µεηαζσεµαηηζµούρ πος ςθίζηαηαη ε γπαθηθή παπάζηαζε (αιιαγή θαµπςιόηεηαρ,
θίνεζε ζηο
επίπεδο, µεηαθοπέρ). Αςηή αθπηβώρ ε δςναηόηεηα µεηαζσεµαηηζµού ηερ γπαθηθήρ
παπάζηαζερ έσεη µία ηδηαίηεπε δηδαθηηθή αξία αθού ζηεν ζςνήζε ππαθηηθή ε
µεηαζσεµαηηζµόρ αςηόρ είναη ε θαηάιεξε θαη όση ε αθεηεπία ηερ δηεπεύνεζερ µίαρ
ζςνάπηεζερ.

3. 3
Οη ποιιαπιέρ αναπαπαζηάζεηρ ηερ ζςνάπηεζερ, ζηο µαζεζηαθό πεπηβάιιον ζηο
οποίο ζα ςιοποηεζούν οη δπαζηεπηόηεηερ, είναη δςναµηθά ζςνδεδεµένερ θαη ε
µεηάβαζε από ηεν µία ζηεν άιιε γίνεηαη µέζα από ηεν δςναηόηεηα αιιειεπίδπαζερ
ηυν τεθηαθών επγαιείυν.
Οη µαζεηέρ ζα δηαππαγµαηεςηούν θαη ζα δηεπεςνήζοςν ηεν ζςµπεπηθοπά ηερ
ζςνάπηεζερ ζςνεπγαδόµενοη µεηαξύ ηοςρ θαη µε ηον δηδάζθονηα ώζηε ε αίζοςζα να
µεηαηπαπεί ζε ένα επγαζηήπηο µαζεµαηηθών δπαζηεπηοηήηυν.
Πλαίζιο εθαπµογήρ:
Σε ποιοςρ απεςθύνεηαι:
Σο ζενάπηο απεςζύνεηαη ζηοςρ µαζεηέρ ηερ Α΄ Λςθείος.
Χπόνορ ςλοποίηζηρ:
Γηα ηεν εθαπµογή ηος ζεναπίος εθηηµάηαη όηη απαηηούνηαη 2 δηδαθηηθέρ ώπερ.
Χώπορ ςλοποίηζηρ:
Σο ζενάπηο πποηείνεηαη να δηεξασζεί εξ’ οιοθιήπος ζηο επγαζηήπηο ςποιογηζηών. Ο
πεηπαµαηηζµόρ µε ηε βοήζεηα θαηάιιειος ιογηζµηθού απαηηεί πάνυ απ’ όια
επγαζηήπηο µε 10 ηοςιάσηζηον ζέζεηρ, ώζηε να µποπούν να επγαζηούν οη µαζεηέρ ανά
ηπεηρ. Η επηιογή από ηον δηδάζθονηα να ηο ςιοποηήζεη ζηεν αίζοςζα δηδαζθαιίαρ µε
ηεν σπήζε βηνηεοπποβοιέα ζα αθύπυνε ηο µεγαιύηεπο µέπορ ηερ πποζηηζέµενερ
αξίαρ.
Πποαπαιηούµενερ γνώζειρ:
Ωρ ππορ ηα µαζεµαηηθά οη µαζεηέρ ζα ππέπεη να γνυπίδοςν
 Σον µεηαζσεµαηηζµό ηος ηπηυνύµος ζηεν µοπθή
4
4-
-)
2
(xxx 2
2
22




 .
 Σηρ µεηαθοπέρ ηηρ οποίερ ςθίζηαηαη ε γπαθηθή παπάζηαζε ηερ f(x) όηαν αςηή
µεηαζσεµαηίδεηαη ζε f(x+κ) ή ζε f(x)+λ.
Ωρ ππορ ηεν ηεσνοιογία οη µαζεηέρ ζα ππέπεη να γνυπίδοςν
 Σεν δεµηοςπγία ενόρ ζεµείος ζηεν οζόνε όηαν είναη γνυζηέρ οη
ζςνηεηαγµένερ ηος.
 Σεν δεµηοςπγία ηος ζεµείος ηοµήρ δύο εςζεηών.
 Σεν δεµηοςπγία γπαθηθών παπαζηάζευν.

4. 4
Απαιηούµενα βοηθηηικά ςλικά και επγαλεία:
Κάζε οµάδα είναη ζθόπηµο να δηαζέηεη ένα θύιιο επγαζίαρ µέζα ζηο οποίο ο
δηδάζθυν ζα έσεη ζέζεη ζςγθεθπηµένα επυηήµαηα θαη οδεγίερ. Επηπιέον θαιό ζα
είναη οη µαζεηέρ να δηαζέηοςν ένα ηεηπάδηο ζεµεηώζευν.
Κοινωνική ενοπσήζηπωζη ηηρ ηάξηρ
Οη µαζεηέρ επγαδόµενοη ζε οµάδερ θαη θαζοδεγούµενοη από θύιιο επγαζίαρ,
θαιούνηαη να επηνοήζοςν ηπόποςρ αξηοποίεζερ ηυν δςναηοηήηυν ηος τεθηαθού
επγαιείος ηο οποίο δηαζέηοςν. Εποµένυρ, ε δηεπεύνεζε αςηή ζα γίνεη ζςνεπγαηηθά.
Γηα να ςπάπσεη θοηνόρ ζηόσορ θαη θαιή ζςνεπγαζία οη µαζεηέρ θαιούνηαη να
ζςµπιεπώζοςν ένα θοηνό θύιιο επγαζίαρ πος πεπηέσεη επυηήζεηρ ζσεηηθέρ µε ηο
ζέµα. Φςζηθά ηο θύιιο επγαζίαρ ζα ππέπεη να αθήνεη µηα απθεηά µεγάιε ειεςζεπία
ζηοςρ µαζεηέρ ώζηε να ζέηοςν ηα δηθά ηοςρ επυηήµαηα θαη να απανηούν ζ’ αςηά.
΢ηε δηάπθεηα ηερ ςιοποίεζερ ηος ζεναπίος ο εθπαηδεςηηθόρ ζα ππέπεη να ειέγσεη ηα
ζςµπεπάζµαηα ηυν µαζεηών, να ζςνεπγάδεηαη µαδί ηοςρ, να ηοςρ θαζοδεγεί ώζηε να
ανηηιαµβάνονηαη θαιύηεπα ηα αποηειέζµαηά ηοςρ θαη να ηοςρ ενζαππύνεη να
ζςνεσίζοςν ηεν δηεπεύνεζε.
Σηόσοι:
Οη δπαζηεπηόηεηερ πος πεπηγπάθονηαη ζηε ζςνέσεηα έσοςν υρ ζηόσο ηεν µέζυ
πεηπαµαηηζµού ζύνδεζε θαη θαηανόεζε βαζηθών µαζεµαηηθών εννοηών θαη
ζςγθεθπηµένα:
 Οη µαζεηέρ ζα µάζοςν να θαηαζθεςάδοςν ηεν γπαθηθή παπάζηαζε ενόρ
ηπηυνύµος µέζα από θαηάιιειερ µεηαθοπέρ.
 Θα µποπούν να πεπηγπάθοςν ηεν µονοηονία θαη ηηρ άιιερ ζςναπηεζηαθέρ
ηδηόηεηερ ηερ ζςνάπηεζερ f(x)=αx2
+βx+γ.
 Θα ζςνδέζοςν ηηρ µεηαβοιέρ ηυν ζςνηειεζηών α, β, γ µε ηοςρ
µεηαζσεµαηηζµούρ ηερ γπαθηθήρ παπάζηαζερ.
 Θα ζςνδέζοςν ηεν γπαµµηθή ζςνάπηεζε µε ηεν οµοηόηεηα ηυν ηπηγώνυν.
Σα παπαπάνυ αθοπούν ηοςρ γνυζηηθούρ ζηόσοςρ. Οη θοηνυνηθοί ζηόσοη γηα ηοςρ
µαζεηέρ ενηοπίδονηαη θςπίυρ ζηεν ζςνεπγαζία θαη ηεν δηαππαγµάηεςζε ηυν ηδεών
ηοςρ ώζηε ε γνώζε να αποθηήζεη έναν δηςποθεηµενηθό σαπαθηήπα.

5. 5
Ανάλςζη ηος ζεναπίος:
Ροή εθαπµογήρ ηυν δπαζηεπηοηήηυν
Ο δηδάζθυν ζα ππέπεη να έσεη εηοηµάζεη ένα απσείο ιογηζµηθού µε θαηάιιειοςρ
δποµείρ θαη δηανύζµαηα µεηαθοπάρ ώζηε οη µαζεηέρ να επηθενηπυζούν πεπηζζόηεπο
ζηεν δηεπεύνεζε θαη ιηγόηεπο ζηηρ ηεσνηθέρ θαηαζθεςήρ ηυν επγαιείυν µεηαθοπάρ.
Σο απσείο αςηό πποηείνεηαη να πεπηέσεη:
 Σπεηρ δποµείρ α, β, γ γηα ηοςρ ζςνηειεζηέρ ηος ηπηυνύµος.
 ∆ύο δηανύζµαηα, ένα οπηδόνηηο θαη ένα θαηαθόπςθο, µε ηα οποία ζα γίνεη ε
µεηαθοπά ηυν γπαθηθών παπαζηάζευν.
Οη δπαζηεπηόηεηερ ηος ζεναπίος ζα ςιοποηεζούν ζε ηπεηρ θάζεηρ.
1η
Φάζη
΢ηεν απσή ο δηδάζθυν δεηά από ηοςρ µαζεηέρ να θαηαζθεςάζοςν ηεν γπαθηθή
παπάζηαζε ηερ y=αx2
+βx +γ επηιέγονηαρ ηηµέρ β=0 θαη γ=0 ζηοςρ ανηίζηοησοςρ
δποµείρ.
΢ηεν ζςνέσεηα δεηά να αιιάξοςν ηηρ ηηµέρ ζηον δποµέα α θαη να µειεηήζοςν ηηρ
µεηαβοιέρ ηερ γπαθηθήρ παπάζηαζερ. Αθοιούζυρ δεηά από ηοςρ µαζεηέρ να
θαηαζθεςάζοςν ηεν γπαθηθή παπάζηαζε ηος ηπηυνύµος x2
+2x+1 θαη να
πεπηγπάτοςν ηον ηπόπο µε ηον οποίο ζα ππέπεη να θηνεζεί ε γπαθηθή παπάζηαζε ηερ
y=x2
ώζηε να ηαςηηζηεί µε ηεν γπαθηθή παπάζηαζε ηερ τ=x2
+2x+1. ΢ηο ζεµείο
αςηό οη µαζεηέρ σπεζηµοποηούν ηο οπηδόνηηο δηάνςζµα θ γηα να ςιοποηήζοςν ηεν

6. 6
µεηαθοπά θαη ηεν ηαύηηζε.
΢ηε ζςνέσεηα δεηά να θαηαζθεςάζοςν ηεν γπαθηθή παπάζηαζε ηερ y=x2
+2x-3 αθού
ππώηα ηοςρ ςποδείξεη να µεηαζσεµαηίζοςν ηο ηπηώνςµο ζε (x+1)2
-4. Ο ζηόσορ ηερ
δπαζηεπηόηεηαρ αςηήρ είναη να αναγνυπίζοςν οη µαζεηέρ όηη µε ηον
µεηαζσεµαηηζµό αςηό µποπούν να δηαθπίνοςν ηηρ δύο µεηαθοπέρ πος ζα ππέπεη να
ςιοποηήζοςν ζηεν γπαθηθή παπάζηαζε ηερ y=x2
.
Σέιορ, δεηά από ηοςρ µαζεηέρ να αναθαιέζοςν ηον µεηαζσεµαηηζµό ηερ γενηθήρ
µοπθήρ ηος ηπηυνύµος
4
4-
-)
2
(xxx 2
2
22




 θαη να
πεπηγπάτοςν ζε βήµαηα ηεν δηαδηθαζία µε ηεν οποία ζα µποπούν πιέον να
θαηαζθεςάζοςν ηεν γπαθηθή παπάζηαζε οποηοςδήποηε ηπηυνύµος µε ηεν βοήζεηα
ηερ y=αx2
θαη ηοςρ δποµείρ α, θ, ι.
Ένα ενδεηθηηθό θύιιο επγαζίαρ ζα µποπούζε να ήηαν παπαθάηυ:
Φύλλο επγαζίαρ 1.
1) Να θαηαζθεςάζεηε ηεν γπαθηθή παπάζηαζε ηερ f(x)=αx2
. Να µεηαβάιιεηαη ηηρ
ηηµέρ ηος α µε ηεν βοήζεηα ηος δποµέα. Να ζςµπιεπώζεηε ηον παπαθάηυ πίναθα.
ηηµέρ ηος α α<0 α=0 α>0
µοπθή ηερ γπαθηθήρ
παπάζηαζερ.
2) Να θαηαζθεςάζεηε ηεν γπαθηθή παπάζηαζε ηερ y=x2
+2x+1 εηζάγονηαρ ηον ηύπο
ηερ απεςζείαρ ζηο ιογηζµηθό. Να πεπηγπάτεηε ηηρ µεηαθοπέρ πος ζα ππέπεη να γίνοςν
ζηεν γπαθηθή παπάζηαζε ηερ f(x)=αx2
θαζώρ θαη ηεν ηηµή ηος α πος ζα ππέπεη να
επηιέξεηε. Με ηεν βοήζεηα ηυν δηανςζµάηυν θ θαη ι να ςιοποηήζεηε ηηρ µεηαθοπέρ
αςηέρ.
3) Να θαηαζθεςάζεηε ηεν γπαθηθή παπάζηαζε ηερ y=x2
+2x-3 µεηαθέπονηαρ
θαηάιιεια ηεν γπαθηθή παπάζηαζε ηερ y=x2
+2x+1. Ποηερ µεηαθοπέρ ζα ππέπεη να
γίνοςν ζηεν y=x2
ώζηε να πποθύτεη ε y=x2
+2x-3;
4) Θέιοςµε ηώπα να βπούµε µία γενηθεςµένε δηαδηθαζία µε ηεν οποία ζα µποπούµε
να θαηαζθεςάζοςµε ηεν γπαθηθή παπάζηαζε οποηαζδήποηε ζςνάπηεζερ ηερ µοπθήρ
f(x)=αx2
+βx+γ µε θαηάιιειερ µεηαθοπέρ ηερ y=αx2
. Να πεπηγπάτεηε µία ηέηοηα

7. 7
δηαδηθαζία µε βάζε ηον ηύπο
4
4-
-)
2
(xxx 2
2
22





5) Να θάνεηε ηηρ γπαθηθέρ παπαζηάζεηρ ηπηών ηςσαίυν ηπηυνύµυν ηερ δηθήρ ζαρ
επηιογήρ µε βάζε ηεν δηαδηθαζία πος πεπηγπάταηε ζηεν πποεγούµενε επώηεζε.
2η
Φάζη
΢ηε θάζε αςηή οη µαζεηέρ µε ηεν βοήζεηα ηος ιογηζµηθού ζα µειεηήζοςν
ζςναπηεζηαθέρ ηδηόηεηερ ηερ f(x)=αx2
+βx+γ. Εδώ οη µαζεηέρ ζα ππέπεη να
µειεηήζοςν απσηθά ηεν µονοηονία θαη ηα αθπόηαηα ηερ ζςνάπηεζερ f(x)=αx2
γηα ηηρ
δηάθοπερ ηηµέρ ηος α.
΢ηεν ζςνέσεηα ζα θαηαζθεςάζοςν ηεν γπαθηθή παπάζηαζε µίαρ ζςγθεθπηµένερ
ζςνάπηεζερ π.σ 2x2
-8x+5 µε µεηαθοπέρ. ΢ηο ζεµείο αςηό ζα ππέπεη να
θαηαζθεςάζοςν ηο ζεµείο Ο(0, 0) θαη να ηο µεηαθέποςν θαηά ηα δηανύζµαηα θ
(απσηθά) θαη ζηεν ζςνέσεηα ι.
Ο δηδάζθυν δεηά από ηοςρ µαζεηέρ να µεηαθέποςν ηεν µονοηονία θαη ηερ άιιερ
ζςναπηεζηαθέρ ηδηόηεηερ ηερ f(x)=2x2
ζηεν θαηνούπγηα ζέζε οπόηε αναµένεηαη να
αναγνυπίζοςν οη µαζεηέρ όηη ε θοπςθή ηερ θαµπύιερ αποηειεί ηο αθπόηαηο ηερ
ζςνάπηεζερ µε ζςνηεηαγµένερ 










4
,
2
Σέιορ ε ύπαπξε άξονα ζςµµεηπίαρ ζα µποπούζε να αναδεησηεί αν οη µαζεηέρ
µεηαθέποςν ηον άξονα σ΄σ θαηά δηάνςζµα θ .

8. 8
3η Φάζη
΢ηεν θάζε αςηή οη µαζεηέρ ζα µειεηήζοςν ηοςρ µεηαζσεµαηηζµούρ ηερ γπαθηθήρ
παπάζηαζερ ενόρ ηπηυνύµος θαζώρ µεηαβάιιονηαη οη ηηµέρ ηυν ζςνηειεζηών α, β, γ.
΢ςγθεθπηµένα ο δηδάζθυν δεηά απσηθά από ηοςρ µαζεηέρ να αναθαιέζοςν ηοςρ
µεηαζσεµαηηζµούρ ηερ γπαθηθήρ παπάζηαζερ ηος ηπηυνύµος όηαν µεηαβάιιεηαη ο
ζςνηειεζηήρ α θαη πποηείνεη να δηαππαγµαηεςηούν ηηρ µεηαβοιέρ ηυν β θαη γ.
΢ηεν ζςνέσεηα οδεγεί ζηαδηαθά ηοςρ µαζεηέρ ζηεν θαηαζθεςή ηερ γπαθηθήρ
παπάζηαζερ ηερ ζςνάπηεζερ f(x)=αx2
+βx+γ µε ηεν βοήζεηα ηυν δποµέυν α, β, γ.
Σώπα πιέον δεηά από ηοςρ µαζεηέρ να αποθπύτοςν ηηρ δύο θαµπύιερ πος
πποθύπηοςν µέζυ µεηαθοπάρ θαη να δώζοςν µε µεδενηθέρ ηηµέρ ζηα β θαη γ.
Η θαµπύιε πος αποµένεη ζηεν οζόνε αποηειεί πιέον ηο ανηηθείµενο µειέηερ θαη
δηεπεύνεζερ ηυν µαζεηών.
Μεπηθέρ από ηηρ δπαζηεπηόηεηερ πος µποπεί να δεηήζεη από ηοςρ µαζεηέρ ο
δηδάζθυν είναη οη εξήρ:
α) Να θαηαζθεςάζοςν ηο ζεµείο 










4
,
2
K θαη να παπαηεπήζοςν όηη αςηό
παπαµένεη πάνηα ζηεν θοπςθή ηερ θαµπύιερ γηα οποηεζδήποηε ηηµέρ ηυν α, β, γ.
β) Να θαηαζθεςάζοςν ηα ζεµεία









 
 0,
2
4
A
2
θαη









 
 0,
2
4
B
2
θαη να παπαηεπήζοςν όηη ηα ζεµεία αςηά εµθανίδονηαη
εθεί πος ε γπαθηθή παπάζηαζε ηέµνεη ηον άξονα χ χ (όηαν αςηό ππαγµαηοποηείηαη).
γ) Μία ενδηαθέποςζα δηεπεύνεζε - πος πποηάζεθε θαη ζηο πιαίζηο ζεναπίος από ηον
επηµοπθυηή ΢πύπο Μαςποςδή ζηο ΠΑΚΕ 7 - ζα µποπούζε να ππαγµαηοποηεζεί µε
βάζε ηοςρ µεηαζσεµαηηζµούρ ηερ γπαθηθήρ παπάζηαζερ όηαν µεηαβάιιεηαη ο
ζςνηειεζηήρ β. ΢ςγθεθπηµένα, ο δηδάζθυν µποπεί να δηαππαγµαηεςηεί µε ηοςρ
µαζεηέρ ζηεν απσή ηεν θαµπύιε πάνυ ζηεν οποία θαίνεηαη να θηνείηαη ε θοπςθή Κ.
΢ηεν ζςνέσεηα ζα δεηήζεη από ηοςρ µαζεηέρ να εµθανίζοςν ηο ίσνορ ηερ θοπςθήρ Κ
θαη να αιιάξοςν ηηρ ηηµέρ ηος δποµέα β.
Η θαµπύιε πος ζα εµθανηζηεί ζα αποηειέζεη ανηηθείµενο ζςδήηεζερ µε ηοςρ µαζεηέρ
θαζώρ παπαπέµπεη ένηονα ζε παπαβοιή.

9. 9
Εδώ ηο ζεµανηηθό είναη να αθοιοςζήζεη δηαππαγµάηεςζε ώζηε να εξεγεζεί µε
µαζεµαηηθό ηπόπο γηαηί ε θοπςθή αθοιοςζεί ηεν ζςγθεθπηµένε δηαδποµή. Σέιορ, ζα
µποπούζε ο δηδάζθυν να δεηήζεη από ηοςρ µαζεηέρ ηον γευµεηπηθό ηόπο ηος Κ όηαν
µεηαβάιιεηαη ο ζςνηειεζηήρ α ή όηαν µεηαβάιιεηαη ο ζςνηειεζηήρ γ.
Επέκηαζη
Μία επέθηαζε ηυν δπαζηεπηοηήηυν ζα µποπούζε να είναη ε παπαθάηυ:
Ο δηδάζθυν δεηά από ηοςρ µαζεηέρ να θαηαζθεςάζοςν µία εςζεία θάζεηε ζηον άξονα
σ΄σ ζε ένα ζεµείο ηος Ρ.
Πάνυ ζηεν εςζεία να θαηαζθεςάζοςν ένα ζεµείο ΢ θαη πάνυ ζηεν γπαθηθή
παπάζηαζε ενόρ ζςγθεθπηµένος ηπηυνύµος (π.σ. 2x2
-3x-2) ένα ζεµείο Σ.
Να θαηαζθεςάζοςν ηο ηµήµα ΢Σ θαη ηο µέζον ηος Μ ζηο οποίο να εµθανίζοςν ηο
ίσνορ.
Μεηαθηνώνηαρ ηο ζεµείο Σ πάνυ ζηεν γπαθηθή παπάζηαζε ηος ηπηυνύµος, ηο
ζεµείο Μ γπάθεη µία θαµπύιε. Οη µαζεηέρ θαιούνηαη να βποςν ηεν ζσέζε ηερ
θαµπύιερ ηος ίσνοςρ ππορ ηεν απσηθή θαµπύιε.
Σο ζεµανηηθό ζε αςηή ηε δηεπεύνεζε είναη να ενηοπίζοςν οη µαζεηέρ µία ή
πεπηζζόηεπερ θανονηθόηεηερ αιιάδονηαρ ηόζο ηερ ζέζε ηερ θαηαθόπςθερ εςζείαρ
όζο θαη ηεν ζέζε ηος ζεµείος ΢ πάνυ ζηεν εςζεία αςηή. Η δηεπεύνεζε αςηή µποπεί
να γίνεη µε ηον δποµέα α θαη
ηα δηανύζµαηα θ θαη ι µε ηα οποία οη µαζεηέρ ζα πποζαπµόδοςν ηεν θαµπύιε τ=ασ2
πάνυ ζηεν θαµπύιε ηος ίσνοςρ ώζηε να βποςν ηα ζηοησεία ηερ θαµπύιερ ηος ίσνοςρ.

10. 10
Αξιολόγηζη µεηά ηην εθαπµογή:
Ωρ ππορ ηιρ επιδιώξειρ ηος ζεναπίος:
Ο εθπαηδεςηηθόρ ειέγσεη θαηά πόζο επηηεύσζεθαν οη ζηόσοη ηος ζεναπίος όπυρ γηα
παπάδεηγµα αν οη µαζεηέρ µποπούν να θαηαζθεςάδοςν ηεν γπαθηθή παπάζηαζε
οποηοςδήποηε ηπηυνύµος µε θαηάιιειερ µεηαθοπέρ. ΢ε πεπίπηυζε πος δηαπηζηυζεί
όηη θάηη ηέηοηο δεν ςιοποηήζεθε εξεηάδεη ηος ιόγοςρ γηα ηοςρ οποίοςρ ζςνέβε αςηό
ώζηε να παπέµβεη ανάιογα ζηο ζενάπηο.
Ωρ ππορ ηα επγαλεία:
Ο εθπαηδεςηηθόρ ειέγσεη ηεν εςθοιία µε ηεν οποία οη µαζεηέρ αξηοποίεζαν ηα
επγαιεία ηος πποηεηνόµενος ιογηζµηθού ζε ζςνδςαζµό µε ηεν ζαθήνεηα ηυν
οδεγηών ηος θαη ηυν πεπηγπαθών ηυν θύιιυν επγαζίαρ. Αθού αξηοιογήζεη ηα
δεδοµένα ηος επεµβαίνεη ανάιογα ζηο ζενάπηο γηα ηεν επόµενε εθαπµογή.
Ωρ ππορ ηην διαδικαζία ςλοποίηζηρ
Ο εθπαηδεςηηθόρ αξηοιογεί ηεν δηαδηθαζία ςιοποίεζερ ηος ζεναπίος αξηοιογώνηαρ
ηα ζηοησεία πος δεν δούιεταν θαιά θαη πποζαπµόδεη ηο ζενάπηο.
Ωρ ππορ ηεν πποζαπµογή θαη επεθηαζηµόηεηα
Η δςναηόηεηα επέθηαζερ ηος ζεναπίος θαη ε εςθοιία πποζαπµογήρ ζε ένα ζσοιηθό
πεπηβάιιον ή ζηεν δηδαθηηθή αηδένηα ενόρ εθπαηδεςηηθού ή ζηεν θοςιηούπα µηαρ

11. 11
ζσοιηθήρ ηάξερ είναη ένα από ηα ζηοησεία πος ηο θαζηζηούν ζεµανηηθό. Ο
εθπαηδεςηηθόρ ππέπεη να ιάβεη ζοβαπά ςπότε ηος αςηέρ ηηρ παπαµέηποςρ θαη να
πποζαπµόζεη ηο ζενάπηο ανάιογα. Ιδηαίηεπα όηαν εθαπµόζεη ηο ζενάπηο ποιιέρ
θοπέρ θαη ζε δηαθοπεηηθέρ ηάξεηρ ή ανηαιιάξεη ηδέερ µε άιιοςρ ζςναδέιθοςρ ηος ζα
έσεη δεδοµένα µε ηα οποία ζα µποπεί να θάνεη οςζηαζηηθέρ πποζαπµογέρ.