1. Ένα δείγμα προβλημάτων στα
Αριθμητικά του Διόφαντου
• Τα Αριθμητικά του Διόφαντου είναι μια
συλλογή προβλημάτων με τις λύσεις
τους.
• Τι είδους προβλήματα είναι αυτά;
• Πως αντιμετώπιζε ο Διόφαντος τα
προβλήματα αυτά;
• Υπάρχει κάποια υποκείμενη
μεθοδολογική βάση στις διαδικασίες
επίλυσης τους; Ή είναι διάφορες
μεμονωμένες τεχνικές που
αντιστοιχούν ειδικά σε κάθε πρόβλημα
χωριστά;

2. Πρόβλημα Ι.27
Θεωρείται ότι το
άθροισμα είναι 20
και το γινόμενο 96.
Έστω ότι ο ένας από
τους ζητούμενος
είναι 10-x, τότε ο
δεύτερος θα είναι
10+x και
(10 – x)(10 + x) = 96
Οπότε 100 – x 2 = 96
2 δηλ. x 2 = 4 και x=2
 20 
 ÷ – 96 =, Άρα οι ζητούμενοι
 2  αριθμοί είναι 12 και 8.

3. Πρόβλημα Ι.28
Θεωρείται ότι το
άθροισμα είναι 20
και το άθροισμα των
τετραγώνων 208.
Έστω ότι ο ένας από
τους ζητούμενος
είναι 10-x, τότε ο
δεύτερος θα είναι
10+x και
(10 – x)2 + (10 + x)2 = 208
⇒ 200 + 2x 2 = 208
⇒x=2
2 × 208 – 202 =, Οπότε οι ζητούμενοι
είναι οι 12 και 8.

4. Πρόβλημα ΙΙ.13
Θεωρείται ότι x είναι ο ζητούμενος αριθμός, οπότε
x – 6 =α 2 x – 7 =β 2 α2 – β2 = 1
1 5 3
Επιλέγεται α+β = 2 α–β= ⇒ α= β=
4
2 4
2
5 121
Συνεπώς x = ÷ +6 =
4 16

5. Πρόβλημα ΙΙ.20
Θεωρούνται ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι x και 2x+1,
οπότε το άθροισμα x+(2x+1)² πρέπει να είναι τέλειο.
Στην προκειμένη περίπτωση θεωρείται ότι είναι ο (2x-2)².
Έτσι 4x²+5x+1=(2x-2)² =4x²- 8x+4, 13x=3, x=3/13.
Και οι ζητούμενοι είναι 3/13 και 19/13.

6. Πρόβλημα ΙΙ.8
Θεωρείται ότι ο δοσμένος τετράγωνος αριθμός είναι ο
16. Λαμβάνεται x το ένα μέρος και (2x- 4)² το άλλο.
Έτσι διαμορφώνεται η εξίσωση: x² +(2x- 4)²=16  5x²=16x
x=16/5.
Και οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 256/25, και 144/25.
Πως του ήρθε να πάρει αυτή την παράσταση ως
δεύτερο μέρος;

7. Ερμηνείες για τη μέθοδο του
Διόφαντου
1η ερμηνεία:
Αν το πρόβλημα Ι.8 γραφεί γενικά, τότε ζητούνται οι ρητές
λύσεις της x² + y² = α².
Ο Διόφαντος επιλέγει y = mx- α [συγκεκριμένα y = 2x- 4]
2mα
x=
m2 +1
α(m2 – 1)
y=
m2 +1

8. 2η ερμηνεία
x + y =α ⇒
2 2 2
α+ y x
x =α – y = (α + y)(α – y) ⇒
2 2 2
= =m ⇒
xα – y
α + y = mx ⇒ y = mx – α