1. Μαθηματικά γενικής παιδείας γ΄ λυκείου
Επαναληπτικές ασκήσεις στο 1ο κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός
1. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού :
x2 − 2
α) f ( x ) =
2
β) g( x ) = x2 + x − 2 −1
x + x−2
x2 − 4 −1
γ) h( x ) = ln( x 2 + x − 2) − 2 δ) s( x ) = .
2
1− 9−x
2. Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια :
x
x2 −1 ηµ
α) lim β) lim 2
x →1 x2 + x − 2 x→
π x−π
2
x3 − 4x + 3 x +2 −2
γ) lim δ) lim
x →1 x2 − 1 x →1 x2 − 4
3. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων :
x2
α) f ( x ) = x 2 e − x β) g( x ) =
ln x
γ) h( x ) = x 2 − 1 − 2x δ) s( x ) = ηµ 2 4 x
ε) t( x ) = x 2 συνx 2 στ) k ( x ) = εφ 2 x
4. Έστω η συνάρτηση f ( x ) = 2 x 2 − 8 x + 1
α) βρείτε το πεδίο ορισμού της f
β) βρείτε την f΄
γ) ποια είναι η εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης
i) στο σημείο της Α(0,f(0))
ii) που είναι παράλληλη στην ευθεία y=4x-2
iii) που είναι παράλληλη στον άξονα x´x
iv) που είναι κάθετη στην ευθεία x+y=-2
v) που σχηματίζει με τον άξονα x´x γωνία 135ο
vi) που διέρχεται από το Β(0,-18)

2. 5. Το εμβαδόν μιας επιφάνειας που μεταβάλλεται με τον χρόνο δίνεται από τον τύπο
E(t) = t 3 − 2t ln 2t + t − 2 . Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού την χρονική στιγμή
t0=2.
6. Ένα κινητό σημείο κινείται πάνω στον οριζόντιο άξονα και η συνάρτηση
x (t ) = t 3 − 6 t 2 + 9t + 1 δίνει την τετμημένη του σημείου σε κάθε χρονική στιγμή t (sec).
α) Ποια είναι η αρχική θέση του σημείου πάνω στον άξονα ;
β) Ποια είναι η ταχύτητα του σημείου σε κάθε χρονική στιγμή t;
γ) Πότε το σημείο είναι ακίνητο ; Ποια είναι η επιτάχυνση αυτές τις χρονικές στιγμές ;
δ) Ποιο είναι το συνολικό διάστημα που διήνυσε το σημείο τα πρώτα 5 sec ;
ε) Ποια είναι η μέση ταχύτητα του σημείου τα πρώτα 5 sec ;
7. Να μελετήσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα :
2 16
α) f ( x ) = x + β) g( x ) = x 2 e x
x
γ) h( x ) = x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 11x − 6 δ) t( x ) = x ln x
1 3 1 2 15 + 10 x
ε) v ( x ) = x − x + ln 2 στ) s( x ) =
3 2 x2 + 4
x −1
8. Έστω η συνάρτηση f ( x ) =
x2 −1
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y.
[
γ) Να υπολογίσετε τα : x→1 f ( x ) και lim f ( x )
lim ]2003
x →1
δ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A = f (0) + f ′(0) + f ′′(0)
9. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = e αx ,α ∈ R.
α) Να βρείτε τις f΄(x) και f΄΄(x)
β) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε να ισχύει η σχέση f΄΄(x)+2f´(x)=3f(x) για κάθε x ∈ R
γ) Να βρείτε την τιμή του α για την οποία η γραφική παράσταση της f(x) στο σημείο Α(0,1)
δέχεται εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία y=3x-11.
10. Έστω ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( x ) = αx 2 ( x + 1) + β x + 5
στο σημείο της Α(-1,8) έχει συντελεστή διεύθυνσης –4.
α) Να αποδείξετε ότι α=-1 και β=-3

3. β) Για τις τιμές των α και β που βρήκατε
f (x)
i) να υπολογίσετε το όριο lim
x →1 x2 − x
ii) να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία
iii) να δείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα.
11. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 1 − 2x 2
α) να βρείτε το πεδίο ορισμού της f
1
β) να βρείτε την εφαπτόμενη της καμπύλης της f στο x0=
2
γ) να βρείτε την μέγιστη τιμή της f
1 − f (x)
δ) να βρείτε το lim
x →0 x
x2
12. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = ln( x − 1) +
2
α) να δείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο της καμπύλης της f ώστε η εφαπτομένη να είναι παράλληλη
στον άξονα x΄x.
β) να βρείτε το σημείο της καμπύλης f που η εφαπτομένη σε αυτό έχει τον ελάχιστο συντελεστή
διεύθυνσης.
γ) να βρείτε την εφαπτομένη της καμπύλης της f στο παραπάνω σημείο του (β) ερωτήματος.
13. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = e 2 x + e −2 x , x ∈ R
α) να αποδείξετε ότι f ′′( x ) = 4 f ′( x )
1
f ′( x ) = 2e x
2
β) να λύσετε την εξίσωση f ( x ) +
2
γ) Να βρείτε για ποια τιμή του x, ο ρυθμός μεταβολής της f είναι μηδέν.
14. Να βρείτε το σημείο της καμπύλης της f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 18 x + 5 με τον ελάχιστο συντελεστή
διεύθυνσης.
15. Η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογώνιου κήπου είναι τοίχος. Αν διαθέτουμε σύρμα μήκους 200m ,
ποια θα είναι η μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια του κήπου που θα περιφράξουμε.
16. Ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με τετράγωνη βάση είναι ανοικτό από πάνω.
Η ολική του επιφάνεια είναι 2352 cm2. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του κουτιού, ώστε να
έχει τον μεγαλύτερο δυνατό όγκο ;

4. 17. Θέλουμε να κατασκευάσουμε μια αφίσα, της οποίας η τυπωμένη επιφάνεια να είναι 50 cm2 με
περιθώρια 4cm πάνω και κάτω και 2cm στα πλάγια. Να βρείτε τις διαστάσεις του χαρτιού, ώστε η
επιφάνεια της αφίσας να είναι ελάχιστη.
18. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 2 x − x 2 .
f (x)
α) να υπολογίσετε το lim
x →2 x2 − 4
β) να αποδείξετε ότι (1 − x )f ′′( x ) + f ′( x ) = 0 για κάθε x∈ R.
γ) να γράψετε την εξίσωση της εφαπτόμενης της καμπύλης της g( x ) = xf ( x ) στο σημείο της,
όπου αυτή παρουσιάζει μέγιστη κλίση.