Найпростіші тригонометричні рівняння

1. НАЙПРОСТІШІ
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ
РІВНЯННЯ.
РОЗВ′ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ
COS X=а
Підгот увала
вчит ель мат емат ики-інформат ики
Мечебилівської ЗОШ І-ІІІ ст упенів
Шишова Олена Олександрівна

2. ДЕВІЗ УРОКУ:
МІЦНІ ЗНАННЯ –
ГАРАНТІЯ УСПІХУ
Епіграф:
Випереди себе
вчорашнього

3. ЯКІ АСОЦІАЦІЇ ВИКЛИКАЄ
У ВАС СЛОВО «УРОК»?
 У - успіх…
 Р - радість…
 О - обдарованість…
 К - компетентність…

4. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО
ЗАВДАННЯ:
1. Знайдіть помилку:
4


4

4
3
6


5. 2. Математичний диктант
Обчислити:
2
2arcsin
2
1
arccos
3arctg







2
1
arcsin









2
3
arccos
 1arctg
2)
3)
4)
5)
6)  1arctg
1)
Відповідь:

6. Давайте пригадаємо!
Властивості основних тригонометричних функцій
xy cos tgxy xy sin
Область
визначення
Область
значень
Парність
Періодичність
(головний
період)
ctgxy 
  ;   ;
  ;   ; 1;1  1;1






 kk 



2
;
2
 kk  ;
2 2  
ПарнаНепарна Непарна Непарна

7. y
x0 1-1
2
1
0
aarccosa – це таке число
косинус якого дорівнює a
 1;1a  a ;0
2
1
arccos3
=
3

2
1
3
cos 

якТак

8. y
x0
0
aarccosa – це таке число ,
косинус якого дорівнює a
 1;1a  a ;0
2
1
arccos
2
2
arccos
2
3
arccos
1arccos
0arccos
5,1arccos
3arccos
= 0
6
=
4
=
3
=2
=
Не існує
Не існує
6

4

3
2

2
1 2
2
3
2
1-1

9. Для обчислення арккосинуса від’ємних чисел будем використовувати
формулу
Використаємо графічну ілюстрацію для виведення формули:
0
y
x0 1-1
0
arccos(-a) = – arccos a
arccos(-a)
-a

 arccosa arccosa
a
=

10. y
x
2


2

 
2
3
2
3

2
1
-1 3

3
– 0
Розв’язати рівняння cosx =
2
1
Графічний спосіб
xy cos
2
1
y 
2
x  3
 2 n
x   3

2
2 n
 nnx ,2
3



11. Розв’язати рівняння cosx =
2
1
Розв’язування рівняння на
одиничному колі
2
1
3
 2 n
3
– 2 n
 nnx ,2
3


y
x

12. Розвязати рівняння cosx = a
Розвязування рівняння
за допомогою формул
a
2 n
2 n
aarccos
aarccos
± nnax ,2arccos 
y
x0

13. Розвязати рівняння cosx = 0,3
 nnx ,23,0arccos 
 nnx ,3,0arccos 
 nnx ,3,0arccos 
 nnx ,3,0arccos 

1
2
ВіРНО!
ПОДУМАЙ
!
3
ПОДУМАЙ
!
4
ПОДУМАЙ
!
5
ПОДУМАЙ
!

14. Розвязати рівняння cosx = 1,6
 nnx ,26,1arccos 
 nnx ,6,1arccos 
 nnx ,6,1arccos 
 nnx ,6,1arccos 
3
2
ВіРНО!
ПОДУМАЙ
!
1
ПОДУМАЙ
!
4
ПОДУМАЙ
!
5
ПОДУМАЙ
!

15. Розв’язати рівняння cosx = - 0,3
 nnx ,2)3,0arccos( 
 nnx ,3,0arccos 
 nnx ,3,0arccos 
 nnx ,3,0arccos 

1
2
ВіРНО!
ПОДУМАЙ
!
3
ПОДУМАЙ
!
4
ПОДУМАЙ
!
5
ПОДУМАЙ
!

16. Окремі випадки
2 n
cosx = 1 cosx = -1 cosx = 0
0x
1
 nnx ,2
0
2 nx
-1
 nnx ,2

 n
2

x
 nnx ,
2


0
2
y
x
y
x00 x
y

17. Наше завдання :
Звести будь-яке
тригонометричне
рівняння до
найпростішого

18. ХАРАКТЕРНА ПОМИЛКА
Розв′язати рівняння:
Учні ділять обидві частини на 4
І отримують наступне:
 Груба помилка!!!

19.   ,2
2
1
arccos4 kx
2
1
x4cos 
01x4cos2 
Рівняння переносом доданка і діленням
обох частин легко зводиться до
найпростішого .
2
1
x4cos 
Розділимо обидві частини на 4.
Відповідь :  

'
216
k
x
t
k2
4
x4 


2
k
16
x





20. k
2
x3
3




0x3
3
cos 







Відповідь:  k
k
x ,
318

)3(
Рівняння має вже вигляд найпростішого








 x3
3
t
Це окремий випадок
рівняння cos t=a
a=0
k
32
x3 




k
6
x3 


 k
k
x ,
318


21. 2
2
2
x2cos 




 

Відповідь:
Рівняння вже має вигляд найпростішого
, але,
можна використати парність функції cos,
формули зведення і спростити його.





 

2
x2t
 kkx k
,
2
2
arcsin)1(2 
2
2
x2
2
cos 







2
2
x2sin  k
4
)1(x2 k


 2
 k
k
x k
,
28
)1(

 k
k
x k
,
28
)1(


22. 2
1
xsin
3
x5sinxcos
3
x5cos 




 





 

Відповідь:
2
1
x
3
x5cos 








Тут можна використати формулу косинуса різниці аргументів :
2
1
3
x4cos 




 

Тепер рівняння має
вигляд найпростішого.
Розв’язування зручно розбити
на два випадки.














k2
3
k2
3
3
x4










k2
3
2
k2
x4 4












6
k
6
2
k
x








 k
k
k
x ,
66
2



23. ГРАФІЧНИЙ МЕТОД
РОЗВ′ЯЗУВАННЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ
РІВНЯНЬ

24. y
x

2

2


2
3
2
3
 2
2
1
-1
cos ) +0,5 =
(x
2 2

x
6
5
т

25. y
x
2

 2
 
2
3
2
3

22
1
-1
cosx =1+
x=0
x
xy cos
1 хy
у

26. y
x
2

 2
 
2
3
2
3

22
1
-1
1cos  xy
cosx – 1 = x2
x=0
у
2
xy 

27. 03cos2 x
3
62
cos2 






x
0xcos2 
0sin2sincos2cos  xxxx
1варіант 2 варіант
01cos2 x
12
6
cos 





 x

1)xcos( 
2
3
2
sin
4
sin
2
cos
4
cos 
xx 
1)
2)
3)
4)
1)
2)
3)
4)
Самостійна робота

28. • Формули коренів
тригонометричних
рівнянь;
• Властивості
тригонометричних
функцій;
• Значення
тригонометричних
функцій деяких кутів;
• Формули зведення;
• Формули додавання;
Що потрібно знати, щоб успішно
розв’язувати тригонометричні рівняння:

29. Пам’ятайте!
“Сьогодні – ми вчимося разом:
я, ваш учитель і ви мої учні.
Але в майбутньому учень повинен
перевершити вчителя, інакше в
науці не буде прогресу ”
В.О.Сухомлинский

30. y
x

2

2


2
3
2
3
 2
2
1
-1
т
Оцініть своє самопочуття на уроці,
поставивши будь-який значок на графіку функції у= cos х,
який зображений на екрані. Де ви себе відчували під час уроку: на
вершині хвилі чи у впадині?

31. “ Вважай нещасливим той день чи той час,
на протязі якого ти не засвоїв нічого нового
і нічого не добавив до своїх знань”
Ян Коменський

32. Домашнє завдання:
• Вивчити: п.31 ст.252,
• Розв’язати: № 773 (поч.і сер.рівень), 777 , 781
(дост.і висок. рівень) ст.255;
• Повторити властивості функції xy sin