The document defines sets and set operations like union, intersection, and difference. It discusses the properties of real numbers including rational and irrational numbers. It also covers topics like absolute value, inequalities, distance between points, and the midpoint formula. Examples are provided to illustrate definitions of circles, parabolas, and graphing conic sections cut from a cone.

1. NÚMERO REALES
Y
PLANO NUMÉRICO
UNIDAD II MATEMATICA
ALUMNO: ANA KARINA VIRGUEZ RODRIGUZ
C.I : 26.142.221

2. DEFINICION DE CONJUNTO
 DEFINICION: Agrupación bien definida de objeto no repetidos ni
ordenados de cualquier naturaleza concreta o abstracta. A cada uno de
esto objeto que forma el conjunto se le llama elemento. Notación a los
conjuntos se le asigna la letra mayúscula A,B.C y a los elementos
,letras minúscula, numero .
 Ejemplo:
1 ) A 2) B
.a .2
.b .c .1 .3
.d .4

3. DEFINICION DE CONJUNTO
 PERTENENCIA: Para indicar que un elemento pertenece a un
conjunto se usa el símbolo € que se «pertenece al conjunto» .
Ejemplo:
1) a €A : EL ELEMENTO a PERTENECE A EL CONJUNTO A
2) 3 €B: EL ELEMENTO 3 PERTENECE A EL CONJUNTO B

4. CONJUNTO NOTABLES
 CONJUNTO UNITARIO: ES AQUEL QUE TIENE UN ELEMENTO. EJEMPLO D:{3}
 CONJUNTO VACIO: ES AQUEL QUE NO TIENE NINGUN ELEMENTO SE LE ASIGNA LOS
SIMBOLOS { } EJEMPLO F:{ }
 CONJUNTO UNIVERSAL: ES AQUEL QUE CONTIENE A TODOS LOS CONJUNTOS SE LE
ASIGNA LA LETRA U
 DEFINICION DE CONJUNTO:
 A) DEFINICION POR COMPRENSION: UN CONJUNTO ESTA DEFINIDO POR
COMPRESION CUANDO SEDA UNA PROPIEDAD QUE ES COMUN A TODOS LOS
ELEMENTOS DEL CONJUNTO: EL CONJUNTO FORMADO POR LOS NUMEROS PRIMOS.
 B) DEFINICION POR EXTENSION: UN CONJUNTO ESTA DEFINIDO POR EXTENSION
CUANDO SE ENUMERA CADA UNA DE LOS ELEMENTOS.
EJEMPLO: A= { 1, 2,3,4,5,6…}

5. OPERACIONES CON CONJUNTOS
 DEFINICIÓN: Significa que d unos conjuntos dados, vamos a
obtener otros conjuntos.
 Intercesión: Se llama intercesión de dos conjunto a A y a B a el
conjunto C, formados por los elementos comunes a A y a B . Se usa
el símbolo ∩ y se de nota C=A∩B que se lee « C es el conjunto
formando por lo intercesión de A con B»
Ejemplo:
1) A D B D= A ∩ B ∩ C = {X/X E A y X E B y X E C}
C
2) A C B A∩B = {X/X E A y X E B}

6. UNION DE CONJUNTOS
 Se llama unión de dos conjunto A y B a el conjunto C
formado por los elementos que pertenece a A o a B se
usa el símbolo U y se de nota C a A U B y se lee C es el
conjunto formado por la unión de A con B
 Ejemplo:
1) A B A U B = {x/x E A o x E B }
2) A B C A U B U C={X/X E A o X B o X E C}

7. UNION DE CONJUNTOS
 DIFERENCIA DE CONJUNTO: Llamamos diferencia de los
conjunto A y B en este orden a otro conjunto C cuyos
elementos pertenece a A pero no a B notacion. C=A-B
 Ejemplo:
1) A B A – B = {X/X E B y X Ɇ B}
2) B A B – A ={X/X E B y X Ɇ A }

8. NUMEROS REALES
 Se puede definir a los numero reales, aquellos números
que tiene expansión decimal periódica o tiene expresión
decimal no periódica, es decir los números racionales y
los numero irracionales. Los números racionales se
clasifica en:
 a) Numero natural (N) : Son los números enteros y
positivo. N={1,2,3,4,5,…} ejemplo : N=6 N=8
 b) Numero enteros (z) : Son los números naturales, sus
negativo y el 0, Z={…-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,..} .
Ejemplo: Z =-3 Z=9

9. NUMEROS REALES
 Numero racionales (Q): Se puede expresar con el consiente de dos
numero enteros de la forma a/b con a,b enteros y b diferente de 0. N C Z
C Q .
Ejemplo: Q=
2
3
U=
7
6
Los números irracionales: Son la expresiones decimales no periódicas que
se origina de las raíces no exactas de cualquier orden.
Ejemplo:
I=
3
I=3
−25

10. PROPREDADES DE NUMERO REALES
 Propiedad comutativa: El orden al sumar o multiplicar
numero reales no afecta el resultado a +b =b+ a.
Ejemplo: (-6) + 3 = 3+ (-6) (-4).(-7)=(-7).(-4)
 Propiedad asociativa: Se puede hacer diferente
asociaciones al sumar o multiplicar numero reales y no
afecta el resultado.
Ejemplo: (-2)+[6+3]=[(-2)+6]+3 (3.5)9=3.(5.9)

11. PROPREDADES DE NUMERO REALES
 Propiedad Distributiva: El factor se de tribuye a cada sumando
a (b +c )=a.b+a.c
Ejemplo:
1) (-6)[5+3]=(-6) . 5 + (-6) . 3=(-30) + (-18) =-48
2) 3 (x+4) = 3 x + 12
 Propiedad Identidad: El 0 es el elemento neutro en la suma y el
1 en la multiplicación 1) a+0=a 2) b.1=b
Ejemplo:
1) 6+6=6 2) (-3).1= -3

12. DESIGUALDADES
 Cuando dos números a y b no son iguales anotamos a ≠ b y necesariamente
se tiene que cumple a ˃ b o a˂ b.
 Propiedades de la desigualdades:
1) Propiedad transitiva: si → a ˂ b y b ˂ c entonces a ˃ c.
Ejemplo:
9˃6 y 6˃3 → 9˃3
2) Si a los miembros de una desigualdad se le suma a resta la misma cantidad
la desigualdad conserva su sentido.
Ejemplo:
a ˃ b ; a + c ˃ b + c
6 ˃ 2 : 6+3 ˃ 2 + 3 ; 9˃5

13. DESIGUALDADES
3) Si a los dos miembro de una desigualdad se multiplica o
dividen por una cantidad positiva la desigualdad conserva su
sentido.
a ˂ b : a . c ˂ b . C
6 ˂ 9 : 6 . 3 ˂ 9 . 3 ; 18 ˂ 27
4)Si a los miembros de una desigualdad se multiplica o divide
por la misma cantidad negativa resulta una desigualdad de
sentido contrario.
a ˃ b : a ( - c) ˂ b . ( - c )
9 ˃ 3 : 9 ( - 2) ˂ 3 . ( - 2 ) : -18 ˂ - 6

14. INECUACIONES
 Son desigualdades algebraica en la que sus dos miembros se
relaciona por uno de esto signos: ˃ , ≥ , ˂ , ≤.
Ejemplo:
1 ) 2 X + 6 ˃ 7 2 ) - X + 9 ˂ 12
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable
que la verifica. Loción de una inecuación se expresa mediante una
representación grafica y un intervalo.
3 x -1 ˃ 14 → 3 x ˃ 14 + 1 → 3 x ˃ 15 → x ˃
15
3
→ x ˃ 5
sol __________|________|_|_|_|_|_|____
0 5 + ∞
Sol : ( 5+∞)

15. DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO
 El valor absoluto del valor de un numero real a , se escribe | a | , es el
mismo numero a cuando es positivo o cero y opuesto de a si es negativo.
|a|=a ; |-a|=a ; |0|= 0
Ejemplo:
|7|=7 ; |-3|=3 ; |0|=0
 Propiedades de valor absoluto:
1) Los numero opuesto tiene igual valor absoluto |a|=|- a|
Ejemplo: |6|= |- 6|=6
2) El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores
absoluto de los factores.
|a . B |= |a| . |b|
Ejemplo: |7 . ( - 3 ) |= |7|. |-3|→ |-21|= 7 . 3 → 21=21

16. DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO
3) El valor absoluto de una suma es menor o igual que
la sema de los valores absolutos de lo sumando.
|a + b | ≤ |a|+ |b|
Ejemplo : |6+(-3)|≤ |6|+|-3|≤6+3→3≤9

17. DESIGUALDADES DE VALOS ABSOLUTO
 Una inecuación de valor absoluto es una combinación de dos concepto = valores
absoluto e inecuaciones lineales que cumple con la siguientes condiciones.
 a) |f(x) |≤ k → -k ≤ f (x) ≤ k
Ejemplo:
── F (x) ──
________|_______0______|________
-∞ -k k +∞
 b ) |f(x)| ≥ k → k ≤ f(x) ≤ -k
Ejemplo:
////////← → /////////////
_____|_____0_______|________
-k k

18. DESIGUALDADES DE VALOS ABSOLUTO
 Ejemplo:
 1) |3x + 1 | ˂ 5 → - 5˂ 3 x + 1 ˂ 5 → - 5 -1˂ 3x +1 -1 ˂5 -1- 6 ˂ 3 x ˂ 4 → - 6/3 ˂ 3
x/3 ˂ 4/3 → -2 ˂ x ˂ 4/3
////////////////////////////////
____|________0_______|_____
-2 4/3 sol (-2,4/3)
 2) |4 x + 2 | ≥ 2 → 2 ≤ 4 x + 2 ≤ - 2 → 2 – 2 ≤ 4 x + 2 -2 ≤ - 2 – 2 o ≤ 4x ≤ -4 → o/4
≤ 4x/4 ≤ -4/4 → o ≤ x ≤ - 1
 ← →
/////////
_____|_____0______
-∞ -1 +∞ sol = ( -∞,-1] U [0,+∞)

19. PLANO NUMERICO (DISTANCIA, PUNTO MEDIO )
 Es el sistema formado por dos recta dirigida, X´X e Y´Y
perpendiculares entre si llamadas ejes de coordenadas, a
la recta X´X se llama eje de las abersas y careta de prima
Y´Y se llama eje de la ordenadas.
 Distancia entre dos punto: La distancia entre dos punto
equivale a la longitud del sementó de recta que los une,
expresado numéricamente.
Dados Z puntos A = ( X1, Y1) y B= ( X2, Y2)
da B= 𝑋2 − 𝑋1 2 + 𝑌2 − 𝑦1 2

20. PLANO NUMERICO (DISTANCIA, PUNTO MEDIO )
 PUNTO MEDIO: Es el punto que se encuentra a la misma
distancia de otro dos punto o extremos de un sementó.
dados z punto A= ( X1,Y1) y B = (X2,Y2)
Xm =
𝑋1 + 𝑋2
__________
2
Ym =
𝑌1 + 𝑌2
____________
2

21. PLANO NUMERICO (DISTANCIA, PUNTO MEDIO )
 Ejemplo:
 1) Calcular la distancia entre los puntos A (2,3) y B(4,-1).
dAB= (𝑋2 − 𝑋1)2+(𝑌2 − 𝑌1)2
dAB= (4 − 2)2 + (−1 − 3)2
dAB= (2)2+(−4)2
dAB= 4 + 16
dAB= 20

22. PLANO NUMERICO (DISTANCIA, PUNTO MEDIO )
 Ejemplo
 2) calcular el punto medio entre los punto A=(3,2) y
B(4,5).
Xm =
𝑋1+𝑋2
2
= Xm=
3+4
2
= Xm=
7
2
Ym =
𝑌1+𝑌2
2
= Ym =
2+5
2
= Ym=
7
2
Pm (7/2, 7/2)

23. REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LAS CONICAS
 Cuando cortamos un cono por un plano la inter sección es una
curva llamado cónica.
 1)Cuando el plano que interseca al cono es perpendicular a su eje,
la sección es una circunferencia.
 2)Cuando el plano que interseca al cono es oblicuo a su eje la
sección es una elipse.
 3) Cuando el plano interseca al cono es paralelo a la generatriz la
sección es una parábola.
 4) Cuando el plano que interseca al cono es paralelo a su eje, corta
al cono en su dos volúmenes formando dos secciones llamadas
hipérbola.

24. REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LAS CONICAS
 Ejemplo:
1) Determinar la ecuación de la circunferencia de
centro el corte de la coordenada y radio igual a 3.
𝑋
2
+𝑌2
= 𝑟2
→𝑥2
+𝑦2
=32
→ 𝑋2
+ 𝑌2
=9

25. REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LAS CONICAS
 Ejemplo
 2) Dibuja aproximadamente la siguiente parábola
𝑌2
=12x esta ecuación se de la forma 𝑌2
= 4Px
𝑌2=12x→ 𝑌2=4Px→12=4p→ P = 3
La forma de la ecuación nos indica que el foco esta en
el eje X y como P es Positiva la curva se abre hacia la
derecha.