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以下の問に答えよ (1)R上で定義された関数f(x)がR上で𝐶1 級であることの定義を述べよ。 (2)関数g(x)= x 5/3は𝑅上𝐶1級であることを示せ。 (3)(2)の関数g(x)はR上で𝐶2 級ではないことを示せ。 (4)R上の実数値関数h(x)で、𝐶30級ではあるが𝐶31級ではないものの例を具体的に構成せよ。 参考文献
https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/index15.html
2.
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https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/index15.html (1) f(x)が微分可能(つまり全ての点xに対してある値f’(x)が存在して全てのεに対してあるhが存在し h<δならば|f’(x)-(f(x)-f(x+h))/h|<ε)であり、f’(x)が連続であることである。 (2) g(x)= 𝑥5/3 −𝑥 5/3 𝑔′ 𝑥 = 𝑥 5 3 −𝑥 5 3 lim x→+0 (g x − g 0 )/x=lim x→+0 𝑥5/3/x= lim x→+0 𝑥2/3=0 lim x→−0 (g x − g 0 )/x= lim x→−0 (−𝑥)5/3/x= lim x→−0 (−1)5/3 𝑥2/3=0 よってg’(x)はR上で微分可能 (3) x>0の時 g”(x)=10𝑥−1/3 /9 x<0の時 G”(x)=10(−𝑥)−1/3 /9 X=0の時 lim x→+0 (g′ x − g′ 0 )/x= lim x→+0 (5𝑥 2 3/3 − 0)/x== lim x→+0 5𝑥−1/3 /3=+∞ lim x→−0 (g′ x − g′ 0 )/x= lim x→−0 (−5(−𝑥) 2 3/3 − 0)/x== lim x→−0 5𝑥−1/3 /3=-∞よって𝐶2 級ではない (4) h(x)= 𝑥 92/3
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