1. ‫‪‬‬ ‫ﺟﺎ ٢ ٠٥ + ﺟﺗﺎ٢ ٠٥ = ١‬ ‫ﻣﺛ ﻼ‬ ‫١. ﺟﺎ٢ س + ﺟﺗﺎ ٢ س = ١‬
‫‪‬ﻟﻠﺼﻒ اﻟﺜﺎﻣﻦ اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻓﻲ ﻣﺎدة اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬ ‫ﺟﺎ ٠٧ = ﺟﺗﺎ س ﻓﺈن س = ٠٢‬ ‫ﻣﺛ ﻼ‬ ‫٢. ﺟﺎ س = ﺟﺗﺎ ص ﺑﺣﯾث س + ص = ٠٩‬
‫أ ﻣﺤﻤﺪ أﺑﻮ ﺧﺎطﺮ‬ ‫، ﺟﺗﺎ ٠٩ = ٠‬ ‫ﺟﺎ ٠٩ = ١‬ ‫ﺟﺎ ٠٢ = ٠٢٤٣.٠ ﻓﺈن ﺟﺗﺎ ٠٧ = ٠٢٤٣.٠‬
‫‪  ‬‬ ‫ﺟﯾب اﻟزاوﯾﺔ‬ ‫ﻣﻼﺣظﺔ ١( ﻛﻠﻣﺎ زادت ﻗﯾﻣﺔ اﻟزاوﯾﺔ اﻟﺣﺎدة ﺗزداد‬
‫اﻟﻌﺑﺎرة اﻟﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﺻورة أس٢ + ب س + ﺟـ أ ﺻﻔر أ ﻣﻌﺎﻣل س٢ ب ﻣﻌﺎﻣل اﻟﺣد اﻷوﺳط ج اﻟﺣد‬ ‫ظل اﻟزاوﯾﺔ‬ ‫٢ ( ﻛﻠﻣﺎ زادت ﻗﯾﻣﺔ اﻟزاوﯾﺔ اﻟﺣﺎدة ﺗزداد‬
‫ﻣﺛﺎل ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺑﺎرات اﻟﻐﯾر ﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ ٢س + ٥ ، ٢ س ٣ + س ٢ + ٤ ، س ٤ + ٦١‬ ‫ﺟﯾب ﺗﻣﺎم اﻟزاوﯾﺔ‬ ‫ﺗﻘل‬ ‫٣ ( ﻛﻠﻣﺎ زادت ﻗﯾﻣﺔ اﻟزاوﯾﺔ اﻟﺣﺎدة‬
‫س‬ ‫ﻣﺛﺎل ﺣﻠل اﻟﻌﺑﺎرات اﻟﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ :ـــــ‬ ‫س = ٠٣‬ ‫٢ ﺟﺎ س = ١ ﺟﺎس = ١‬ ‫٢ ﺟﺎ س – ١ = ٠‬ ‫ﻣﺛﺎل ﺣل اﻟﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻣﺛﻠﺛﯾﺔ اﻟﺗﺎﻟﯾﺔ‬
‫٢‬ ‫+‬
‫١. س٢ + ٦ س + ٨ = ) س + ٤ ( ) س + ٢ (‬ ‫ﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻟﻌﺷواﺋﯾﺔ ھﻲ اﻟﺗﺟرﺑﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن ﻣﻌرﻓﺔ ﺟﻣﯾﻊ ﻧﺗﺎﺋﺟﮭﺎ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻣﻘدﻣﺎ وﻗﺑل إﺟراﺋﮭﺎ‬
‫٢. س٢ - ٦ س + ٨ = ) س -٤ ( ) س - ٢ (‬ ‫ﻣﺛل إﻟﻘﺎء ﻗطﻌﺔ اﻟﻧﻘود و إﻟﻘﺎء ﺣﺟر اﻟﻧرد‬
‫٦‬ ‫٥س +‬
‫٣. س٢ + ٦س - ٧ =) س +٧ ( ) س -١(‬ ‫اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ھو ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﺟﻣﯾﻊ اﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﻣﻣﻛﻧﺔ ﻟﮭذه اﻟﺗﺟرﺑﺔ وﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز ) ‪( Ω‬‬
‫٥س × ٢ = ٠١س‬
‫٤. ٥س٢ + ٦١س + ٢١ = ) ٥س + ٦( ) س + ٢(‬ ‫ﻣﺛﺎل ١( إﻟﻘﺎء ﻗطﻌﺔ اﻟﻧﻘود ﻣرة واﺣدة ﻓﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﺔ } ص ، ك {‬
‫س × ٦ = ٦س‬
‫ﻣر ﺑﻊ ﻛﺎﻣل )س +أ (٢ = ) س+ أ ( ) س + أ (‬ ‫٢ ( اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﺗﺟرﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﻗطﻌﺗﻲ ﻧﻘود ﻣﻌدﻧﯾﺗﯾن ﻣﺧﺗﻠﻔﺗﯾن ﻣﻌﺎ ً ﻣرة واﺣدة؟‬
‫٢‬
‫٦١ س‬
‫ﻣﻔﻛوك اﻟﻣرﺑﻊ اﻟﻛﺎﻣل )س +أ (٢ = س٢ + ٢أ س + أ‬ ‫اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﻲ ) ‪)} = ( Ω‬ص، ص(، )ص، ك(، )ك، ص(، )ك، ك( {‬
‫ﻣﺛﺎل ﺟد ﻣﻔﻛوك ﻣﺎ ﯾﻠﻲ :ـــ‬ ‫٣( إﻟﻘﺎء ﻗطﻌﺔ إﻟﻘﺎء ﺣﺟر اﻟﻧرد ﻣرة واﺣدة = } ١ ، ٢ ، ٣ ، ٤ ، ٥ ، ٦ {‬
‫س٢ + ٦س + ٩‬ ‫١ . ) س + ٣ ( ٢ = س ٢ + ٢ × ٣ س + ٣ ٢=‬ ‫ﺗﻌرﯾف اﻟﺣﺎدث : ھو ﻣﺟﻣوﻋﺔ ﺟزﺋﯾﺔ ﻣن ﻣﺟﻣوﻋﺔ اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ ح‬
‫٢. ) ٢س + ٥ ( ٢ = ) ٢س ( ٢ +٢ × ٥ × ٢س + ٥ ٢ = ٤س ٢ + ٠٢ س + ٥٢‬ ‫١. اﻟﺣﺎدث اﻟﺑﺳﯾط اﻟذي ﯾﺣﺗوي ﻋﻠﻰ ﻋﻧﺻر واﺣد ﻓﻘط ﻣن اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ‬
‫ﻛﯾف ﻧﺗﻌرف ﻋﻠﻰ اﻟﻌﺑﺎرة اﻟﺗﻲ ﺗﻣل ﻣرﺑﻊ ﻛﺎﻣل‬ ‫٢. اﻟﺣﺎدث اﻟﻣرﻛب ھو اﻟﺣﺎدث اﻟذي ﯾﺣوى أﻛﺛر ﻣن ﻋﻧﺻر واﺣد ﻣن اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ‬
‫س٢ + ٦س + ٩‬ ‫٣. اﻟﺣﺎدث اﻟﻣﺳﺗﺣﯾل ھو اﻟﺣﺎدث اﻟذي ﻻ ﯾﺣوي أي ﻋﻧﺻر ﻣن اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﻲ ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ =}{‬
‫٢‬
‫٤. اﻟﺣﺎدث اﻷﻛﯾد )اﻟﻣؤﻛد (: ھو اﻟﺣﺎدث اﻟذي ﯾﺣوى ﺟﻣﯾﻊ ﻋﻧﺎﺻر اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﻲ ‪ Ω‬ﻟﺗﺟرﺑﺔ ﻋﺷواﺋﯾﺔ‬
‫٣ × ٢ = ٦س = اﻟﺣد اﻷوﺳط إذن اﻟﻌﺑﺎرة ﻣرﺑﻊ ﻛﺎﻣل = ) س +٣ (‬ ‫س‬ ‫اﻟﺗﻛرار اﻟﻧﺳﺑﻲ ﻟﺣﺎدث ھو اﻟﻧﺳﺑﺔ ﺑﯾن ﻋدد اﻟﻣرات اﻟﺗﻲ ﯾﺣﺻل أو ﯾﺣدث ﻓﯾﮭﺎ اﻟﺣﺎدث إﻟﻰ ﻋدد ﻣرات إﺟراء‬
‫ﻣﻼﺣظﺔ إذا ﻛﺎن اﻟﺣد اﻷﺧﯾر ﺳﺎﻟب ﻓﺈن اﻟﻌﺑﺎرة ﻟﯾﺳت ﻣرﺑﻊ ﻛﺎﻣل‬ ‫ﻋدد ﻋﻧﺎﺻر‬ ‫اﻟﺗﺟرﺑﺔ.‬
‫ﻛﯾف ﻧﺟد ﻗﯾﻣﺔ ﻣﺟﮭوﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻣرﺑﻊ اﻟﻛﺎﻣل ﺟد ﻗﯾﻣﺔ ك‬ ‫إذا ﻛﺎن ﻟﻧﺗﺎﺋﺞ اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﻲ ) ‪ ( Ω‬ﻓرﺻﺔ اﻟﺣدوث ﻧﻔﺳﮭﺎ ﻓﺈن اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺎدث ح =‬
‫ﻣﺛﺎل ﺟد ﻗﯾﻣﺔ ك‬ ‫ﻋدد ﻋﻧﺎﺻر اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﻲ‬
‫ﻣﺛــﺎل: ﻓﻲ ﺗﺟرﺑﺔ إﻟﻘﺎء ﺣﺟر ﻧرد ﻣﻧﺗظم ﻣرة واﺣدة، ﺟد اﺣﺗﻣﺎل ﻛل ﻣن اﻟﺣوادث اﻵﺗﯾﺔ :‬
‫ص٢ – ك س + ٦١‬ ‫ع )ح(‬
‫ل ) ح( =‬ ‫∴‬ ‫اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻌﯾﻧﻲ ‪{٦ ،٥ ،٤ ،٣ ،٢ ،١ } = Ω‬‬
‫ع ) ‪(. Ω‬‬ ‫ح١ : ﺣﺎدث ظﮭور ﻋدد أﻗل ﻣن أو ﯾﺳﺎوي ٦‬
‫٤ × ٢ = ٨ ص إذن اﻟﺣد اﻷوﺳط = ٨ ص‬ ‫ص‬ ‫٦‬
‫=١‬ ‫٦‬ ‫ح١ = } ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦{ ﺣﺎدث أﻛﯾد )ﻣؤﻛد(. ل )ح١(=‬
‫س٣ – ص٣ = ) س – ص( ) س٢ + س ص + ص٢ (‬ ‫٣‬
‫اﻟﻔرق ﺑﯾن ﻣﻛﻌﺑﯾن س٣ – ص‬ ‫٣‬ ‫ب ( ح٢ : ﺣﺎدث ظﮭور ﻋدد أﻗل ﻣن أو ﯾﺳﺎوي ١ = } ١، ٣، ٥{ ﺣﺎدث ﻣرﻛب . ل )ح٢(=‬
‫ﻣﺛﺎل : ﺟد ﻣﻔﻛوك ﻣﺎ ﯾﻠﻲ : ـــــ‬ ‫٦‬ ‫٣‬ ‫ج ( ح٣ : ﺣﺎدث ظﮭور ﻋدد ﻓردي ح٣ = } ١، ٤، ٥{ ل )ح٣(=‬
‫١. ) س٣ -٨( = ) س – ٢( ) س٢ +٢ س + ٤(‬ ‫٦‬
‫د ( ح٤: ﺣﺎدث ظﮭور ﻋدد زوﺟﻲ. ح٤ = } ٢، ٤، ٦{ ل )ح٤(=‬
‫٣‬
‫٢. ٨ أ٢ – ٧٢ = ) ٢س – ٣( ) س٢ +٦ س + ٩ (‬ ‫٦‬ ‫١. اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺎدث اﻟﻣﺳﺗﺣﯾل = ﺻﻔر‬
‫ﻣﺟﻣوع ﻣﻛﻌﺑﯾن س٣ + ص٣ ، س٣ + ص٣ = ) س + ص( ) س – س ص + ص (‬
‫٢‬ ‫٢‬
‫٢. اﺣﺗﻣﺎل اﻟﺣﺎدث اﻟﻣؤﻛد =١‬
‫ﻣﺛﺎل : ﺟد ﻣﻔﻛوك ﻣﺎ ﯾﻠﻲ : ـــــ‬
‫١. ) س٣ +٥٢١( = ) س + ٥( ) س٢ -٥س + ٥٢(‬ ‫ﯾﺳﻣﻰ اﻟﺣﺎدﺛﺎن ح١، ح٢ ﺣﺎدﺛﺎن ﻣﻧﻔﺻﻼن إذا ﻛﺎن ح١ ‪ ‬ح٢ = ﻓﺎي‬
‫٢. )٨ أ٢ + ٧٢( = ) ٢س + ٣( ) س٢ -٦ س + ٩(‬ ‫و أﯾﺿﺎ ً ل )ح١ ‪ ‬ح٢( = ﺻﻔر .‬
‫اﻟﻌﺎﻣل اﻟﻣﺷﺗرك اﻷﻛﺑر ) وﯾرﻣز ﻟﮫ ﺑﺎﻟرﻣز ع. م. أ (‬ ‫ﻣﺛﺎل ل ) ح ( = ٣.٠ ﻓﺈن ل ) ح ( = ٧.٠‬ ‫ل )ح( + ل )ح( = ١‬ ‫∴‬
‫ع. م. أ = ٢س‬ ‫٤س٢ = ٢ × ٢س × س‬ ‫٢س = ٢س‬ ‫ﻗﺎﻧون‬
‫م م أ = ٢س × ٢ × س = ٤ س ٢‬ ‫١. إذا ﻛﺎن ح١ ، ح٢ ﺣﺎدﺛﺎن ﻣﻧﻔﺻﻼن ﻓﻲ ﻓﺿﺎء ﻋﯾﻧﻲ ‪ Ω‬ﻓﺈن ل )ح١ ‪ U‬ح٢ ( = ل)ح١ ( + ل )ح٢(‬
‫ﻣﺛﺎل ﺟد ع.م .أ م م أ ﻟﻠﻌﺑﺎرﺗﯾن اﻟﺗﺎﻟﯾﺗﯾن س٢ - ١ ، س٢ + ٤ س +٣‬ ‫٢. إذا ﻛﺎن ح١ ، ح٢ ﺣﺎدﺛﺎن ﻓﻲ ﻓﺿﺎء ﻋﯾﻧﻲ ل )ح١ ‪ U‬ح٢( = ل)ح١ ( + ل)ح٢ ( - ل )ح١ ∩ ح٢(‬
‫)س + ١(‬ ‫)س -١(‬ ‫س٢ – ١ =‬
‫) س+ ٣(‬ ‫) س +١ (‬‫س٢ + ٤ س +٣ =‬
‫ع م أ ) س + ١(‬
‫م م أ ) س + ١ ( ) س + ٣ ( ) س – ١(‬ ‫-٤ -‬
‫-١ -‬

2. ‫ﻧظرﯾﺔ ﻣﺗوازﯾﺎ اﻷﺿﻼع اﻟﻣﺷﺗرﻛﺎن ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻋدة واﻟﻣﺣﺻوران ﺑﯾن ﻣﺳﺗﻘﯾﻣﯾن ﻣﺗوازﯾﯾن ﯾﻛوﻧﺎن ﻣﺗﻛﺎﻓﺋﺎن‬ ‫‪  ‬‬
‫ص‬ ‫س‬ ‫د‬ ‫أ‬
‫ل‬ ‫اﻟﺷﻛل اﻟرﺑﺎﻋﻲ ھو ﻣﺿﻠﻊ ﻣﻐﻠق ﻟﮫ ٤ أﺿﻼع و ٤ زواﯾﺎ‬
‫ﻣﺟﻣوع ﻗﯾﺎﺳﺎت زواﯾﺎ اﻟﺷﻛل اﻟرﺑﺎﻋﻲ ﯾﺳﺎوي ٠٦٣ ْ‬
‫ﻧظرﯾﺔ ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣﺛﻠث ﺗﺳﺎوي ﻧﺻف ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣﺳﺗطﯾل اﻟﻣﺷﺗرك ﻣﻌﮫ ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻋدة واﻟﻣﺣﺻور‬ ‫ع‬ ‫٠٠١‬
‫د‬
‫ج‬ ‫بھ‬ ‫أ‬ ‫ﻣﺛﺎل ﺟد ﻗﯾﺎس اﻟزاوﯾﺔ اﻟﻣﺟﮭوﻟﺔ‬
‫٤‬ ‫ﻣﻌﮫ ﺑﯾن ﻣﺳﺗﻘﯾﻣﯾن ﻣﺗوازﯾﯾن‬ ‫٠٧‬ ‫ق زاوﯾﺔ ) ص ( = ٠٦٣ – )٠٧ + ٠٠١+٠٩( = ٠٦٣ – ٠٦٢= ٠٠١‬
‫ﺟ‬ ‫ب‬ ‫ﻧﺗﯾﺟﺔ اﻟﻘطﻌﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﯾﻣﺔ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﺗﻘﺳم اﻟﻣﺛﻠث اﻟﻰ ﻣﺛﻠﺛﯾن ﻣﺗﻛﺎﻓﺋﯾن"‬ ‫س‬ ‫١. أطوال أﻧﺻﺎف أﻗطﺎر اﻟﻛرة ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ ﻓﻲ اﻟطول‬
‫أ‬ ‫ص‬ ‫٢. أطوال ﺟﻣﯾﻊ أﻗطﺎر اﻟﻛرة ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‬
‫ﻧظرﯾﺔ اﻟﻣﺛﻠﺛﺎن اﻟﻣﺷﺗرﻛﺎن ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻋدة واﻟﻣﺣﺻوران ﺑﯾن ﻣﺳﺗﻘﯾﻣﯾن ﻣﺗوازﯾﯾن ﻣﺗﻛﺎﻓﺋﺎن‬ ‫٣. ﻗطر اﻟﻛرة ھو اﻟﻘطﻌﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﯾﻣﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﺻل ﺑﯾن ﻧﻘطﺗﯾن ﻋﻠﻰ ﺳطﺢ اﻟﻛرة و ﺗﻣر ﺑﺎﻟﻣرﻛز. أي أن ﻗطر اﻟﻛرة‬
‫٢‬
‫ﺟ‬ ‫د‬ ‫ب‬ ‫ﻗﺎﻧون: ﻣﺳﺎﺣﺔ ﺳطﺢ اﻟﻛرة = ٤× ط × )ﻧﺻف ﻗطر اﻟﻛرة(٢= ٤ ط ﻧق‬ ‫ﯾﺗﻛون ﻣن ﻧﺻﻔﻲ ﻗطر .‬
‫)ط ھﻲ اﻟﻧﺳﺑﺔ اﻟﺗﻘرﯾﺑﯾﺔ ٢٢ أو ٤١.٣(‬ ‫٤. اﻟﻛرة ﺳطﺢ ﻏﯾر ﻣﺳﺗو‬
‫٧ ٢٢‬ ‫ﻣﻠﺧص ﻋﺎم ﻟﻸﺷﻛﺎل اﻟﮭﻧدﺳﯾﺔ‬
‫(‬ ‫٧‬ ‫)ط=‬ ‫ﻣﺛـﺎل اﺣﺳب ﻣﺳﺎﺣﺔ ﺳطﺢ ﻛرة ﻧﺻف ﻗطرھﺎ = ٧ﺳم‬ ‫اﻟﻘطران‬ ‫اﻟزواﯾﺎ‬ ‫اﻷﺿﻼع‬ ‫اﻟﺷﻛل اﻟرﺑﺎﻋﻲ‬
‫٢‬ ‫اﻟﻘطران ﯾﻧﺻف ﻛل ﻣﻧﮭﻣﺎ اﻵﺧر‬ ‫ﻛل زاوﯾﺗﯾن ﻣﺗﻘﺎﺑﻠﺗﯾن‬ ‫ﻛل ﺿﻠﻌﯾن ﻣﺗﻘﺎﺑﻠﯾن ﻣﺗوازﯾﯾن‬ ‫ﻣﺗوازي اﻷﺿﻼع‬
‫ﻣﺳﺎﺣﺔ ﺳطﺢ اﻟﻛرة = ٤ ط ﻧق‬
‫٢‬ ‫٢٢‬ ‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﺗﯾن ﻓﻲ اﻟﻘﯾﺎس‬ ‫وﻣﺗﺳﺎوﯾﯾن ﻓﻲ اﻟطول‬
‫× ٧ × ٧ = ٦١٦ﺳم‬ ‫=٤×‬ ‫٧‬ ‫ﻗطراه ﯾﻧﺻف ﻛل ﻣﻧﮭﻣﺎ اﻵﺧر و‬ ‫زواﯾﺎه اﻷرﺑﻌﺔ ﻗواﺋم‬ ‫ﻛل ﺿﻠﻌﯾن ﻣﺗﻘﺎﺑﻠﯾن ﻣﺗﺳﺎوﯾﯾن‬ ‫اﻟﻣﺳﺗطﯾل‬
‫٣‬
‫ط ﻧق .‬ ‫٣‬
‫× ط × ) ﻧﺻف ﻗطر اﻟﻛرة( "=‬ ‫"ﺣﺟم اﻟﻛرة =‬ ‫ﻏﯾر ﻣﺗﻌﺎﻣدان‬ ‫)ﻛل زاوﯾﺗﯾن ﻣﺗﻘﺎﺑﻠﺗﯾن‬ ‫ﻓﻲ اﻟطول و ﻣﺗوازﯾﯾن‬
‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﺗﯾن‬
‫اﺣﺳب ﺣﺟم ﻛرة طول ﻧﺻف ﻗطرھﺎ = ٣ ﺳم .‬ ‫ﻣﺛــﺎل :‬ ‫اﻟﻘطران ﯾﻧﺻف ﻛل ﻣﻧﮭﻣﺎ اﻵﺧر‬ ‫ﻛل زاوﯾﺗﯾن ﻣﺗﻘﺎﺑﻠﺗﯾن‬ ‫أﺿﻼﻋﮫ اﻷرﺑﻌﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣﻌﯾن‬
‫٤‬ ‫٤‬
‫٣‬ ‫٣‬ ‫وﻛل ﻗطر ﯾﻧﺻف زاوﯾﺗﻲ اﻟرأس‬ ‫ﻣﺗﺳﺎوﯾﺗﯾن ﻓﻲ اﻟﻘﯾﺎس‬
‫× ٣ × ٣ × ٣ = ٦٣ط ﺳم‬ ‫× ط‬ ‫٣‬ ‫× ط × ﻧق =‬ ‫٣‬ ‫ﺣﺟم اﻟﻛرة =‬ ‫اﻟواﺻل ﺑﯾﻧﮭﻣﺎ‬
‫‪  ‬‬ ‫ﻗطراه ﻣﺗﺳﺎوﯾﺎن، ﻣﺗﻌﺎﻣدان ،‬ ‫زواﯾﺎه اﻷرﺑﻌﺔ ﻗواﺋم‬ ‫أﺿﻼﻋﮫ اﻷرﺑﻌﺔ ﻣﺗﺳﺎوﯾﺔ‬ ‫اﻟﻣرﺑﻊ‬
‫ﯾﻧﺻف ﻛل ﻣﻧﮭﻣﺎ اﻵﺧر‬
‫١. ﺟﯾب اﻟزاوﯾﺔ ج ھو اﻟﻧﺳﺑﺔ ﺑﯾن طول اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻟﮭذه اﻟزاوﯾﺔ ، و طول اﻟوﺗر ، ﺟﺎﺟـ ،‬ ‫ﯾﻧﺻف ﻛل ﻣﻧﮭﻣﺎ زاوﯾﺗﻲ اﻟرأس‬
‫أ‬ ‫ﻧظرﯾﺔ اﻟﻘطﻌﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﯾﻣﺔ اﻟواﺻﻠﺔ ﺑﯾن ﻣﻧﺗﺻﻔﻲ ﺿﻠﻌﯾن ﻓﻲ ﻣﺛﻠث ﺗوازي اﻟﺿﻠﻊ اﻟﺛﺎﻟث،‬
‫٢. ﺟﯾب ﺗﻣﺎم اﻟزاوﯾﺔ ج ھو اﻟﻧﺳﺑﺔ ﺑﯾن طول اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻣﺟﺎور ﻟﮭذه اﻟزاوﯾﺔ ، و طول اﻟوﺗر ﺟﺗﺎ ج‬ ‫و طوﻟﮭﺎ ﯾﺳﺎوي ﻧﺻف طوﻟﮫ.‬
‫٣. ظل اﻟزاوﯾﺔ ج ھو اﻟﻧﺳﺑﺔ ﺑﯾن طول اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻣﻘﺎﺑل ﻟﮭذه اﻟزاوﯾﺔ ، و طولأ اﻟﺿﻠﻊ اﻟﻣﺟﺎور ظﺎ ج‬ ‫ﺟـ‬ ‫ق زاوﯾﺔ أ ج ب = ٠٤‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﺗﺎﻟﻲ ب ج= ٤ﺳم‬
‫ب‬
‫ﻧظرﯾﺔ إذا رﺳم ﻣن ﻣﻧﺗﺻف أﺣد أﺿﻼع ﻣﺛﻠث ﻗطﻌﺔ ﻣﺳﺗﻘﯾﻣﺔ ﺗوازي ﺿﻠﻌﺎ ً آﺧر ﻓﺈن‬
‫٨ﺳﻢ‬
‫اﻟوﺗر‬ ‫ھ‬ ‫٠٤‬ ‫ھذا اﻟﻣوازي ﯾﻧﺻف اﻟﺿﻠﻊ اﻟﺛﺎﻟث، وطوﻟﮭﺎ ﯾﺳﺎوي ﻧﺻف طول اﻟﺿﻠﻊ اﻟذي وازﺗﮫ. د‬
‫اﻟﻣﻘﺎﺑل‬ ‫ظﺎ ج = اﻟﻣﻘﺎﺑل‬ ‫ﺟﺗﺎ ج = اﻟﻣﺟﺎور‬ ‫اﻟﻣﻘﺎﺑل‬ ‫ﺟﺎ ﺟـ =‬ ‫٥١‬ ‫ﻧظرﯾﺔ اﻟﻘطﻌﺔ اﻟﻣﺳﺗﻘﯾﻣﺔ اﻟواﺻﻠﺔ ﺑﯾن ﻣﻧﺗﺻﻔﻲ اﻟﺿﻠﻌﯾن ﻏﯾر اﻟﻣﺗوازﯾﯾن ﻓﻲ ﺷﺑﮫ اﻟﻣﻧﺣرف س‬
‫ل‬
‫اﻟﻣﺟﺎور‬ ‫اﻟوﺗر‬
‫اﻟوﺗر‬ ‫ﺗوازي اﻟﻘﺎﻋدﺗﯾن وطوﻟﮭﺎ ﯾﺳﺎوي ﻧﺻف ﻣﺟﻣوع طوﻟﯾﮭﻣﺎ" .‬
‫ج‬ ‫ب‬ ‫ن‬ ‫م‬ ‫ﻓﻲ اﻟﺷﻛل اﻟﻣﻘﺎﺑل م ن = ٥١ + ٧ = ٢٢ = ١١‬
‫اﻟﻣﺟﺎور‬ ‫٢‬ ‫٢‬
‫ظﺎ‬ ‫ﺟﺗﺎ‬ ‫ﺟﺎ‬ ‫اﻟﻧﺳﺑﺔ‬ ‫ص‬
‫اﻟ اوﯾﺔ‬
‫ز‬ ‫ع‬ ‫ﻧظرﯾﺔ اﻟﻘطﻊ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ ﻓﻲ اﻟﻣﺛﻠث ﺗﻠﺗﻘﻲ ﻓﻲ ﻧﻘطﺔ واﺣدة ،ﻧﻘطﺔ اﻟﺗﻘﺎء اﻟﻘطﻊ اﻟﻣﺗوﺳطﺔ‬
‫أ٧‬
‫ﺗﻘﺳم ﻛل ﻗطﻌﺔ ﻣﻧﮭﺎ ﺑﻧﺳﺑﺔ ٢:٣ ﻣن ﺟﮭﺔ اﻟرأس ١ : ٣ﻣن ﺟﮭﺔ اﻟﻘﺎﻋدة‬
‫ــــ١ـــ‬
‫ـ‬ ‫٣‬ ‫ـــ١‬
‫اﻟﺷﻛل اﻟﻣﻘﺎﺑل إذا ﻛﺎن أ ص = ٩ﺳم ﺟد. أ م = ــــ ﺳم ، م ص=ــــ ﺳم‬
‫ـــــــــ‬ ‫٢‬ ‫٠٣ْ‬ ‫ع‬ ‫س‬
‫٣‬ ‫٢‬ ‫٢‬ ‫٢‬
‫اﻟﺣل: أ م = ٣ أ ص = ٣ × ٩ = ٦ﺳم‬
‫م‬
‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫م ص = ٣ أ ص = ١ × ٩ = ٣ ﺳم‬ ‫١‬
‫ـــــ١ــ‬
‫٣‬ ‫٣‬
‫٣‬ ‫ــ‬ ‫ـــ‬ ‫ج‬ ‫‪ E‬ﻧﺗﯾﺟﺔ : اﻟﻘطﻌﺔ اﻟواﺻﻠﺔ ﻣن رأس اﻟﻘﺎﺋﻣﺔ اﻟﻰ ﻣﻧﺗﺻف اﻟوﺗر ﺗﺳﺎوي ﻧﺻف اﻟوﺗر‬
‫٢‬ ‫٢‬ ‫٠٦ْ◌ْ◌‬ ‫ص‬
‫س‬ ‫ﻣﺛﺎل :‬
‫طول أ ج = ٠١ ﺳم ﻓﺟد طول ب س = ١ × ٠١ = ٥ ﺳم‬
‫ــ١ـ‬
‫ـ‬ ‫ـــــــــــ١ـــــ‬
‫ــ‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫٢‬
‫ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣﺛﻠث = × اﻟﻘﺎﻋدة × اﻻرﺗﻔﺎع ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣﺳﺗطﯾل = اﻟطول × اﻟﻌرض ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟﻣرﺑﻊ = طول اﻟﺿﻠﻊ × ﻧﻔﺳﮫ‬
‫١‬ ‫٥٤ْ‬
‫٢‬ ‫٢‬ ‫ل‬ ‫د‬ ‫س‬ ‫أ‬ ‫١‬
‫ﻣﺳﺎﺣﺔ ﻣﺗوازي اﻷﺿﻼع = طول اﻟﻘﺎﻋدة × طول اﻻرﺗﻔﺎع اﻟﻧﺎزل ﻋﻠﯾﮭﺎ‬
‫ﯾﻛﺎﻓﺊ اﻟﻣﺳﺗطﯾل اﻟﻣﺷﺗرك ﻣﻌﮫ ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻋدة و اﻟﻣﺣﺻور‬ ‫"ﻣﺗوازي اﻷﺿﻼع ٢‬
‫- ٣-‬ ‫ﻣﻌﮫ ﺑﯾن ﻣﺳﺗﻘﯾﻣﯾن ﻣﺗوازﯾﯾن‬
‫ﺟـ‬ ‫ب‬ ‫-٢ -‬