جبر للصف الثاني الثانوي الترم الأول علمي 2017 - موقع ملزمتي

‫اﻟﺒﺤﺘﺔ‬ ‫اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬)‫ﺟﺒـﺮ‬(‫اﻟﺜﺎﻧﻮى‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺼﻒ‬)‫ﻋﻠﻤﻰ‬(
‫ــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــ‬
‫اﻻﺳﺘﺎذ‬ ‫اﻋﺪاد‬/‫ت‬ ‫رﯾﺎﺿﯿﺎت‬ ‫ﺧﺒﯿﺮ‬ ‫ﻣﻌﻠﻢ‬ ‫اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ‬ ‫ﺧﺎﻟﺪ‬/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
١
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬:
‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬‫ﺳﺲ‬،‫ﺻﺺ‬‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺧﺎﻟﯿﺘﯿﻦ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﯿﻦ‬‫ﺳﺲ‬‫اﻟﻰ‬‫ﺻﺺ‬‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬
‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻋﻨﺼﺮ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ارﺗﺒﻂ‬ ‫إذا‬‫ﺳﺲ‬‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻓﻘﻂ‬ ‫واﺣﺪ‬ ‫ﺑﻌﻨﺼﺮ‬‫ﺻﺺ‬
‫د‬ ‫ﺗﻜﺘﺐ‬ ‫و‬:‫ﺳﺲ‬C‫ﺻﺺ‬‫ص‬ ‫أو‬=‫د‬)‫س‬(
‫ﺑﻄﺮﯾﻘﺘﯿﻦ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻋﻦ‬ ‫ﻧﻌﺒﺮ‬:
)١(‫اﻟﻤﺮﺗ‬ ‫اﻻزواج‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‬‫ﺒﺔ‬)‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺑﯿﺎن‬(‫د‬:‫ﺳﺲ‬C‫ﺻﺺ‬
)٢(‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬ ‫رﯾﺎﺿﯿﺔ‬ ‫ﺑﻘﺎﻋﺪة‬)‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺗﺄﺧﺬھﺎ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺼﻮر‬: (‫ص‬=‫د‬)‫س‬(
‫اﻟﻤﺪى‬ ‫و‬ ‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫و‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬:
‫ﻣﺎ‬ ‫ﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻣﻦ‬:
‫اﻟﻤﺠﺎل‬:
‫ھﻮ‬‫اﻟﻌﻨ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬‫ﺎﺻ‬‫اﻟﻤﺘﻐ‬ ‫ﯾﺄﺧﺬھﺎ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫ﺮ‬‫ـ‬‫اﻟﻨ‬ ‫ﯾﻜـﻮن‬ ‫ﺑﺤﯿﺚ‬ ‫س‬ ‫ﯿﺮ‬‫ﺎﺗﺞ‬
‫ﻣﻌﺮﻓﺔ‬ ‫ﻛﻤﯿﺔ‬"‫ﺣﻘﯿﻘﻰ‬ ‫ﻋـﺪد‬. "‫ﺳﺲ‬=}١،٢،٣،٤{
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻗﯿﻤﮫ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫و‬)‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫ﻟﻠﺸﻜﻞ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة‬(
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬:‫ﺗﺄﺧﺬھﺎ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ھﻮ‬‫ﺻﺺ‬=}٥،٦،٧،٨،٩{
‫اﻟﻤﺪى‬:}٦،٨،٩{
‫ﻋﻨﺎ‬ ‫ﺻﻮر‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬‫ﺻﺮ‬‫ﺳﺲ‬‫ﻓﻰ‬‫ﺻﺺ‬
)‫س‬ ‫ﺑﻌﻨﺎﺻﺮ‬ ‫اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ‬ ‫ص‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ‬(
‫ص‬ ‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﯾﺄﺧﺬھﺎ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ھﻮ‬
‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫ﻋﻠﯿﮫ‬ ‫وﻧﺤﺼﻞ‬
][‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫أﺳﻔﻞ‬،‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫أﻋﻠﻰ‬][
‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:‫ﻣﻦ‬ ‫ﺟﺰﺋﯿﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ‬ ‫و‬ ‫ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ھﻰ‬‫ح‬
‫اﻷوﻟﻰ‬ ‫اﻟﻮﺣﺪة‬:‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬

٢
‫اﻟﻌ‬‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫ﻼﻗﺔ‬)‫اﻟﺮأﺳﻰ‬ ‫اﻟﺨﻂ‬ ‫اﺧﺘﺒﺎر‬: (
‫اﻟﺮأﺳﻲ‬ ‫اﻟﺨﻂ‬ ‫ﻗﻄﻊ‬ ‫و‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫اﺣﺪاﺛﻰ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻨﻘﺎط‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺑﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫إذا‬
‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ھﺬه‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﻓﻘﻂ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫ﺗﻤﺜﯿﻠﯿﮭﻤﺎ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻋﻨﺼﺮ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﯾﻤﺜﻞ‬ ‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻻﺷﻜﺎل‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫أﯾﺎ‬‫؟‬ ‫ﻟﻤﺎذا‬ ‫و‬ ‫س‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺔ‬
-٢
]١[
-١ ١ ٢ ‫س‬
‫ص‬
٢
١
-١
-١ ١ ٢ ‫س‬
‫ص‬
٢
١
-١
-١ ١ ٢ ‫س‬
‫ص‬
٢
١
-١
-٢
-٢
-١ ١ ٢ ‫س‬
‫ص‬
٢
١
-١
-٢
-٢
-١ ١ ٢ ‫س‬
‫ص‬
٢
١
-١
-١ ١ ٢ ‫س‬
‫ص‬
٢
١
-١
-٢-٢ ]٢[]٣[
]٦[ ]٥[ ]٤[

٣
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﺸﻜﻞ‬]١: [
‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫اﻟﻤﺎر‬ ‫اﻟﺮأﺳﻰ‬ ‫اﻟﺨﻂ‬ ‫ﻷن‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﯾﻤﺜﻞ‬ ‫ﻻ‬)٠،٠(‫ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬
‫اﻟﺸﻜﻞ‬]٢: [
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫اﻟﺮأﺳﻲ‬ ‫اﻟﺨﻂ‬ ‫ﻷن‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬)‫اﻟﻤﺠﺎل‬(‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬
‫واﺣ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬‫ﻓﻘﻂ‬ ‫ﺪة‬.
‫اﻟﺸﻜﻞ‬]٣: [‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫أﻛﺜﺮ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬ ‫رأﺳﻲ‬ ‫ﺧﻂ‬ ‫ﯾﻮﺟﺪ‬ ‫ﻷن‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﯾﻤﺜﻞ‬ ‫ﻻ‬.
‫اﻻﺷﻜﺎل‬]٤،٥،٦: [‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــ‬
*‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻟﺘﻌﯿﯿﻦ‬ ‫ھـــﺎﻣﺔ‬ ‫ﻗـﻮاﻋــــﺪ‬:
١(‫أى‬ ‫ﻣﺠﺎل‬‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮة‬ ‫داﻟﺔ‬‫درﺟﺘﮭﺎ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻣﮭﻤﺎ‬=‫ح‬.
‫ﻣﺜﻞ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﺤﺘﻮى‬ ‫ﻻ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮة‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:
‫د‬)‫س‬= (٥‫د‬ ،)‫س‬= (٣‫د‬ ، ‫س‬)‫س‬= (٢‫ــ‬ ‫س‬٥‫د‬ ،)‫س‬= (‫س‬٢
+‫س‬+١
‫د‬)‫س‬= (‫س‬٣
‫ــ‬٢‫س‬+٤‫د‬ ،)‫س‬= (
٢(‫ﻣﺠﺎل‬‫اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬=‫ح‬-‫اﻟﻤﻘــــــــﺎم‬ ‫أﺻﻔـــــــﺎر‬.
‫ﻣﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﯾﺤﺘﻮى‬ ‫ﻣﻘﺎﻣﮭﺎ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫ﻣﻠﺤﻮظﺔ‬:‫اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫ﺗﺠﻌﻞ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻢ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫أﺻﻔﺎر‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬=‫ﺻﻔﺮ‬
‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫ﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬ ‫ﻣﺜﻼ‬)‫س‬= (‫اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫أﺻﻔﺎر‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ‬
‫س‬ ‫ﺑﻮﺿﻊ‬٢
‫ــ‬٩=٠B‫س‬٢
=٩B‫س‬=±٣B‫د‬ ‫ﻣﺠﺎل‬)‫س‬= (‫ــ‬ ‫ح‬}٣‫ــ‬ ،٣{
‫ﺧـــــﺎﺻﺔ‬ ‫ﺣـــﺎﻟﺔ‬:‫اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬=‫اﻷﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﺤﺎﻻت‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ح‬:
*‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎم‬.
*‫س‬ ‫اﻟﺼﻮرة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎم‬‫ن‬
+‫أ‬‫ن‬ ‫ﺣﯿﺚ‬←‫زوﺟﻰ‬،‫أ‬Э‫ح‬+
*‫س‬ ‫أ‬ ‫اﻟﺼﻮرة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎم‬٢
+‫س‬ ‫ب‬+‫ﺟـ‬:‫ﺳﺎﻟﺒﺎ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫اﻟﻤﻤﯿﺰ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ً.
‫ﻣﺜﻼ‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬)‫س‬= (
‫س‬ ‫ﻧﻀﻊ‬٢
+٩=٠‫ﺣﯿﺚ‬‫ا‬=١،‫ب‬=٠،‫ج‬=٩
‫ــ‬ ‫س‬٣
٢
‫ــ‬ ‫س‬٢
‫س‬٢
‫ــ‬٩
‫ــ‬ ‫س‬٢
‫س‬٢
+٩

٤
‫اﻟﻤﻤﯿﺰ‬=‫ب‬٢
‫ــ‬٤‫ج‬ ‫ا‬=)٠(٢
‫ــ‬٤×١×٩=‫ــ‬٣٦>٠)‫ﺳﺎ‬ ‫ﻛﻤﯿﺔ‬‫ﻟﺒﺔ‬(
B‫د‬ ‫ﻣﺠﺎل‬)‫س‬= (‫ح‬
٣(‫اﻟﺠﺬرﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬:
)‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻰ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﺸﺘﻤﻞ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬ ‫ﺟﺬرﯾﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﯾﻘﺎل‬(
‫أوﻻ‬:‫اﻟﺒﺴﻂ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ﺗﺤﺖ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ھﻮ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬X٠
‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‬:‫اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ﺗﺤﺖ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ھﻮ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬<٠
‫ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ‬:
‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬)‫س‬= (‫ن‬
‫؟‬‫ھـ‬)"‫س‬"("‫ﺣﯿﺚ‬‫ن‬g‫ﺻﺺ‬+‫ھـ‬ ،)‫س‬(‫ﺣﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮة‬
‫أوﻻ‬:‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬‫ن‬‫ﻓﺈن‬ ‫ﻓﺮدى‬ ‫ﻋﺪد‬:‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬=‫ح‬،‫ن‬‫اﻟﺠﺬر‬ ‫دﻟﯿﻞ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬
‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‬:‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬‫ن‬‫ﻓﺈن‬ ‫زوﺟﻰ‬ ‫ﻋﺪد‬:‫ھـ‬ ‫ﺗﺠﻌﻞ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻢ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ھﻮ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬)‫س‬(X٠
‫أوﻻ‬ً:‫ﯾﻜ‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬‫ﻓــﺮدﯾﺎ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫دﻟﯿﻞ‬ ‫ﻮن‬ً:
‫ﻣﺜﻼ‬‫د‬)‫س‬= (←‫د‬ ‫ﻣﺠﺎل‬)‫س‬= (‫ح‬
‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‬ً:‫زوﺟﯿﺎ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫دﻟﯿﻞ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬:
‫ﻣﺜﻼ‬:‫د‬)‫س‬= (
˙.˙‫س‬‫ــ‬٥٠←‫س‬٥←‫د‬ ‫ﻣﺠﺎل‬)‫س‬] = (٥،]
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻣﺠﺎل‬ ‫ﻋﯿﻦ‬‫د‬)‫س‬= (
‫اﻟﺤ‬‫ﻞ‬:
‫ﺑﻮﺿﻊ‬‫س‬٢
-‫س‬-١٢=٠
)‫س‬-٤)(‫س‬+٣= (٠
‫س‬-٤=٠‫س‬+٣=٠
‫س‬=٤‫س‬=-٣
٤-٣

٥
˙.˙‫ﺳﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫ﻛﻤﯿﺔ‬ ‫اﻟﺠﺬرﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬)٠(
.˙.‫د‬ ‫ﻣﺠﺎل‬)‫س‬] = (٤،]‫ﺑﻶ‬[-،-٣[
=‫ح‬-[‫ــ‬٣،٤]
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﻮاﻋﺪ‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬ ‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫ﻋﯿﻦ‬:
]١[‫د‬١)‫س‬= (‫؟‬‫س‬"+"٤"]٢[‫د‬٢)‫س‬= (‫؟‬‫س‬٢
"‫ــ‬"٩"
]٣[‫د‬٣)‫س‬] = (٤[‫د‬٤)‫س‬= (
]٥[‫د‬٥)‫س‬] = (٦[‫د‬٦)‫س‬= (٣
‫؟‬‫س‬"+"٣"
‫اﻟﺤﻞ‬:
]١[A‫زوﺟﻰ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫دﻟﯿﻞ‬B‫س‬+٤X٠C‫س‬X–٤
B‫اﻟﻤﺠﺎل‬=‫ح‬–]-٤،‫ﺿﺾ‬]
]٢[A‫زوﺟﻰ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫دﻟﯿﻞ‬B‫س‬٢
–٩X٠C‫س‬٢
X٩C‫س‬X±٣
B‫اﻟﻤﺠﺎل‬[ =-‫ﺿﺾ‬،-٣[‫ﺑﻶ‬]٣،‫ﺿﺾ‬= ]‫ح‬-[–٣،٣]
]٣[‫س‬ ‫ﻧﻀﻊ‬٢
‫ــ‬٣‫س‬+٢=٠B)‫س‬–٢)(‫س‬–١= (٠C‫س‬=٢،‫أ‬١
B‫اﻟﻤﺠﺎل‬=‫ح‬–}١،٢{
]٤[‫س‬ ‫ﻧﻀﻊ‬٢
+٩=٠‫ﺳﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ﻛﻤﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻤﯿﺰ‬ ‫ﻓﯿﻜﻮن‬B‫اﻟﻤﺠﺎل‬=‫ح‬
]٥[‫س‬ ‫ﻧﻀﻊ‬٢
–٩<٠B)‫س‬–٣)(‫س‬+٣= (٠C‫س‬=٣‫س‬ ،=-٣
A‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ﺗﺤﺖ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ھﻮ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬<٠B‫اﻟﻤﺠﺎل‬=‫ح‬–]-٣،٣[
]٦[A‫ﻓﺮدى‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫دﻟﯿﻞ‬B‫اﻟﻤﺠﺎل‬=‫ح‬
‫ــ‬ ‫س‬٢
‫س‬٢
+٩
٢‫س‬+٣
‫س‬٢
‫ــ‬٣‫س‬+٢
١
‫؟‬‫س‬٢
"‫ــ‬"٩"

٦
*‫ﻗﺎﻋﺪة‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺑﺄﻛﺜﺮ‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻤﺪى‬ ‫و‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫اﯾﺠﺎد‬:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻣﺪاھﺎ‬ ‫و‬ ‫ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ‬ ‫اذﻛﺮ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ارﺳﻢ‬
)‫أ‬(‫د‬)‫س‬= ()‫ب‬(‫د‬)‫س‬= (
‫اﻟﺤﻞ‬:
)‫أ‬(‫س‬ ‫ﻋﻨﺪ‬>٠‫ﻣﻦ‬ ‫ﯾﺒﺪأ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﯾﻮازى‬ ‫ﺷﻌﺎع‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬)٠،-١(
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪ‬<٠‫ﻣﻦ‬ ‫ﯾﺒﺪأ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﯾﻮازى‬ ‫ﺷﻌﺎع‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬)٠،١(
‫اﻟﻤﺠﺎل‬=‫ــ‬ ‫ح‬}٠{
‫اﻟﻤﺪى‬=}١،-١{
)‫ب‬(‫ﻗﺎﻋﺪة‬ ‫ﻟﻜﻞ‬ ‫ﺟﺪول‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬
‫س‬>٠
‫س‬X٠
‫اﻟﻤﺠﺎل‬=‫اﻟﻤﺪى‬ ، ‫ح‬=‫ــ‬ ‫ح‬]-٢،٢]
‫س‬
٠-١-٢
‫د‬)‫س‬(-٢-٣-٤
‫س‬
٠١٢
‫د‬)‫س‬(٢٣٤
‫ــ‬١‫س‬>٠
١‫س‬<٠
‫س‬+٢‫س‬X٠
‫س‬–٢‫س‬>٠

٣
-٢ -١ ١ ٢ ٣ 
١
-١
٢
-٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤ 
٣
٢
١
-١
-٢
-٣


٧
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬)‫س‬= (
‫اﻟﺒﯿ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ارﺳﻢ‬‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫و‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫اﺳﺘﻨﺘﺞ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫و‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺎﻧﻰ‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬:‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬] =-٢،∞]
‫اﻟﻤﺪى‬[ =-١،∞]
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:٣–‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫س‬-٢Y‫س‬>٢
‫د‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬)‫س‬= (
‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫س‬٢Y‫س‬Y٥
‫ا‬ ‫ارﺳﻢ‬‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﺳﺘﻨﺞ‬ ‫و‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫ﻟﺸﻜﻞ‬
‫ﻣﺪاھﺎ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﻤﺠﺎل‬] =-٢،٥[‫اﻟﻤﺪى‬ ،[ =١،٥[
‫س‬-٢-١٠٠١٢
‫د‬)‫س‬(٣٠-١١٢٣
‫س‬٢
-١-٢Y‫س‬>٠
‫س‬+١‫س‬X٠
‫س‬٢
–١‫س‬+١
-٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤ 
٤
٣
٢
١
-١
-٢


٨
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬] :-٢،٤[C‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ح‬
٢‫س‬+٣‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬-٢Y‫س‬>٠
‫د‬)‫س‬= (
١‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫س‬ ‫ــ‬٠Y‫س‬Y٤
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫و‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫اﺳﺘﻨﺞ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫و‬ ‫د‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ارﺳﻢ‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
-٢Y‫س‬>٠٠Y‫س‬Y٤
‫اﻟﻤﺠﺎل‬] =-٢،٤[
‫اﻟﻤﺪى‬] =-٣،٣]
‫ﻣﺜﺎل‬:‫إذا‬‫ح‬ ‫ﺿﻠﻌﮫ‬ ‫طﻮل‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻛﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻤﺮﺑﻊ‬ ‫ﻣﺤﯿﻂ‬ ‫اﻛﺘﺐ‬ ‫ل‬ ‫ﺿﻠﻌﮫ‬ ‫طﻮل‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫ﻣﺤﯿﻂ‬ ‫ح‬ ‫ﻛﺎن‬)‫ل‬(
‫أوﺟﺪ‬ ‫ﺛﻢ‬) :‫أ‬(‫ح‬)٣) (‫ب‬(‫ح‬( )
‫اﻟﺤﻞ‬:
A‫ح‬)‫ل‬= (٤×‫ل‬B‫ح‬)٣= (٤×٣=١٢‫ح‬ ،= ( )٤×=١٥
‫س‬-٢-١٠٠١٤
‫ص‬-١١٣١٠-٣
٢-٢ -١ ١ ٣ ٤ -٣
٤
٣
٢
١
-١
-٢

-٣
-٤
١٥
٤
١٥
٤
١٥
٤

٩
‫اﻟـــ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت‬‫ـــــﺪوال‬
‫أن‬ ‫اﻟﺘﻌﺮﯾﻒ‬ ‫ھﺬا‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻼﺣــﻆ‬:
‫ﺟﻤﯿﻊ‬‫م‬ ‫ﯾﺴﺎوى‬ ‫اﻟﺠﺪﯾﺪة‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت‬١‫ﺑﻼ‬‫م‬٢‫اﻟﻤﻘﺎم‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﺠﻌﻞ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﻘﯿﻢ‬ ‫ﻋﺪا‬ ‫ﻣﺎ‬=‫ﻓﻰ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬
‫اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﻋﻤﻠﯿﺔ‬.
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﯿﺘﯿﻦ‬ ‫داﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ر‬ ، ‫د‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫ــ‬٤‫ر‬ ،)‫س‬= (‫؟‬‫ـ‬ ‫س‬"‫ـ‬١"
‫أوﺟﺪ‬) :‫أ‬(‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬) :‫د‬+‫ر‬(،)‫د‬–‫ر‬(،)‫د‬.‫ر‬(،( )،( )
)‫ب‬(‫اﻟﻌﺪدﯾﺔ‬ ‫اﻟﻘﯿﻢ‬)‫أﻣﻜﻦ‬ ‫إن‬(‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻟﻜﻞ‬:
)‫د‬+‫ر‬) (٥(،)‫د‬.‫ر‬) (٢(،)( )٣(،)( )-٢(
‫اﻟﺤﻞ‬:
A‫د‬ ‫ﻣﺠﺎل‬=‫م‬١=‫ر‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ، ‫ح‬=‫م‬٢] =١،∞]‫د‬ ‫اﺻﻔﺎر‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ،=}٢،-٢{
‫ر‬ ‫اﺻﻔﺎر‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ،=}٠{
)‫أ‬) (‫د‬+‫ر‬) (‫س‬= (‫د‬)‫س‬+ (‫ر‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫ــ‬٤+‫؟‬‫ـ‬ ‫س‬"‫ـ‬١"
B‫ﻣﺠﺎل‬)‫د‬+‫ر‬= (‫م‬١‫ﺑﻼ‬‫م‬٢=‫ح‬‫ﺑﻼ‬]١،∞] = ]١،∞]
)‫ر‬ ‫ــ‬ ‫د‬)(‫س‬= (‫د‬)‫س‬(‫ر‬ ‫ــ‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫ــ‬٤‫ــ‬‫؟‬‫ـ‬ ‫س‬"‫ـ‬١"
B‫ﻣﺠﺎل‬)‫ر‬ ‫ــ‬ ‫د‬= (‫م‬١‫ﺑﻼ‬‫م‬٢=‫ح‬‫ﺑﻼ‬]١،∞] = ]١،∞]
( )
( )
( )
‫د‬
‫ر‬
‫ر‬
‫د‬
‫د‬
‫ر‬
‫ر‬
‫د‬
‫م‬١
‫ح‬
١
‫م‬٢
١

١٠
)‫د‬.‫ر‬) (‫س‬= (‫د‬)‫س‬. (‫ر‬)‫س‬) = (‫س‬٢
‫ــ‬٤(‫؟‬‫ـ‬ ‫س‬"‫ـ‬١"
B‫ﻣﺠﺎل‬)‫د‬.‫ر‬= (‫م‬١‫ﺑﻼ‬‫م‬٢=‫ح‬‫ﺑﻼ‬]١،∞] = ]١،∞]
) ( )‫س‬= = (
‫ﻣﺠﺎل‬) ( )‫س‬= (‫م‬١‫ﺑﻼ‬‫م‬٢‫ص‬ ‫ــ‬)‫ر‬(
=‫ح‬‫ﺑﻼ‬]١،∞]‫ــ‬}١{[ =١،∞]
) ( )‫س‬= = (
‫ﻣﺠﺎل‬) ( )‫س‬= (‫م‬١‫ﺑﻼ‬‫م‬٢‫ص‬ ‫ــ‬)‫د‬(
=‫ح‬‫ﺑﻼ‬]١،∞]‫ــ‬}٢،-٢{
=]١،∞]‫ــ‬}٢{‫س‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﺔ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬=-٢
)‫ب‬()‫د‬+‫ر‬) (‫س‬= (‫س‬٢
‫ــ‬٤+‫؟‬‫ـ‬ ‫س‬"‫ـ‬١"‫س‬ ‫ﻟﻜﻞ‬g]١،∞]
A٥g]١،∞]B)‫د‬+‫ر‬)(٥) = (٥(٢
‫ــ‬٤+‫؟‬٥–"١"=١٩
)‫د‬.‫ر‬) (‫س‬) = (‫س‬٢
‫ــ‬٤(‫؟‬‫ـ‬ ‫س‬"‫ـ‬١"‫س‬ ‫ﻟﻜﻞ‬g]١،∞]
A٢g]١،∞]B)‫د‬.‫ر‬) (٢) = (٢٢
–٤(‫؟‬٢‫ـ‬"‫ـ‬١"=‫ﺻﻔﺮ‬
) ( )‫س‬= (‫س‬ ‫ﻟﻜﻞ‬g[١،∞]
A٣g[١،∞]B)( )٣= = (
) ( )‫س‬= (‫س‬ ‫ﻟﻜﻞ‬g]١،∞]‫ــ‬}٢{
A–٢h]١،∞]‫ــ‬}٢{B)( )-٢= = (‫ﻣﻌﺮﻓﺔ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬
‫د‬
‫ر‬
‫د‬)‫س‬(
‫ر‬)‫س‬(
‫س‬٢
‫ــ‬٤
‫؟‬‫ـ‬ ‫س‬"‫ـ‬١" ‫د‬
‫ر‬
‫م‬١
‫ح‬
١
‫م‬٢
١
‫ر‬
‫د‬
‫ر‬)‫س‬(
‫د‬)‫س‬(
‫؟‬‫ـ‬ ‫س‬"‫ـ‬١"
‫س‬٢
‫ــ‬٤
‫ر‬
‫د‬
‫ح‬‫م‬١ ١
‫م‬٢
٢-٢
-٢ ٢
‫د‬
‫ر‬
‫س‬٢
‫ــ‬٤
‫؟‬‫ـ‬ ‫س‬"‫ـ‬١"
‫د‬
‫ر‬
٣٢
‫ــ‬٤
‫؟‬٣‫ـ‬"‫ـ‬١"
٥
‫؟‬٢
‫ر‬
‫د‬
‫؟‬‫ـ‬ ‫س‬"‫ـ‬١"
‫س‬٢
‫ــ‬٤
‫ر‬
‫د‬
‫؟‬-٢"‫ـ‬١"
)-٢(٢
–٤
‫؟‬-٣"
‫ﺻﻔﺮ‬

١١
‫ﺗﻮﺿﯿﺤﻰ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬:
‫د‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﯾﻤﺜﻞ‬ ‫و‬ ‫اﻧﺘﺎﺟﮫ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺟﺰء‬ ‫ﺑﺘﺼﺪﯾﺮ‬ ‫ﯾﻘﻮم‬ ‫ﻣﺼﻨﻊ‬ ‫ھﻨﺎك‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)‫س‬(=‫س‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫س‬
‫ﯾﻌﻄﻰ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﻰ‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﺼﺪرة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪات‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫و‬ ، ‫اﻷول‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﻨﺘﺠﺔ‬ ‫اﻟﻮﺣﺪات‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﯾﻤﺜﻞ‬
‫ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‬‫ر‬)‫د‬= (‫د‬+١٥٠٠‫اﻷول‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﺼﺪرة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪات‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬.‫ﻋﺪد‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ﻛﻢ‬
‫اﻷول‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﺼﻨﻊ‬ ‫اﻧﺘﺎج‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﺼﺪرة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪات‬:
)‫أ‬(٢٠٠٠٠‫وﺣﺪة‬)‫ب‬(٨٠٠٠٠‫وﺣﺪة‬
‫اﻟﺤﻞ‬:‫ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬ ‫اﻟﺘﺼﺪﯾﺮ‬ ‫و‬ ‫اﻻﻧﺘﺎج‬ ‫ﯾﻮﺿﺢ‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫ﻋﻤﻞ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬:
A‫د‬)‫س‬= (، ‫اﻻول‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫اﻟﺘﺼﺪﯾﺮ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫س‬‫ر‬)‫د‬= (‫د‬+١٥٠٠‫اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫اﻟﺘﺼﺪﯾﺮ‬ ‫داﻟﺔ‬
B‫ر‬)‫س‬= (‫س‬+١٥٠٠
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪ‬=٢٠٠٠٠B‫ر‬)×٢٠٠٠٠= (×٢٠٠٠٠+١٥٠٠٠=٦٥٠٠‫وﺣﺪة‬
‫اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﺼﺪرة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪات‬ ‫ﻋﺪد‬=٦٥٠٠‫وﺣﺪة‬
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪ‬=٨٠٠٠٠B‫ر‬)×٨٠٠٠٠= (×٨٠٠٠٠+١٥٠٠٠=٢١٥٠٠‫وﺣﺪة‬
‫اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﺼﺪرة‬ ‫اﻟﻮﺣﺪات‬ ‫ﻋﺪد‬=٢١٥٠٠‫وﺣﺪة‬
‫ﺑ‬ ‫ﻣﺮﺗﺒﻄﺘﺎن‬ ‫داﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ھﻨﺎك‬ ‫أن‬ ‫اﻟﺨﻼﺻﺔ‬‫داﻟﺔ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻷول‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫ااﻟﺘﺼﺪﯾﺮ‬ ‫ﺑﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻧﻌﻮض‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ﺒﻌﺾ‬
‫داﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﺗﺮﻛﯿﺐ‬ ‫ﻓﻜﺮة‬ ‫ھﺬه‬ ‫و‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﻌﺎم‬ ‫اﻟﺘﺼﺪﯾﺮ‬)‫ﺧﺎرﺟﯿﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫اﯾﺠﺎد‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫داﺧﻠﯿﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫اﯾﺠﺎد‬(
‫اﻟــــﺪوال‬ ‫ﺗﺮﻛﯿﺐ‬
١
٤
١
٤
١
٤
١
٤
١
٤
١
٤
١
٤
١
٤

١٢
‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬:
‫ر‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺟﺰﺋﯿﺔ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫وﻛﺎن‬ ‫داﻟﺘﯿﻦ‬ ‫د‬ ،‫ر‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬
‫اﻟﺘﺮﻛﯿﺐ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫اﯾﺠﺎد‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫ﻓﺈﻧﮫ‬‫ع‬‫اﻟﺠﺪ‬، ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺗﺘﺮﻛﺐ‬ ‫ﯾﺪة‬‫ر‬‫ھﻰ‬
‫ع‬)‫س‬) =(‫ر‬º‫د‬) (‫س‬= (‫ر‬]‫د‬)‫س‬[ (
‫ﺗﻘﺮأ‬ ‫و‬‫ر‬‫د‬ ‫ﺗﺮﻛﯿﺐ‬‫أو‬‫ر‬‫د‬ ‫ﺑﻌﺪ‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫أوﻻ‬ ‫د‬ ‫ﺗﻄﺒﻖ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬‫ر‬
‫ﻣﻠﺤﻮظﺔ‬:‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫أن‬ ‫ﻣﻤﻜﻦ‬)‫ر‬º‫د‬) (‫س‬(
‫ﻣﻌﺮﻓﺔ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫أو‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﺔ‬]‫ﻣﻌﯿﻨﺔ‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻟﮭﺎ‬‫أو‬‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻟﮭﺎ‬ ‫ﻟﯿﺲ‬[
‫ﻋﻨﺪ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﺗﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ‬ ‫و‬‫ﻣﮭﻢ‬ ‫ﺗﺮﻛﯿﺒﮭﻤﺎ‬.
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)‫س‬= (٤‫س‬٢
‫ر‬ ،)‫س‬= (٢‫أوﺟﺪ‬ ‫س‬) :‫د‬º‫ر‬)(‫س‬(،)‫ر‬º‫د‬)(‫س‬(
‫ﻣﺎ‬ ‫و‬‫ﺗﻼﺣﻆ‬ ‫ذا‬.
‫اﻟﺤﻞ‬) :‫د‬º‫ر‬)(‫س‬= (‫د‬]‫ر‬)‫س‬= [(‫د‬)٢‫س‬= (٤×)٢‫س‬(٢
=١٦‫س‬٢
)‫ر‬º‫د‬)(‫س‬(=‫ر‬]‫د‬)‫س‬= [ (‫ر‬)٤‫س‬٢
= (٢×)٤‫س‬٢
= (٨‫س‬٢
‫أن‬ ‫ﯾﻼﺣﻆ‬) :‫د‬º‫ر‬)(‫س‬(})‫ر‬º‫د‬)(‫س‬()‫اﺑﺪاﻟﻰ‬ ‫ﻟﯿﺲ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﺗﺮﻛﯿﺐ‬(
‫ﻣﻠﺤﻮظﺔ‬:‫ﻻﯾﺠﺎد‬)‫ر‬º‫د‬)(‫س‬(‫ر‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫س‬ ‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺑﺪﻻ‬ ‫د‬ ‫ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻧﻌﻮض‬
‫ر‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫أوﻻ‬ ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ‬.
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)‫س‬= (‫س‬٢
+٦‫ر‬ ،)‫س‬= (٣‫س‬
‫أوﻻ‬:‫أوﺟﺪ‬)‫د‬º‫ر‬) (٣(‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‬:‫ﺗﺠﻌﻞ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻢ‬ ‫ﺣﺪد‬)‫د‬º‫ر‬) (‫س‬= (٤٢
‫د‬ ‫ﻣﺪى‬
‫ﻣﺠﺎل‬‫ر‬
‫س‬ ‫د‬)‫س‬( ‫ر‬]‫د‬)‫س‬[(
‫د‬ ‫ﻣﺠﺎل‬
‫ر‬]‫د‬)‫س‬[(
‫ر‬ ‫ﻣﺪى‬

١٣
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫أوﻻ‬) :‫د‬º‫ر‬) (‫س‬= (‫د‬]‫ر‬)‫س‬= [ (‫د‬)٣‫س‬) = (٣‫س‬(٢
+٦=٩‫س‬٢
+٦
B)‫د‬º‫ر‬) (٣= (٩)٣(٢
+٦=٨٧
‫آﺧﺮ‬ ‫ﺣﻞ‬:A‫ر‬)٣= (٣×٣=٩B)‫د‬º‫ر‬) (٣= (‫د‬]‫ر‬)٣) = [ (٩(٢
+٦=٨٧
‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‬:A)‫د‬º‫ر‬) (‫س‬= (٤٢B٩‫س‬٢
+٦=٤٢B٩‫س‬٢
=٣٦‫ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ‬٩
B‫س‬٢
=٤B‫س‬=±٢
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)‫س‬= (‫س‬٢
+١‫ر‬ ،)‫س‬= (‫؟‬‫ــ‬ ‫س‬"٣"
‫أوﺟﺪ‬) :‫د‬º‫ر‬)(‫س‬(‫أوﺟﺪ‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻣﺤﺪدا‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫أﺑﺴﻂ‬ ‫ﻓﻰ‬)‫د‬º‫ر‬) (٣(
‫اﻟﺤﻞ‬:
)‫د‬º‫ر‬)(‫س‬= (‫د‬]‫ر‬)‫س‬= [ (‫د‬)‫؟‬‫ــ‬ ‫س‬"٣") = (‫؟‬‫ــ‬ ‫س‬"٣"(٢
+١
=‫س‬–٣+١=‫س‬–٢
‫ﻣﺠﺎل‬)‫د‬º‫ر‬)(‫س‬= (}‫س‬:‫س‬X٣‫س‬ ،g‫ح‬{] =٣،∞]
)‫د‬º‫ر‬) (٣= (٣–٢=١
‫آﺧﺮ‬ ‫ﺣﻞ‬) :‫د‬º‫ر‬) (٣= (‫د‬]‫ر‬)٣= [(‫د‬)‫؟‬٣‫ــ‬"٣"= (‫د‬)٠) = (٠(٢
+١=١
‫ﻟﻠﺘﻔﻜﯿﺮ‬ ‫ﺳﺆال‬:‫ع‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)‫س‬= (‫؟‬‫س‬٣
""–"٤"‫ﯾ‬ ‫ﺑﺤﯿﺚ‬ ‫ر‬ ، ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ‬‫ﻜﻮن‬
‫ع‬)‫س‬) = (‫د‬º‫ر‬)(‫س‬(
‫اﻟﺤﻞ‬) :‫اﻟﺴﺆال‬ ‫ﻟﮭﺬا‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫أﻛﺜﺮ‬ ‫ھﻨﺎك‬(
A‫ع‬)‫س‬= (‫؟‬‫س‬٣
""–"٤"=‫؟‬)‫س‬٣
"‫ــ‬"١("‫ــ‬"٣"
B‫ر‬)‫س‬(=‫س‬٣
‫ــ‬١‫د‬ ،)‫س‬= (‫؟‬‫س‬"–"٣"‫ﺗﺤﻘﻖ‬‫ع‬)‫س‬) = (‫د‬º‫ر‬)(‫س‬(
‫آﺧﺮ‬ ‫ﺣﻞ‬:A‫ع‬)‫س‬(=‫؟‬‫س‬٣
""–"٤"=‫؟‬)‫س‬٣
"‫ــ‬"٢("‫ــ‬"٢"
B‫ر‬)‫س‬(=‫س‬٣
‫ــ‬٢‫د‬ ،)‫س‬= (‫؟‬‫س‬"–"١"‫ﺗﺤﻘﻖ‬‫ع‬)‫س‬) = (‫د‬º‫ر‬)(‫س‬(
‫آﺧﺮ‬ ‫ﺣﻞ‬:A‫ع‬)‫س‬= (‫؟‬‫س‬٣
""–"٤"
B‫ر‬)‫س‬= (‫س‬٣
‫ــ‬٤‫د‬ ،)‫س‬= (‫؟‬‫س‬‫ﺗﺤﻘﻖ‬‫ع‬)‫س‬) = (‫د‬º‫ر‬)(‫س‬(

١٤
]١[‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫ﻻ‬ ‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺎت‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﯾﺎ‬:
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــ‬
]٢[‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﻋﺪا‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ص‬ ‫ﻓﯿﮭﺎ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺎت‬ ‫ﺟﻤﯿﻊ‬:
)١(‫ص‬=٢‫ــ‬ ‫س‬٣)٢(‫ص‬=‫س‬٢
‫ــ‬٤)٣(‫س‬=‫ص‬٢
–٢)٤(‫ص‬=‫س‬ ‫ﺣﺎ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]٣[‫اﻻﺗﯿﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﻮاﻋﺪ‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬ ‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫ﻋﯿﻦ‬:
)١(‫د‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫ــ‬٢‫س‬)٢(‫د‬)‫س‬= (‫ــ‬٥)٣(‫د‬)‫س‬= (‫؟‬٢‫س‬"‫ــ‬٣"
)٤(‫د‬)‫س‬) = (٥(‫د‬)‫س‬= (‫؟‬٤‫ــ‬""‫س‬٢
"")٦(‫د‬)‫س‬= (
‫ﺗﻤﺎرﯾﻦ‬)١(
‫س‬٢
-٩
‫س‬–٣
٣‫س‬+٢
‫؟‬‫س‬"+"٢"

١٥
‫ــ‬٢‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬>٢
٤‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫س‬ ‫ـ‬X٢
)٧(‫د‬)‫س‬) = (٨(‫د‬)‫س‬= (
)٩(‫د‬)‫س‬) = (١٠(‫د‬)‫س‬= (٣
‫؟‬‫س‬"
٢
+""‫س‬"-"٦"
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]٤[‫ﻣﺪاھﺎ‬ ‫ﻋﯿﻦ‬ ‫و‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫اﻻﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﺜﻞ‬:
)١(‫د‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬] :-١،٥[C‫د‬ ، ‫ح‬)‫س‬= (
‫د‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻼ‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ‬)-١(‫د‬ ،)٠(‫د‬ ،)١(‫د‬ ،)٢(‫د‬ ،)٣(‫د‬ ،)٤(‫د‬ ،)٥(
‫ﻣﺪاھﺎ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﺳﺘﻨﺘﺞ‬ ‫و‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ارﺳﻢ‬ ‫ﺛﻢ‬.
)٢(‫د‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬)‫س‬= (
‫د‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻼ‬ ‫ﻓﺎوﺟﺪ‬)٢(‫د‬ ،)٣(‫د‬ ،)٤(‫د‬ ،)١(‫د‬ ،)٠(‫د‬ ،)-١(‫د‬ ،)-٤(
‫ﻣﺪاھﺎ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﺳﺘﻨﺘﺞ‬ ‫و‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ارﺳﻢ‬ ‫ﺛﻢ‬.
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
)٣(‫د‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬] :-٣،٣[C‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ح‬
‫د‬)‫س‬= (
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ھﺬه‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫اﺳﺘﻨﺞ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫و‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ارﺳﻢ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
)٤(‫د‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬١:‫ح‬C‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ح‬١)‫س‬= (٣‫س‬–١
‫د‬٢] :-٢،٣[C‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ح‬٢)‫س‬= (٢‫س‬+٤
‫أوﺟﺪ‬) :‫د‬١+‫د‬٢) (‫س‬(،)‫د‬١‫د‬ ‫ــ‬٢) (‫س‬(‫ﻛ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫ﻣﺒﯿﺎ‬‫داﻟﺔ‬ ‫ﻞ‬.
‫ــ‬ ‫س‬٢
‫س‬٢
‫ــ‬٥‫س‬+٦
‫؟‬‫ــ‬ ‫س‬"٢"
‫س‬٢
‫ــ‬١
٤-‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫س‬-١Y‫س‬>٢
‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫س‬٢Y‫س‬Y٥
٢‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫س‬X٢
‫س‬+٢‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬>٢
‫س‬٢
+١‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬-٣Y‫س‬>٠
‫س‬+٢‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬٠Y‫س‬Y٣

١٦
)٥(‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:‫د‬١)‫س‬= (‫س‬+٢‫د‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫و‬١] =-٣،٤[‫د‬ ،٢)‫س‬= (‫س‬٢
+٢‫س‬
‫د‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫و‬٢] =-١،٣[‫أوﺟﺪ‬:
)‫د‬١+‫د‬٢)(‫س‬(،)‫د‬١‫د‬ ‫ــ‬٢)(‫س‬(،)( )‫س‬(،)( )‫س‬(‫داﻟﺔ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫ﻣﺒﯿﺎ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
)٦(‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:‫د‬)‫س‬= (٣‫س‬+١‫ر‬ ،)‫س‬= (‫س‬٢
–٥‫ق‬ ،)‫س‬= (‫س‬٢
‫أوﺟﺪ‬:
)‫أ‬) (‫د‬º‫ر‬) (٢) (‫ب‬) (‫ر‬º‫د‬)(‫س‬()‫ﺟـ‬()‫ر‬º‫ق‬)(١()‫د‬()‫ق‬º‫د‬)(-٢(
)٧(‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:‫د‬)‫س‬= (‫ر‬ ،)‫س‬= (‫س‬+٣‫أوﺟﺪ‬:
)‫د‬º‫ر‬)(‫س‬(،)‫ر‬º‫د‬)(‫س‬(‫ﻣﻨﮭﻤﺎ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫ﺣﺪد‬ ‫و‬.
)٨(‫د‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)‫س‬= (‫س‬٢
–٣‫ر‬ ،)‫س‬= (‫؟‬‫ــ‬ ‫س‬"٢"
‫أوﺟﺪ‬) :‫د‬º‫ر‬)(‫س‬(‫أ‬ ‫ﻓﻰ‬‫أوﺟﺪ‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻣﺤﺪدا‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫ﺑﺴﻂ‬)‫د‬º‫ر‬) (٣(
‫د‬١
‫د‬٢
‫د‬٢
‫د‬١
١
‫س‬

١٧
]١[‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬:
‫ﺳﺒﻖ‬ ‫ﻟﻘﺪ‬‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫طﻰ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫و‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫درﺳﻨﺎ‬ ‫أن‬
‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬)‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫أو‬(‫ﺗﻤﺎﻣﺎ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﻧﺼﻔﺎ‬ ‫ﻟﯿﻨﻄﺒﻖ‬.
)١(‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬:
‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬:
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬)، ‫س‬-‫ص‬(‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻮاﻗﻌﺔ‬
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬)، ‫س‬‫ص‬(
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس‬ ‫اﯾﻀﺎ‬ ‫ﻋﻠﯿﮫ‬ ‫اﻟﻮاﻗﻌﺔ‬
)٢(‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬:
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬)-‫ص‬ ، ‫س‬(‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻮاﻗﻌﺔ‬
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬)‫ص‬ ، ‫س‬(
‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس‬ ‫أﯾﻀﺎ‬ ‫ﻋﻠﯿﮫ‬ ‫اﻟﻮاﻗﻌﺔ‬
‫ﻣﺜﻼ‬:‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬)-١،٠(‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺻﻮرة‬)١،٠(
‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس‬
‫اﻟﺪوال‬ ‫ﺧﻮاص‬ ‫ﺑﻌﺾ‬

١٨
)٣(‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬:
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬)-، ‫س‬-‫ص‬(‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻮاﻗﻌﺔ‬
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬)‫ص‬ ، ‫س‬(
‫ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس‬ ‫أﯾﻀﺎ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﻧﻔﺲ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻮاﻗﻌﺔ‬
‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺣﻮل‬
‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﺜﻼ‬)١،١(‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺻﻮرة‬)-١،-١(
‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس‬
]٢[‫اﻟﻔﺮدﯾﺔ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺰوﺟﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬:]‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻧﻮع‬[
‫أوﻻ‬:‫اﻟﺰوﺟﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:
‫ﺟﱪﻳﺎ‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:‫س‬←‫ص‬‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬
‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬:‫د‬)-‫س‬= (‫د‬)‫س‬(
‫س‬،-‫س‬g‫اﻟﻤﺠﺎل‬.]‫اﻟﺮﻣﺰ‬‫ﻟﻜﻞ‬ ‫ﯾﻘﺎل‬[
‫ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ‬:‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ‬ ‫ﻟﮭﺎ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬.
‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻓﺈذا‬‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬)‫س‬،‫ص‬(g‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬)-‫س‬،‫ص‬(g‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬.

١٩
‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‬ً:‫اﻟﻔﺮدﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:
‫ﺟﱪﻳﺎ‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:‫س‬←‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫ص‬
‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬:‫د‬)-‫س‬= (-‫د‬)‫س‬(‫س‬،-‫س‬g‫اﻟﻤﺠﺎل‬.
‫ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ‬:‫إذا‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ‬ ‫ﻟﮭﺎ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻛﺎن‬.
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻓﺈذا‬)‫س‬،‫ص‬(‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻘﻊ‬)-‫س‬،-‫ص‬(‫أﯾﻀﺎ‬ ‫ﺗﻘﻊ‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬.
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
*ً ‫ﺟﺒﺮﯾﺎ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫ﺑﺤﺚ‬ ‫ﺧﻄﻮات‬:
١(‫د‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ‬)-‫س‬(‫ﻛﻞ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺒﺪال‬ ‫ﯾﺘﻢ‬ ‫ذﻟﻚ‬ ‫و‬)‫س‬(‫ﺑــ‬)-‫س‬(‫اﻻﺻﻠﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻓﻰ‬
٢(‫ﻧﻔﻜﮭﺎ‬ ‫و‬ ‫اﻷﻗﻮاس‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫ﻧﺘﻌﺎﻣﻞ‬.
٣(‫ﺣﺴ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﺤﻜﻢ‬ ‫و‬ ‫اﻷﺻﻠﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫و‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫ﻧﻘﺎرن‬‫ﺳﺒﻖ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫ﺐ‬.
*‫ﺟﺒﺮﯾﺎ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫ﺑﺤﺚ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫ھﺎﻣﺔ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬:
١) (-‫س‬(‫زوﺟﻰ‬ ‫ﻋﺪد‬
=‫س‬‫اﻟﺰوﺟﻰ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﻧﻔﺲ‬
،)-‫س‬(‫ﻓﺮدى‬ ‫ﻋﺪد‬
=‫س‬ ‫ــ‬‫اﻟﻔﺮدى‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﻧﻔﺲ‬
٢(‫اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ‬)-‫س‬(‫اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫إﺷﺎرة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻠﺔ‬ ‫ﺗﻌﺎﻣﻞ‬.
‫ﻣﺜﻼ‬:‫ﺣﺎ‬)-‫س‬= (‫ﺣﺎ‬ ‫ــ‬‫طﺎ‬ ، ‫س‬)-‫س‬= (‫ﺣﺘﺎ‬ ، ‫س‬ ‫طﺎ‬ ‫ــ‬)-‫س‬= (‫س‬ ‫ﺣﺘﺎ‬
٣(‫د‬)‫س‬+ (‫د‬)-‫س‬= (٠
٤(، ‫س‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫ﻟﯿﺲ‬ ‫و‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﺜﯿﺮ‬-‫س‬h‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬
‫د‬ ‫اﯾﺠﺎد‬ ‫دون‬)-‫س‬(
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫أو‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫أى‬ ‫اﺑﺤﺚ‬ ‫و‬ ‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﺜﻞ‬ ‫اﻟﺮﺳﻮﻣﯿﺔ‬ ‫اﻟﺒﺮاﻣﺞ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام‬
‫ﺟﺒﺮﯾﺎ‬ ‫اﺟﺎﺑﺘﻚ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫ذﻟﻚ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ً.
)١(‫د‬)‫س‬= (‫س‬٢
–٤‫س‬)٢(‫د‬)‫س‬= (‫س‬٣
+‫س‬
)٣(‫د‬)‫س‬= (‫س‬ ‫ﺣﺎ‬ ‫س‬

٢٠
‫اﻟﺤﻞ‬:
)١(‫اﻟﺠﺪول‬ ‫ﻧﻜﻮن‬:‫د‬)‫س‬= (‫س‬٢
–٤‫س‬
‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ‬ ‫ﻟﯿﺲ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬
‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ‬ ‫ﻟﯿﺲ‬ ‫و‬
‫د‬)-‫س‬) = (-‫س‬(٢
–٤×)-‫س‬(
=‫س‬٢
+٤‫س‬}‫د‬ ‫ــ‬)‫س‬(
B‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫ﻻ‬ ‫و‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻻ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
)٢(‫د‬)‫س‬= (‫س‬٣
+‫س‬
‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬
‫د‬ ،)-‫س‬) = (-‫س‬(٣
) +-‫س‬(
=-‫س‬٣
–‫س‬=-)‫س‬٣
+‫س‬(
=‫د‬ ‫ــ‬)‫س‬(
B‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫س‬-١٠١٢٣
‫د‬)‫س‬(٥٠-٣-٤-٣
‫س‬-٢-١٠١٢
‫د‬)‫س‬(-١٠-٢٠٢١٠

‫ﺳﺲ‬

٢١
)٣(‫د‬)‫س‬= (‫س‬ ‫ﺣﺎ‬ ‫س‬
‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬
A‫د‬)-‫س‬= (-‫ﺣﺎ‬ ‫س‬)-‫س‬= (‫س‬ ‫ﺣﺎ‬ ‫س‬=‫د‬)‫س‬(
B‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬.
‫ــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﺣﯿﺚ‬ ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫ﻣﺜﻞ‬
‫د‬)‫س‬= (
‫ﺟﺒﺮﯾﺎ‬ ‫ذﻟﻚ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫و‬ ‫ذﻟﻚ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫أم‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫أم‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ھﻞ‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫ﺛﻢ‬.
‫اﻟﺤﻞ‬:‫س‬X–٢‫س‬>-٢
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬
A‫د‬)-‫س‬= (
=
}-‫د‬)‫س‬(
B‫و‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫ﻻ‬
‫س‬-٢-١٠-٢-١-٣
‫ص‬٠١٢٠-١١
‫س‬+٢C‫س‬X-٢
‫ــ‬ ‫س‬ ‫ــ‬٢C‫س‬>-٢
-‫س‬+٢C-‫س‬X-٢
‫ــ‬ ‫س‬٢C-‫س‬>-٢
-‫س‬+٢C-‫س‬Y٢
‫ــ‬ ‫س‬٢C‫س‬<-٢
-٢
‫ﺳﺲ‬
‫ﺻﺺ‬
١
٢
-١-٣
-١
٠
٣
١
-٣
-٢

٢٢
]*٣[‫اﻷﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ر‬ ، ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻼ‬ ‫أن‬ ‫أﺛﺒﺖ‬:
)١(‫د‬)‫س‬= (‫س‬–٣)٢(‫ر‬)‫س‬= (
‫اﻟﺤﻞ‬) :١(‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ﺍ‬‫ب‬ ،g‫د‬ ، ‫ح‬)‫ﺍ‬= (‫ﺍ‬–٣‫د‬ ،)‫ب‬= (‫ب‬–٣
‫د‬ ‫ﺑﻮﺿﻊ‬)‫ﺍ‬= (‫د‬)‫ب‬(B‫ﺍ‬–٣=‫ب‬–٣‫ﺑﺤﺬف‬)-٣(‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﻣﻦ‬
B‫ﺍ‬=‫ﺏ‬B‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫د‬
)٢(‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ﺍ‬‫ب‬ ،g‫ح‬-}٥{،‫ر‬)‫ﺍ‬= (،‫ر‬)‫ﺏ‬= (
‫ﺑﻮﺿﻊ‬‫ر‬)‫ﺍ‬= (‫ر‬)‫ب‬(B=‫ﻧﺠﺪ‬ ‫اﻟﺘﺒﺎدﻟﻰ‬ ‫ﺑﺎﻟﻀﺮب‬
)٢‫ﺍ‬–٣) (‫ب‬–٥) = (‫ﺍ‬–٥()٢‫ب‬–٣(
٢‫ﺍ‬‫ب‬–٣‫ب‬–١٠‫ﺍ‬+١٥=٢‫ﺍ‬‫ب‬–١٠‫ب‬–٣‫ﺍ‬+١٥
١٠‫ب‬–٣‫ب‬=١٠‫ﺍ‬–٣‫ﺍ‬
B٧‫ب‬=٧‫ﺍ‬B‫ﺍ‬=‫ب‬B‫ر‬‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬
‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:‫ﺳﺲ‬C‫ﺻﺺ‬‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬
‫ﻟﻜﻞ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ﺍ‬‫ب‬ ،g‫ﺳﺲ‬‫د‬ ،)‫ﺍ‬= (‫د‬)‫ب‬(‫ﻓﺈن‬‫ﺍ‬=‫ب‬
‫ﻟﻜﻞ‬ ‫أو‬‫ﺍ‬}‫د‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ب‬)‫ﺍ‬(}‫د‬)‫ب‬(
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺑﯿﺎن‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫واﺣﺪة‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺑﺄﻛﺜﺮ‬ ‫ﯾﻤﺮ‬ ‫ﻻ‬ ‫اﻟﺬى‬ ‫اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫ﺑﺎﻟﺨﻂ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫ذﻟﻚ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﯾﺘﺤﻘﻖ‬ ‫و‬
٢‫س‬–٣
‫س‬–٥
٢‫ﺍ‬–٣
‫ﺍ‬–٥
٢‫ﺏ‬–٣
‫ﺏ‬–٥
٢‫ا‬–٣
‫ا‬–٥
٢‫ب‬–٣
‫ب‬–٥

٢٣
*‫اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫اﻟﺨﻂ‬ ‫اﺧﺘﺒﺎر‬:
‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬:‫ﺳﺲ‬C‫ﺻﺺ‬‫اﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬‫ﻗﻄﻊ‬ ‫إذا‬‫اﻟ‬‫ﺨﻂ‬‫اﻷ‬‫ﻓﻘﻰ‬)‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻟﻤﺤﻮر‬ ‫اﻟﻤﻮازي‬(
‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪي‬ ‫ﻋﻨﺎﺻﺮ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻋﻨﺼﺮ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬‫ﻧﻘﻄﺔ‬‫واﺣﺪة‬.
‫ـــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫أن‬ ‫ﺑﯿﻦ‬:
)١(‫د‬)‫س‬= (‫س‬٢
+٣)٢(‫ر‬)‫س‬= (‫س‬٢
–٥‫س‬+٦
‫اﻟﺤﻞ‬:
)١(‫د‬)‫س‬= (‫س‬٢
+٣
‫اﻵﺗﻰ‬ ‫اﻟﺠﺪول‬ ‫ﻧﻜﻮن‬:
A‫د‬)١= (١٢
+٣=٤
‫د‬ ،)-١) = (-١(٢
+٣=٤
B‫د‬)١= (‫د‬)-١(
A-١}١B‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬ ‫د‬.
‫ص‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫اﻟﺨﻂ‬ ‫أن‬ ‫وﻧﻼﺣﻆ‬=٤‫ﯾﻨﺎ‬‫ھﻤﺎ‬ ‫س‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﯿﻦ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫ﻗﯿﻤﺘﯿﻦ‬ ‫ظﺮ‬–١،١
)٢(‫ر‬)‫س‬= (‫س‬٢
–٥‫س‬+٦
A‫ر‬)١= (١٢
–٥×١+٦=٢
،‫ر‬)٤= (٤٢
–٥×٤+٦=٢
B‫ر‬)١= (‫ر‬)٤(A١}٤
B‫ر‬‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬ ‫داﻟﺔ‬
‫ص‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫اﻟﺨﻂ‬ ‫أن‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ‬ ‫و‬=٢‫ھﻤﺎ‬ ‫س‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﯿﻦ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫ﻗﯿﻤﺘﯿﻦ‬ ‫ﯾﻨﺎظﺮ‬١،٤
‫س‬-٣-٢-١٠١٢
‫د‬)‫س‬(١٢٧٤٣٤٧
٤
-2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
٤
٣
-١ ١
٣

٢٤
]٤[)‫اﻟــﺪاﻟـــــــﺔ‬ ‫اطـــــــــﺮاد‬(
‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬
١-)‫اﻟﺘﺰاﯾﺪﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬(‫ﻟﻠﺪ‬ ‫ﯾﻘﺎل‬‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬ ‫أﻧﮭﺎ‬ ‫اﻟﺔ‬]‫ﺍ‬،‫ﺏ‬[
‫س‬ ‫ﻟﻜﻞ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬١،‫س‬٢g]‫ﺍ‬،‫ﺏ‬[‫اﻵﺗﻰ‬ ‫اﻟﺸﺮط‬ ‫ﯾﺘﺤﻘﻖ‬:
‫س‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬١<‫س‬٢‫د‬)‫س‬١(<‫د‬)‫س‬٢(
‫ﻋﺎﻣــــﺔ‬ ‫وﺑﺼﻔﺔ‬:‫د‬)‫س‬(‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬:
‫ﺗﺘﺰاﯾﺪ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﺑﺈزدﯾﺎد‬.
‫أﺧﺮى‬ ‫وﺑﻄﺮﯾﻘﺔ‬:‫د‬)‫س‬(‫ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﻟﻤﻤﺎس‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻟﻤﺤﻮر‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫اﻻﺗﺠﺎه‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫ﺣﺎدة‬ ‫زاوﯾﺔ‬ ‫ﯾﺼﻨﻊ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬.
٢-)‫اﻟﺘﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬(‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬ ‫أﻧﮭﺎ‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫ﯾﻘﺎل‬]‫ﺍ‬،‫ﺏ‬[
‫س‬ ‫ﻟﻜﻞ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬١،‫س‬٢g]‫ﺍ‬،‫ﺏ‬[
‫اﻵﺗﻰ‬ ‫اﻟﺸﺮط‬ ‫ﯾﺘﺤﻘﻖ‬:
‫س‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬١<‫س‬٢‫د‬)‫س‬١(>‫د‬)‫س‬٢(
‫ﻋﺎﻣــــﺔ‬ ‫وﺑﺼﻔﺔ‬:‫د‬)‫س‬(‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬:‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﺑﺈزدﯾﺎد‬ ‫ﺗﺘﻨﺎﻗﺺ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬.
‫أﺧﺮى‬ ‫وﺑﻄﺮﯾﻘﺔ‬:‫د‬)‫س‬(‫اﻟﻤﻤﺎس‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬‫ﻣﻨﻔ‬ ‫زاوﯾﺔ‬ ‫ﯾﺼﻨﻊ‬‫اﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫اﻻﺗﺠﺎه‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫ﺮﺟﺔ‬
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻟﻤﺤﻮر‬.

٢٥
٣-)‫اﻟﺜﺎﺑﺘﮫ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬(‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﮫ‬ ‫أﻧﮭﺎ‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫ﯾﻘﺎل‬]‫ﺍ‬،‫ﺏ‬[
‫س‬ ‫ﻟﻜﻞ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬١،‫س‬٢g]‫ﺍ‬،‫ﺏ‬[
‫اﻵﺗﻰ‬ ‫اﻟﺸﺮط‬ ‫ﯾﺘﺤﻘﻖ‬:‫س‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬١<‫س‬٢‫د‬)‫س‬١= (‫د‬)‫س‬٢= (‫ﺍ‬
‫ﻋﺎﻣــــﺔ‬ ‫وﺑﺼﻔﺔ‬:‫د‬)‫س‬(‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻣﮭﻤﺎ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬.
‫اﻟﺨﻼﺻﺔ‬:
‫ﺗﺬﻛﺮ‬‫أن‬:‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﯾﻘﺮأ‬ ‫اﻟﻤﺪى‬ ‫أﻣﺎ‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻘﺮأ‬ ‫اﻻطﺮاد‬ ‫ﻓﺘﺮات‬ ‫و‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﺪى‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫اﻻﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻼ‬ ‫اطﺮاد‬ ‫اﺑﺤﺚ‬:
‫اﻟﺸﻜﻞ‬)١(‫اﻟﺸﻜﻞ‬)٢(‫اﻟﺸﻜﻞ‬)٣(
٥
٤
٣
٢
١
-١
-٢

-٢ -١ ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥  -٢ -١ ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ 
٥
٤
٣
٢
١
-١
-٢

-٢ -١ ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ 
٥
٤
٣
٢
١
-١
-٢


٢٦
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬)١: (‫اﻟ‬‫ﻤﺪى‬] =٠،٢[
‫اﻻطﺮاد‬:‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺰاﯾﺪة‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬]-٢،٠[‫ﻓﻰ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ،]٠،٣[‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ،]٣،٥[
‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬)٢: (‫اﻟﻤﺪى‬] =-٢،∞]
‫اﻻطﺮاد‬:‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺰاﯾﺪة‬]١،∞]‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ،[-∞،١[
‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬)٣: (‫اﻟﻤﺪى‬[ =–∞،٣[
‫اﻻطﺮاد‬:‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺰاﯾﺪة‬[-∞،٠[‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ،]٣،∞]‫ﻓﻰ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ،]٠،٣[
‫ﻣﺜﺎل‬:
‫ـــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]١[‫ذﻟﻚ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫أو‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫اﺑﺤﺚ‬) .ً ‫ﺟﺒﺮﯾﺎ‬(
]١[‫د‬)‫س‬= (٢–‫س‬٢
]٢[‫د‬)‫س‬= (٤‫؟‬‫س‬]٣[‫د‬)‫س‬= (
]٤[‫د‬)‫س‬] = (٥[‫د‬)‫س‬= (‫س‬٣
+‫س‬ ‫ﺣﺘﺎ‬
]٦[‫د‬)‫س‬= (‫؟‬‫س‬٢
"+"٦"]٧[‫د‬)‫س‬=(
]٨[‫د‬)‫س‬= (‫س‬ ‫ﺣﺘﺎ‬ ‫س‬
‫اﻟﺪوال‬ ‫ﺧﻮاص‬ ‫ﺑﻌﺾ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻤﺎرﯾﻦ‬
‫ــ‬ ‫س‬٣C‫س‬<٠
‫ــ‬ ‫س‬ ‫ــ‬٣C‫س‬>٠
‫س‬٣
‫ﺣﺎ‬٣‫س‬
١+‫س‬٤
‫ــ‬ ‫س‬١C‫س‬X٠
٧‫س‬C‫س‬>٠

٢٧
]٢[‫اﻟﺴ‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫ﯾﻠﻰ‬ ‫ﻛﻤﺎ‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬ ‫اﻷﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﺣﺪد‬‫؟‬ ‫ﺒﺐ‬
)١(‫د‬)‫س‬= (٣‫س‬+١)٢(‫د‬)‫س‬= (٢‫س‬٢
–‫س‬–٣
)٣(‫د‬)‫س‬= (‫س‬٤
+٢‫س‬+١)٤(‫د‬)‫س‬= (
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــ‬
]٣[‫ذﻟﻚ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫أو‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻛﻮﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻮﻋﮭﺎ‬ ‫وﺑﯿﻦ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫أوﺟﺪ‬:
٢‫س‬+١
‫س‬–١

٣
-٢ -١ ١ ٢ ٣ 
١
-١
٢
-٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤ 
٣
٢
١
-١
-٢
-٣

-٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤ 
٤
٣
٢
١
-١
-٢

]١[]٢[
]٣[ ]٤[

٢٨
]٤[‫ﻏﯿﺮ‬ ‫أﯾﮭﺎ‬ ‫و‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫ﻣﻨﮭﺎ‬ ‫أى‬ ‫و‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻣﻨﮭﺎ‬ ‫أى‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫ﯾﻠﻰ‬ ‫ﻛﻤﺎ‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ارﺳﻢ‬
‫ﺟﺒﺮﯾﺎ‬ ‫ذﻟﻚ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫و‬ ‫ذﻟﻚ‬.
)‫أ‬(‫د‬)‫س‬= ()‫ب‬(‫د‬)‫س‬(=
)‫ﺟـ‬(‫د‬)‫س‬= ()‫د‬(‫د‬)‫س‬= (
]٥[
]٦[
]٦[ ]٥[
٢‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬<٠
-٢‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬‫س‬>٠
-‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫س‬X٠
‫س‬‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬‫س‬>٠
‫س‬–١‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬X٠
٧‫س‬‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬‫س‬>٠
‫ﻗﺎ‬‫اﻟﺠﯿﺐ‬ ‫ﻧﻮن‬)‫ﻗﺎﻋﺪة‬
‫اﻟﺠﯿﺐ‬(
‫س‬+١‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬X٠

٢٩
‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮة‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:
‫ﻛﺜﯿﺮة‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫درﺳﺖ‬ ‫أن‬ ‫ﺳﺒﻖ‬‫اﻟﺼﻮرة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺗﮭﺎ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﺤﺪود‬:
‫د‬)‫س‬= (‫ا‬٠+‫ا‬١‫س‬+‫ا‬٢‫س‬٢
+‫ا‬٣‫س‬٣
+٠٠٠٠+‫ا‬‫ن‬‫س‬‫ن‬
‫ﺣﯿﺚ‬:‫ا‬٠،‫ا‬١،‫ا‬٢،٠٠٠٠،‫ا‬‫ن‬g‫ح‬،‫ا‬‫ن‬}٠
‫ھﻮ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫و‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫أن‬ ‫وﻋﻠﻤﻨﺎ‬‫ح‬)‫ذﻟﻚ‬ ‫ﺧﻼف‬ ‫ﯾﺬﻛﺮ‬ ‫ﻣﺎﻟﻢ‬(‫اﻟﺪوال‬ ‫ھﺬه‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ‬ ‫و‬
‫ا‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮة‬ ‫ﺑﺪوال‬‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﯾﺄﺧﺬھﺎ‬ ‫ﻗﻮة‬ ‫أﻋﻠﻰ‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮة‬ ‫درﺟﺔ‬ ‫و‬ ، ‫ن‬ ‫ﻟﺪرﺟﺔ‬
‫س‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻞ‬
‫ھﺎﻣﺔ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬:
١(‫د‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)‫س‬= (‫ا‬،‫ا‬}٠‫اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ‬ ‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮة‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬ ‫د‬ ‫ﻓﺈن‬.
٢(‫دواﻻ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫و‬ ، ‫ﺧﻄﯿﺔ‬ ‫دواﻻ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬ ‫اﻷوﻟﻰ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮة‬ ‫دوال‬
‫ﺗﺮﺑﯿ‬‫ﺗﻜﻌﯿﺒﯿﺔ‬ ‫دواﻻ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬ ‫اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫وﻣﻦ‬ ، ‫ﻌﯿﺔ‬.
٣(‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮة‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ‬ ، ‫ﺛﻮاﺑﺖ‬ ‫و‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ‬ ‫ﻗﻮى‬ ‫دوال‬ ‫طﺮح‬ ‫أو‬ ‫ﺟﻤﻊ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬.
٤(‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﯿﮭﺎ‬ ‫ﺗﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻟﻨﻘﻂ‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ‬ ‫اﻻﺣﺪاﺛﯿﺎت‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮة‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫أﺻﻔﺎر‬.
٥(‫ا‬ ‫ﻟﮭﻤﺎ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫ر‬ ، ‫د‬ ‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮﺗﺎ‬ ‫داﻟﺘﺎ‬ ‫ﺗﺘﺴﺎوى‬‫س‬ ‫ﻗﻮى‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻼت‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫و‬ ‫ﻧﻔﺴﮭﺎ‬ ‫ﻟﺪرﺟﺔ‬
‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫ﻓﯿﮭﻤﺎ‬ ‫اﻟﻤﺘﻨﺎظﺮة‬.
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ﺣﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮﺗﺎ‬ ‫ر‬ ، ‫د‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)‫س‬() =‫ا‬‫س‬+٥(٢
‫ر‬ ،)‫س‬= (٩‫س‬٢
+٣٠‫س‬+‫ــ‬ ‫ﺟـ‬٤‫د‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫و‬ ،)‫س‬= (‫ر‬)‫س‬(‫ﻗﯿﻤﺘﻰ‬ ‫أوﺟﺪ‬‫ا‬‫ﺟـ‬ ،
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫د‬)‫س‬) = (‫ا‬‫س‬+٥(٢
=‫ا‬٢
‫س‬+١٠‫ا‬‫س‬+٢٥
A‫د‬)‫س‬= (‫ر‬)‫س‬(B‫ا‬٢
‫س‬+١٠‫ا‬‫س‬+٢٥=٩‫س‬٢
+٣٠‫س‬+‫ــ‬ ‫ﺟـ‬٤
B‫اﻟﻤﺘﻨﺎظﺮ‬ ‫س‬ ‫ﻗﻮى‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻼت‬‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫ة‬.
‫ﻧﺠﺪ‬ ‫س‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ‬ ‫ﺑﻤﻘﺎرﻧﺔ‬ ‫و‬:١٠‫ا‬=٣٠B‫ا‬=٣
‫اﻟﻤﻄﻠﻖ‬ ‫اﻟﺤﺪ‬ ‫ﻣﻘﺎرﻧﺔ‬ ،:‫ﺟـ‬-٤=٢٥B‫ﺟـ‬=٢٩
‫اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﺘﺤﻮﯾﻼت‬ ‫و‬ ‫ﻟﻠﺪوال‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ‬

٣٠
*‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﯿﺎت‬ ‫رﺳﻢ‬*
‫اﻟﺤﺪود‬ ‫ﻛﺜﯿﺮة‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﯿﺎت‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫أوﻻ‬:
‫د‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫اﻟﺼﻮرة‬)‫س‬= (‫ا‬‫ﺣﯿﺚ‬‫ا‬‫ﻟ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ‬‫س‬ ‫ﻜﻞ‬g‫ح‬*
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﯾﻮازى‬ ‫ﺑﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫و‬
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬ ‫و‬)٠،‫ا‬(
‫اﻟﻤﻮﺿﺢ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻛﻤﺎ‬:
‫ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ‬=‫ﻣﺪاھﺎ‬ ، ‫ح‬=}‫ا‬{‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ،
‫اﻟﻨﻘﺎط‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أو‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﺪاھﺎ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﻮﺣﯿﺪة‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ھﻰ‬ ‫و‬
‫ﻣﻠﺤﻮظﺔ‬:‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬‫ا‬‫اﻟﻤﺴﺘﻘ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺔ‬‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫أﻋﻠﻰ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ﯿﻢ‬
‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬ ‫و‬ ،‫ا‬‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫أﺳﻔﻞ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺳﺎﻟﺒﺔ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ارﺳﻢ‬)‫س‬= (٣‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫وﻣﻦ‬
‫اﻟﻤﺪى‬ ‫ﻋﯿﻦ‬‫واﻟﻨﻮع‬ ‫واﻻطﺮاد‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﻤﺪى‬=}٣{
‫ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬
‫اﻟﺼﺎ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﻟﺘﻤﺎﺛﻠﮭﺎ‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬‫دات‬
‫د‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺨﻄﯿﺔ‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫اﻟﺼﻮرة‬)‫س‬= (‫ا‬‫س‬+‫س‬ ‫ﻟﻜﻞ‬ ‫ب‬g‫ﺣﺢ‬،‫ا‬}٠
‫ﻣ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﺑﺨﻂ‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫و‬‫ﯿﻠﮫ‬=‫ا‬‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫وﯾﻘﻄﻊ‬ ،)٠‫ب‬ ،(‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬ ‫و‬
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬)،٠(‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﻘﻄﻮع‬ ‫اﻟﺠﺰء‬ ‫ب‬ ،
‫أوﻻ‬:‫اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫ﺻﺺ‬
‫ﺳﺲ‬
)٠،‫ا‬(
‫د‬)‫س‬= (‫ا‬
-٣ -٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤ 
٤
٣
٢
١
-١
-٢
-٣

‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‬:‫أو‬ ‫اﻷوﻟﻰ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬)‫ا‬‫اﻟﺨﻄﯿﺔ‬ ‫ﻟﺪاﻟﺔ‬
(
-‫ب‬
‫ا‬

٣١
‫ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ‬=‫ﻣﺪاھﺎ‬ ، ‫ح‬=‫ح‬
‫اطﺮادھﺎ‬:
‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ا‬<٠)‫ﻣﻮﺟﺒﺔ‬(
‫ﻣﺜﻼ‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬)‫س‬(=٣‫س‬–٢‫ﻣﺘﺰاﯾﺪة‬
‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ا‬>٠)‫ﺳﺎﻟﺒﺔ‬(
‫ﻣﺜﻼ‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬)‫س‬= (٢–٣‫ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫س‬
‫ﻧﻮﻋﮭﺎ‬:
‫ب‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫ﻟﻜﻨﮭﺎ‬ ‫و‬ ‫ﻋﺎﻣﺔ‬ ‫ﺑﺼﻔﺔ‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬ ‫و‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬=٠
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:
‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ارﺳﻢ‬)‫س‬= (
‫ﻧﻮﻋﮭﺎ‬ ‫و‬ ‫اطﺮادھﺎ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫اﺳﺘﻨﺘﺞ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫و‬.
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﻤﺠﺎل‬] =-٤،٤[‫اﻟﻤﺪى‬ ،] =٠،٢[
‫ﻣﺘﺰاﯾﺪ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ﻓﻰ‬ ‫ة‬]-٤،-٢[‫ﻓﻰ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ،[–٢،٢[
‫ﻓﻰ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬ ،[٢،٤[
‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‬ ‫ﻻﻧﮭﺎ‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:
‫د‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ارﺳﻢ‬)‫س‬= (
‫ﻧﻮﻋﮭﺎ‬ ‫و‬ ‫اطﺮادھﺎ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫اﺳﺘﻨﺘﺞ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫و‬
)٠‫ب‬ ،(
)،٠( -‫ب‬
‫ا‬
‫ﺳﺺ‬
‫ﺳﺲ‬
‫س‬+٤‫س‬ ،g]-٤،-٢[
٢‫س‬ ،g[–٢،٢[
٤–‫س‬ ، ‫س‬g]٠،٢[
-٤ -٣ -٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤
٤
٣
٢
١
-١
-٢
-٣

‫س‬+٢‫س‬ ،X٠
‫ــ‬ ‫س‬٢‫س‬ ،>٠

٣٢
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫س‬X٠‫س‬>٠
‫س‬٠١‫س‬٠-١
‫ص‬٢٣‫ص‬-٢-٣
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬=‫ح‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬[ =-∞،-٢]‫ﺑﻶ‬]٢،∞]
‫ــ‬ ‫ح‬ ‫أو‬]-٢،٢]
‫ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬ ‫و‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــ‬
*)‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﻣﻔﮭﻮم‬(‫ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﻰ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ھﻮ‬)٠(
*)‫اﻟﻌــﺪد‬ ‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬(‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ھﺬا‬ ‫ﻟﻤﺮﺑﻊ‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻰ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ھﻮ‬.|‫س‬|=‫؟‬‫س‬٢
"
‫ﻣﺜﻼ‬:|-٥|=‫؟‬٢٥،|٣|=‫؟‬٩=٣،|٠|=٠،| |=
*‫دا‬ ‫رﺳﻢ‬‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﻟﺔ‬) :‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﺧﻮاص‬(
‫ھﻰ‬ ‫اﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫اﻟﺼﻮرة‬:‫د‬)‫س‬= (‫ك‬|‫س‬-‫ا‬|+‫ب‬،‫ك‬=±١
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺑﺸﻌﺎﻋﯿﻦ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬)‫ا‬‫ب‬ ،(‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫رأس‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ھﻰ‬)‫ا‬‫ب‬ ،(
‫ا‬=‫ب‬ ، ‫اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬=‫س‬ ‫ھﻮ‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ، ‫اﻟﺼﺎدﯾﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬=‫ا‬
-٣ -٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤ 
٦
٥
٤
٣
٢
١
-١
-٢
-٣

‫ﺛﺎﻟﺜﺎ‬:‫اﻟﻤﻘـﯿﺎس‬ ‫داﻟــﺔ‬)‫اﻟﻤﻄﻠﻘﺔ‬ ‫اﻟﻘﯿﻤﺔ‬(
١
٢
١
٢

٣٣
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬] =، ‫ب‬∞]‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬[ =-∞‫ب‬ ،[
‫ﻓﻰ‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬]‫ا‬،∞]‫ﻓﻰ‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬[-∞،‫ا‬[
‫ﻓﻰ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬[-∞،‫ا‬[‫ﻓ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ﻰ‬]‫ا‬،∞]
‫ﻣﺜﺎل‬:
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:
)‫ا‬‫ب‬ ،(
)‫ا‬‫ب‬ ،(
‫ك‬>٠)‫ﺳﺎﻟﺒﺔ‬
(
‫ك‬<٠)‫ﻣﻮﺟﺒﺔ‬(
‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬
‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬
‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬
‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬
‫اﻟﺤﻞ‬:

٣٤
‫آﺧﺮ‬ ‫ﺣﻞ‬:‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﻧﻔﺲ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ھﺬه‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬|‫س‬|‫اﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫اﻻﺗﺠﺎة‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺣﺪات‬ ‫ﺛﻼث‬ ‫ﺑﺎزاﺣﺔ‬ ‫ﻟﻜﻦ‬ ‫و‬
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻟﻤﺤﻮر‬.‫اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬=٣‫اﻟﺼﺎدﯾﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬ ‫و‬ ،=٠
‫ﺳﺒﻖ‬ ‫ﻛﻤﺎ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻧﻜﻤـــــﻞ‬ ‫ﺛﻢ‬.
‫ﻣﻠﺤﻮظﺔ‬:
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬=‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﺻﻔﺮ‬
‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬=‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﺧﺎرج‬ ‫اﻟﻌﺪد‬)‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫اﻟﻤﻀﺎف‬ ‫اﻟﻌﺪد‬(
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ارﺳم‬)‫س‬= (-|‫س‬|‫واﻟﻣدى‬ ‫اﻟﻣﺟﺎل‬ ‫ذﻛر‬ ‫ﻣﻊ‬
‫ذﻟك‬ ‫ﻏﯾر‬ ‫أو‬ ‫ﻓردﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯾﺔ‬ ‫ﻛوﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻧوﻋﮭﺎ‬ ‫وﺑﯾن‬ ‫اطرادھﺎ‬ ‫اﺑﺣث‬:
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﻤﻨﺤﻨ‬ ‫رأس‬‫ﻰ‬)٠،٠(
‫ح‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬
‫اﻟﻤﺪى‬[ =-،٠[
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺰاﯾﺪة‬ ‫د‬[-،٠]
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫د‬]٠،]
‫اﻟﺻﺎدات‬ ‫ﻣﺣور‬ ‫ﺣول‬ ‫ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ‬ ‫ﻷﻧﮭﺎ‬ ‫زوﺟﯾﺔ‬ ‫د‬
‫اﻟرﺑﻊ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻷﺻل‬ ‫ﻧﻘطﺔ‬ ‫ﺑداﯾﺗﮭﻣﺎ‬ ‫ﺷﻌﺎﻋﯾن‬ ‫ﺑﯾﺎﻧﯾﺎ‬ ‫ﺗﻣﺛل‬
‫اﻟﻣﺣورﯾن‬ ‫ﺑﯾن‬ ‫اﻟزاوﯾﺔ‬ ‫ﯾﻧﺻﻔﺎن‬ ‫و‬ ‫اﻟراﺑﻊ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺛﺎﻟث‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﺘﺤﻮﯾﻼت‬٠
*‫اﻟﺮأﺳﯿﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬)‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫اﺗﺠﺎه‬ ‫ﻓﻰ‬(:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ارﺳﻢ‬)‫س‬= (|‫س‬|+٣‫وا‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫ﻣﻊ‬‫وﺑﯿﻦ‬ ‫اطﺮادھﺎ‬ ‫اﺑﺤﺚ‬ ‫ﻟﻤﺪى‬
‫ذﻟﻚ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫أو‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻛﻮﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻮﻋﮭﺎ‬:
)٠،٠(
‫س‬′
‫ص‬′
-٣ -٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤
٢
١
-١
-٢

‫اﻟﺤﻞ‬:

٣٥
‫آﺧﺮ‬ ‫ﺣﻞ‬:‫اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬=٠‫اﻟﺼﺎدﯾﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬ ،=٣
B‫اﻟﺸﻌﺎﻋﯿﻦ‬ ‫ﻣﺒﺪا‬)٠،٣(‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺑﻨﻔﺲ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻧﻜﻤﻞ‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﻟﺮأس‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ارﺳم‬)‫س‬= (|‫س‬|-٢‫واﻟﻣدى‬ ‫اﻟﻣﺟﺎل‬ ‫ذﻛر‬ ‫ﻣﻊ‬‫ﺛم‬‫وﺑﯾن‬ ‫اطرادھﺎ‬ ‫اﺑﺣث‬
‫ذﻟك‬ ‫ﻏﯾر‬ ‫أو‬ ‫ﻓردﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯾﺔ‬ ‫ﻛوﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻧوﻋﮭﺎ‬:
‫اﻟﺣل‬:
‫اﻟﺮأس‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬)٠،-٢(
‫اﻟﻤﺪى‬] =-٢،]
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫د‬[-،٠]
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺰاﯾﺪة‬ ‫د‬]٠،]
‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‬ ‫ﻷﻧﮭﺎ‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫د‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ارﺳﻢ‬)‫س‬= (٢‫ــ‬|‫س‬|‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫و‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫ﻣﻊ‬.
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﻤﺪى‬[ =-،٢[
‫اﻟﺻﺎدات‬ ‫ﻣﺣور‬ ‫ﺣول‬ ‫ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ‬ ‫ﻷﻧﮭﺎ‬ ‫زوﺟﯾﺔ‬ ‫د‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ارﺳﻢ‬)‫س‬= (-|‫س‬|-٢‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫ﻣﻊ‬‫واﻟﻤﺪى‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﻤﺪى‬[ =-،-٢[
‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‬ ‫ﻷﻧﮭﺎ‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫د‬
)٠،-٢(
‫س‬‫س‬′
‫ص‬′
‫ص‬
)٢،٠()-٢،٠(
)٢،٠(
‫ص‬′
‫س‬‫س‬′
‫ص‬
)٠،٢(
)-٢،٠(
)٠،-٢(
‫س‬′
‫ص‬′
‫ص‬
‫س‬

٣٦
*‫اﻷﻓﻘﯿﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬)‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫اﺗﺠﺎه‬ ‫ﻓﻰ‬:(
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ارﺳم‬‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬)‫س‬= (|‫س‬–٢|‫واﻟﻣدى‬ ‫اﻟﻣﺟﺎل‬ ‫ذﻛر‬ ‫ﻣﻊ‬
)‫اﻟﺤﻞ‬(
‫اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬=٢‫اﻟﺼﺎدﯾﺔ‬ ،=٠B‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫راس‬)٢،٠(
‫اﻟﻤﺪى‬] =٠،]
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫د‬[-،٢]
‫ﻣﺘﺰاﯾﺪ‬ ‫د‬‫ﻓﻰ‬ ‫ة‬]٢،]
‫وﻻﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫ﻻزوﺟﯿﺔ‬ ‫د‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ارﺳﻢ‬)‫س‬= (|‫س‬+٢|‫واﻟﻤﺪى‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫ﻣﻊ‬
‫ا‬‫ذﻟك‬ ‫ﻏﯾر‬ ‫أو‬ ‫ﻓردﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯾﺔ‬ ‫ﻛوﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻧوﻋﮭﺎ‬ ‫وﺑﯾن‬ ‫اطرادھﺎ‬ ‫ﺑﺣث‬:
)‫اﻟﺤﻞ‬(
‫اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬=-٢‫اﻟﺼﺎدﯾﺔ‬ ،=٠‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫راس‬ ،)-٢،٠(
‫اﻟﻤﺪى‬] =٠،]
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫د‬[-،-٢]
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺰاﯾﺪة‬ ‫د‬]-٢،]
‫وﻻﻓردﯾﺔ‬ ‫ﻻزوﺟﯾﺔ‬ ‫د‬
‫ـــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ارﺳﻢ‬)‫س‬= (‫ــ‬|‫س‬–٢|‫واﻟﻤﺪى‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫ﻣﻊ‬
‫ﻓردﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯾﺔ‬ ‫ﻛوﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻧوﻋﮭﺎ‬ ‫وﺑﯾن‬ ‫اطرادھﺎ‬ ‫اﺑﺣث‬‫ذﻟك‬ ‫ﻏﯾر‬ ‫أو‬:
)‫اﻟﺤﻞ‬(
‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫رأس‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬)٢،٠(
‫ح‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬،‫اﻟﻤﺪى‬[ =-،٠[
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺰاﯾﺪة‬ ‫د‬[-،٢]،‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫د‬]٢،]
)٢،٠(
‫س‬‫س‬′
‫ص‬
‫ص‬′
)٠،٢(
)-٢،٠(
‫س‬‫س‬′
‫ص‬
‫ص‬′
)٠،٢(
)٠،-٢(
‫س‬′ ‫س‬
‫ص‬
‫ص‬′
)٢،٠(

٣٧
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ارﺳم‬)‫س‬= (-|‫س‬+٢|‫واﻟﻣدى‬ ‫اﻟﻣﺟﺎل‬ ‫ذﻛر‬ ‫ﻣﻊ‬
‫ﻣن‬ ‫ﻧوﻋﮭﺎ‬ ‫وﺑﯾن‬ ‫اطرادھﺎ‬ ‫اﺑﺣث‬‫ذﻟك‬ ‫ﻏﯾر‬ ‫أو‬ ‫ﻓردﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯾﺔ‬ ‫ﻛوﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯾث‬:
)‫اﻟﺤﻞ‬(
‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫راس‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬)-٢،٠(
‫اﻟﻤﺪى‬[ =-،٠[
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺰاﯾﺪة‬ ‫د‬[-،-٢]
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫د‬]-٢،]
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
*‫اﻟﺮأﺳﯿﺔ‬ ‫و‬ ‫اﻷﻓﻘﯿﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬)‫اﻻﺣﺪاﺛﯿﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮرى‬ ‫اﺗﺠﺎھﻰ‬ ‫ﻓﻰ‬(:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ارﺳﻢ‬)‫س‬= (-|‫س‬+٢|+٣‫واﻟﻤﺪى‬ ‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ذﻛﺮ‬ ‫ﻣﻊ‬
‫أ‬ ‫زوﺟﯾﺔ‬ ‫ﻛوﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻧوﻋﮭﺎ‬ ‫وﺑﯾن‬ ‫اطرادھﺎ‬ ‫اﺑﺣث‬‫ذﻟك‬ ‫ﻏﯾر‬ ‫أو‬ ‫ﻓردﯾﺔ‬ ‫و‬:
)‫اﻟﺤﻞ‬(
‫اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬=-٢‫اﻟﺼﺎدﯾﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬ ،=٣
‫اﻟﻤﺪى‬[ =-،٣[
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺰاﯾﺪة‬ ‫د‬[-،-٢]
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫د‬]-٢،]
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:
‫اﻟﺤﻞ‬:
)٠،-٢(
‫س‬′ ‫س‬
‫ص‬
‫ص‬′
)-٢،٠(
)٠،١(
‫س‬′ ‫س‬
‫ص‬
‫ص‬′
)-٢،٣(

٣٨
‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫اﻧﻌﻜﺎس‬:
‫ر‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ر‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬)‫س‬= (‫ــ‬|‫س‬|
‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﻧﻌﻜﺎس‬ ‫ھﻮ‬)‫س‬(
‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬)‫س‬= (|‫س‬|‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻋﻠﻰ‬
‫ــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﺳﺘﺨﺪم‬)‫س‬= (|‫س‬|‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ع‬ ، ‫ر‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻟﺘﻤﺜﯿﻞ‬:
)‫أ‬(‫ر‬)‫س‬= (‫ــ‬|‫س‬–١|-٢)‫ب‬(‫ع‬)‫س‬= (٢-|‫س‬+٣|
‫اﻟﺤﻞ‬:
)‫أ‬(
)‫ب‬(

٣٩
‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬:‫ھﻰ‬ ‫اﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫اﻟﺼﻮرة‬‫د‬)‫س‬= (‫ا‬)‫ب‬ ‫ــ‬ ‫س‬(٢
+‫ج‬،‫ا‬}٠
‫ﻷﺳﻔﻞ‬ ‫أو‬ ‫ﻷﻋﻠﻰ‬ ‫ﻓﺮﻋﯿﻦ‬ ‫ذو‬ ‫ﺑﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬
‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﻟﺮأس‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫و‬) =‫ﺟـ‬ ، ‫ب‬(
‫س‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﺧﻂ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ،=‫ب‬
‫اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬)‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫اﺗﺠﺎه‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻻﻧﺘﻘﺎل‬= (‫ب‬
‫اﻟﺼﺎدﯾﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬ ،)‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫اﺗﺠﺎه‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻻﻧﺘﻘﺎل‬= (‫ﺟـ‬
‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:‫ا‬<٠)‫ﻣﻮﺟﺒﺔ‬(‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:‫ا‬>٠)‫ﺳﺎﻟﺒﺔ‬(
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬] =، ‫ﺟـ‬∞]‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬[ =-∞‫ﺟـ‬ ،[
‫ﻓﻰ‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬]، ‫ب‬∞]‫ﻓﻰ‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬[-∞‫ب‬ ،[
‫ﻓﻰ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬[-∞‫ب‬ ،[‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ﻓﻰ‬]، ‫ب‬∞]
‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
)‫ﺟـ‬ ، ‫ب‬(
)‫ﺟـ‬ ، ‫ب‬(
‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬
‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬
‫ﺻﻐﺮى‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬
=‫ج‬
‫ا‬<٠
‫ا‬>٠
‫ﻋﻈﻤﻰ‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬
=‫ج‬

٤٠
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــ‬‫ـ‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬:
١.‫د‬ ‫ﻟرﺳم‬)‫س‬= (‫ا‬)‫س‬-‫ب‬(٢
+‫ﺟ‬‫ﻧﺣدد‬‫ھﻰ‬ ‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫رأس‬ ‫ﻧﻘطﺔ‬)، ‫ب‬‫ﺟ‬(
٢.‫ﻟﻠﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫رأس‬ ‫ﻧﻘطﺔ‬ ‫ﻟﮭﻣﺎ‬ ‫اﻟﻣﻘﯾﺎس‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺗرﺑﯾﻌﯾﺔ‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬
٣.‫د‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫د‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﻧﻌﻜﺎس‬ ‫ھﻮ‬)‫س‬= (‫د‬ ‫ــ‬)‫س‬(‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻓﻰ‬
٤.‫اﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﺻﻮرﺗﮭﺎ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫وﺿﻊ‬ ‫ﯾﺠﺐ‬)‫اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ‬(‫ﻣﺜﻼ‬ ‫رﺳﻤﮭﺎ‬ ‫ﻗﺒﻞ‬:
‫د‬)‫س‬= (‫س‬٢
+٦‫س‬+٧) =‫س‬٢
+٦‫س‬+٩+(٧-٩) =‫س‬+٣(٢
-٢
‫د‬)‫س‬= (-‫س‬٢
-٤‫س‬+٥=-)‫س‬٢
+٤‫س‬-٥(
=-})‫س‬٢
+٤‫س‬+٤(–٥-٤{=-})‫س‬+٢(٢
–٩{=-)‫س‬+٢(٢
+٩
٥.‫اﻟﺗﻘﺎ‬ ‫ﻧﻘط‬ ‫ﻹﯾﺟﺎد‬‫س‬ ‫ﻧﺿﻊ‬ ‫اﻟﺻﺎدات‬ ‫ﻣﺣور‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫طﻊ‬=٠‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺤﻮر‬ ‫اﺗﺠﺎه‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫إزاﺣﺔ‬‫ﺳﺲ‬)‫أﻓﻘﯿﺔ‬ ‫إزاﺣﺔ‬: (
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﺳﺘﺨﺪم‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ع‬ ، ‫ر‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻟﺘﻤﺜﯿﻞ‬:
)١(‫ر‬)‫س‬) = (‫س‬–٢(٢
)٢(‫ع‬)‫س‬= (‫ــ‬)‫س‬+٣(٢
‫اﻟﺤﻞ‬:
)١(‫ر‬)‫س‬) = (‫س‬–٢(٢
‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ھﻮ‬‫د‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫اﻻﺗﺠﺎه‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺣﺪﺗﯿﻦ‬ ‫ﺑﺈزاﺣﺔ‬
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻟﻤﺤﻮر‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﺐ‬.
‫ﺳﺺ‬
)٢،٠
(
)٠،٤
( ‫ﺳ‬
‫س‬

٤١
)٢(‫ع‬)‫س‬= (‫ــ‬)‫س‬+٣(٢
‫د‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ھﻮ‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس‬
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻟﻤﺤﻮر‬ ‫اﻟﺴﺎﻟﺐ‬ ‫اﻻﺗﺠﺎه‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺣﺪات‬ ‫ﺑﺜﻼث‬ ‫ازاﺣﺘﮫ‬ ‫ﺛﻢ‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــ‬
*‫ﻣﺤﻮر‬ ‫اﺗﺠﺎه‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫إزاﺣﺔ‬‫ﺻﺺ‬)‫رأﺳﯿﺔ‬ ‫إزاﺣﺔ‬: (
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﺳﺘﺨﺪم‬)‫س‬(‫س‬٢
‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ع‬ ، ‫ر‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻟﺘﻤﺜﯿﻞ‬:
)١(‫ر‬)‫س‬= (‫س‬٢
+٢)٢(‫ع‬)‫س‬= (‫س‬ ‫ــ‬٢
‫ــ‬١
‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫رأس‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻋﯿﻦ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫و‬‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫و‬.
‫اﻟﺤﻞ‬:
)١(‫ر‬)‫س‬= (‫س‬٢
+٢
‫د‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ھﻮ‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫ﻓﻰ‬ ‫وﺣﺪﺗﯿﻦ‬ ‫ﺑﺎزاﺣﺔ‬
‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻟﻤﺤﻮر‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫اﻻﺗﺠﺎه‬
‫ھﻰ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫رأس‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬)٠،٢(
‫اﻟﻤﺪى‬ ،] =٢،∞]
‫ﺳﺺ‬
‫ﺳﺲ‬
)-٣،٠(
)٠،٩(
)٠،٢(
‫ﺻﺺ‬
‫ﺻﺲ‬

٤٢
)٢(‫ع‬)‫س‬= (‫س‬ ‫ــ‬٢
‫ــ‬١
‫د‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ھﻮ‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس‬
‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻟﻤﺤﻮر‬ ‫اﻟﺴﺎﻟﺐ‬ ‫اﻻﺗﺠﺎه‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫واﺣﺪة‬ ‫وﺣﺪة‬ ‫ازاﺣﺔ‬ ‫ﺛﻢ‬
‫ھﻰ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫رأس‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬)٠،-١(
‫اﻟﻤﺪى‬ ،[ =-∞،-١[
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
*‫اﻹﺣﺪاﺛﯿﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮرى‬ ‫اﺗﺠﺎھﻰ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫إزاﺣﺔ‬:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ارﺳم‬)‫س‬= (٢-)‫س‬-١(٢
‫و‬ ‫اﻟﻣدى‬ ‫و‬ ‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫رأس‬ ‫أوﺟد‬
‫اﻟ‬ ‫وﻧوع‬ ‫اﻻطراد‬‫اﻟﺗﻣﺎﺛل‬ ‫ﻣﺣور‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫و‬ ‫داﻟﺔ‬.
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬=١‫اﻟﺼﺎدﯾﺔ‬ ‫اﻻزاﺣﺔ‬ ،=٢
B‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫راس‬)١،٢(
‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫اﻟﺘﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ‬ ‫ﺑﺪﻗﺔ‬ ‫ﻟﻠﺮﺳﻢ‬
‫س‬ ‫ﺑﻮﺿﻊ‬ ‫ذﻟﻚ‬ ‫و‬=٠C)٠،١(
‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﻧﻔﺲ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫و‬
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫و‬)٢،١(
‫اﻟﻤ‬‫ﺠﺎل‬=‫ح‬
‫اﻟﻤﺪى‬[ =-∞،٢[
‫اﻻطﺮاد‬:‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﺰاﯾﺪة‬[-∞،١[
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬]١،∞]
‫اﻟﻨﻮع‬:‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫ﻻ‬ ‫و‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻻ‬
‫اﻻﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫أو‬ ‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﺗﻤﺎﺛﻠﮭﺎ‬ ‫ﻟﻌﺪم‬
‫س‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬=١
‫ﺻﺲ‬
)٠،-١(
‫ﺻﺺ‬

٤٣
‫ﻣﺛﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫رﺳم‬ُ)‫س‬= (-‫س‬٢
‫أﺟرﯾ‬ ‫ﺛم‬ُ‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ﻓﺄﺧذ‬ ‫ازاﺣﺎت‬ ‫ﻋﻠﯾﮫ‬ ‫ت‬‫اﻟﺻورة‬
‫اﻵﺗﯾﺔ‬:‫د‬)‫س‬= (-)‫س‬+١(٢
-٢‫ذﻛر‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻗﺎﻋدة‬ ‫واذﻛر‬ ‫اﻹزاﺣﺎت‬ ‫ھذه‬ ‫ﻋﯾن‬
‫اﻟﺗﻣﺎﺛل‬ ‫ﻣﺣور‬ ‫وﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﻣدى‬.
)‫اﻟﺤﻞ‬(
‫اﻟﺳﺎﻟب‬ ‫اﻻﺗﺟﺎه‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫واﺣدة‬ ‫وﺣدة‬ ‫ﻣﻘدارھﺎ‬ ‫إزاﺣﺔ‬
‫ﺑﺈزاﺣﺔ‬ ‫ﻣﺗﺑوﻋﺔ‬ ‫اﻟﺳﯾﻧﺎت‬ ‫ﻟﻣﺣور‬‫وﺣدﺗﯾن‬ ‫ﻣﻘدارھﺎ‬
‫اﻻﺗ‬ ‫ﻓﻰ‬‫ﺟﺎه‬‫اﻟﺻﺎدات‬ ‫ﻟﻣﺣور‬ ‫اﻟﺳﺎﻟب‬.
‫ھﻰ‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻗﺎﻋدة‬:‫د‬)‫س‬= (-)‫س‬+١(٢
-٢
‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣدى‬[ =-،-٢[
‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺗﻣﺎﺛل‬ ‫ﻣﺣور‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬:‫س‬=-١
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــ‬
‫ﻣﺛﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ارﺳم‬)‫س‬(=‫س‬٢
+٤‫س‬+٦‫وا‬‫وﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻣداھﺎ‬ ‫واذﻛر‬ ‫اطرادھﺎ‬ ‫ﺑﺣث‬‫ﻣﺣور‬
‫د‬ ‫اﻟﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ﻣن‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺣﺻول‬ ‫ﯾﻣﻛن‬ ‫ﻛﯾف‬ ‫ﺑﯾن‬ ‫ﺛم‬ ، ‫اﻟﺗﻣﺎﺛل‬)‫س‬= (‫س‬٢
)‫اﻟﺤﻞ‬(
‫ﻟﻠداﻟﺔ‬ ‫اﻟﻘﯾﺎﺳﯾﺔ‬ ‫اﻟﺻورة‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﺗﻌرﯾف‬ ‫اﻋﺎدة‬ ‫ﯾﺟب‬
‫د‬)‫س‬) = (‫س‬٢
+٤‫س‬+٤(+٦-٤) =‫س‬+٢(٢
+٢
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺗﻧﺎﻗﺻﺔ‬ ‫د‬ ،[-،-٢]،‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺗزاﯾدة‬ ‫د‬]-٢،]
‫وﻻﻓردﯾﺔ‬ ‫زوﺟﯾﺔ‬ ‫ﻟﯾﺳت‬ ‫د‬ ،
‫اﻟﻣدى‬ ،] =٢،]
‫س‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺗﻣﺎﺛل‬ ‫ﻣﺣور‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ،=-٢
‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺣﺻول‬ ‫وﯾﺗم‬ ،)‫س‬= (‫س‬٢
+٤‫س‬+٦
‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ﻣن‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫وذﻟك‬
‫اﻟﺳ‬ ‫اﻻﺗﺟﺎه‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫وﺣدﺗﯾن‬ ‫ﻣﻘدارھﺎ‬ ‫ﺑﺈزاﺣﺔ‬‫ﺎﻟب‬
‫وﺣدﺗﯾن‬ ‫ﻣﻘدارھﺎ‬ ‫ﺑﺈزاﺣﺔ‬ ‫ﻣﺗﺑوﻋﺔ‬ ، ‫اﻟﺳﯾﻧﺎت‬ ‫ﻟﻣﺣور‬
‫اﻟﺻﺎدات‬ ‫ﻟﻣﺣور‬ ‫اﻟﻣوﺟب‬ ‫اﻻﺗﺟﺎه‬ ‫ﻓﻰ‬
‫س‬
‫ص‬
)-١،-٢(
)٠،-٣(
‫س‬′
‫ص‬′
‫و‬
‫س‬
‫ص‬
)-٢،٢(
)٠،٦(
‫و‬‫س‬′
‫ص‬′

٤٤
‫اﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫اﻟﺼﻮرة‬:‫د‬)‫س‬= (‫ا‬)‫ب‬ ‫ــ‬ ‫س‬(٣
+‫ﺟـ‬،‫ا‬=±١
‫ﻷﺳﻔﻞ‬ ‫اﻵﺧﺮ‬ ‫و‬ ‫ﻷﻋﻠﻰ‬ ‫أﺣﺪھﻤﺎ‬ ‫ﻓﺮﻋﯿﻦ‬ ‫ذو‬ ‫ﺑﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬
‫ﻣﻨﺤﻨ‬‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﺣﻮل‬ ‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻰ‬)‫ﺟـ‬ ، ‫ب‬(‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫رأس‬ ‫ھﻰ‬ ‫و‬)‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬(
*‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬:
١-‫إذ‬‫ﺟـ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ا‬=‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺻﻔﺮ‬)، ‫ب‬٠(
٢-‫ب‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬=‫ﺟـ‬=‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺻﻔﺮ‬)٠،٠(‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫و‬
٣-‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ‬)‫س‬= (‫ا‬)‫س‬–‫ب‬+ (‫ﻣﻘﺪار‬ ‫أﻓﻘﯿﺎ‬ ‫إزاﺣﺘﮫ‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫ﺟـ‬|‫ب‬|‫ﺑﻌﻜﺲ‬
‫ﻣﻮﺟﺒ‬ ‫ب‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬ ‫ﻟﻠﯿﻤﯿﻦ‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫إﺷﺎرﺗﮭﺎ‬‫ﺳﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ب‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬ ‫ﻟﻠﯿﺴﺎر‬ ‫و‬ ‫ﺔ‬
٤-‫ﻣﻘﺪار‬ ‫رأﺳﯿﺎ‬ ‫وازاﺣﺘﮫ‬|‫ﺟـ‬|‫ﺳﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬ ‫ﻷﺳﻔﻞ‬ ‫و‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺔ‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬ ‫ﻷﻋﻠﻰ‬
٥-‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬:
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس‬ ‫اﻟﺘﻜﻌﯿﺒﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺻﻮرة‬
‫ا‬<٠)‫ﻣﻮﺟﺒﺔ‬(
)‫ﺟـ‬ ، ‫ب‬()‫ﺟـ‬ ، ‫ب‬(
‫ا‬>٠)‫ﺳﺎﻟﺒﺔ‬(
‫اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫و‬ ‫اﻻول‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ‬
‫اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺮﺑﻊ‬
‫ح‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ح‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫و‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻻ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫و‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻻ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬)‫اﻟﺘﻜﻌﯿﺒﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬(
‫د‬ ‫ﻣﺜﻼ‬)‫س‬= (‫س‬٣
‫د‬ ‫ﻣﺜﻼ‬)‫س‬= (‫س‬ ‫ــ‬٣

٤٥
‫اﻹﺣﺪاﺛﯿﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮرى‬ ‫اﺗﺠﺎه‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫إزاﺣﺔ‬:
‫ﻣﺛﺎل‬:‫ارﺳم‬‫د‬)‫س‬= ()‫س‬-١(٣
+٢‫اطرادھﺎ‬ ‫واﺑﺣث‬ ‫ﻣداھﺎ‬ ‫اذﻛر‬
)‫اﻟﺤﻞ‬(
‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺗﻣﺎﺛل‬ ‫ﻧﻘطﺔ‬)١،٢(
‫ح‬ ‫اﻟﻣدى‬
‫اﻟداﻟﺔ‬‫ﻣﺟﺎﻟﮭﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺗزاﯾدة‬‫ح‬
‫اﻟداﻟﺔ‬‫وﻻﻓردﯾﺔ‬ ‫ﻻزوﺟﯾﺔ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺛﺎل‬:‫ارﺳم‬‫د‬)‫س‬= (-)‫س‬+١(٣
+١‫اطرادھﺎ‬ ‫واﺑﺣث‬ ‫ﻣداھﺎ‬ ‫اذﻛر‬
)‫اﻟﺤﻞ‬(
‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺗﻣﺎﺛل‬ ‫ﻧﻘطﺔ‬)-١،١(
‫اﻟﻣدى‬=‫ح‬
‫اﻟ‬‫د‬‫اﻟﺔ‬‫ﻣﺟﺎﻟﮭﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺗﻧﺎﻗﺻﺔ‬‫ح‬
‫اﻟ‬‫د‬‫اﻟﺔ‬‫ﻻﻓر‬‫وﻻزوﺟﯾﺔ‬ ‫دﯾﺔ‬
‫ﻣﺛﺎل‬:‫ارﺳم‬‫د‬)‫س‬= (٢-)‫س‬+١(٣
‫اطرادھﺎ‬ ‫واﺑﺣث‬ ‫ﻣداھﺎ‬ ‫اذﻛر‬
‫اﻟﺣل‬:
‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺗﻣﺎﺛل‬ ‫ﻧﻘطﺔ‬)-١،٢(
‫اﻟﻣﺟﺎل‬=‫اﻟﻣدى‬ ، ‫ح‬=‫ح‬
‫اﻻطراد‬:‫ﻣﺟﺎﻟﮭﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻧﺎﻗﺻﯾﺔ‬
‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻧوع‬:‫ﻓردﯾﺔ‬ ‫ﻻ‬ ‫و‬ ‫زوﺟﯾﺔ‬ ‫ﻻ‬
‫س‬′
‫ص‬′
)١،٢(
‫س‬
‫ص‬
‫س‬
‫ص‬
)-١،١(
‫س‬′
‫ص‬′
‫س‬
‫ص‬
)-١،٢(
‫س‬′
‫ص‬′

٤٦
‫ﻣﺛﺎل‬:‫د‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫اﺳﺗﺧدم‬)‫س‬= (‫س‬٣
‫اﻵﺗﯾﺔ‬ ‫اﻟدوال‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻛل‬ ‫ﻟﺗﻣﺛﯾل‬
‫اﻟﺗﻣﺎﺛل‬ ‫ﻧﻘطﺔ‬ ‫أوﺟد‬ ‫ﺛم‬:
)‫أ‬(‫ر‬)‫س‬) = (‫س‬–٢(٣
)‫ب‬(‫ر‬)‫س‬= (‫س‬٣
‫ــ‬٣
)‫ﺣـ‬(‫ر‬)‫س‬= (٤–‫س‬٣
)‫د‬(‫ر‬)‫س‬= (١‫ــ‬)‫س‬+٢(٣
‫اﻟﺤﻞ‬:
)‫أ‬(‫ر‬)‫س‬) = (‫س‬–٢(٣
)‫ب‬(‫ر‬)‫س‬= (‫س‬٣
‫ــ‬٣
‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬)٢،٠(‫اﻟﺘﻤ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬‫ھﻰ‬ ‫ﺎﺛﻞ‬)٠،-٣(
)‫ﺣـ‬(‫ر‬)‫س‬= (٤–‫س‬٣
)‫د‬(‫ر‬)‫س‬= (١‫ــ‬)‫س‬+٢(٣
‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬)٠،٤(‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬)-٢،١(

٤٧
‫اﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫اﻟﺼﻮرة‬:‫د‬)‫س‬+ = (‫ك‬ ، ‫ﺟـ‬}٠‫س‬ ،}‫ب‬
‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬)‫ﺟـ‬ ، ‫ب‬(
‫ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ‬ ‫وﯾﻜﻮن‬=‫ح‬–}‫ب‬{‫ﻣﺪاھﺎ‬ ،=‫ح‬–}‫ﺟـ‬{
‫ﻣﻠﺤﻮظﺔ‬:‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬)٠،٠(‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻓﺄن‬
‫ﻣﺛﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ارﺳم‬)‫س‬= (‫ﻧوﻋﮭﺎ‬ ‫واذﻛر‬ ‫اطرادھﺎ‬ ‫واﺑﺣث‬ ‫واﻟﻣدى‬ ‫اﻟﻣﺟﺎل‬ ‫واذﻛر‬
‫ذﻟك‬ ‫ﻏﯾر‬ ‫أو‬ ‫ﻓردﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯾﺔ‬ ‫ﻛوﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫ﻣن‬:
‫اﻟﺣل‬:
‫اﻟﻣﺟﺎل‬=‫ح‬–}٠{
‫اﻟﻣدى‬=‫ح‬–}٠{
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺗﻧﺎﻗﺻﺔ‬ ‫د‬[-،٠]،[٠،]
‫اﻷﺻل‬ ‫ﻧﻘطﺔ‬ ‫ﺣول‬ ‫ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ‬ ‫ﻷﻧﮭﺎ‬ ‫ﻓردﯾﺔ‬ ‫د‬
‫ك‬
‫س‬-‫ب‬
)-‫ﺟـ‬ ، ‫ب‬(
‫س‬
‫ص‬
‫س‬′
‫ص‬′
‫س‬‫س‬′
‫ص‬
‫ص‬′
)، ‫ب‬‫ﺟـ‬(
‫ﻓﻰ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬[، ‫ب‬∞]،[-∞‫ب‬ ،]
‫اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫و‬ ‫اﻻول‬ ‫اﻟﺮﺑﻌﯿﻦ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﯾﻘﻊ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬
‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫وﻻ‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻻ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫ﻓﻰ‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬[-∞،-‫ب‬]،[-،‫ب‬∞]
‫اﻟ‬‫اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺮﺑﻌﯿﻦ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﯾﻘﻊ‬ ‫ﻤﻨﺤﻨﻰ‬
‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫وﻻ‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻻ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫اﻟﻜ‬‫ﺴﺮﯾﺔ‬
)٠،٠(
‫س‬
‫ص‬
‫س‬′
‫ص‬′
١
‫س‬

٤٨
‫ﻣﺛﺎل‬:‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ارﺳم‬‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬)‫س‬= (‫ﻧوﻋﮭﺎ‬ ‫واذﻛر‬ ‫اطرادھﺎ‬ ‫واﺑﺣث‬ ‫واﻟﻣدى‬ ‫اﻟﻣﺟﺎل‬ ‫واذﻛر‬
‫ذﻟك‬ ‫ﻏﯾر‬ ‫أو‬ ‫ﻓردﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯾﺔ‬ ‫ﻛوﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫ﻣن‬:
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺗزاﯾدة‬ ‫د‬[-،٠]،[٠،]
‫اﻷﺻل‬ ‫ﻧﻘطﺔ‬ ‫ﺣول‬ ‫ﻣﺗﻣﺎﺛﻠﺔ‬ ‫ﻷﻧﮭﺎ‬ ‫ﻓردﯾﺔ‬ ‫د‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
*‫اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﺘﺤﻮﯾﻼت‬) :‫اﻻﺣﺪاﺛﯿﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮرى‬ ‫اﺗﺠﺎھﻰ‬ ‫ﻓﻰ‬(
‫ﻣﺛﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ارﺳم‬)‫س‬= (‫و‬ ‫واﻟﻣدى‬ ‫اﻟﻣﺟﺎل‬ ‫واذﻛر‬‫اطرادھﺎ‬ ‫اﺑﺣث‬
‫ذﻟك‬ ‫ﻏﯾر‬ ‫أو‬ ‫ﻓردﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯾﺔ‬ ‫ﻛوﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫ﻣن‬ ‫ﻧوﻋﮭﺎ‬ ‫واذﻛر‬:
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﻣﺟﺎل‬=‫ح‬–}٢{
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺗزاﯾدة‬ ‫د‬[-،٢]،[٢،]
‫وﻻزوﺟﯾﺔ‬ ‫ﻻﻓردﯾﺔ‬ ‫د‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺛﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ارﺳم‬)‫س‬= (-+٢‫اطرادھﺎ‬ ‫واﺑﺣث‬ ‫واﻟﻣدى‬ ‫اﻟﻣﺟﺎل‬ ‫واذﻛر‬
‫اﻟﺣل‬:
‫اﻟﻣﺟﺎل‬=‫ح‬–}-١{
‫اﻟﻣدى‬=‫ح‬–}٢{
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺗزاﯾدة‬ ‫د‬[-،-١]،[-١،]
-١
‫س‬
)٠،٠(
‫س‬
‫ص‬
‫س‬′
‫ص‬′
-١
‫س‬-٢
)٢،٠(
‫س‬
‫ص‬
‫س‬′
‫ص‬′
١
‫س‬+١
)-١،٢(
‫س‬
‫ص‬
‫س‬′
‫ص‬′

٤٩
‫ﻣﺛﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ارﺳم‬)‫س‬= (‫اطرادھﺎ‬ ‫واﺑﺣث‬ ‫واﻟﻣدى‬ ‫اﻟﻣﺟﺎل‬ ‫واذﻛر‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫د‬)‫س‬= (-=٢-
‫اﻟﻣدى‬=‫ح‬–}٢{
‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺗزاﯾدة‬ ‫د‬[-،٠]،[٠،]
‫ﻣﺛﺎل‬:‫ارﺳم‬‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬)‫س‬= (‫اطرادھﺎ‬ ‫واﺑﺣث‬ ‫واﻟﻣدى‬ ‫اﻟﻣﺟﺎل‬ ‫واذﻛر‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫د‬)‫س‬= = = (٣+
‫اﻟﻣﺟﺎل‬=‫ح‬–}١{
‫اﻟﻣدى‬=‫ح‬–}٣{
‫د‬‫ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺗﻧﺎﻗﺻﺔ‬[-،١]،[١،]
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟداﻟﺔ‬ ‫ﻣﻧﺣﻧﻰ‬ ‫ارﺳم‬)‫س‬= (‫واذﻛر‬‫اطرادھﺎ‬ ‫واﺑﺣث‬ ‫واﻟﻣدى‬ ‫اﻟﻣﺟﺎل‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫د‬)‫س‬= = = (٢–
٢‫س‬-١
‫س‬
٢‫س‬
‫س‬
١
‫س‬
١
‫س‬
‫ص‬
)٠،٢(
‫س‬‫س‬′
‫ص‬′
٣‫س‬-٢
‫س‬-١
٣‫س‬–٣–٢+٣
‫س‬-١
٣)‫س‬–١+ (١
)‫س‬–١(
١
‫س‬-١
‫س‬‫س‬′
‫ص‬
‫ص‬′
)١،٣(
٢‫س‬-١
‫س‬+١
٢‫س‬+٢–١-٢
‫س‬+١
٢)‫س‬+١(–٣
‫س‬+١
٣
‫س‬+١

٥٠
‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬)-١،٢(
‫اﻟﻤﺠﺎل‬=‫ح‬–}-١{
‫اﻟﻤﺪى‬=‫ح‬–}٢{
‫ﻣﺘﺰ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ﻓﻰ‬ ‫اﯾﺪة‬[-∞،-١]،[–١،∞]
‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻻ‬ ‫و‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫ﻻ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﺳﺘﺨﺪم‬)‫س‬= (‫س‬ ‫ﺣﯿﺚ‬}٠‫ﻟﺘﻤﺜﯿﻞ‬:
)‫أ‬(‫د‬)‫س‬) = (‫ب‬(‫د‬)‫س‬+ = (٣
‫اﻟﺤﻞ‬:
)‫أ‬) (‫ب‬(
)-١،٢(
‫س‬
‫ص‬
‫س‬′
‫ص‬′
١
‫س‬-١
١
‫س‬
١
‫س‬+٣

٥١
‫ﺑﺎﻟﻘﻮ‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻼ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫ﻣﺜﻞ‬‫ﻛﻞ‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫و‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫و‬ ‫اﻻﺗﯿﺔ‬ ‫اﻋﺪ‬
‫ذﻟﻚ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫أو‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻛﻮﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻮﻋﮭﺎ‬ ‫و‬ ‫اطﺮادھﺎ‬ ‫اﺑﺤﺚ‬ ‫و‬ ‫داﻟﺔ‬.
]١[‫د‬)‫س‬= (‫س‬]٢[‫د‬)‫س‬= (٢‫س‬+٣
]٣[‫د‬)‫س‬] = (٤[‫د‬)‫س‬= (
]٥[‫د‬)‫س‬] = (٦[‫د‬)‫س‬= (
]٧[‫د‬)‫س‬] = (٨[‫د‬)‫س‬= (
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﻄﺎة‬ ‫اﻻﺟﺎﺑﺎت‬ ‫ﺑﯿﻦ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬ ‫اﻻﺟﺎﺑﺔ‬ ‫اﺧﺘﺮ‬:
)١(‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ‬ ‫اﻟﻤﻤﺜﻠﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬:‫ھﻮ‬..........
)‫أ‬(}١{)‫ب‬(}١،-١{)‫ﺟـ‬(}-١{)‫د‬(‫ح‬
)٢(‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:‫د‬)‫س‬= (٣–‫ﺗﻜﻮن‬ ‫س‬.................
)‫أ‬(‫ح‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬)‫ب‬(‫ح‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬
)‫ﺟـ‬(‫ﻓﻰ‬ ‫ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬[٣،∞) ]‫د‬(‫ﻓﻰ‬ ‫ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬]٣،∞]
‫اﻟﻤﻨﺤﻨﯿﺎت‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻤﺎرﯾﻦ‬
‫اﻟﺨﻄﯿﺔ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﺪرﯾﺐ‬
٣‫س‬٢
‫ــ‬٣
‫س‬٢
–١
‫س‬٣
‫س‬ ‫ــ‬
‫س‬٢
–‫س‬
٢‫س‬ ،Y٠
‫ــ‬٢‫س‬ ،<٠
‫س‬ ، ‫س‬X٠
‫س‬ ، ‫س‬ ‫ــ‬>٠
٣‫س‬ ، ‫س‬g]٠،٢[
٦‫س‬ ،g[٢،٤]
‫س‬+٢‫س‬ ،g]٤،٦[
‫س‬+١‫س‬ ،>١
٢،١>‫س‬>٣
‫س‬ ، ‫س‬X٠
‫و‬
١
-١
‫س‬
‫ص‬

٥٢
*‫ﺗﺪرﯾﺐ‬‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬:
]١[‫ﺑﺎﻟﻘﻮ‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻼ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫ﻣﺜﻞ‬‫داﻟﺔ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫و‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫و‬ ‫اﻻﺗﯿﺔ‬ ‫اﻋﺪ‬
‫ذﻟﻚ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫أو‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫ﻛﻮﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻮﻋﮭﺎ‬ ‫و‬ ‫اطﺮادھﺎ‬ ‫اﺑﺤﺚ‬ ‫و‬.
‫وﺟﺪ‬ ‫إن‬ ‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اذﻛﺮ‬ ‫و‬.
)١(‫د‬)‫س‬= (|‫س‬|+٤)٢(‫د‬)‫س‬= (|‫س‬–٣|
)٣(‫ر‬)‫س‬= (|‫س‬|+‫س‬)٤(‫ر‬)‫س‬= (|٢‫س‬+٣|+٣‫س‬–١
)٥(‫د‬)‫س‬= (|‫س‬+٣|)٦(‫د‬)‫س‬= (|‫س‬–٢|+٣
)٧(‫د‬)‫س‬= (١‫ــ‬|‫س‬–٢|)٨(‫د‬)‫س‬= (|٤‫س‬–٢‫س‬|‫ــ‬٣
)٩(‫د‬)‫س‬= (‫ــ‬ ‫س‬|‫ــ‬ ‫س‬٣|)١٠(‫د‬)‫س‬= (٢‫ــ‬|‫س‬|
]٢[‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﺳﺘﺨﺪم‬)‫س‬= (|‫س‬|‫ع‬ ، ‫ر‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻟﺘﻤﺜﯿﻞ‬:
)‫أ‬(‫ر‬)‫س‬= (|‫س‬+٤|)‫ب‬(‫ع‬)‫س‬= (|‫س‬–٢|
)‫ﺣـ‬(‫ر‬)‫س‬= (|‫س‬|-٥)‫ء‬(‫ع‬)‫س‬= (|‫س‬|+٦
)‫ھـ‬(‫ر‬)‫س‬(=|‫س‬+٣|-١)‫و‬(‫ع‬)‫س‬= (|‫س‬–٢|+٤
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــ‬‫ـ‬
*‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﺪرﯾﺐ‬:
]١[‫اﻟﺪ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﺳﺘﺨﺪم‬‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫د‬ ‫اﻟﺔ‬)‫س‬= (‫س‬٢
)‫أ‬(‫ر‬)‫س‬) = (‫س‬+٢(٢
‫ــ‬٤)‫ب‬(‫ع‬)‫س‬= (٢‫ــ‬)‫ــ‬ ‫س‬٣(٢
‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﺗﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫إﺣﺪاﺛﯿﺎت‬ ‫و‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫رأس‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫إﺣﺪاﺛﻰ‬ ‫ﻋﯿﻦ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫و‬
‫اﻟﺪاﻟ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫إطﺮاد‬ ‫اﺑﺤﺚ‬ ‫و‬ ، ‫اﻹﺣﺪاﺛﯿﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮرى‬ ‫ﻣﻊ‬‫ﺘﯿﻦ‬.
]٢[‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﺳﺘﺨﺪم‬)‫س‬= (‫س‬٢
)‫أ‬(‫ر‬)‫س‬= (‫س‬٢
+١)‫ب‬(‫ع‬)‫س‬= (‫س‬ ‫ــ‬٢
‫ــ‬٢
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫ﻋﯿﻦ‬ ‫و‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫رأس‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻋﯿﻦ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫وﻣﻦ‬.

٥٣
]٣[‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ارﺳﻢ‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫ــ‬٦‫س‬+٩‫أ‬ ‫ﺛﻢ‬، ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫رأس‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫وﺟﺪ‬
‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ، ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻧﻮع‬ ‫اﻻطﺮاد‬ ، ‫اﻟﻤﺪى‬
]٤[‫اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫و‬ ‫اﻟﻨﻮع‬ ‫و‬ ‫اﻻطﺮاد‬ ‫و‬ ‫اﻟﻤﺪى‬ ‫ﻋﯿﻦ‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ارﺳﻢ‬.
)١(‫د‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫ــ‬١)٢(‫د‬)‫س‬= (١‫س‬ ‫ــ‬٢
)٣(‫د‬)‫س‬) = (‫ــ‬ ‫س‬١(٢
)٤(‫د‬)‫س‬) = (‫س‬–٢(٢
)٥(‫د‬)‫س‬) = (‫س‬–٢(٢
+١
)٦(‫د‬)‫س‬= (‫ــ‬)‫ــ‬ ‫س‬١(٢
)٧(‫د‬)‫س‬= (١‫ــ‬)‫س‬–١(٢
)٨(‫د‬)‫س‬= (‫س‬٢
+١)٩(‫د‬)‫س‬= (‫ــ‬٤‫ــ‬)‫س‬–١(٢
)١٠(‫د‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬] :-١،٣[C‫ح‬
)١١(‫د‬)‫س‬) = (‫س‬+٢(٢
‫ــ‬٢)١٢(‫د‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫ــ‬٤‫س‬+٤
)١٣(‫د‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫ــ‬٤‫س‬+١)١٤(‫د‬)‫س‬= (‫س‬|‫س‬|
)١٥(
‫ﺗﺪرﯾﺐ‬‫اﻟﺪاﻟ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬‫اﻟﺘﻜﻌﯿﺒﯿﺔ‬ ‫ﺔ‬:
]١[

٥٤
]٢[
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]٣[
‫ﺗﺪرﯾﺐ‬‫ﻋﻠ‬‫اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻰ‬:
]١[‫اﺑﺤﺚ‬ ‫و‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫و‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫و‬ ‫اﻻﺗﯿﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻘﻮاﻋﺪ‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬ ‫اﻟﺪوال‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻼ‬ ‫ﻣﺜﻞ‬
‫ذﻟﻚ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﯿﺔ‬ ‫أو‬ ‫ﻓﺮدﯾﺔ‬ ‫ﻛﻮﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻮﻋﮭﺎ‬ ‫و‬ ‫اطﺮادھﺎ‬:
١(‫د‬)‫س‬() =٢(‫د‬)‫س‬) = (٣(‫د‬)‫س‬+ = (٣
٤(‫د‬)‫س‬) = (٥(‫د‬)‫س‬) = (٦(‫د‬)‫س‬= (
٧(‫د‬)‫س‬) = (٨(‫د‬)‫س‬) = (٩(‫د‬)‫س‬= (
‫ـــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]٢[
-٢
‫س‬
٢
‫س‬
١
‫س‬
١
‫س‬+٣
١
‫س‬-٣
٢‫س‬+٤
‫س‬-٣
١
|‫س‬+٣|
)‫س‬–٢(٢
|)‫س‬–٢(٣
|
٣‫س‬-١
‫س‬

٥٥
]٣[
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]٤[

٥٦
‫اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت‬ ‫و‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ‬
‫أوﻻ‬:‫اﻟﻤﻌـــﺎدﻻت‬ ‫ﺣـﻞ‬:
*‫أن‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ‬:
)‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﻣﻔﮭﻮم‬(‫ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﻰ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ھﻮ‬)٠(
)‫اﻟﻌــﺪد‬ ‫ﻣﻘﯿﺎس‬(‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ھﺬا‬ ‫ﻟﻤﺮﺑﻊ‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻰ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ھﻮ‬.
‫ﻣﺜﻼ‬:|-٥|=‫؟‬٢٥=٥،|٣|=‫؟‬٩=٣،|٠|=٠،| |=
*‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬"‫ﻓﻚ‬"‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬:
|‫س‬|=|‫ــ‬ ‫س‬٢|=
|٢‫س‬+٦|=
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
*‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ‬:
‫د‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬١)‫س‬= (‫د‬٢)‫س‬(‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﯿﻰ‬ ‫ﺗﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻟﻨﻘﺎط‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻢ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ھﻮ‬
‫ﻟﻠﺤﻞ‬ ‫اﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ‬:
١(‫ﻟﻮﺣﺪه‬ ‫طﺮف‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﻧﺠﻌﻞ‬
٢(‫د‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ‬ ‫و‬ ‫ﻣﻨﻔﺼﻠﺔ‬ ‫ﻛﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻷﯾﻤﻦ‬ ‫اﻟﻄﺮف‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬)‫س‬] (‫ﻣﺘﻨﺎھﯿﺔ‬ ‫ﺑﺪﻗﺔ‬[
٣(‫ر‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ‬ ‫و‬ ‫ﻣﻨﻔﺼﻠﺔ‬ ‫ﻛﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻷﯾﺴﺮ‬ ‫اﻟﻄﺮف‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬)‫س‬] (‫ﻣﺘﻨﺎھﯿﺔ‬ ‫ﺑﺪﻗﺔ‬[
٤(‫س‬ ‫ﻗﯿﻢ‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ‬ ‫و‬ ، ‫ر‬ ، ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﺗﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻟﻨﻘﻂ‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ‬ ‫اﻹﺣﺪاﺛﯿﺎت‬ ‫ﻧﺤﺴﺐ‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
١
٢
١
٢
‫س‬‫س‬ ،٠
-‫س‬‫س‬ ،>٠
‫س‬-٢‫س‬ ،٢
-‫س‬+٢‫س‬ ،>٢
٢‫س‬+٦‫س‬ ،-٣
-٢‫س‬–٦‫س‬ ،>-٣

٥٧
‫س‬–٣–٥،‫س‬٣
-‫س‬+٣-٥‫س‬ ،>٣
‫س‬–٨‫س‬ ،٣
-‫ــ‬ ‫س‬٢‫س‬ ،>٣
٣‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫س‬ ‫ــ‬<١
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ارﺳﻢ‬)‫س‬= (
١+‫ﻋﻨﺪﻣ‬ ‫س‬‫س‬ ‫ﺎ‬Y١
‫د‬ ‫ﺗﺠﻌﻞ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻢ‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫ﺛﻢ‬)‫س‬= (٠
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫س‬<١‫س‬Y١
‫د‬)‫س‬= (٠‫س‬ ‫ﻋﻨﺪ‬=٣‫س‬ ،=-١
‫م‬.‫ح‬=}٣،-١{
‫اﻟﺠﺒﺮى‬ ‫اﻟﺘﺤﻘﻖ‬:
‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬)‫س‬= (٠
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬<١‫ﻓﺈ‬‫ن‬٣‫س‬ ‫ــ‬=٠B‫س‬=٣g[١،∞]‫اﻟﻤﻌﻄﺎة‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬Y١‫ﻓﺈن‬١+‫س‬=٠B‫س‬=‫ــ‬١g[-∞،-١]‫اﻟﻤﻌﻄﺎة‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬
‫د‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬)‫س‬= (٠‫ھﻰ‬}٣،-١{
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]١[‫اﻟﺼﻮرة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬|‫ـ‬‫ـ‬‫س‬‫ا‬‫ب‬ ‫ــ‬|=‫ﺣـ‬:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬|‫س‬–٣|=٥‫ﺟﺒﺮﯾﺎ‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‬ ‫وﺣﻘﻖ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ً ً
‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻟﺼﻮرة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻧﻀﻊ‬:|‫س‬–٣|-٥=٠
‫د‬ ‫أن‬ ‫ﻧﻔﺮض‬)‫س‬= (|‫س‬–٣|-٥
=
‫د‬)‫س‬= (
‫س‬٤٣٢١٠-١
‫د‬)‫س‬(-١٠١٢١٠
‫ص‬′
‫ص‬
٠
‫س‬‫س‬′
)٣،-٥(
٨٣-٢

٥٨
‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬)٨،٠(،)-٢،٠(
‫م‬.‫ح‬=}٨،-٢{
‫اﻟﺠﺒﺮى‬ ‫اﻟﺤﻞ‬:
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬٣‫ﻓﺈن‬‫س‬-٨=٠‫س‬=٨g]٣،∞]
‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬‫س‬>٣‫ﻓﺈن‬–‫س‬–٢=٠‫س‬=-٢g[-∞،٣]
‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬=}٨،-٢{
‫أﺧﺮ‬ ‫ﺣﻞ‬:‫ﻧﺮﺳﻢ‬:‫د‬)‫س‬= (|‫س‬–٣|‫ر‬ ،)‫س‬= (٥
‫ر‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬)‫س‬(‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬)‫س‬(
‫اﻟﻨﻘﺎط‬ ‫ﻓﻰ‬)٨،٥(،)-٢،٥(
‫م‬.‫ح‬=}٨،-٢{
|‫س‬–٣|=٥
B‫س‬–٣=±٥
B‫س‬–٣=٥‫س‬–٣=-٥
‫س‬=٨‫س‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬=-٢‫ﺗﺤﻘﻖ‬
B‫م‬.‫ح‬=}٨،-٢{
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬|‫س‬|+١=٠‫ﺟﺒﺮﯾﺎ‬ ‫و‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬
‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬:
‫د‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬)‫س‬= (|‫س‬|+١=
‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﯾﻘﻄﻊ‬ ‫ﻻ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬B‫م‬.‫ح‬=Ø
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬X٠‫س‬ ‫ﻓﺈن‬+١=٠B‫س‬=-١h]٠،∞]
‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬‫س‬>٠‫ﻓﺈن‬–‫س‬+١=٠B‫س‬=١h[-∞،٠]
-١،١‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﯾﺤﻘﻖ‬ ‫ﻻ‬B‫م‬.‫ح‬=Ø
‫ﺻﺺ‬
‫ﺳﺲ‬
‫ﺳﺲ‬′
‫ﺻﺺ‬′
)٣،٠(-٢
٥
٠
٨
‫س‬+١‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬X٠
-‫س‬+١‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬>٠
‫ﺳﺲ‬
١
‫ﺻﺺ‬
٠-١ ١

٥٩
‫ﺟﺒﺮى‬ ‫ﺣﻞ‬‫آ‬‫ﺧﺮ‬:A|‫س‬|+١=٠B|‫س‬|=-١‫ﻻن‬ ‫ﻣﺮﻓﻮض‬|‫س‬|X٠
B‫م‬.‫ح‬=Ø
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]٢[‫اﻟﺼﻮرة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬|‫ا‬‫س‬+‫ب‬|=‫س‬ ‫ﺟـ‬+‫ء‬:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬|٢‫س‬–٣|=‫س‬+٣‫ﺟﺒﺮﯾﺎ‬ ‫و‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬
‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬)‫س‬= (|٢‫س‬–٣|
‫ر‬ ،)‫س‬= (‫س‬+٣
‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﯿﻰ‬ ‫ﺗﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﻧﺠﺪ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫و‬
)٠،٣(،)٦،٩(
B‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬=}٠،٦{
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬X١ .٥
‫ﻓﺈن‬٢‫س‬–٣=‫س‬+٣
B‫س‬=٦g]١.٥،∞]‫ﺗﺤﻘﻖ‬
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬>١.٥
‫ﻓﺈن‬–٢‫س‬+٣=‫س‬+٣
B–٣‫س‬=٠
B‫س‬=٠g[-∞،١.٥]‫ﺗﺤﻘﻖ‬
B‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬=}٠،٦{
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬|٢‫س‬+٥|=‫س‬–٤‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬‫ﺟﺒﺮﯾﺎ‬ ‫و‬
‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬)‫س‬= (|٢‫س‬+٥|‫ر‬ ،)‫س‬= (‫س‬–٤
‫ﻟﻠﻤﻨﺤﯿﯿﻦ‬ ‫ﺗﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﯾﻮﺟﺪ‬ ‫ﻻ‬ ‫اﻧﮫ‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ‬
B‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬=Ø
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬X–٢.٥B٢‫س‬+٥=‫س‬–٤
B‫س‬=-٩h]-٢.٥،∞]‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﻻ‬
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬>-٢.٥B–٢‫س‬–٥=‫س‬–٤
B–٣‫س‬=١B‫س‬=-h[-∞،-٢.٥]‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﻻ‬
B‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬=Ø
٤)-٢.٥،٠(
-٤
٥
‫ﺻﺺ‬
‫ﺳﺲ‬
١
٣

٦٠
]٣[‫اﻟﺼﻮرة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬|‫س‬‫ا‬+‫ب‬|=|‫س‬ ‫ج‬+‫ء‬|:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬|‫س‬–٢|=|‫س‬+٣|‫ﺟﺒﺮﯾﺎ‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‬ ‫وﺣﻘﻖ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ً ً
‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬:
‫د‬ ‫ﻧرﺳم‬١=|‫س‬–٢|
‫د‬ ،٢=|‫س‬+٣|
‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺘﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫أن‬ ‫ﻧﺠﺪ‬)-٠.٥،٢.٥(
‫اﻟطرﻓﯾن‬ ‫ﺑﺗرﺑﯾﻊ‬) :|‫س‬–٢|(٢
) =|‫س‬+٣|(٢
)‫س‬–٢(٢
) =‫س‬+٣(٢
‫س‬٢
-٤‫س‬+٤=‫س‬٢
+٦‫س‬+٩
-١٠‫س‬=٥
‫س‬= =‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬={ }
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬|‫س‬–٢|+|‫س‬–١|=٣‫وﺟﺒﺮﯾﺎ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬
‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬:‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺘﻌﺮﯾﻒ‬ ‫ﺑﺎﻋﺎدة‬|‫س‬–٢|=-|‫س‬–١|+٣
‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬)‫س‬= (|‫س‬–٢|‫ر‬ ،)‫س‬= (-|‫س‬–١|+٣
‫اﻟﻤﻨﺤﻨﯿﻦ‬ ‫ﺗﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬
‫ھﻰ‬)٣،١(،)٠،٢(
B‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬=}٠،٣{
‫اﻟﺠﺒﺮى‬ ‫اﻟﺤﻞ‬:‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺘﻌﺮﯾﻒ‬ ‫ﺑﺎﻋﺎدة‬
‫م‬.‫ح‬=}٠،٣{
‫س‬–٢
‫س‬–١
-٣
‫س‬=٣
-‫س‬+٢
‫س‬–١
-٣
-٢
‫ﻣﺮﻓﻮض‬
-‫س‬+٢
-‫س‬+١
-٣
‫س‬=٠
‫ص‬
)٢،٠(
‫س‬′
‫ص‬′
‫س‬
)-٣،٠( )-٠.٥،٠(
‫د‬١
‫د‬٢
٢.٥
-٥
١٠
-١
٢
-١
٢
-٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤ 
٤
٣
٢
١
-١
-٢
-٣

١ ٢

٦١
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬|‫ــ‬ ‫س‬٢|+|‫س‬|=١‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﺼﻮرة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻧﻀﻊ‬:
|‫ــ‬ ‫س‬٢|=١‫ــ‬|‫س‬|
‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬١)‫س‬= (|‫س‬–٢|
‫د‬ ،٢)‫س‬= (١‫ــ‬|‫س‬|
‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬:‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬=Z
‫ـ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬|‫س‬–٢|+|‫س‬|=٤‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﺼﻮرة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻧﻀﻊ‬:
|‫ــ‬ ‫س‬٢|=٤‫ــ‬|‫س‬|
‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬١)‫س‬= (|‫س‬–٢|
‫د‬ ،٢)‫س‬= (٤‫ــ‬|‫س‬|
‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬:‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬=}-١،٣{
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬|‫س‬+٢|+|‫س‬|=٢
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﺼﻮرة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻧﻀﻊ‬
|‫س‬+٢|=٢‫ــ‬|‫س‬|
‫د‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬١)‫س‬= (|‫س‬+٢|‫د‬ ،٢)‫س‬= (٢‫ــ‬|‫س‬|
‫ﻓﻨﺠﺪ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﯿﯿﻦ‬ ‫اﻟﺸﻜﻠﯿﻦ‬ ‫ﺗﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ‬:
‫م‬.‫ح‬] =-٢،٠[
-٣ -٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤ 
٤
٣
٢
١
-١
-٢
-٣

-٣ -٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤ 
٤
٣
٢
١
-١
-٢
-٣

-٣ -٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤ 
٤
٣
٢
١
-١
-٢
-٣


٦٢
‫س‬+١
‫س‬–٣
*‫ﺟﺒﺮﯾﺎ‬ ‫اﻟﻤﻌــــﺎدﻻت‬ ‫ﺣـﻞ‬*
*‫ﺧﻮاص‬‫ﻣﻘﯿﺎس‬‫اﻟﻌﺪد‬:
)١(|‫س‬|X٠،|‫س‬|=٠‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫س‬=٠
)٢(‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﻣﻘﯿﺎس‬=‫اﻟﺠﻤﻌﻰ‬ ‫ﻣﻌﻜﻮﺳﮫ‬ ‫ﻣﻘﯿﺎس‬
‫ﻣﺜﻼ‬:|‫ا‬|=|-‫ا‬|،|٣|=|-٣|،|‫ــ‬ ‫س‬٢|=|-)٢–‫س‬(|=|٢–‫س‬|
|‫س‬–٥|=|٥–‫س‬|
)٣(|‫س‬+‫ص‬|Y|‫س‬|+|‫ص‬|‫ﻣﺜﻼ‬|‫س‬+٤|Y|‫س‬|+|٤|
)٤(‫ﻋﺪدﯾﻦ‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ﻣﻘﯿﺎس‬=‫ﻣﻘﯿﺎﺳﯿﮭﻤﺎ‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬|‫ص‬ ‫س‬|=|‫س‬|×|‫ص‬|
‫ﻣﺜﻼ‬:|-٣‫س‬|=|-٣|×|‫س‬|=٣|‫س‬|
|-٢)‫ــ‬ ‫س‬٥(|=|-٢|×|‫ــ‬ ‫س‬٥|=٢|‫ــ‬ ‫س‬٥|
|‫س‬+٢| |‫ــ‬ ‫س‬٢|=|)‫س‬+٢)(‫ــ‬ ‫س‬٢(|=|‫س‬٢
‫ــ‬٤|
)٥(‫ﻋﺪدﯾﻦ‬ ‫ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫ﺧﺎرج‬ ‫ﻣﻘﯿﺎس‬=‫ﻣﻘﯿﺎﺳﯿﮭﻤﺎ‬ ‫ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫ﺧﺎرج‬=
‫ﻣﺜﻼ‬= :
)٦(‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﻣﻘﯿﺎس‬=‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ھﺬا‬ ‫ﻟﻤﺮﺑﻊ‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻲ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬
‫ﻣﺜﻼ‬:|‫ا‬|=‫؟‬‫ا‬٢
،|٥|=‫؟‬٢٥=٥،)|‫ا‬|(٢
=‫ا‬٢
،)|-٣|(٢
=٩
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫أن‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ‬:
‫اﻟﺼﻔﺮ‬ ‫ﻣﺴﺎوﯾﺎ‬ ‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﺑﺪاﺧﻞ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫وﺿﻊ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ھﻮ‬ ‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﺻﻔﺮ‬
‫ﻣﺜﻼ‬:‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻹﯾﺠﺎد‬|٢‫س‬–٦|‫ﻧﻀﻊ‬٢‫س‬–٦=٠‫س‬ ‫ﻣﻨﮭﺎ‬ ‫و‬=٣
B‫ھﻮ‬ ‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ھﺬا‬ ‫ﺻﻔﺮ‬}٣{‫ﺑﺴﮭﻮ‬ ‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺗﺤﻘﯿﻖ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﯾﻔﯿﺪ‬ ‫ھﻮ‬ ‫و‬‫ﻟﺔ‬
‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻓﻜــﺮة‬:
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫إﺷﺎرﺗﮫ‬ ‫ﺑﻨﻔﺲ‬ ‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﺑﺪاﺧﻞ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫ﻧﺄﺧﺬ‬X)‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﺻﻔﺮ‬(
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫إﺷﺎرﺗﮫ‬ ‫ﺑﻌﻜﺲ‬ ‫ﻧﺄﺧﺬه‬ ‫و‬ ،>)‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﺻﻔﺮ‬(
‫س‬
‫ص‬
|‫س‬|
|‫ص‬|
|‫س‬+١|
|‫ــ‬ ‫س‬٣|

٦٣
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬|٢‫ــ‬ ‫س‬٧|=٣
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﺻﻔﺮ‬:‫ﺑﻮﺿﻊ‬٢‫س‬–٧=٠G٢‫س‬=٧G‫س‬= =٣.٥
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬X٣.٥‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬>٣.٥
٢‫ــ‬ ‫س‬٧=٣G٢‫س‬=١٠-)٢‫س‬–٧= (٣G–٢‫س‬+٧=٣
G‫س‬=٥‫ﺗﺤﻘﻖ‬-٢‫س‬=-٤G‫س‬=٢‫ﺗﺤﻘ‬‫ﻖ‬
‫م‬.‫ح‬=}٢،٥{
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬:|٢‫ــ‬ ‫س‬٥|‫ــ‬٣‫س‬=٢
‫اﻟﺤﻞ‬:
٢‫س‬‫ــ‬٥=٠G‫س‬= =٢.٥
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬X٢.٥‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬>٢.٥
٢‫ــ‬ ‫س‬٥‫ــ‬٣‫س‬=٢-٢‫س‬+٥‫ــ‬٣‫س‬=٢
G–‫س‬=٧G‫س‬=-٧‫ﻣﺮﻓﻮض‬G–٥‫س‬=-٣G‫س‬=‫ﺗﺤﻘ‬‫ﻖ‬
‫م‬.‫ح‬={ }
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬:٥+|‫س‬–٣|=٠
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﻤﻘﯿ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬‫ﺎس‬:‫س‬–٣=٠G‫س‬=٣
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬X٣‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬>٣
٥+‫س‬–٣=٠G‫س‬=-٢‫ﻣﺮﻓﻮض‬٥–)‫س‬–٣= (٠G٥–‫س‬+٣=٠
‫س‬=٨‫ﻣﺮﻓﻮض‬
‫م‬.‫ح‬=Z
‫آﺧﺮ‬ ‫ﺣﻞ‬:‫أن‬ ‫ﻧﺠﺪ‬ ‫اﻷﺻﻠﯿﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﻈﺮ‬:|‫س‬–٣|=-٥‫أى‬ ‫ﻧﺎﺗﺞ‬ ‫ﻻن‬ ‫ﻣﺮﻓﻮض‬ ‫ھﺬا‬ ‫و‬
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اذھﮫ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﯾﻮﺟﺪ‬ ‫ﻓﻼ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ‬ ‫و‬ ‫ﻣﻮﺟﺒﺎ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫أن‬ ‫ﻻﺑﺪ‬ ‫ﻣﻘﯿﺎس‬.
٧
٢
٥
٢
٣
٥
٣
٥

٦٤
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬:|‫س‬|٢
‫ــ‬٣‫س‬|‫س‬|=-١٨
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬‫س‬X٠‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬>٠
‫س‬٢
‫ــ‬٣‫س‬×‫س‬=-١٨‫س‬٢
‫ــ‬٣‫س‬×)-‫س‬= (-١٨
G–٢‫س‬٢
=-١٨G‫س‬٢
=٩G‫س‬٢
+٣‫س‬٢
=-١٨
G‫س‬=٣‫س‬ ،=-٣‫ﻣﺮﻓﻮض‬G٤‫س‬٢
=-١٨G‫س‬٢
=‫ﻣﺮﻓﻮض‬
B‫م‬.‫ح‬=}٣{
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬:=
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫ﻓﻰ‬ ‫ﺑﺎﻟﻀﺮب‬١٠‫أن‬ ‫ﯾﻨﺘﺞ‬:٥|٢‫س‬–٥|=٢)٧‫س‬+٤(
‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﺻﻔﺮ‬:٢‫س‬–٥=٠G‫س‬= =٢.٥
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬X٢.٥‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬>٢.٥
٥)٢‫س‬–٥= (٢)٧‫س‬+٤(-٥)٢‫س‬–٥= (٢)٧‫س‬+٤(
G١٠‫س‬–٢٥=١٤‫س‬+٨G-١٠‫س‬+٢٥=١٤‫س‬+٨
G–٤‫س‬=٣٣G‫س‬=-٨.٢٥‫ﻣﺮﻓﻮض‬G–٢٤‫س‬=-١٧
G‫س‬=‫ﺗﺤﻘﻖ‬
‫م‬.‫ح‬={ }
‫ﻟﻠﻤﻌﺎ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬‫دﻟﺔ‬‫؟‬‫س‬٢
"+"٢"‫س‬"+"١"=٥
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫؟‬‫س‬٢
"+"٢"‫س‬"+"١"=‫؟‬)‫س‬"+"١"(٢
"=٥G|‫س‬+١|=٥
-١٨
٤
٧‫س‬+٤
٥
|٢‫س‬–٥|
٢
٥
٢
١٧
٢٤ ١٧
٢٤

٦٥
‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬:
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬X–١‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬>-١
‫س‬+١=٥G‫س‬=٤‫ﺗﺤﻘﻖ‬-)‫س‬+١= (٥G–‫س‬–١=٥
G-‫س‬=٦G‫س‬=-٦‫ﺗﺤﻘﻖ‬
B‫س‬g}-٦،٤{
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬= :٢
‫اﻟﺤﻞ‬:A=٢B=±٢
=٢=-٢
‫س‬+٣=٢)‫س‬+١(‫س‬+٣=-٢)‫س‬+١(
‫س‬+٣=٢‫س‬+٢G-‫س‬=-١‫س‬+٣=-٢‫س‬–٢G٣‫س‬=-٥
‫س‬=١‫س‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬=‫ﺗﺤﻘﻖ‬
‫م‬.‫ح‬=}١،{
‫آﺧﺮ‬ ‫ﺣﻞ‬= :٢G=٢G|‫س‬+٣|=٢|‫س‬+١|
‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫وﺑﺘﺮﺑﯿﻊ‬) :‫س‬+٣(٢
=٤)‫س‬+١(٢
‫س‬٢
+٦‫س‬+٩=٤)‫س‬٢
+٢‫س‬+١(G‫س‬٢
+٦‫س‬+٩=٤‫س‬٢
+٨‫س‬+٤
٤‫س‬٢
+٢‫ــ‬ ‫س‬٥=٠G)٣‫س‬+٥)(‫س‬–١= (٠
G٣‫س‬+٥=٠‫س‬ ‫أو‬–١=٠G‫س‬=‫س‬ ‫أو‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬=١‫ﺗﺤﻘﻖ‬
B‫م‬.‫ح‬=}١،{
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬|‫س‬+٥|‫ــ‬|‫ــ‬ ‫س‬٣|=٠
‫اﻟﺤﻞ‬:|‫س‬+٥|=|‫س‬–٣|‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﺑﺘﺮﺑﯿﻊ‬)‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﯾﻠﻐﻰ‬ ‫اﻟﺘﺮﺑﯿﻊ‬ ‫أن‬ ‫ﻻﺣﻆ‬(
‫م‬ ‫اﻵﺧﺮ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻛﻤﺎ‬ ‫اﻟﺴﺆال‬ ‫ﻧﺤﻞ‬.‫ح‬=}-١{
‫س‬+٣
‫س‬+١
‫س‬+٣
‫س‬+١
‫س‬+٣
‫س‬+١
‫س‬+٣
‫س‬+١
‫س‬+٣
‫س‬+١
-٥
٣
-٥
٣
‫س‬+٣
‫س‬+١
|‫س‬+٣|
|‫س‬+١|
-٥
٣ -٥
٣

٦٦
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬|‫س‬+١| |‫س‬–١|=٣
‫اﻟﺤﻞ‬:
|)‫س‬+١)(‫س‬–١(|=٣G|‫س‬٢
–١|=٣G‫س‬٢
–١=±٣
‫س‬٢
–١=٣‫س‬٢
‫ــ‬١=-٣
‫س‬٢
=٤G‫س‬=±٢‫س‬ ‫ﺗﺤﻘﻘﺎن‬٢
=-٢‫ﻣﺮﻓﻮض‬
B‫م‬.‫ح‬=}٢،-٢{
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬) :‫س‬+١)(|‫س‬|-١+ (٠.٥=٠
‫اﻟﺤﻞ‬:
|‫س‬|=
‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬٠‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬>٠
)‫س‬+١)(‫س‬–١+ (٠.٥=٠)‫س‬+١)(-‫س‬–١+ (٠.٥=٠
‫س‬٢
–١+٠.٥=٠-‫س‬٢
–١–٢‫س‬+٠.٥=٠
‫س‬٢
–٠.٥=٠-‫س‬٢
–٢‫س‬–٠.٥=٠×-١
‫س‬٢
=٠.٥=‫س‬٢
+٢‫س‬+٠,٥=٠×٢
‫س‬=±٢‫س‬٢
+٤‫س‬+١=٠
‫س‬= =‫اﻟﻌﺎم‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮن‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬:
‫ا‬=٢‫ب‬ ،=٤‫ﺟـ‬ ،=١
‫اﻟﻤﻤﯿﺰ‬=‫ب‬٢
–٤‫ج‬‫ا‬=١٦–٤×٢×١=٨
‫س‬=‫ﻣﺮﻓﻮض‬
‫س‬==-١±
‫م‬.‫ح‬=}،-١+،-١-{‫ﺗﺤﻘﻘﺎن‬
‫س‬‫س‬ ،٠
-‫س‬‫س‬ ،>٠
١
٢
‫؟‬٢
٢
١
‫؟‬٢
-١
‫؟‬٢–‫ب‬±‫ب‬۲
–٤‫ا‬‫ﺣـ‬
۲‫ا‬
‫؟‬٢
٢
١
‫؟‬٢
‫؟‬٢
٢
‫؟‬٢
٢
‫؟‬٢
٢

٦٧
‫ﺗطﺑﯾﻘﺎت‬‫ﺣﯾﺎﺗﯾﺔ‬‫ﻋﻠﻰ‬‫ﺣل‬‫اﻟﻣﻌﺎدﻻت‬
‫ﻣﺛﺎل‬:‫ﻗطﻌﺔ‬‫أرض‬‫ﻣﺣﺻورة‬‫ﺑ‬‫ﯾن‬‫ﻣﻧﺣﻧﯾﻰ‬‫اﻟداﻟﺗﯾن‬‫د‬ ‫ﺣﯾث‬ ‫ر‬ ، ‫د‬)‫س‬= (|‫س‬–٣|-٢
‫ر‬ ،)‫س‬= (٣‫اﺣﺳب‬‫ﻣﺳﺎﺣﺗﮭﺎ‬‫ﺑﺎﻟوﺣدات‬‫اﻟﻣرﺑﻌﺔ‬‫وإذا‬‫ﻛﺎن‬‫طول‬‫اﻟوﺣدة‬٨‫أﻣﺗﺎر‬
‫إﺣﺳب‬‫ﻣﺳﺎﺣﺔ‬‫اﻷرض‬‫ﺑﺎﻷﻣﺗﺎر‬‫اﻟﻣرﺑﻌﺔ‬.
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻧﮭﻤﺎ‬ ‫ﻧﺠﺪ‬ ‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫ر‬ ، ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﺑﺘﻤﺜﯿﻞ‬
‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﯾﺘﻘﺎطﻌﺎن‬‫ا‬)-٢،٣(‫ب‬ ،)٨،٣(
‫ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻻرض‬ ‫ﻗﻄﻌﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫و‬‫ج‬‫ب‬‫ا‬
‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ﺟـ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻘﺎﺋﻢ‬‫ب‬‫ا‬=١٠‫وﺣﺪات‬
،‫ء‬‫ج‬=٣‫ــ‬)‫ــ‬٢= (٥‫وﺣﺪات‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:
‫اﻟﺤﻞ‬:

٦٨
*‫اﻟﻤﺘﺒــــﺎﯾــﻨـﺎت‬ ‫ﺣـﻞ‬*
‫ﺻﺤﯿﺤﺔ‬ ‫اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ‬ ‫ﺗﺠﻌﻞ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﻗﯿﻢ‬ ‫أو‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ھﻰ‬ ‫واﺣﺪ‬ ‫ﻣﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬
)١(‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬|‫س‬|=‫ا‬‫س‬ ‫ﻓﺈن‬=±‫ا‬
)٢(|‫س‬> |‫ا‬‫ﻓﺈن‬-‫ا‬>‫س‬>‫ا‬
)٣(|‫س‬–‫ب‬> |‫ا‬‫ﻓﺈن‬-‫ا‬>‫س‬-‫ب‬>‫ا‬
)٤(|‫س‬–‫ب‬|Y‫ا‬‫ﻓﺈن‬-‫ا‬Y‫س‬-‫ب‬Y‫ا‬
)٥(|‫س‬< |‫ا‬‫ﻓﺈن‬‫س‬>-‫ا‬‫س‬ ،<‫ا‬
)٦(|‫س‬–‫ب‬|X‫ا‬‫س‬ ‫ﻓﺈن‬–‫ب‬Y-‫ا‬‫س‬ ‫أو‬–‫ب‬X‫ا‬
‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﻣﺘﺒﺎﯾﻨﺎت‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫ﺗﺴﺘﺨﺪم‬ ‫ھﺎﻣﺔ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬:
)١(‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ﻧﺴﺘﺨﺪم‬ ‫ﻻ‬
)٢(‫اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ‬ ‫ﻋﻼﻣﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬)>(‫ﻣﻦ‬ ‫اﺻﻐﺮ‬:
‫ﻣﻐﻠﻘﺔ‬ ‫أو‬ ‫ﻣﻔﺘﻮﺣﺔ‬ ‫إﻣﺎ‬ ‫ﻓﺘﺮة‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺗﺼﺒﺢ‬.
)٣(‫اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ‬ ‫ﻋﻼﻣﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬)<(‫ﻣﻦ‬ ‫اﻛﺒﺮ‬:
‫ﻣﻌﻜﻮﺳﺔ‬ ‫ﻓﺘﺮة‬ ‫ــ‬ ‫ح‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺗﺼﺒﺢ‬
)٤(‫س‬ ‫ﺟﻌﻞ‬ ‫ﯾﺠﺐ‬)‫اﻟﻤﻘﯿﺎس‬ ‫داﺧﻞ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬(‫اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻗﺒﻞ‬ ‫اﻟﻜﻼم‬ ‫ﺑﺪاﯾﺔ‬ ‫ﻓﻰ‬
‫ﻣﺜﻼ‬:|٣-‫س‬|‫ﺗﺼﺒﺢ‬|‫س‬–٣|،|٥‫ــ‬٣‫س‬|‫ﺗﺼﺒﺢ‬|٣‫ــ‬ ‫س‬٥|
)٥(‫ﻧﻌﻜﺲ‬ ‫ﻓﺈﻧﻨﺎ‬ ‫ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ‬ ‫طﺮﻓﻰ‬ ‫ﻗﺴﻤﺔ‬ ‫أو‬ ‫ﺿﺮب‬ ‫ﻋﻨﺪ‬‫اﻟﺘﺒﺎﯾﻦ‬ ‫ﻋﻼﻣﺔ‬
‫ﻣﺜﻼ‬:‫ــ‬٢‫س‬<٥‫ﻓﺈن‬٢‫س‬>-٥‫س‬ ‫ــ‬ ،>٣‫س‬ ‫ﻓﺈن‬<-٣
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﺻﻮرة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫أوﺟﺪ‬‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﻓﺘﺮة‬:
١(|‫س‬–٥> |٢٢(|٢‫س‬+٣|Y٥
٣(|٣‫س‬–٤< |٥٤(|‫س‬+٧|X٠

٦٩
‫اﻟﺤﻞ‬:
)١(|‫س‬–٥> |٢
‫س‬ ‫إﻣﺎ‬–٥>٢G‫س‬>٢+٥G‫س‬>٧
‫أو‬-)‫ـ‬ ‫س‬٥(>٢G‫س‬–٥<-٢G‫س‬<٣
B‫م‬.‫ح‬[ =٣،٧]
)٢(|٢‫س‬+٣|Y٥
‫إﻣﺎ‬٢‫س‬+٣Y٥G٢‫س‬Y٥–٣G٢‫س‬Y٢G‫س‬Y١
‫ــ‬ ‫أو‬)٢‫س‬+٣(Y٥G٢‫س‬+٣X–٥G٢‫س‬X–٨G‫س‬X-٤
B‫س‬g]-٤،١[
)٣(|٣‫س‬–٤< |٥
‫إﻣﺎ‬٣‫س‬–٤<٥G٣‫س‬<٩G‫س‬<٣
‫ــ‬ ‫أو‬)٣‫س‬–٤(<٥G٣‫س‬–٤>-٥G٣‫س‬>-١G‫س‬>
B‫م‬.‫ح‬=‫ــ‬ ‫ح‬]،٣[
)٤(|‫س‬+٧|X٠
‫س‬ ‫إﻣﺎ‬+٧X٠G‫س‬X–٧
‫ــ‬ ‫أو‬)‫س‬+٧(X٠G‫س‬+٧Y٠G‫س‬Y–٧
B‫م‬.‫ح‬=‫ح‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬:‫اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫اﻟﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﻋﺰﯾﺰ‬|‫س‬+٧> |٠‫ﻋﻦ‬ ‫اﻟﻔﺮق‬ ‫ﻻﺣﻆ‬ ‫و‬)٤(
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎت‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻓﺘﺮة‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫أوﺟﺪ‬:
١(‫؟‬‫س‬٢
‫ـ‬"‫ـ‬٨"‫س‬"+"١٦">٣٢(|٥–٣‫س‬|X٢
٣(|٢‫س‬–٣< |٩-|٦–٤‫س‬|
-١
٣ -١
٣

٧٠
‫اﻟﺤﻞ‬:
)١(‫؟‬‫س‬٢
"–٨"‫س‬"+"١٦"">٣G‫؟‬)‫س‬""–٤"(٢
">٣G|‫س‬–٤> |٣
‫س‬ ‫إﻣﺎ‬–٤>٣G‫س‬>٣+٤G‫س‬>٧
،‫أ‬-)‫س‬–٤(>٣G‫س‬–٤<-٣G‫س‬<١
B‫س‬g[١،٧]
)٢(|٥–٣‫س‬|X٢G|٣‫س‬–٥|X٢
‫إﻣﺎ‬٣‫س‬–٥X٢G٣‫س‬X٧G‫س‬X
،‫أ‬-)٣‫س‬–٥(X٢G٣‫س‬–٥Y-٢G٣‫س‬Y٣G‫س‬Y١
B‫س‬g‫ح‬-[١،]
)٣(|٢‫س‬–٣< |٩-|٦–٤‫س‬|G|٢‫س‬–٣< |٩-|٤‫س‬–٦|
G|٢‫س‬–٣< |٩–٢|٢‫س‬–٣|G|٢‫س‬–٣|+٢|٢‫س‬–٣< |٩
G٣|٢‫س‬–٣<|٩G|٢‫س‬–٣<|٣
‫إﻣﺎ‬٢‫س‬–٣<٣G٢‫س‬<٦G‫س‬<٣
،‫أ‬-)٢‫س‬–٣(<٣G-٢‫س‬+٣<٣G–٢‫س‬<٠G‫س‬>٠
B‫م‬.‫ح‬=‫ح‬-]٠،٣[
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﺘﺒﺎ‬ ‫ﺣﻞ‬‫ﯾﻨﺔ‬:|٣‫س‬-٤|٥
‫اﻟﺤﻞ‬:٣‫س‬-٤٥٣‫س‬-٤-٥
٣‫س‬٩٣‫س‬-١
‫س‬٣‫س‬
‫م‬.‫ح‬] =٣،]‫م‬.‫ح‬[ =-،[
‫م‬.‫ح‬] =٣،]‫ﺑﻶ‬[-،[
‫م‬.‫ح‬=‫ح‬-[،٣]
٧
٣
٧
٣
-١
٣
-١
٣
-١
٣
-١
٣

٧١
‫اﻟﻤﺘﺒﺎﯾﻨﺎ‬ ‫و‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻤﺎرﯾﻦ‬‫ت‬
]١[‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻟﻜﻞ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺟﺒﺮﯾﺎ‬ ‫أوﺟﺪ‬:
‫أ‬(٢|‫س‬+١|-٥=٠‫ب‬(٢|‫س‬+٥|=٤+‫س‬
‫ﺟـ‬(٣|‫س‬–١|-٢|٢–‫س‬|=٠‫د‬(‫؟‬‫س‬٢
"–٤"‫س‬"+"٤"=٤
]٢[
]٣[
]٤[
١(
٢(
٣(
٤(
٥(
٦(
٧(
٨(
٩(
١٠(
١١(
١٢(

٧٢
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
١(
٢(
٣(
٤(
٥(
٦(
٧(
٨(
١(
٢(
٣(
٤(
٥(
٦(
٧(
٨(
٩(
١٠(
١١(
١٢(
١٣(
١٤(
١١(
٣(
٤(
١(
٢(

٧٣
)١(‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:‫ا‬g‫ﺣﺢ‬،‫ن‬g‫ﺻﺺ‬+
‫ﻓﺈن‬:‫ا‬‫ن‬
=‫ا‬×‫ا‬×‫ا‬×‫ا‬×٠٠٠×‫ا‬
‫ﺣﯿﺚ‬‫ا‬‫ﻛﻌ‬ ‫ﻣﻜﺮر‬‫ﺎﻣﻞ‬‫ن‬‫اﻟﺮﻣﺰ‬ ‫و‬ ‫اﻟﻤﺮات‬ ‫ﻣﻦ‬‫ا‬‫ن‬
‫ﯾﻘﺮا‬:‫ا‬‫أس‬‫ن‬
‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫اﻟﻨﻮﻧﯿﺔ‬ ‫اﻟﻘﻮة‬ ،‫أ‬‫ا‬‫ﻟﻸﺳﺎس‬ ،‫أ‬‫ا‬
‫ﻣﺜﻼ‬:]٢‫ة‬٥[٤٤
=٢$×]‫ة‬٥[$=١٦×٢٥
)٢(‫ا‬‫ﺻﻔﺮ‬
=١‫ﺑﺸﺮط‬‫ا‬}٠‫ﻻن‬)‫ﺻﻔﺮ‬(‫ﺻﻔﺮ‬
‫ﻣﻌ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬‫ﺮف‬
‫ﺚ‬‫ﻣ‬‫ﻣﺜﻼ‬]-٧[‫ﺻﻔﺮ‬
=١،٥‫ص‬
=١‫ص‬ ‫ﻓﺈن‬=‫ﺻﻔﺮ‬
)٣(‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ا‬‫ﺣﻘﯿﻘﻰ‬ ‫ﻋﺪد‬}، ‫ﺻﻔﺮ‬‫ﻧﻦ‬‫ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ﺻﺤﯿﺢ‬ ‫ﻋﺪد‬
‫ﻓﺈن‬:‫ا‬‫ﻧﻦ‬
=،‫ا‬-‫ﻧﻦ‬
=
‫ﻣﺜﻼ‬:٣٤
==٨١،٧–٢
=
١-‫اﻟﻌﺪد‬‫ا‬‫ﻧﻦ‬
‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫ﺿﺮﺑﻰ‬ ‫ﻣﻌﻜﻮس‬‫ا‬-‫ﻧﻦ‬
‫أن‬ ‫ﺣﯿﺚ‬:‫ا‬‫ﻧﻦ‬
×‫ا‬-‫ﻧﻦ‬
=‫ا‬‫ﺻﻔﺮ‬
=١
‫ﻣﺜﻼ‬:٣–٥
×٣٥
=١،]‫ة‬٥[٤
×]‫ة‬٥[-٤
=١
٢-[ ]‫ﻧﻦ‬[ ] =-‫ﻧﻦ‬
‫ﻣﺜﻼ‬:[ ]-٤
[ ]=٤=
‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫اﻷﺳﺲ‬ ‫ﻗﻮاﻧﯿﻦ‬) :‫ح‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬ ‫اﻟﻘﻮى‬ ‫ﻗﻮاﻧﯿﻦ‬(
‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:‫ـ‬ ‫ا‬،‫ب‬g‫ﺣﺢ‬،‫ن‬g‫ﺻﺺ‬‫ﻓﺈن‬:
١-‫ا‬‫م‬
×‫ا‬‫ن‬
=‫ا‬‫م‬+‫ن‬
‫ﻣﺜﻼ‬٧٣
×٧٢
=٧٥
،]‫ة‬٣[٣
×]‫ة‬٣]= [‫ة‬٣[٤
=٩
٢-‫ا‬‫م‬
÷‫ا‬‫ن‬
=‫ا‬‫م‬-‫ن‬
‫ﻣﺜﻼ‬٣٧
÷٣٣
=٣٧–٣
=٣٤
=٨١
،]-‫ة‬٥[١٥
÷]-‫ة‬٥[١٢
]=-‫ة‬٥[٣
=-٥‫ة‬٥
‫ﺔ‬ ‫ﻴ‬ ‫ﻧ‬ ‫ﺎ‬ ‫ﺜ‬ ‫ﻟ‬ ‫ا‬ ‫ة‬ ‫ﺪ‬ ‫ﺣ‬ ‫ﻮ‬ ‫ﻟ‬ ‫ا‬
‫ﻋﻠﯿﮭﺎ‬ ‫ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت‬ ‫و‬ ‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﺎت‬ ‫و‬ ‫اﻷﺳﺲ‬
١
‫ﺍ‬-‫ﻦ‬‫ﻧ‬
١
‫ﺍ‬‫ﻦ‬‫ﻧ‬
١
٣-٤
١
٧@
‫ا‬
‫ب‬
‫ب‬
‫ا‬
٢
٣
٣
٢
١٦
٨١

٧٤
٣-]‫ب‬ ‫ا‬[‫ن‬
=‫ا‬‫ن‬
×‫ب‬‫ن‬
‫ﻣﺜﻼ‬١٥‫ن‬
]=٣×٥[‫ن‬
=٣‫ن‬
×٥‫ن‬
٤-]‫ا‬÷‫ب‬[‫ن‬
=‫ا‬‫ن‬
÷‫ب‬‫ن‬
‫ﻣﺜﻼ‬[ ]‫ن‬
=،[ ]=‫ن‬
٥-]‫ا‬‫م‬
[‫ن‬
=‫ا‬‫ن‬‫م‬
‫ﻣﺜﻼ‬]‫س‬٣
[٢
=‫س‬٦
،‫ـ‬]٣٢
[‫س‬
=٣٢‫س‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﺻﻮرة‬ ‫ﻻﺑﺴﻂ‬ ‫اﺧﺘﺼﺮ‬:
‫اﻟﺤﻞ‬= = :
=٥٣‫ن‬+١–٣‫ن‬
×٣٣‫ن‬–٣‫ن‬
=٥×٣٠
=٥×١=٥
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫اﺑﺴﻂ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫أوﺟﺪ‬
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻟﻤﻘﺪار‬==
=٣–٩+٢+٨
×٢٤–٤
=٣١
×٢‫ﺻﻔﺮ‬
=٣×١=٣
‫ﻣﺜﺎل‬:‫إذا‬‫ﻛﺎن‬٣‫س‬+١
+٣‫س‬-١
=١٠‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
٣‫س‬+١
+٣‫س‬-١
=٣‫س‬-١
]٢
٣+١= [٣‫س‬-١
]٩+١[=٣‫س‬-١
×١٠=١٠
B٣‫س‬–١
=١B‫س‬–١=٠B‫س‬=١
‫آﺧﺮ‬ ‫ﺣﻞ‬:٣‫س‬
)٣+٣–١
= (١٠G٣‫س‬
×=١٠G٣‫س‬
=١٠×=٣
٥
٧
٣
٥
٣‫ن‬
٥‫ن‬
٥‫ن‬
٧‫ن‬
)١) (‫ا‬+‫ب‬(‫ن‬
}‫ا‬‫ن‬
+‫ب‬‫ن‬
،)‫ا‬-‫ب‬(‫ن‬
}‫ا‬‫ن‬
-‫ب‬‫ن‬
)٢) (-‫ا‬(‫ن‬
=‫ا‬‫ن‬
)‫ﺣﯿﺚ‬‫ن‬‫زوﺟﻰ‬ ‫ﻋﺪد‬(‫ﻣﺜﻼ‬)-٣(٤
=٣٤
=٨١
)٣) (-‫ا‬(‫ن‬
=-‫ا‬‫ن‬
)‫ﺣﯿﺚ‬‫ن‬‫ﻓﺮدى‬ ‫ﻋﺪد‬(‫ﻣﺜﻼ‬)-٣(٣
=-٣٣
=-٢٧
٥٣‫ن‬+١
×٢٧‫ن‬
١٥٣‫ن‬
٥٣‫ن‬+١
×]٣٣
[‫ن‬
]٣×٥[٣‫ن‬
٥٣‫ن‬+١
×٣٣‫ن‬
٣٣‫ن‬
×٥٣‫ن‬
٥٣‫ن‬+١
×٢٧‫ن‬
١٥٣‫ن‬
)٢٧(-٣
×)١٢(٢
١٦×)٨١(-٢
)٣٣
(-٣
×)٣×٢٢
(٢
٢٤
×)٣٤
(-٢
٣-٩
×٣٢
×٢٤
٢٤
×٣-٨
١٠
٣
٣
١٠

٧٥
‫ﻣﺜﺎل‬:‫أن‬ ‫أﺛﺒﺖ‬=
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻷﯾﻤﻦ‬ ‫اﻟﻄﺮف‬= =
= =÷٥=×= =‫اﻷﯾﺴﺮ‬ ‫اﻟﻄﺮف‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﺼﺤﯿﺤ‬ ‫اﻻﺟﺎﺑﺔ‬ ‫اﺧﺘﺮ‬‫ﺔ‬:
١(‫أوﻟﯿﺎ‬ ‫ﻋﺪدا‬ ‫اﻷﺳﺎس‬ ‫ﺟﻌﻞ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻻﺑﺪ‬ ‫اﻷﺳﺲ‬ ‫ﻣﺴﺎﺋﻞ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬)٢،٣،٥،٧،١١،( .....
٢(‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬٧٢‫س‬
+٤×٧‫س‬
‫ﻓﺮض‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬٧‫س‬
=‫ص‬B‫ص‬٢
+٤‫ص‬
٣(‫ﻛﺘﺎﺑﺘﮫ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫اﻟﻜﺴﺮ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬٣‫س‬+‫س‬ ‫ــ‬ ‫ص‬
×٧٥‫ــ‬٢‫ــ‬ ‫س‬١
‫اﻟﻜﺴﺮ‬ ‫ﺷﺮطﺔ‬ ‫ﻋﻦ‬ ‫ﻧﺴﺘﻐﻨﻰ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
*‫اﻟﻨﻮﻧﯿﺔ‬ ‫اﻟﺠﺬور‬:
‫س‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬٢
=٩‫ھﻤﺎ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن‬ ‫ﺟﺬران‬ ‫ﻟﮭﺎ‬٣،-٣
‫س‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬٣
=٨‫ھﻮ‬ ‫وﺣﯿﺪ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻟﮭﺎ‬٢)‫ﻣﺮﻛﺒﺔ‬ ‫اﻋﺪاد‬ ‫اﻟﺠﺬور‬ ‫ﺑﺎﻗﻰ‬ ‫و‬(‫ھﻜﺬا‬ ‫و‬.....
‫ﻋﺎم‬ ‫ﺑﻮﺟﺔ‬:‫س‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬‫ن‬
=‫ا‬‫ﺣﯿﺚ‬‫ا‬g‫ح‬.‫ن‬g‫ص‬+
‫ﻟﮭﺎ‬‫ن‬‫اﻟﺠﺬور‬ ‫ﻣﻦ‬
‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‬ ‫اﻟﺤﺎﻻت‬‫س‬‫ن‬
=‫ا‬:
]١[، ‫زوﺟﯿﺎ‬ ‫ن‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ا‬‫ﻣﻮﺟﺒﺎ‬:
‫ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫اﻵﺧﺮ‬ ‫و‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫أﺣﺪھﻤﺎ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﯿﺎن‬ ‫ﺟﺬران‬ ‫ﻟﮭﺎ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻓﺈن‬)‫ﻣﺮﻛﺒﺔ‬ ‫أﻋﺪاد‬ ‫اﻟﺠﺬور‬ ‫ﺑﺎﻗﻰ‬(
٥×٣٢‫ن‬
-٤×٣٢‫ن‬-١
٢×٣٢‫ن‬+١
-٣٢‫ن‬
١١
١٥
٥×٣٢‫ن‬
-٢٢
×٣٢‫ن‬-١
٣٢‫ن‬
)٢×٣–١(
٣٢‫ن‬
)٥–٢٢
×٣–١
(
٣٢‫ن‬
)٢×٣–١(
٥‫ــ‬
٥
٤
٣١١
٣
١١
٣
١
٥
١١
١٥
٣‫س‬
×٧٥
×٣‫ص‬
٧‫س‬
×٣٢‫س‬+١

٧٦
‫ﻟﮭﻤﺎ‬ ‫ﯾﺮﻣﺰ‬ ‫و‬‫ن‬
‫؟‬‫ا‬‫ــ‬ ،‫ن‬
‫؟‬‫ا‬‫و‬‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫اﻟﻨﻮﻧﻰ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ﯾﺴﻤﻰ‬‫ا‬‫اﻟﻨﻮﻧﻰ‬ ‫ﺑﺎﻟﺠﺬر‬
‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫اﻵﺳﺎﺳﻰ‬‫ا‬
‫ﻣﺜﻼ‬:‫س‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬٤
=٨١‫ھﻤﺎ‬ ‫ﺟﺬران‬ ‫ﻟﮭﺎ‬٤
‫؟‬٨١"=٣‫ــ‬ ،٤
‫؟‬٨١=‫ــ‬٣
]٢[، ‫زوﺟﯿﺎ‬ ‫ن‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ا‬‫ﺳﺎﻟﺒﺎ‬:‫س‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬‫ن‬
=‫ا‬‫ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫ﺟﺬور‬ ‫ﻟﮭﻞ‬ ‫ﻟﯿﺲ‬]‫ﺗﺨﯿﻠﯿﺔ‬ ‫ﺣﺬورھﺎ‬[
‫ﻣﺜﻼ‬:‫ا‬‫س‬ ‫ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬٤
=-١٦‫ﺣﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫ﺟﺬور‬ ‫ﻟﮭﺎ‬ ‫ﻟﯿﺲ‬]‫ﺗﺨﯿﻠﯿﺎن‬ ‫ﺟﺬران‬ ‫ﻟﮭﺎ‬٤، ‫ت‬-٤‫ت‬[
]٣[‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ن‬، ‫ﻓﺮدﯾﺎ‬‫ا‬g‫ح‬:
‫س‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻓﺈن‬‫ن‬
=‫ا‬‫ھﻮ‬ ‫وﺣﯿﺪ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﻰ‬ ‫ﺟﺬر‬ ‫ﻟﮭﺎ‬‫ن‬
‫؟‬‫ا‬)‫ﻣﺮﻛﺒﺔ‬ ‫أﻋﺪاد‬ ‫اﻟﺠﺬور‬ ‫ﺑﺎﻗﻰ‬(
‫ﻣﺜﻼ‬:‫س‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬٥
=‫ــ‬٣٢‫ھ‬ ‫وﺣﯿﺪ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﻰ‬ ‫ﺟﺬر‬ ‫ﻟﮭﺎ‬‫ﻮ‬٥
‫؟‬‫ــ‬٣٢"=-٢
]٤[‫إذ‬‫ﻛﺎن‬ ‫ا‬‫ن‬g‫ص‬+
،‫ا‬=‫ﺻﻔﺮ‬:
‫س‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻓﺈن‬‫ن‬
=‫ﺻﻔﺮ‬ ‫ھﻮ‬ ‫وﺣﯿﺪ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﻰ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻟﮭﺎ‬ ‫ﺻﻔﺮ‬
‫ﻣﺜﻼ‬:‫س‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬‫م‬
=‫س‬ ‫ﻓﺈن‬ ‫ﺻﻔﺮ‬=‫ﺻﻔﺮ‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻓﻰ‬ ‫أوﺟﺪ‬‫ح‬‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬:
)‫أ‬(‫س‬٤
=١٦)‫ب‬(‫س‬٥
=٢٤٣
‫اﻟﺤﻞ‬) :‫أ‬(‫س‬٤
=١٦B‫س‬=±‫؟‬١٦"=±٢)‫ﻣﺮﻛﺒﺔ‬ ‫اﻋﺪاد‬ ‫اﻟﺠﺬور‬ ‫ﺑﺎﻗﻰ‬ ‫و‬(
B‫م‬.‫ح‬=}٢،-٢{
)‫ب‬(‫س‬٥
=٢٤٣B‫س‬=٥
‫؟‬٢٤٣"=٣)‫ﻣﺮﻛﺒﺔ‬ ‫اﻋﺪاد‬ ‫اﻟﺠﺬور‬ ‫ﺑﺎﻗﻰ‬ ‫و‬(
B‫م‬.‫ح‬=}٣{
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــ‬
*‫اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ‬ ‫اﻷﺳـﺲ‬:
‫ﻣﺜﻼ‬:‫؟‬‫ا‬)=‫ا‬(،‫؟‬٣) =٣(،٣
‫؟‬‫ا‬)=‫ا‬(،٣
‫؟‬٧) =٧(
‫ﻋﺎم‬ ‫ﺑﻮﺟﺔ‬:‫ن‬
‫؟‬‫ا‬=‫ا‬،‫ن‬
‫؟‬‫ا‬‫ن‬
"=‫ا‬=‫ا‬‫ﯾﺮاﻋﻰ‬‫ن‬‫ﻓﺮدى‬ ‫أو‬ ‫زوﺟﻰ‬
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬] :١[‫ن‬
‫؟‬‫ا‬‫ن‬
=|‫ا‬|‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ن‬‫زوﺟﻰ‬]‫ﻣﺜﻼ‬٤
‫؟‬١٦=٤
‫؟‬|-٢"|٤
"=٤
‫؟‬|٢|٤
"=٢[
]٢[‫ن‬
‫؟‬‫ا‬‫ن‬
=‫ا‬‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ن‬‫ﻓﺮدى‬]‫ﻣﺜﻼ‬٥
‫؟‬٣٢"=٢،٥
‫؟‬-٣٢"=-٢[
١
٢
١
٢
١
٣
٢
١
٣
٢ ١
‫ن‬
‫ن‬
‫ن‬

٧٧
*‫اﻟﻨﻮﻧﯿﺔ‬ ‫اﻟﺠﺬور‬ ‫ﺧﻮاص‬:
‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ن‬
‫؟‬‫ا‬،‫ن‬
‫؟‬‫ب‬g‫ح‬،‫ا‬g‫ح‬-}٠{‫ن‬ ،g‫ص‬+
‫ــ‬}١{‫م‬ ،g‫ص‬‫ﻓﺈن‬:
]١[‫ن‬
‫؟‬‫ب‬ ‫ا‬"=‫ن‬
‫؟‬‫ا‬×‫ن‬
‫؟‬‫ب‬‫ﻣﺜﻼ‬٣
‫؟‬٥×"٣"=٣
‫؟‬٥×٣
‫؟‬٣،٧
‫؟‬٢×٧
‫؟‬٣=٧
‫؟‬٦
]٢[‫ن‬
‫ﰈ‬‫ﱂ‬=‫ب‬ ،}٠‫ﻣﺜﻼ‬٥
‫ﰈ‬‫ﱂ‬=،=٣
‫ﰈ‬‫ﱂ‬=٣
‫ﰈ‬
]٣[‫ن‬
‫؟‬‫ا‬‫م‬
=)‫ن‬
‫؟‬‫ا‬(‫م‬
=‫ا‬‫ﻣﺜﻼ‬٥
‫؟‬‫س‬٢
") =٥
‫؟‬‫س‬(٢
) =‫س‬(
‫ﻣﻠﺤﻮظﺔ‬:‫اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬ ‫اﻻﺳﺲ‬ ‫ﻗﻮاﻧﯿﻦ‬ ‫ﻟﻨﻔﺲ‬ ‫ﺗﺨﻀﻊ‬ ‫اﻧﮭﺎ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ‬ ‫اﻷﺳﺲ‬ ‫ﻗﻮاﻧﯿﻦ‬ ‫ﺗﻌﻤﯿﻢ‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫أوﺟﺪ‬)‫أﻣﻜﻦ‬ ‫إن‬(‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬:
]١[‫ــ‬‫؟‬٣٦"]٢[‫ــ‬)٨١] (٣) [‫ــ‬١٢٥(
]٤[|٧
‫؟‬‫ـ‬١٢٨"|]٥) [-٩] (٦) [‫ــ‬٢٥(
‫اﻟﺤﻞ‬:
]١[‫ــ‬‫؟‬٣٦"=‫ــ‬‫؟‬٦٢
=‫ــ‬٦
]٢[‫ــ‬)٨١= (‫ــ‬) ]٣٤
= [ (٣=٣
]٣) [‫ــ‬١٢٥) ] = (-٥(٣
) = [-٥(
]٤[|٧
‫؟‬‫ـ‬١٢٨"|=|٧
‫؟‬)-٢("
٧
|=|-٢|=٢
]٥) [-٩= (‫؟‬-٩h‫ح‬]٦) [-٢٥= (٤
‫؟‬-٢٥"h‫ح‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫أﺑﺴﻂ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫أوﺟﺪ‬:
]١[‫ــ‬٣
‫؟‬٨‫ا‬٦
"‫ب‬٩
"]٢[٤
‫؟‬١٦"‫س‬"
٤
"‫ص‬"
٨
"]٣[٤
‫؟‬١٦"‫ا‬١٢
"]٤[٦
‫؟‬)‫س‬"+"٢"‫ص‬"(١٨
"
‫اﻟﺤﻞ‬] :١[‫ــ‬٣
‫؟‬٨‫ا‬٦
"‫ب‬٩
"=‫ــ‬٣
‫؟‬٨×٣
‫؟‬‫ا‬٦
×٣
‫؟‬‫ب‬٩
=‫ـ‬‫ـ‬‫ــ‬٢‫ا‬×‫ب‬=-٢‫ا‬٢
‫ب‬٣
‫ا‬
‫ب‬
‫ن‬
‫؟‬‫ا‬
‫ن‬
‫؟‬‫ب‬
٣
٥
٥
‫؟‬٣
٥
‫؟‬٥
٣
‫؟‬٢
٣
‫؟‬٤
٢
٤
١
٢ ‫م‬
‫ن‬
٢
٥
١
٤
٥
١
٣
٤ ١
٢
٣
١
٤
٢
١
٤
٥
١
٤
٥
٤
٤
٥ ١
٣
٤
١
٣
٤
١
٢
٣
١
٤
٢
٦
٣
١
٩
٣
١

٧٨
]٢[٤
‫؟‬١٦"‫س‬"
٤
"‫ص‬"
٨
"=٤
‫؟‬١٦×٤
‫؟‬‫س‬٤
"×٤
‫؟‬‫ص‬٨
"=٢×|‫س‬|×|‫ص‬|٢
=٢‫ص‬ ‫س‬٢
]٣[٤
‫؟‬١٦"‫ا‬١٢
"=٤
‫؟‬١٦×٤
‫؟‬‫ا‬١٢
=٢×‫ا‬=٢‫ا‬٣
]٤[٦
‫؟‬)‫س‬"+"٢"‫ص‬"(١٨
") =‫س‬+٢‫ص‬) = (‫س‬+٢‫ص‬(٣
‫ــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﺻﻮرة‬ ‫اﺑﺴﻂ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫أوﺟﺪ‬:
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻟﻤﻘﺪار‬= =
=٣+‫ــ‬
×٧‫ــ‬
=٣‫ﺻﻔﺮ‬
×٧‫ﺻﻔﺮ‬
=١×١=١
‫ﻣﺜﺎل‬:‫أ‬ ‫أﺛﺒﺖ‬‫ن‬=
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻷﯾﻤﻦ‬ ‫اﻟﻄﺮف‬= =
=٧٦‫س‬–١–٦‫س‬
×٤٣‫س‬+١–٣‫س‬–١
=٧–١
×٤‫ﺻﻔﺮ‬
=×١==‫اﻷﯾﺴﺮ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻛﺮة‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)‫ﻧﻖ‬(‫ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﯾﻌﻄﻰ‬ُ‫ﻧﻖ‬=٣
‫ﰈ‬‫ﱂ‬‫ﺣﺠﻤﮭﺎ‬ ،٦٠٠‫ﺳﻢ‬٣
‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ﻋﺸﺮﯾﺔ‬ ‫أرﻗﺎم‬ ‫ﻟﺜﻼﺛﺔ‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‬ ‫ﻣﻘﺮﺑﺎ‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ‬‫ح‬‫اﻟﻜﺮة‬ ‫ﺣﺠﻢ‬:
١(‫اﻟﻜﺮة‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬٢(‫اﻟﻜﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ‬
١٢
٤
١٨
٦
٣×)١٤٧(
)٦٣(
١
٢
٣
١
٦
٥ ١
٣
٦
٣×)٣×٧٢
(
)٣٢
×٧(
٣×٣×٧
٣×٧
١
٢
٣
١
٦
٥ ١
٣
٦
٢
٣
٦
١
٣
٦
١
٢
٣
١
٦
٥
١
٣
٢
١
٢
٣
١
٦
٥
٢
٣
٢
١
٣
٢
١
٣
٢
)٣٤٣(٢‫ــ‬ ‫س‬
×)٤(٣‫س‬+١
)١٩٦(٣‫س‬
×٤
١
٣
٢
١
٧
٣
)٧٣
(٢‫ــ‬ ‫س‬
×)٤(٣‫س‬+١
)٧٢
×٤(٣‫س‬
×٤
١
٣
٢
)٧(٦‫ــ‬ ‫س‬١
×)٤(٣‫س‬+١
)٧(٦‫س‬
×)٤(٣‫س‬
×٤
١
٧
٣
١
٧
٣
٣‫ح‬
٤π

٧٩
‫اﻟﺤﻞ‬:‫ﻧﻖ‬=٣
‫ﰈ‬‫ﱂ‬=٣
‫ﰈ‬‫ﱂ‬‫ﱂ‬T٥.٢٣٢٢٣T٥.٢٣٢‫ﺳﻢ‬
‫اﻟﻜﺮة‬ ‫ﺳﻄﺢ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ‬=٤π‫ﻧﻖ‬٢
=٤×π×)٥.٢٣٢(٢
T٣٤٣.٩٨٩٦١٧٥
T٣٤٣.٩٨٩‫ﺳﻢ‬٢
*‫اﻟﻤﻌــــﺎدﻻ‬ ‫ﺣﻞ‬‫ت‬‫ح‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻷﺳﯿﺔ‬:
‫ھﺎﻣﺔ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬:
١(‫س‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬=‫ا‬‫س‬ ‫ﻓﺈن‬=‫ا‬‫ﻓﺮدى‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫م‬ ‫ﺣﯿﺚ‬
‫ﻣﺜﻼ‬:‫س‬=٢B‫س‬=٢=٢٣
=٨‫س‬ ،=٣
٢(‫س‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬=‫ا‬‫س‬ ‫ﻓﺈن‬=±‫ا‬‫ﻋﺎﻣ‬ ‫ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ‬ ‫ﻟﯿﺲ‬ ‫ن‬ ، ‫م‬ ، ‫زوﺟﻰ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫م‬ ‫ﺣﯿﺚ‬‫ﻣﺸﺘﺮك‬ ‫ﻞ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬‫ح‬‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻟﻜﻞ‬:
١(‫س‬=٢٧٢) (‫س‬–٢= (٢٥
٣(‫ــ‬ ‫س‬١٠‫س‬+٩=٠٤(‫ــ‬ ‫س‬٣‫ــ‬ ‫س‬٤=٠
٥) (‫س‬+١= (٣٢
‫اﻟﺤﻞ‬:‫آﺧﺮ‬ ‫ﺣﻞ‬:
]١[‫س‬=٢٧‫اﻟﻄﺮﻓ‬ ‫ﺑﺮﻓﻊ‬‫ﻟﻠﻘﻮة‬ ‫ﯿﻦ‬٥‫س‬=٢٧‫ﻟﻠﻘﻮة‬ ‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﺑﺮﻓﻊ‬
B‫س‬٣
) =٢٧(٥
‫ﻟﻠﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫اﻟﺘﻜﻌﯿﺒﻰ‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ‬B‫س‬) =٢٧) ] = (٣(٣
= [٣٥
B‫س‬) =٣
‫؟‬٢٧(٥
=٣٥
=٢٤٣B‫س‬=٢٤٣
B‫م‬.‫ح‬=}٢٤٣{B‫م‬.‫ح‬=}٢٤٣{
٣‫ح‬
٤π
٣×٦٠٠
٤π
٣
٥
٢
٢
٣
٥٢
٣
٥
٤
٣
٥
٤
٥
٥
٢
٥
٥-١
٢
-٥
٢
٣
٥
٢
٥
٣
٣
٥
٢٥
٣
٢
٥
٣
٢
‫م‬
‫ن‬
‫ن‬
‫م‬
١
٣
٣
١
٥
٣
٣
٥
‫م‬
‫ن‬
‫ن‬
‫م‬

٨٠
]٢) [‫س‬–٢= (٢٥‫ﻟﻠﻘﻮة‬ ‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﺑﺮﻓﻊ‬٣
B)‫س‬–٢(٣×
) =٢٥(٣
‫آﺧﺮ‬ ‫ﺣﻞ‬:
B)‫س‬–٢(٢
) =٢٥(٣
‫س‬–٢=±)٢٥= (±)‫؟‬٢٥(٣
=±٥٣
B‫س‬–٢=±)‫؟‬٢٥(٣
=±٥٣
B‫س‬–٢=±١٢٥
B‫س‬–٢=١٢٥‫س‬ ‫أو‬–٢=-١٢٥B‫س‬–٢=١٢٥‫س‬ ‫أو‬–٢=-١٢٥
B‫س‬=١٢٧‫س‬ ‫أو‬=-١٢٣B‫س‬=١٢٧‫س‬ ‫أو‬=-١٢٣
B‫م‬.‫ح‬=}١٢٧،-١٢٣{B‫م‬.‫ح‬=}١٢٧،-١٢٣{
]٣[‫ــ‬ ‫س‬١٠‫س‬+٩=٠]٤[‫ــ‬ ‫س‬٣‫ــ‬ ‫س‬٤=٠
)‫س‬-٩) (‫س‬-١= (٠‫ﺑﺎﻟﺘﺤﻠﯿﻞ‬)‫س‬-٤) (‫س‬+١= (٠
B‫س‬-٩=٠‫س‬ ،-١=٠B‫س‬=٤‫س‬=-١
B‫س‬=٩B‫س‬=١B‫س‬٢
=٤٣
‫س‬٢
) =-١(٣
=-١
B‫س‬٢
=٩٥
B‫س‬٢
=١٥
=١B‫س‬=±)‫؟‬٤(٣
‫س‬=±‫؟‬-١h‫ح‬
B‫س‬=±)‫؟‬٩(٥
B‫س‬=±١B‫س‬=±٢٣
=±٨
B‫س‬=±٣٥
B‫م‬.‫ح‬=}٨،-٨{
‫س‬=±٢٤٣
B‫م‬.‫ح‬=}٢٤٣،-٢٤٣،١،-١{
٢
٣
٥٢
٣
٥
٣
٢
٣
٤
٥
٥
٢
٥
٥ ٢
٥
٥
٢
٥
٥
٢
٥
٥
٢
٥
٥
٢
٥
٥
٢
٥
٥
٢
٣
٥
٤
٣
٥٢
٣
٥
٢
٣
٥ ٢
٣
٥
٢
٣
٥

٨١
]٥) [‫س‬+١= (٣٢‫آﺧﺮ‬ ‫ﺣﻞ‬:
‫اﻟﺤﻞ‬:‫ــ‬ ‫ﻟﻠﻘﻮة‬ ‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﺑﺮﻓﻊ‬٢‫ﻟﻠﻘﻮة‬ ‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﺑﺮﻓﻊ‬٢
B)‫س‬+١(٥
=٣٢‫ﻟﻠﻘﻮة‬ ‫اﻟﺠﺬر‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ‬٥B)‫س‬+١(‫ــ‬٥
=٣٢-١
B‫س‬+١=٥
‫؟‬٣٢"=٢B)‫س‬+١(٥
=٣٢
B‫س‬=٢–١=١B‫س‬+١) =٢٥
= (٢
B‫م‬.‫ح‬=}١{B‫س‬=٢–١=١
]١[‫اﺧﺘﺼﺮ‬:
]٢[‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫ﻣﺘﻰ‬‫ن‬
‫؟‬‫ا‬×‫ن‬
‫؟‬‫ب‬‫ﻗﯿﻢ‬ ‫ﻟﺠﻤﯿﻊ‬ ‫ﺻﺤﯿﺤﺔ‬‫ا‬‫اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ‬ ‫ب‬ ،.
]٣[‫ﯾﺄﺗﻰ‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫أﻛﻤـﻞ‬:
)‫أ‬) (٨(‫ﺗﺴﺎوى‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫اﺑﺴﻂ‬ ‫ﻓﻰ‬) ..........‫ب‬) (٦(‫ﺗﺴﺎوى‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫اﺑﺴﻂ‬ ‫ﻓﻰ‬.......
)‫ﺟـ‬( ) (‫ﺗﺴﺎوى‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫أﺑﺴﻂ‬ ‫ﻓﻰ‬) .....‫د‬(٣
‫ﰈ‬)‫ﱂ‬٣(‫ﱂ‬
-١
‫ﺗﺴﺎوى‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫أﺑﺴﻂ‬ ‫ﻓﻰ‬......
)‫ھـ‬) (٥٢
‫ــ‬٣٢
(‫ﺻﻮرة‬ ‫أﺑﺴﻂ‬ ‫ﻓﻰ‬.......
-١
٢
-٥
٢
١
٥
٥
‫اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ‬ ‫اﻷﺳﺲ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻤﺎرﯾﻦ‬
‫واﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫واﻟﺠﺬوراﻟﻨﻮﻧﯿﺔ‬
‫؟‬٨×٤‫ــ‬١
×٢‫ــ‬
٦–٢
×٣٢
٢
٣
٥
٢
٣
٥
١
٤
٥
٣
٢
٥
١٦
٦٢٥
-٣
٤١
٤
٥
١
٣
٥

٨٢
]٥[‫اﻟﺨﻄﺄ‬ ‫اﻛﺘﺸﻒ‬:
)‫أ‬(‫ــ‬٩) =-٩= (‫؟‬)-٩("
٢
=‫؟‬٨١=٩
)‫ب‬(‫س‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬٤
=٨١‫س‬ ‫ﻓﺈن‬=٤
‫؟‬٨١B‫س‬=٣
]٦[‫ﻧﻖ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺤﺠﻢ‬ ‫ﺑﺪﻻﻟﺔ‬ ‫ﯾﻌﻄﻰ‬ ‫ﻛﺮة‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬( ) =‫اﻟﺰﯾﺎدة‬ ‫أوﺟﺪ‬
‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺤﺠﻢ‬ ‫ﯾﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬ ‫اﻟﻘﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫ﻓﻰ‬π‫إﻟﻰ‬٣٦π‫ﻣﻜﻌﺒﺔ‬ ‫وﺣﺪة‬.
]٧[
]٨[‫س‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬=٣‫ص‬=٢٧‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻓﻤﺎ‬+‫ص‬
]٩[
٢
٢
٥
٣‫ح‬
٤π
١
٢
٥
٣٢
٣
٣
٢
٥
٢
٣
٥

٨٣
]١٠[
]١١[‫اﻟﺼﺤﯿﺤﺔ‬ ‫اﻻﺟﺎﺑﺔ‬ ‫اﺧﺘﺮ‬:
] ...... =‫ا‬،‫ا‬–١،‫س‬‫ا‬،١[
‫ـــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
*‫اﻷﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ﺗﻄﺒﯿﻘﺎﺗﮭﺎ‬ ‫و‬:
‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬:‫د‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬:‫ح‬C‫ح‬+
‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬)‫س‬= (‫ا‬‫س‬
‫ﻟﻜﻞ‬‫ا‬g‫ح‬+-}١{
،‫س‬‫ح‬‫ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫وﻟﮭﺬا‬=‫ح‬،‫ا‬‫س‬
‫ح‬+
‫ﻣﺪاھﺎ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫وﻟﮭﺬا‬=‫ح‬+
‫أﺳﺎﺳﮭﺎ‬ ‫أﺳﯿﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬ ‫د‬ ‫ﻓﺈن‬‫ا‬
‫ﻣﺜﻞ‬:‫د‬)‫س‬= (٣‫س‬
‫اﺳﺎﺳﮭﺎ‬٣‫س‬ ‫أﺳﮭﺎ‬ ،
‫د‬ ،)‫س‬( ) = (‫س‬+٢
‫س‬ ‫أﺳﮭﺎ‬ ، ‫اﺳﺎﺳﮭﺎ‬+٢
‫ﻣﺜﺎل‬:
‫ا‬‫س‬+٢
+‫ا‬‫س‬+١
+‫ا‬‫س‬
‫ا‬‫س‬+١
+‫ا‬‫س‬
+‫ا‬‫س‬-
١
١
٢
٥
١
٢
٥
]١[‫اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻞ‬ ‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬)‫س‬(‫ﺣﻘﯿﻘﻰ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫اﻷس‬ ‫أﻣﺎ‬ ‫اﻷﺳﺎس‬ ‫ھﻮ‬
‫ﻣﺜﻞ‬:‫د‬)‫س‬= (‫س‬٢
‫د‬ ،)‫س‬= (‫س‬٣
+، ‫س‬٠٠٠٠
]٢[‫اﻷﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻞ‬ ‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬)‫س‬(‫ﺣﻘﯿﻘﻰ‬ ‫ھﻮﻋﺪد‬ ‫اﻷﺳﺎس‬ ‫أﻣﺎ‬ ‫اﻷس‬ ‫ھﻮ‬
‫اﻟﻮاﺣﺪ‬ ‫ﯾﺴﺎوى‬ ‫ﻻ‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ‬
‫ﻣﺜﻞ‬:‫د‬)‫س‬= (٢‫س‬
‫د‬ ،)‫س‬= (٣‫س‬–١
،٠٠٠٠٠

٨٤
*‫اﻟ‬ ‫اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ‬‫اﻷﺳﯿﺔ‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺒﯿﺎﻧﻰ‬:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫أرﺳﻢ‬‫د‬)= (۲

‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ﻓﻲ‬]–٣،٤[‫ﻣﻦ‬ ‫و‬‫أوﺟﺪ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬:
)١(‫د‬)–٠.٥()۲(‫د‬)١.٥(
)٣(‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫ﺗﻘﺮﯾﺒﯿﺔ‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬]‫ﺢ‬‫ﺧ‬۲/٣/)٤(‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬‫د‬)= (١٠
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫د‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻹﯾﺠﺎد‬)–٠.٥: (
‫ﻋﻨﺪ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬ً–٠.٥‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﯾﻮازى‬
‫ﺗﻘﺮﯾﺒﺎ‬ ‫ﺗﺴﺎوى‬ ‫ﻓﻨﺠﺪھﺎ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﻟﯿﻘﺎﺑﻞ‬ً٠.٧
B‫د‬)–٠.٥= (٠.٧
‫د‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻹﯾﺠﺎد‬)١.٥(‫ﺳﺒﻖ‬ ‫ﻛﻤﺎ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬
‫أن‬ ‫ﻧﺠﺪ‬:‫د‬)١.٥= (٨.۲
‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻹﯾﺠﺎد‬]‫ﺢ‬‫ﺧ‬۲/٣/‫أن‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ‬:٣۲=۲
٥
B‫د‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ‬)%‫؛‬٢(=‫د‬)!‫؛‬٢۲(‫اﻟﺴﺎﺑﻖ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻛﻤﺎ‬ ‫وﻧﺮﺳﻢ‬
B‫ﻗﯿﻤﺔ‬]‫ﺢ‬‫ﺧ‬۲/٣/=٥.٧
٤٣۲١٠–١–۲–٣
‫ص‬١٦٨٤۲١!‫؛‬٢!‫؛‬٤!‫؛‬٨

٨٥
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻹﯾﺠﺎد‬:‫د‬)‫س‬= (١٠
‫ص‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ً ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺎ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬=١٠‫اﻟﺴﯿﻨﺎت‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﯾﻮازى‬
‫ﺗﻘﺮﯾﺒﺎ‬ ‫ﺗﺴﺎوى‬ ‫ﻓﻨﺠﺪھﺎ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻋﻨﺪ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﯾﻘﺎﺑﻞ‬٣.٣
B‫د‬)‫س‬= (١٠‫س‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬=٣.٣
)‫ھـ‬(‫ھﻰ‬ ‫اﻟﺼﺎدات‬ ‫ﻣﺤﻮر‬ ‫ﻣﻊ‬ ‫اﻷﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺗﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫اﺣﺪاﺛﯿﻰ‬)٠،١(

٨٦
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻵﺗﻰ‬ ‫اﻟﺠﺪول‬ ‫ﻧﻜﻮن‬:
‫س‬-٣-٢-١٠١٢٣
‫د‬١)‫س‬(١٢٤٨
‫د‬٢)‫س‬(٨٤٢١
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:
١
٨
٢
١
٤
٢
١
٢
٢
١
٢
٢
١
٤
٢
١
٨
٢
(
(
(

٨٧
‫اﻟﺼﻮرة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫ﺗﺆول‬ ‫ﺗﻄﺒﯿﻘﺎت‬‫ا‬‫س‬
=‫ب‬:
*‫اﻷﺳﻲ‬ ‫اﻟﻨﻤﻮ‬ ‫داﻟﺔ‬:
‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺗﺴﺘﺨﺪم‬)‫ن‬= (‫ا‬)١+‫ر‬(‫ن‬
‫ﻓﺘﺮات‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ‫ﻣﺌﻮﯾﺔ‬ ‫ﺑﻨﺴﺒﺔ‬ ‫اﻷﺳﻲ‬ ‫اﻟﻨﻤﻮ‬ ‫ﻟﺘﻤﺜﯿﻞ‬
‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫زﻣﻨﯿﺔ‬‫ن‬، ‫اﻟﺰﻣﻨﯿﺔ‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ھﻰ‬‫ا‬، ‫اﻻﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ‬ ‫اﻟﻘﯿﻤﺔ‬‫ر‬‫اﻟﻤﺌﻮﯾﺔ‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﺔ‬‫ﻟﻠﻨﻤﻮ‬
‫اﻟﻮاﺣﺪة‬ ‫اﻟﺰﻣﻨﯿﺔ‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬.
*‫اﻷﺳﻲ‬ ‫اﻟﺘﻀﺎؤل‬:
‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺗﺴﺘﺨﺪم‬)‫ن‬= (‫ا‬)١‫ـــ‬‫ر‬(‫ن‬
‫ﻟﺘﻤﺜﯿ‬‫ﻓﺘﺮات‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﺔ‬ ‫ﻣﺌﻮﯾﺔ‬ ‫ﺑﻨﺴﺒﺔ‬ ‫اﻷﺳﻲ‬ ‫اﻟﻨﻤﻮ‬ ‫ﻞ‬
‫ﺣﯿﺚ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫زﻣﻨﯿﺔ‬‫ن‬، ‫اﻟﺰﻣﻨﯿﺔ‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ھﻰ‬‫ا‬، ‫اﻻﺑﺘﺪاﺋﯿﺔ‬ ‫اﻟﻘﯿﻤﺔ‬‫ر‬‫ﻟﻠﻨﻤﻮ‬ ‫اﻟﻤﺌﻮﯾﺔ‬ ‫اﻟﻨﺴﺒﺔ‬
‫اﻟﻮاﺣﺪة‬ ‫اﻟﺰﻣﻨﯿﺔ‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ‫ﻓﻰ‬.
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﺑﻤﻌﺪل‬ ‫ﻓﯿﺰداد‬ ‫اﻟﺨﻼﯾﺎ‬ ‫آﺣﺪ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻨﺤﻞ‬ ‫ﯾﺘﻜﺎﺛﺮ‬٢٥٪‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻨﺤﻞ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ، ‫أﺳﺒﻮع‬ ‫ﻛﻞ‬
‫اﻟﺒﺪاﯾﺔ‬٦٠‫ﻧﺤﻠﺔ‬.‫أﺳﺒﻮع‬ ‫ن‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫اﻟﻨﺤﻞ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫أﺳﯿﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫اﻛﺘﺐ‬
‫ﺑﻌﺪ‬ ‫اﻟﻨﺤﻞ‬ ‫ﻗﺪرﻋﺪد‬ ‫ﺛﻢ‬ ،٦‫أﺳﺎﺑﯿﻊ‬.
‫اﻟﺤﻞ‬:‫ا‬=٦٠،‫ر‬= =٠.٢٥‫اﻟﺰﻣﻨﯿﺔ‬ ‫اﻟﻔﺘﺮة‬ ،‫ن‬=٦‫أﺳﺎﺑﯿﻊ‬
‫ﺑﻌﺪ‬ ‫اﻷﺳﻲ‬ ‫اﻟﻨﻤﻮ‬ ‫داﻟﺔ‬‫ن‬‫ھﻰ‬ ‫أﺳﺒﻮع‬:
‫د‬)‫ن‬= (‫ا‬)١+‫ر‬(‫ن‬
=٦٠)١+٠.٢٥(‫ن‬
=٦٠)١.٢٥(‫ن‬
‫د‬)٦= (٦٠)١.٢٥(٦
T٢٢٩‫ﻧﺤﻠﺔ‬
‫ﺑﻌﺪ‬ ‫اﻟﻨﺤﻞ‬ ‫ﻋﺪد‬٦‫أﺳﺎﺑﯿﻊ‬=٢٢٩‫ﻧﺤﻠﺔ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﺑﻤﺒﻠﻎ‬ ‫ﺟﺪﯾﺪة‬ ‫ﺳﯿﺎرة‬ ‫ﻛﺮﯾﻢ‬ ‫اﺷﺘﺮى‬١٢٠٠٠٠‫ﺑﻤﻌﺪل‬ ‫ﯾﺘﻨﺎﻗﺺ‬ ‫اﻟﺴﯿﺎرة‬ ‫ﺳﻌﺮ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫ﻓﺈذا‬ ‫ﺟﻨﯿﺔ‬
١٢٪‫ﺳﻨﺔ‬ ‫ﻛﻞ‬.
١(‫ﺑﻌﺪ‬ ‫اﻟﺴﯿﺎرة‬ ‫ﺳﻌﺮ‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫أﺳﯿﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫اﻛﺘﺐ‬‫ن‬‫ﺷﺮاﺋﮭﺎ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺳﻨﺔ‬.
٢(‫ﻣﺮور‬ ‫ﺑﻌﺪ‬ ‫اﻟﺴﯿﺎرة‬ ‫ﺳﻌﺮ‬ ‫ﺟﻨﯿﺔ‬ ‫ﻷﻗﺮب‬ ‫ﻗﺪر‬٦‫ﺷﺮاﺋﮭﺎ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﺳﻨﻮات‬.
٢٥
١٠٠

٨٨
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬
‫اﻟﺤﻞ‬:‫ﺑﻨﻔﺴﻚ‬ ‫ﺣﺎول‬
‫ـــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫اﻷﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻤﺎرﯾﻦ‬
‫اﻟﺘﻀﺎؤل‬ ‫و‬ ‫اﻟﻨﻤﻮ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫و‬

٨٩
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬

٩٠
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
*‫اﻷﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ‬*
‫ھﺎﻣﺔ‬ ‫ﻗﻮاﻋﺪ‬:
١-‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:‫ا‬‫م‬
=‫ا‬‫ن‬
‫ﻓﺈن‬:‫م‬=‫ن‬‫ﺣﯿﺚ‬:‫ا‬g‫ﺣﺢ‬-c٠،١،-١d
‫ﻣﺜﻼ‬:‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬٣‫س‬+٤
=٣٣
‫ﻓﺈن‬‫س‬+٤=٣B‫س‬=٣–٤=-١
٢-‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:‫ا‬‫م‬
=‫ب‬‫م‬
‫ﻓﺈن‬:
*‫م‬=٠‫ﺣﯿﺚ‬‫ا‬}٠،‫ب‬}٠،‫ا‬}_‫ب‬
‫ﻣﺜﻼ‬:٧‫س‬-٤
=٥‫س‬-٤
‫ﻓﺈن‬:‫س‬–٤=٠B‫س‬=٤
*‫ا‬=‫ب‬‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫م‬‫ﻋﺪد‬، ‫ﻓﺮدﯾﺎ‬ ‫ا‬‫ا‬}٠،‫ب‬}٠
‫ﻣﺜﻼ‬:‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫س‬٣
=[ ]=٣
B‫س‬=
*|‫ا‬|=|‫ب‬|‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫م‬، ‫زوﺟﯿﺎ‬ ‫ﻋﺪدا‬‫ا‬}٠،‫ب‬}٠
‫ﻣﺜﻼ‬:‫س‬٢
=[ ]=٢
B‫س‬=_
١
٨
١
٢
١
٢
١
٤
١
٢
١
٢

٩١
‫ص‬ ،$=٨١) =٣(٤
) =-٣(٤
B‫ص‬=_٣
٣-‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:‫ا‬‫م‬
=١‫ﻓﺈن‬:‫م‬=٠‫ﺣﯿﺚ‬‫ا‬}٠،‫ا‬}_١
‫ﻣﺜﻼ‬:‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬]‫ة‬٣[‫س‬-٢
=١B‫س‬–٢=٠B‫س‬=٢
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:
‫اﻟﺤﻞ‬:

٩٢
‫ـــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬)‫س‬= (٣‫س‬
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬‫د‬)‫س‬+١+ (‫د‬)‫س‬–١= (٢٧٠
‫اﻟﺤﻞ‬:
A‫د‬)‫س‬+١+ (‫د‬)‫س‬–١= (٢٧٠B٣‫س‬+١
+٣‫ــ‬ ‫س‬١
=٢٧٠
B٣‫س‬
)٣+٣‫ــ‬١
= (٢٧٠B٣‫س‬
)٣= ( +٢٧٠
B٣‫س‬
×=٢٧٠B٣‫س‬
=٢٧٠×=٨١=٣٤
A‫اﻻﺳﺎس‬=‫اﻻﺳﺎس‬B‫اﻷس‬=‫اﻷس‬B‫س‬=٤
‫ﺣﻞ‬‫آ‬‫ﺧﺮ‬:٣‫س‬+١
+٣‫ــ‬ ‫س‬١
=٢٧٠‫ﺑﻔﺮض‬٣‫س‬
=‫ص‬
٣‫س‬
×٣+٣‫س‬
×٣‫ــ‬١
=٢٧٠B‫ص‬×٣+‫ص‬×٣‫ــ‬١
=٢٧٠
B‫ص‬)٣= ( +٢٧٠B‫ص‬×=٢٧٠
B‫ص‬=٨١‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ‬ ‫و‬B٣‫س‬
=٣٤
B‫س‬=٤
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)‫س‬= (٣‫س‬
‫أ‬ ‫إﺛﺒﺖ‬‫ن‬:‫ــ‬=
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻻ‬‫ﯾﻤﻦ‬=‫ــــــــــــ‬-‫ــــــــــــ‬=٣‫س‬+١-‫س‬+١
–٣‫س‬–١–‫س‬–١
=٣٢
–٣-٢
=٩-=
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬١)‫س‬= (٩‫س‬
،‫د‬٢)‫س‬= (٢٧‫س‬
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬:‫د‬١)٣‫س‬+ (‫د‬٢)٢‫س‬–١= (٢٥٢
١
٣ ١٠
٣
٣
١٠
١
٣
١٠
٣
٣‫س‬+١
٣‫س‬–١
٣‫س‬-١
٣‫س‬–١
١
٩
٨٠
٩
‫د‬)‫س‬+١(
‫د‬)‫س‬-١(
‫د‬)‫س‬-١(
‫د‬)‫س‬+١(
٨٠
٩

٩٣
‫اﻟﺤﻞ‬:
B٩٣‫س‬
+٢٧٢‫س‬-١
=٢٥٢B٣٦‫س‬
+٣٦‫س‬–٣
=٢٥٢
B٣٦‫س‬-٣
)٣٣
+١= (٢٥٢B٣٦‫س‬-٣
×٢٨=٢٥٢
B٣٦‫س‬-٣
=٩B٣٦‫س‬–٣
=٣٢
B٦‫س‬–٣=٢B٦‫س‬=٥
‫م‬٠‫ح‬=}{
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬١)‫س‬= (٨‫س‬
‫د‬ ،٢)‫س‬= (٤‫س‬
‫د‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬١)٢‫س‬+ (‫د‬٢)٣‫س‬–١= (٨٠
‫اﻟﺤﻞ‬:‫د‬١)‫س‬) = (٢٣
(‫س‬
=٢٣‫س‬
‫د‬ ،٢)‫س‬) = (٢٢
(‫س‬
=٢٢‫س‬
‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬:‫د‬١)٢‫س‬+ (‫د‬٢)٣‫س‬–١= (٨٠
B٢٣×٢‫س‬
+٢٢)٣‫س‬–١(
=٨٠C٢٦‫س‬
+٢٦‫س‬–٢
=٨٠
C٢٦‫س‬
)١+٢-٢
= (٨٠C٢٦‫س‬
×=٨٠
C٢٦‫س‬
=٨٠×B٢٦‫س‬
=٦٤=٢٦
B٦‫س‬=٦B‫س‬=١
٥
٦
٥
٤ ٤
٥

٩٤
*‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ‬:
‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﯿﻲ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬١)‫س‬(‫د‬ ، ‫أﺳﯿﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬٢)‫س‬(‫ﺗﻘ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫ﻣﺜﻼ‬ ‫ﺧﻄﯿﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬‫ﺎطﻊ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﯿﻲ‬)‫ص‬ ، ‫س‬(‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﻓﺈن‬=‫اﻟﺘﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫اﻟﺴﯿﻨﻰ‬ ‫اﻻﺣﺪاﺛﻰ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﺷ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ارﺳﻢ‬‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﯿﻰ‬ ‫واﺣﺪ‬ ‫ﻜﻞ‬١)‫س‬= (٢‫س‬
‫د‬ ،٢)‫س‬= (٣–‫س‬
‫ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫و‬٢‫س‬
=٣–‫س‬
‫اﻟﺤﻞ‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﯿﻰ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ‬١‫د‬ ،٢‫ﻧﺠﺪ‬ ‫اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫وﻣﻦ‬:
‫اﻟﻤﻨﺤﻨﯿﯿﻦ‬ ‫ﺗﻘﺎطﻊ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬)١،٢(
B‫م‬.‫ح‬=}١{
‫ﺗﻄﺒﯿﻘﺎﺗﮭﺎ‬ ‫و‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻤﺎرﯾﻦ‬

٩٥
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
*‫اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:
‫ﺗﻮﺿﯿﺤﻰ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻣﻦ‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ‬ ‫ﯾﻤﺜﻞ‬ ‫اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬‫ﺳﺲ‬‫اﻟﻰ‬‫ﺻﺺ‬‫ﺣﯿﺚ‬‫ا‬‫ﺗﻌﻨﻰ‬ ‫ب‬ ‫ع‬)‫ا‬‫ب‬ ‫أﺑﻮ‬(
‫ﻟﻜﻞ‬‫ا‬g‫ﺳﺲ‬‫ب‬ ،g‫ﺻﺺ‬‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ھﺬه‬
‫ﺑﯿﺎن‬‫ع‬١=})‫ﻧﯿﺮة‬ ، ‫ﻋﻤﺎد‬(،)‫أﻣ‬ ، ‫ﷲ‬ ‫ﻋﺒﺪ‬‫ﻞ‬(،
)‫ﺟﻨﺔ‬ ، ‫أﺳﺎﻣﺔ‬(،)‫ﻏﺎدة‬ ، ‫ﻋﺎطﻒ‬({
‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫وإذا‬‫ﺻﺺ‬‫اﻟﻰ‬‫ﺳﺲ‬‫ﺗﻌﻨﻰ‬)‫إﺑﻨﺔ‬ ‫ب‬‫ا‬(‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬
‫ﺑﯿﺎن‬‫ع‬٢=})‫ﻋﻤﺎد‬ ، ‫ﻧﯿﺮة‬(،)‫ﷲ‬ ‫ﻋﺒﺪ‬ ، ‫أﻣﻞ‬(
،)‫أﺳﺎﻣﺔ‬ ، ‫ﺟﻨﺔ‬(،)‫ﻋﺎطﻒ‬ ، ‫ﻏﺎدة‬({
‫أن‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ‬:‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ع‬١‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻋﻜﺴﯿﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬‫ع‬٢
‫اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬:
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬‫ﺳﺲ‬‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫إﻟﻰ‬‫ﺻﺺ‬
‫ﻓﺈن‬:‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬-١
‫ﻣﻦ‬‫ﺻﺺ‬‫اﻟﻰ‬‫ﺳﺲ‬‫د‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻋﻜﺴﯿﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬
‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬‫ﻟﻜﻞ‬)‫ص‬ ، ‫س‬(g‫ﻓﺈن‬ ‫د‬)‫س‬ ، ‫ص‬(g‫د‬–١

٩٦
‫ھﺎﻣﺔ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬:
١(‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬‫ــ‬١
‫ص‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس‬ ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫ھﻮ‬=‫س‬
٢(‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫د‬ ‫ﺗﻜﻮن‬ ‫أن‬ ‫ﯾﺠﺐ‬ ‫ﻋﻜﺴﯿﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫د‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ﻟﻜﻰ‬
‫اﻟ‬ ‫اﺧﺘﺒﺎر‬ ‫د‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﯾﺤﻘﻖ‬ ‫أى‬‫اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫ﺨﻂ‬
)‫واﺣﺪة‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫أﻓﻘﻰ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫أى‬ ‫ﻗﻄﻊ‬ ‫إذا‬
‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﯾﻤﺜﻞ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫ﻓﺈن‬(
٣(‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬)‫اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫اﻟﺨﻂ‬ ‫اﺧﺘﺒﺎر‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﻻ‬(
‫داﻟﺔ‬ ‫ﯾﻤﺜﻞ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﻣﻌﻜﻮﺳﮭﺎ‬ ‫ﻓﺈن‬.‫ص‬ ‫ﻣﺜﻞ‬=‫س‬٢
)‫أﺣﺎدﯾﺔ‬ ‫ﻟﯿﺴﺖ‬(
‫ﻣﻌﻜﻮﺳﮭﺎ‬|‫ص‬|=‫؟‬‫داﻟﺔ‬ ‫ﯾﻤﺜﻞ‬ ‫ﻻ‬ ‫س‬
٤(‫س‬ ‫ﺑﺪﻻﻟﺔ‬ ‫ص‬ ‫ﻧﻮﺟﺪ‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات‬ ‫ﺑﺘﺒﺪﯾﻞ‬ ‫ﻧﻘﻮم‬ ‫أوﻻ‬ ‫اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻹﯾﺠﺎد‬.
‫ﻣﺜﻼ‬:‫ص‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬=٣‫س‬–١‫س‬ ‫ﻓﺈن‬=٣‫ص‬–١B٣‫ص‬=‫س‬+١
B‫ص‬) =‫س‬+١(B‫د‬‫ــ‬١
)‫س‬) = (‫س‬+١(
‫ص‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ،=‫س‬٣
‫س‬ ‫ﻓﺈن‬=‫ص‬٣
B‫د‬‫ــ‬١
)‫س‬= (‫س‬
١
٣
١
٣١
٣

٩٧
‫اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﺧﻮاص‬ ‫ﻣﻦ‬:
١(‫د‬ ‫أن‬ ‫ﯾﻘﺎل‬)‫س‬(‫ر‬ ،)‫س‬(‫ﻟﻸﺧﺮى‬ ‫ﻋﻜﺴﯿﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬
‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)‫د‬º‫ر‬) (‫س‬= (، ‫س‬)‫ر‬º‫د‬)(‫س‬= (‫س‬
٢(‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬)‫س‬= (‫د‬ ‫اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬‫ـــ‬١
)‫س‬(
‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺪى‬)‫س‬= (‫اﻟﺪا‬ ‫ﻣﺠﺎل‬‫د‬ ‫اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‬ ‫ﻟﺔ‬‫ــ‬١
)‫س‬(
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫د‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬)‫س‬= (٢‫س‬+١‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬ ‫ﻣﻌﻜﻮﺳﮭﺎ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺜﻞ‬ ‫و‬
‫واﺣﺪ‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬.
‫اﻟﺤﻞ‬:A‫ص‬=٢‫س‬+١B‫س‬=٢‫ص‬+١B٢‫ص‬=‫س‬–١
B‫ص‬) =‫س‬–١(B‫د‬‫ــ‬١
)‫س‬) = (‫س‬–١(
‫أن‬ ‫ﯾﻼﺣﻆ‬ ‫و‬:
‫د‬ ‫اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫و‬ ‫د‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ــ‬١
‫ﻣﻨﺤﻨﺎ‬‫ﻣﺘﻤﺎﺛﻼن‬ ‫ھﻤﺎ‬
‫ص‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬=‫س‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫د‬ ‫ﺑﺤﯿﺚ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫د‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬)‫س‬= (٣+‫؟‬‫س‬"–"١"‫ﻓﺄوﺟﺪ‬:
‫أ‬(‫د‬ ‫ﻣﺠﺎل‬)‫س‬(‫د‬ ‫ﻣﺪى‬ ‫و‬)‫س‬(‫ب‬(‫د‬‫ــ‬١
)‫س‬(‫ﻣﺪاھﺎ‬ ‫و‬ ‫ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ‬ ‫ﻋﯿﻦ‬ ‫و‬
‫ﺟـ‬(‫د‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻟﻜﻞ‬ ‫اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ارﺳﻢ‬ ‫اﻟﺮﺳﻮﻣﯿﺔ‬ ‫اﻟﺒﺮاﻣﺞ‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫ﻣﺴﺘﺨﺪﻣﺎ‬)‫س‬(‫د‬ ،‫ــ‬١
)‫س‬(
‫اﻟﺤﻞ‬) :‫أ‬(‫د‬)‫س‬(‫س‬ ‫ﻗﯿﻢ‬ ‫ﻟﺠﻤﯿﻊ‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﺔ‬–١X٠‫س‬ ‫أى‬X١
B‫د‬ ‫ﻣﺠﺎل‬)‫س‬] = (١،∞]
A‫؟‬‫س‬"–"١"X٠‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﺠﺎل‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻮاﻗﻌﺔ‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻢ‬ ‫ﻟﺠﻤﯿﻊ‬
‫س‬-١٠١
‫د‬)‫س‬(-١١٣
‫د‬‫ــ‬١
)‫س‬(-١-٠.٥٠
١
٢
١
٢
‫د‬ ‫ﻣﺠﺎل‬‫ــ‬١
)‫س‬(
‫س‬‫د‬)‫س‬(
‫د‬ ‫ﻣﺪى‬)‫س‬(
‫د‬ ‫ﻣﺠﺎل‬)‫س‬(
‫د‬ ‫ﻣﺪى‬‫ــ‬١
)‫س‬(

٩٨
B٣+‫؟‬‫س‬"–"١"X٣G‫د‬)‫س‬(X٣B‫د‬ ‫ﻣﺪى‬)‫س‬] = (٣،∞]
)‫ب‬(A‫ص‬=٣+‫؟‬‫س‬"–"١"‫ص‬ ، ‫س‬ ‫اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺒﺪال‬
B‫س‬=٣+‫؟‬‫ص‬"–"١"B‫س‬–٣=‫؟‬‫ص‬"–"١"‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﺑﺘﺮﺑﯿﻊ‬
B)‫س‬–٣(٢
=‫ص‬–١B‫ص‬) =‫س‬–٣(٢
+١
B‫د‬‫ــ‬١
)‫س‬) = (‫س‬–٣(٢
+١
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــ‬
‫اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻤﺎرﯾﻦ‬

٩٩
)٦(

١٠٠
*‫ﺗﻤﺜﯿﻠﮭﺎ‬ ‫و‬ ‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ‬:
‫ﺗﻌﺮﯾﻒ‬:‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:‫ا‬g‫ح‬+–}١{،‫س‬g‫ح‬،‫ص‬g‫ح‬+
‫ﻓﺈن‬:‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬‫ص‬=‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬‫س‬‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻋﻜﺴﯿﺔ‬ ‫داﻟﺔ‬‫اﻷﺳﯿﺔ‬‫ص‬=‫ا‬
‫س‬
‫ﻣﺜﻼ‬:٨=٢٣
E‫ﻟـــــــﻮ‬٢٨=٣‫ﻟــﻮ‬ ،٢٣٢=٥E٣٢=٢٥
،٢٤٣=٣٥
E‫ﻟـــــــﻮ‬٣٢٤٣=٥
*‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬‫س‬‫ﺗﻘﺮأ‬‫ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ‬‫س‬‫ﻷﺳﺎس‬‫ا‬
*‫اﻵﺳﯿﺔ‬ ‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻌﻜﺴﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ھﻰ‬ ‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
*‫ﻓﻤﺜﻼ‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ﻏﯿﺮ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ‬ ‫ﻋﻦ‬ ‫ﻟﻠﺤﺪﯾﺚ‬ ‫ﻣﻌﻨﻰ‬ ‫ﻻ‬:‫ﻟﻮ‬٤–٣،‫ﻟﻮ‬۲
‫ﺻﻔﺮ‬‫ﻟﮫ‬ ‫ﻣﻌﻨﻰ‬ ‫ﻻ‬
*‫اﻷﺳﺎس‬‫ا‬‫ﻋﺪد‬ ‫ﯾﻜﻮن‬ ‫أن‬ ‫ﯾﺠﺐ‬‫ﻣﻮ‬ ‫ا‬ً‫اﻟﺼﺤﯿﺢ‬ ‫اﻟﻮاﺣﺪ‬ ‫ﻋﻦ‬ ‫ﯾﺨﺘﻠﻒ‬ ‫ﺟﺒﺎ‬ً
‫ﻓﻤﺜﻼ‬:‫ﻟﻮ‬-۲
٨،‫ﻟﻮ‬‫ﺻﻔﺮ‬
٧‫ﻟﮫ‬ ‫ﻣﻌﻨﻰ‬ ‫ﻻ‬
*‫اﻟﻤﻌﺘﺎدة‬ ‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﺎت‬:
‫ا‬ ‫ھﻰ‬‫أﺳﺎﺳﮭﺎ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫ﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﺎت‬=١٠‫ﯾﻜﺘﺐ‬ ‫وﻻ‬]‫اﻷﺳﺎس‬ ‫ھﺬا‬ ‫ﺣﺬف‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫أﺗﻔﻖ‬ ‫وﻗﺪ‬[
‫ﻓﻤﺜﻼ‬:‫ﻟﻮ‬٣‫ﺗﻌﻨﻰ‬‫ﻟﻮ‬١٠
٣
‫ﯾﻜﻮن‬ ‫ذﻟﻚ‬ ‫وﻋﻠﻰ‬:
‫ﻟﻮ‬١٠=١‫ﻟﻮ‬ ،١٠٠=‫ﻟﻮ‬١٠
۲
=۲‫ﻟﻮ‬ ،١٠٠٠=‫ﻟﻮ‬١٠٣
=٣‫وھﻜﺬا‬
‫ﻟﻮ‬ ،٠.١=–١‫ﻟﻮ‬ ،٠.٠١=–۲‫ﻟﻮ‬ ،٠.٠٠١=-٣‫وھﻜﺬا‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫اﻟﻰ‬ ‫اﻷﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺘﺤﻮﯾﻞ‬‫اﻟﻌﻜﺲ‬ ‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﯿﺔ‬:‫ا‬‫ب‬
=‫ج‬‫ب‬ ‫ﻓﺈن‬=‫ﻟﻮ‬‫ا‬‫ج‬
‫ﻣﺜﺎل‬:
‫اﻟﺤﻞ‬) :‫أ‬(A٢٧
=١٢٨B‫ﻟـﻮ‬٢١٢٨=٧
)‫ب‬(A)‫؟‬٢(١٠
=٣٢B‫ﻟــﻮ‬‫؟‬٢٣٢=١٠
)‫ﺟـ‬(A( )‫ــ‬٢
=B‫ﻟــﻮ‬=-٢ ٢
٣
٩
٤
٩
٤ ٢
٣

١٠١
‫اﻷﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺘﺤﻮﯾﻞ‬:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻷﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﺼﻮرة‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫ﯾﺄﺗﻰ‬ ‫ﻣﻤﺎ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﺣﻮل‬:
)‫أ‬(‫ﻟـﻮ‬‫؟‬٢٣٢=١٠)‫ب‬(‫ﻟــﻮ‬٣=-٥)‫ﺟـ‬(‫ﻟــﻮ‬١=‫ﺻﻔﺮ‬
)‫ھـ‬(‫ﻟــﻮ‬٧٧=١)‫د‬(‫ﻟــﻮ‬=-٣)‫و‬(‫ﻟـﻮ‬٣٩=٢
‫اﻟﺤﻞ‬) :‫أ‬(٣٢) =‫؟‬٢(١٠
)‫ب‬= (٣‫ــ‬٥
)‫ﺟـ‬(١( ) =‫ﺻﻔﺮ‬
)‫ھـ‬(٧=٧١
)‫د‬(=١٠‫ــ‬٣
)‫و‬(٩=٣٢
*‫ﻣﻌﻠﻮم‬ ‫ﻷﺳﺎس‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫اﯾﺠﺎد‬:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻗﯿ‬ ‫اوﺟﺪ‬‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻤﺔ‬:
١(‫ﻟـ‬‫ــﻮ‬۲٦٤٢(‫ﻟــ‬‫ـﻮ‬٣۲٤٣٣(‫ﻟـ‬‫ــﻮ‬٥١۲٥٤(‫ﻟ‬‫ـ‬‫ـﻮ‬٧٧
‫اﻟﺤﻞ‬:١(‫س‬ ‫أن‬ ‫ﻧﻔﺮض‬=‫ﻟــ‬‫ـﻮ‬۲٦٤B۲
‫س‬
=٦٤=۲
٦
B‫س‬=٦
B‫ﻟـــ‬‫ـﻮ‬۲٦٤=٦
۲(‫س‬ ‫أن‬ ‫ﻧﻔﺮض‬=‫ﻟـ‬‫ــــــــــﻮ‬٣٢٤٣B٣
‫س‬
=٢٤٣=٣
٥
B‫س‬=٥
B‫ﻟـــــــــــﻮ‬٣٢٤٣=٥
٣(‫س‬ ‫أن‬ ‫ﻧﻔﺮض‬=‫ﻟـــــــــــﻮ‬٥١٢٥B٥
‫س‬
=١٢٥=٥
٣
B‫س‬=٣
B‫ﻟـــــــــــﻮ‬٥١٢٥=٣
٤(‫س‬ ‫أن‬ ‫ﻧﻔﺮض‬=‫ﻟـــ‬‫ــــــــﻮ‬٧٧B٧
‫س‬
=٧=٧
١
B‫س‬=١
B‫ﻟـــــــــــﻮ‬٧٧=١
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﯾﺄﺗﻰ‬ ‫ﻣﻤﺎ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬) :‫أ‬(‫ﻟـﻮ‬٠.٠٠١)‫ب‬(‫ﻟــﻮ‬٣
٤
‫؟‬٢٧
‫اﻟﺤﻞ‬:
١
٢
١
٢٤٣
١
١٠٠٠
١
٢٤٣
١
٢
١
١٠٠٠

١٠٢
*‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ‬:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻓﻰ‬ ‫أوﺟﺪ‬‫ح‬‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬:
)١(‫ﻟـﻮ‬٨١‫س‬) =٢(‫ﻟـﻮ‬‫س‬٥‫س‬=٢)٣(‫ﻟـﻮ‬‫س‬)‫س‬+٢= (٢)٤(‫ﻟﻮ‬٣)‫س‬-١(=١
‫اﻟﺤﻞ‬:
)١(‫ﻟـﻮ‬٨١‫س‬=)٢(‫ﻟـﻮ‬‫س‬٥‫س‬=٢
B‫س‬) =٨١) = (٣٤
= (٣٣
B٥‫س‬=‫س‬٢
B‫س‬=٢٧B‫م‬.‫ح‬=}٢٧{B‫س‬٢
‫ــ‬٥‫س‬=٠
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬B‫س‬)‫ــ‬ ‫س‬٥= (٠
)٣(A‫ﻟـﻮ‬‫س‬)‫س‬+٢= (٢B‫س‬=٠h‫س‬ ، ‫ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ‬=٥g‫ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ‬
B‫س‬+٢=‫س‬٢
B‫م‬.‫ح‬=}٥{
B‫س‬٢
‫ــ‬ ‫س‬ ‫ــ‬٢=٠‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
B)‫س‬–٢)(‫س‬+١= (٠)٤(A‫ﻟﻮ‬٣)‫س‬-١= (١
B‫س‬=٢‫س‬ ،=‫ــ‬١h‫اﻟﻤﺠﺎل‬B‫س‬–١=٣١
B‫س‬=٣+١=٤
B‫م‬.‫ح‬=}٢{B‫م‬.‫ح‬=}٤{
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫اوﺟﺪ‬:‫ﻟـــــــﻮ‬٢‫ﻟـــــﻮ‬٣)‫س‬٢
‫ــ‬٧‫س‬+١٥= (١
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫ﻟـــــــﻮ‬٢‫ﻟـــــﻮ‬٣)‫س‬٢
‫ــ‬٧‫س‬+١٥= (١
A‫س‬٢
‫ــ‬٧‫س‬+١٥<٠‫س‬ ‫ﻗﯿﻢ‬ ‫ﻟﺠﻤﯿﻊ‬g‫ب‬ ‫اﻟﻤﻤﯿﺰ‬ ‫ﻻن‬ ‫ح‬٢
‫ــ‬٤‫ﺟـ‬ ‫أ‬=١٩<٠
B‫ﻟـــﻮ‬٣)‫س‬٢
‫ــ‬٧‫س‬+١٥= (٢١
=٢B‫س‬٢
‫ــ‬٧‫س‬+١٥=٣٢
=٩
B‫س‬٢
‫ــ‬٧‫س‬+٦=٠B)‫س‬–١)(‫س‬–٦= (٠
B‫س‬=١‫س‬ ،=٦
٣
٤
٣
٤ ٣
٤
٣
٤

١٠٣
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــ‬
‫اﻟﺤﻞ‬:

١٠٤
‫اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ‬ ‫اﻵﻟﺔ‬ ‫إﺳﺘﺨﺪام‬:
‫ﻧﺴﺘﺨﺪم‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ‬ ‫ﺣﻘﯿﻘﻰ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻷى‬ ‫اﻟﻤﻌﺘﺎد‬ ‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ‬ ‫ﻹﯾﺠﺎد‬log
‫ﻧﺴﺘﺨﺪم‬ ‫اﻟﻤﻌﺘﺎد‬ ‫ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﮫ‬ ‫ﻋﻠﻢ‬ ‫إذا‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫اﻟﺤﻘﯿﻘﻰ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﻹﯾﺠﺎد‬ ‫و‬ ،)shift log ( 10
x
‫ﻣﺜﺎل‬:‫أوﺟﺪ‬ ‫اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ‬ ‫ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام‬‫ﻟﻮ‬٥٧.٠٦
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻵﻟ‬ ‫ﺧﻄﻮات‬‫ﺔ‬:log 5 7 . 0 6 =
‫أن‬ ‫ﻧﺠﺪ‬:‫ﻟﻮ‬٥٧.٠٦=١.٧٥٦٣
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬:‫س‬ ‫ﻟﻮ‬=–٠.٠٠٧٥
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻵﻟﺔ‬ ‫ﺧﻄﻮات‬:0 . 0 0 7 5 =–)shift log ( 10
x
‫أن‬ ‫ﻧﺠﺪ‬:‫س‬=٩۲٨٩.٠
‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬
‫ﺗﻤﺜﯿﻠﮭﺎ‬ ‫و‬ ‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﯿﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻤﺎرﯾﻦ‬

١٠٥

١٠٦
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــ‬
‫ص‬ ، ‫س‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬g‫ﺣﺢ‬+،‫ا‬g‫ﺣﺢ‬+–}١{‫ﯾﻜﻮن‬:
١–‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﺎت‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻀﺮب‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺔ‬:
‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫س‬+‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫ص‬=‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫س‬×‫ص‬
‫ﻓﻤﺜﻼ‬:‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
٣+‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
٥=‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
)٣×٥= (‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
١٥
‫ﻟــــﻮ‬ ،‫ﺟـ‬٥٦=‫ﻟــــﻮ‬‫ج‬)٧×٨= (‫ﻟـــﻮ‬‫ﺟـ‬٧+‫ﻟـــﻮ‬‫ﺟـ‬٨
،‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
٤۲=‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
)۲×٣×٧(}‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
۲×‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
٣×‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
٧
‫ھﺎﻣﺔ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬:
)‫س‬+‫ص‬(≠‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫س‬+‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫ص‬
)‫س‬×‫ص‬(≠‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫س‬×‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫ص‬
۲–‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﺎت‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻘﺴﻤﺔ‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺔ‬:
‫س‬–‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫ص‬=‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫ـــــــ‬
‫ﻓﻤﺜﻼ‬:‫ﻟــــ‬‫ـﻮ‬‫ا‬
٥–‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
٧=‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫ﻟـــﻮ‬ ،‫ب‬=‫ﻟـــﻮ‬‫ب‬٣‫ﻟــﻮ‬ ‫ــ‬‫ب‬٧
‫ھﺎﻣﺔ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬:‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
)‫س‬–‫ص‬(≠‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫س‬–‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫ص‬
)‫س‬÷‫ص‬(≠‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫س‬÷‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫ص‬
‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﺎت‬ ‫ﺧﻮاص‬ ‫ﺑﻌﺾ‬
‫س‬
‫ص‬
٥
٧
٣
٧

١٠٧
٣–‫ﻟ‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺔ‬‫اﻟﻘﻮة‬ ‫ﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ‬:
‫س‬
‫ن‬
=‫ن‬‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
‫س‬
‫ﻓﻤﺜﻼ‬:‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
٩=‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
٣
۲
=۲‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
٣‫ﻟـــﻮ‬ ،‫ب‬٨=‫ﻟــﻮ‬‫ب‬٢٣
=٣‫ﻟــﻮ‬٢
٤–‫ﻟ‬‫ـ‬‫ــــﻮ‬‫س‬
‫س‬=١
‫ﻓﻤﺜﻼ‬:‫ﻟـــــﻮ‬٦
٦=١،‫ﻟـــ‬‫ــﻮ‬٧
٧=١‫ﻟــــــﻮ‬ ،٨٨=١
٥–‫ﻟـــــﻮ‬‫ا‬
١=‫ﺻﻔﺮ‬
‫ﻓﻤﺜﻼ‬:‫ﻟـــــﻮ‬٤
١=‫ﺻﻔﺮ‬‫ﻟــــــﻮ‬ ،٧١=‫ﺻﻔﺮ‬
٦-‫اﻷﺳﺎس‬ ‫ﺗﻐﯿﺮ‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺔ‬:‫ﻟـﻮ‬‫ص‬‫س‬=
‫ﻓﻤﺜﻼ‬:‫ﻟـﻮ‬٤٨= = ==
٧-‫اﻟﻀﺮﺑﻰ‬ ‫اﻟﻤﻌﻜﻮس‬ ‫ﺧﺎﺻﯿﺔ‬:‫ﻟـﻮ‬‫ا‬‫ب‬=‫ﻟﻮ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬‫ا‬‫ب‬×‫ﻟﻮ‬‫ب‬‫ا‬=١
‫ﻓﻤﺜﻼ‬:‫ﻟـﻮ‬٣٧×‫ﻟـﻮ‬٧٣=‫ﻟـﻮ‬٣٧×=١
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﺻﻮرة‬ ‫أﺑﺴﻂ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫أوﺟﺪ‬١(‫ﻟـﻮ‬٥
٤
‫؟‬١٢٥"٢(‫ﻟـﻮ‬٣
٧
‫؟‬٢٤٣"٣(‫ﻟـﻮ‬٣٠‫ﻟـﻮ‬ ‫ــ‬٣
‫اﻟﺤﻞ‬:١(‫ﻟـﻮ‬٥
٤
‫؟‬١٢٥"=‫ﻟـﻮ‬٥)٥٣
= (‫ﻟــﻮ‬٥)٥= (‫ﻟـﻮ‬٥٥=
٢(‫ﻟـﻮ‬٣
٧
‫؟‬٢٤٣"=‫ﻟـﻮ‬٣)٣٥
= (‫ﻟـﻮ‬٣)٣= (‫ﻟـﻮ‬٣٣=
٣(‫ﻟـﻮ‬٣٠‫ﻟـﻮ‬ ‫ــ‬٣=‫ﻟـﻮ‬=‫ﻟـﻮ‬١٠=١
‫ﻟـﻮ‬‫ا‬‫س‬
‫ﻟـﻮ‬‫ا‬‫ص‬
‫ﻟـﻮ‬‫ا‬٨
‫ﻟـﻮ‬‫ا‬٤
‫ﻟـﻮ‬‫ا‬٢٣
‫ﻟـﻮ‬‫ا‬٢٢
٣‫ﻟـﻮ‬‫ا‬٢
٢‫ﻟـﻮ‬‫ا‬٢
٣
٢
١
‫ﻟـﻮ‬‫ب‬‫ا‬
١
‫ﻟـﻮ‬٣٧
١
٤
٣
٤
٣
٤
٣
٤
١
٧
٥
٧
٥
٧٥
٧
٣٠
٣

١٠٨
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻟـﻮ‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬٣١٥‫ﻟـﻮ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫ﺻﻮرة‬ ‫أﺑﺴﻂ‬ ‫ﻓﻰ‬٣٥T١.٤٦٥
‫اﻟﺤﻞ‬:‫ﻟـﻮ‬٣١٥=‫ﻟـﻮ‬٣٥×٣=‫ﻟـﻮ‬٣٥+‫ﻟـﻮ‬٣٣=١.٤٦٥+١=٢.٤٦٥
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﺻﻮرة‬ ‫ﻻﺑﺴﻂ‬ ‫اﺧﺘﺼﺮ‬:٢‫ﻟﻮ‬٢٥+‫ﻟﻮ‬+ ( + )٢‫ﻟﻮ‬٣–‫ﻟﻮ‬٣٠
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻟﻤﻘﺪار‬=‫ﻟﻮ‬)٢٥(٢
+‫ﻟﻮ‬+‫ﻟﻮ‬٣٢
‫ﻟﻮ‬ ‫ــ‬٣٠
=‫ﻟﻮ‬)٢٥(٢
× ×٩×=‫ﻟﻮ‬١٠٠
=٢‫ﻟﻮ‬١٠=٢
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﺧﺘﺼﺮ‬:‫ﻟﻮ‬٥٤٩×‫ﻟﻮ‬٨٥×‫ﻟﻮ‬٩٨×‫ﻟﻮ‬٧٩
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻟﻤﻘﺪار‬=× × ×= = =٢
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫أن‬ ‫أﺛﺒﺖ‬=٣
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻻﯾﻤﻦ‬=‫ﻟﻮ‬÷‫ﻟﻮ‬=‫ﻟﻮ‬( )٦
÷‫ﻟﻮ‬( )٢
=٦‫ﻟﻮ‬÷٢‫ﻟﻮ‬=٣=‫ا‬‫ﻻﯾﺴﺮ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:٣‫س‬ ‫ﻟــﻮ‬+٤‫ص‬ ‫ﻟــﻮ‬–‫ﻟ‬‫ص‬ ‫س‬ ‫ــﻮ‬۲
=۲)‫ﻟـ‬‫ـﻮ‬۲+‫ﻟ‬‫ـﻮ‬٣(
‫أن‬ ‫اﺛﺒﺖ‬:‫ص‬ ‫س‬=٦]‫ص‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﯾﻄﻠﺐ‬ ‫أﺧﺮ‬ ‫ﺳﺆال‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻤﻌﻄﻰ‬ ‫ﺑﻨﻔﺲ‬[
‫اﻟﺤﻞ‬:
٣‫س‬ ‫ﻟــﻮ‬+٤‫ص‬ ‫ﻟــﻮ‬–‫ﻟـ‬‫ص‬ ‫س‬ ‫ـﻮ‬۲
=۲‫ﻟ‬‫ــﻮ‬۲+۲‫ﻟ‬‫ــﻮ‬٣
‫ﻟ‬‫س‬ ‫ــﻮ‬٣
+‫ص‬ ‫ﻟــﻮ‬٤
–‫ﻟـ‬‫ص‬ ‫س‬ ‫ــﻮ‬۲
=‫ﻟــ‬‫ـﻮ‬)۲(۲
+‫ﻟ‬‫ــﻮ‬)٣(۲
‫ﻟــ‬‫ـــــ‬ ‫ــﻮ‬‫ـــــــــــــــــ‬=‫ﻟــــﻮ‬٤+‫ﻟـــــﻮ‬٩=‫ﻟـ‬‫ــﻮ‬٤×٩
‫ﻟ‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـــﻮ‬۲
‫ص‬۲
=‫ﻟــ‬‫ـﻮ‬٣٦B‫س‬۲
‫ص‬۲
=٣٦B‫ص‬ ‫س‬=٦
١
٣
١
٥
٨
١٥
٨
١٥
١
٣٠
‫ﻟـﻮ‬٤٩
‫ﻟـﻮ‬٥
‫ﻟـﻮ‬٥
‫ﻟـﻮ‬٨
‫ﻟـﻮ‬٨
‫ﻟـﻮ‬٩
‫ﻟـﻮ‬٩
‫ﻟـﻮ‬٧
‫ﻟـﻮ‬٤٩
‫ﻟـﻮ‬٧
٢‫ﻟـﻮ‬٧
‫ﻟـﻮ‬٧
‫ﻟـﻮ‬٧٢٩‫ﻟﻮ‬ ‫ــ‬٦٤
‫ﻟـﻮ‬٩‫ﻟﻮ‬ ‫ــ‬٤
٧٢٩
٦٤
٩
٤
٣
٢
٣
٢
٣
٢
٣
٢
‫اﻷﯾﻤﻦ‬ ‫اﻟﻄﺮف‬ ‫ﻧﺠﻌﻞ‬
‫ﺑﮫ‬"‫ﻟــﻮ‬"
‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام‬ ‫ﻓﻘﻂ‬ ‫واﺣﺪ‬
‫اﻟﻘﻮاﻧﯿﻦ‬
‫س‬٣
×‫ص‬٤
‫س‬×‫ص‬۲

١٠٩
‫ﻣﺜﺎل‬:‫س‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬٢
+‫ص‬٢
=٨‫أن‬ ‫أﺛﺒﺖ‬ ‫ص‬ ‫س‬٢‫ﻟﻮ‬)‫س‬+‫ص‬= (١+‫س‬ ‫ﻟﻮ‬+‫ص‬ ‫ﻟﻮ‬
‫اﻟﺤﻞ‬:A‫س‬٢
+‫ص‬٢
=٨‫ﺑﺎﺿﺎﻓﺔ‬ ‫ص‬ ‫س‬٢‫ﻟﻠﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ص‬ ‫س‬
B‫س‬٢
+٢‫ص‬ ‫س‬+‫ص‬٢
=٨‫ص‬ ‫س‬+٢‫ص‬ ‫س‬
B)‫س‬+‫ص‬(٢
=١٠‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ‬ ‫ص‬ ‫س‬
B‫ﻟﻮ‬)‫س‬+‫ص‬(٢
=‫ﻟﻮ‬١٠‫ص‬ ‫س‬
B٢‫ﻟﻮ‬)‫س‬+‫ص‬= (‫ﻟﻮ‬١٠+‫س‬ ‫ﻟﻮ‬+‫ص‬ ‫ﻟﻮ‬=١+‫س‬ ‫ﻟﻮ‬+‫ص‬ ‫ﻟﻮ‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ص‬ ‫س‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬=٤‫؟‬٢‫اﻟﻤﻘﺪار‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬٥‫ﻟــﻮ‬٢‫س‬+٤‫ﻟــﻮ‬٢‫ص‬–‫ﻟــﻮ‬٢‫س‬٣
‫ص‬٢
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﻤﻘﺪار‬=‫ﻟــــــﻮ‬٢‫ـــــــــــــــــــــ‬=‫ﻟــــﻮ‬٢‫س‬٢
‫ص‬٢
=‫ﻟـــــﻮ‬٢)‫ص‬ ‫س‬(٢
=‫ﻟ‬‫ــــﻮ‬٢)٤‫؟‬٢(٢
=‫ﻟــــﻮ‬٢٣٢=‫ﻟــــﻮ‬٢٢٥
=٥‫ﻟــــﻮ‬٢٢=٥×١=٥
‫ﻣﺜﺎل‬:‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬:‫ﻟــــﻮ‬٢‫ﻟـــــ‬‫ﻮ‬٤‫ﻟــــــﻮ‬٨٦٤=-١
‫اﻟﺤﻞ‬:‫اﻟﻤﻘﺪار‬=‫ﻟـــــﻮ‬٢‫ﻟــــــﻮ‬٤‫ﻟـــــﻮ‬٨٨٢
=‫ﻟـــــﻮ‬٢‫ﻟــــــﻮ‬٤٢‫ﻟـــــﻮ‬٨٨
=‫ﻟــــﻮ‬٢‫ﻟــــــﻮ‬٤)٤(=‫ﻟــــﻮ‬٢‫ﻟـــﻮ‬٤٤
=‫ﻟــــــﻮ‬٢=‫ﻟــــﻮ‬٢٢-١
=-١‫ﻟـــﻮ‬٢٢=-١
‫ــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫أن‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬‫س‬ ‫ﻟــــﻮ‬=‫ــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
A‫س‬ ‫ﻟــــﻮ‬=‫ــــــــــــــــــــــــــــــ‬B‫س‬ ‫ﻟــــﻮ‬=‫ــــــــــــــــــــــــــــ‬
B‫س‬ ‫ﻟــــﻮ‬=‫ــــــــــــــــــــــــــــــ‬B‫س‬ ‫ﻟــــﻮ‬=‫ﻟــــﻮ‬٥B‫س‬=٥
‫س‬٣
×‫ص‬٢
‫س‬٥
×‫ص‬٤
١
٢١
٢
١
٢
)‫ﻟﻮ‬٥(٢
–‫ﻟﻮ‬١٢٥
‫ﻟﻮ‬٠.٠٠٥
)‫ﻟﻮ‬٥(٢
–‫ﻟﻮ‬٥٣
‫ﻟﻮ‬٥–‫ﻟﻮ‬١٠٠٠
)‫ﻟﻮ‬٥(٢
–٣‫ﻟﻮ‬٥
‫ﻟﻮ‬٥–٣
‫ﻟﻮ‬٥–٣
‫ﻟﻮ‬٥]‫ﻟﻮ‬٥–٣[

١١٠
*‫ﺣﻞ‬‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﯿﺔ‬:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻟﻜﻞ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬:
١(٢‫ﻟـــﻮ‬ ‫ــ‬ ‫س‬ ‫ﻟـــﻮ‬)٢‫س‬+٣= (٠
٢(‫ﻟ‬‫ـ‬‫ــﻮ‬٣
)‫س‬–١+ (‫ﻟـ‬‫ـﻮ‬٣
)‫س‬+١= (٣‫ﻟـ‬‫ـﻮ‬٣
٢
٣()‫ﻟــ‬‫س‬ ‫ـﻮ‬(٢
–‫ﻟ‬‫س‬ ‫ــﻮ‬٣
=٤
٤(‫ﻟﻮ‬)‫س‬+٢+ (‫ﻟﻮ‬)‫س‬–٢= (١–‫ﻟﻮ‬٢
٥(‫ﻟﻮ‬٣‫س‬+‫ﻟﻮ‬‫س‬٣=٢
‫اﻟﺤﻞ‬:
١(A٢‫ﻟـــ‬‫ﻟـــﻮ‬ ‫ــ‬ ‫س‬ ‫ﻮ‬)٢‫س‬+٣= (٠
B٢‫س‬ ‫ﻟــﻮ‬=‫ﻟــﻮ‬)٢‫س‬+٣(
B‫س‬ ‫ﻟــﻮ‬٢
=‫ﻟــﻮ‬)٢‫س‬+٣(
B‫س‬٢
=٢‫س‬+٣
B‫س‬٢
–٢‫س‬–٣=٠
B)‫س‬–٣) (‫س‬+١= (٠
B‫س‬=٣‫س‬ ،=-١‫ﻣﺮﻓﻮض‬
B‫م‬.‫ح‬=}٣{
٢(‫ﻟ‬‫ـ‬‫ــﻮ‬٣
)‫س‬–١+ (‫ﻟـ‬‫ـﻮ‬٣
)‫س‬+١= (٣‫ﻟـ‬‫ـﻮ‬٣
٢
B‫ﻟــﻮ‬٣)‫س‬–١)(‫س‬+١= (‫ﻟــﻮ‬٣٢٣
B‫ﻟــﻮ‬٣)‫س‬٢
‫ــ‬١= (‫ﻟــﻮ‬٣٨
B‫س‬٢
–١=٨B‫س‬٢
=٩
B‫س‬=٣‫س‬ ،=-٣‫ﻣﺮﻓﻮض‬
B‫م‬.‫ح‬=}٣{
٣(A)‫ﻟــ‬‫س‬ ‫ـﻮ‬(٢
–‫ﻟ‬‫س‬ ‫ــﻮ‬٣
=٤
B)‫ﻟـ‬‫س‬ ‫ـﻮ‬(٢
–٣‫ﻟـ‬‫س‬ ‫ـﻮ‬–٤=٠
B)‫ﻟ‬‫س‬ ‫ــﻮ‬–٤) (‫ﻟـ‬‫س‬ ‫ـﻮ‬+١= (٠
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬:
‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ‬
‫اﻷﺻﻠﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻋﻦ‬
‫ھﺬا‬ ‫ﻗﺒﻮل‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫ﻣﺎ‬ ‫ﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬
‫ﯾﻮﺟﺪ‬ ‫ﻻ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫رﻓﻀﮫ‬ ‫أم‬ ‫اﻟﻌﺪد‬
‫ﻟﻮﻏ‬‫ﺳﺎﻟﺐ‬ ‫ﻟﻌﺪد‬ ‫ﺎرﯾﺘﻢ‬
‫طﺮف‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻧﺠﻌﻞ‬ ‫أﻧﻨﺎ‬ ‫داﺋﻤﺎ‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ‬
‫ﺑﮫ‬"‫ﻟــﻮ‬"‫ﻣﻦ‬ ‫ﻟﻨﺘﻤﻜﻦ‬ ‫واﺣﺪ‬
‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﺘﺨﻠﺺ‬ ‫ھﻨﺎ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺤﻞ‬"‫ﻟــﻮ‬"
‫اﻷﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﺼﻮرة‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﺤﻮﯾﻞ‬
‫ﺗﺬﻛﺮ‬‫داﺋﻤﺎ‬‫وﺟﺪﻧﺎ‬ ‫إذا‬)‫ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ‬(٢
‫ﻧﺴﺘﺨ‬ ‫ﺳﻮف‬ ‫أﻧﻨﺎ‬ ‫اﻋﻠﻢ‬‫اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ‬ ‫ﺪم‬
‫اﻟﺴﺆال‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻟﻨﺘﻤﻜﻦ‬

١١١
B‫س‬ ‫ﻟــﻮ‬=٤‫س‬ ‫ﻣﻨﮭﺎ‬=١٠
٤
=١٠٠٠٠
،‫ﻟـ‬‫س‬ ‫ـﻮ‬=–١‫س‬ ‫ﻣﻨﮭﺎ‬=١٠
‫ــ‬١
=٠.١
B‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬=}١٠٠٠٠،٠.١{
٤(A‫ﻟﻮ‬)‫س‬+٢+ (‫ﻟﻮ‬)‫س‬–٢= (١–‫ﻟﻮ‬٢
B‫ﻟــﻮ‬)‫س‬+٢) (‫ــ‬ ‫س‬٢= (‫ﻟــﻮ‬١٠‫ﻟــﻮ‬ ‫ــ‬٢
B‫ﻟــﻮ‬)‫س‬٢
‫ــ‬٤= (‫ﻟــﻮ‬=‫ﻟــﻮ‬٥B‫س‬٢
‫ــ‬٤=٥B‫س‬٢
=٩
B‫س‬=٣‫س‬ ،=-٣‫ﻣﺮﻓﻮض‬B‫م‬.‫ح‬=}٣{
٥(A‫ﻟﻮ‬٣‫س‬+‫ﻟﻮ‬‫س‬٣=٢B‫ﻟﻮ‬٣‫س‬= +٢‫ﻟﻮ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﺑﺎﻟﻀﺮب‬٣‫س‬
B)‫ﻟﻮ‬٣‫س‬(٢
+١=٢‫ﻟﻮ‬٣‫س‬B)‫ﻟﻮ‬٣‫س‬(٢
‫ــ‬٢‫ﻟﻮس‬+١=٠
B)‫ﻟﻮ‬٣‫ــ‬ ‫س‬١) (‫ﻟﻮ‬٣‫س‬‫ــ‬١= (٠
B‫ﻟﻮ‬٣‫س‬=١B‫س‬=٣g‫اﻟﻤﺠﺎل‬
B‫م‬.‫ح‬=}٣{
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬‫ﻟﻮ‬٣
‫؟‬٣‫س‬"-١"+‫ﻟــﻮ‬٣
‫؟‬‫س‬"-"٢"=‫ﻟــﻮ‬٢
‫اﻟﺤﻞ‬:
B‫ﻟــــﻮ‬٣
‫؟‬)٣"‫س‬"-"١")("‫س‬"–"٢"= (‫ﻟﻮ‬٢
B)٣‫س‬–١) (‫س‬–٢= (٢‫ﺑﺎﻟﺘﻜﻌﯿﺐ‬
B)٣‫س‬–١) (‫س‬–٢= (٨B٣‫س‬٢
–٧‫س‬+٢=٨
B٣‫س‬٢
–٧‫س‬–٦=٠B)٣‫س‬+٢) (‫س‬–٣= (٠
B‫س‬=،‫س‬=٣
B‫م‬.‫ح‬=}،٣{
١٠
٢
١
‫ﻟـﻮ‬٣‫س‬
١
٣
١
٣
-٢
٣
-٢
٣

١١٢
*‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﺎت‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام‬ ‫اﻷﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﺣﻞ‬:
‫ﻣﺜﺎل‬:‫س‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬=‫ﻟـــﻮ‬٥÷‫ﻟـ‬‫ـﻮ‬٣‫اﻟﻤﻘﺪار‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻓﺎوﺟﺪ‬٩
‫س‬
–٣
‫س‬+١
+٢
‫اﻟﺤﻞ‬:
A‫س‬=‫ـــــــــــــ‬B‫ﻟــﻮ‬ ‫س‬٣=‫ﻟـــﻮ‬٥B‫ﻟــﻮ‬٣
‫س‬
=‫ﻟــﻮ‬٥B٣
‫س‬
=٥
B‫اﻟﻤﻘﺪار‬=٩
‫س‬
–٣
‫س‬+١
+٢) =٣٢
(
‫س‬
–٣
‫س‬
×٣+٢
) =٣
‫س‬
(٢
–٣
‫س‬
×٣+٢) =٥(٢
–٥×٣+٢=٢٥–١٥+٢=١٢
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬:‫س‬ ‫ﻟﻮ‬=–٠.٠٠٧٥
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻵﻟﺔ‬ ‫ﺧﻄﻮات‬:0 . 0 0 7 5 =–)shift log ( 10
x
‫أن‬ ‫ﻧﺠﺪ‬:‫س‬=٩۲٨٩.٠
‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫اوﺟﺪ‬) :٨(
‫س‬+١
) =٩(
‫س‬–۲
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫ا‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ‬‫أن‬ ‫ﻧﺠﺪ‬ ‫ﻟﻠﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ‬
‫ﻟـــــــــــﻮ‬)٨(
‫س‬+١
=‫ﻟــــــــــــﻮ‬)٩(
‫س‬–۲
)‫س‬+١(‫ﻟــــــــــــﻮ‬٨) =‫س‬–۲(‫ﻟـــــــــﻮ‬٩
‫ﻟــــــــــﻮ‬ ‫س‬٨+‫ﻟـــــــﻮ‬٨=‫ﻟــــ‬ ‫س‬‫ــﻮ‬٩–۲‫ﻟـ‬‫ـ‬‫ــﻮ‬٩
‫ﻟــــ‬ ‫س‬‫ـــﻮ‬٨–‫ﻟــــــﻮ‬ ‫س‬٩=–‫ﻟــــ‬‫ـــﻮ‬٨–۲‫ﻟــ‬‫ــﻮ‬٩
‫س‬)‫ﻟـــ‬‫ـﻮ‬٨–‫ﻟـــﻮ‬٩= (–‫ﻟ‬‫ــــﻮ‬٨–۲‫ﻟــ‬‫ـﻮ‬٩
‫س‬=‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻛﺎﻵﺗﻲ‬ ‫اﻟﯿﻤﯿﻦ‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫اﻟﯿﺴﺎر‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ‬ ‫اﻵﻟﺔ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام‬:
( - 2 log 9 – log 8 )÷( - log 8 – log 9 ) =
B‫س‬=٥٤.٩٦٤٥
‫ﻟــ‬‫ـﻮ‬٥
‫ﻟـ‬‫ــﻮ‬٣
–‫ﻟــــــــــﻮ‬٨–۲‫ﻟـــــــــﻮ‬٩
‫ﻟــــــــــﻮ‬٨–‫ﻟــــــــــﻮ‬٩
‫ﻧﺄﺧﺬ‬ ‫أﻧﻨﺎ‬ ‫داﺋﻤﺎ‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ‬"‫ﻟــﻮ‬"
‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬
‫ﻓﯿﮭﺎ‬ ‫ﻧﺠﻌﻞ‬ ‫أن‬ ‫ﯾﺼﻌﺐ‬
‫اﻷﺳﺎس‬=‫اﻷﺳﺎس‬
‫اﻻﺳﯿﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫و‬

١١٣
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬:۲×٥
‫ص‬
=٥×۲
‫ص‬+۲
‫ﻋﺸﺮى‬ ‫رﻗﻢ‬ ‫ﻷﻗﺮب‬ ‫ص‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻓﺎوﺟﺪ‬
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫أن‬ ‫ﻧﺠﺪ‬ ‫ﻟﻠﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ‬:
‫ﻟــــــــــﻮ‬)۲×٥
‫ص‬
= (‫ﻟـــــــــﻮ‬)٥×۲
‫ص‬+۲
(
‫ﻟـــــــــﻮ‬۲+‫ﻟــــــــــﻮ‬٥
‫ص‬
=‫ﻟـــــــــــﻮ‬٥+‫ﻟـــــــــﻮ‬۲
‫ص‬+۲
‫ﻟــــــــﻮ‬۲+‫ﻟـــــــــﻮ‬ ‫ص‬٥=‫ﻟـــــــــﻮ‬٥) +‫ص‬+۲(‫ﻟــــــــﻮ‬۲
‫ﻟــــــــﻮ‬۲+‫ﻟــــــــﻮ‬ ‫ص‬٥=‫ﻟــــــــﻮ‬٥+‫ﻟــــــــﻮ‬ ‫ص‬۲+۲‫ﻟــــــــﻮ‬۲
‫ﻟــــــــﻮ‬ ‫ص‬٥–‫ﻟــــــــﻮ‬ ‫ص‬۲=‫ﻟــــــــﻮ‬٥+۲‫ﻟــــــــﻮ‬۲–‫ﻟــــــــﻮ‬۲
‫ص‬)‫ﻟـــــــ‬‫ـﻮ‬٥–‫ﻟــــــــﻮ‬۲= (‫ﻟــــــــﻮ‬٥+‫ﻟــــــــﻮ‬۲
‫ص‬=‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
( log 5 + log 2 )÷(log 5 – log 2 ) =
‫ص‬=٥.۲
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫ﺣﯿﺚ‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬٥٢‫س‬+١
=٧×٣‫س‬+٢
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ‬ّ
A‫ﻟــﻮ‬٥٢‫س‬+١
=‫ﻟــــﻮ‬٧×٣‫س‬+٢
B‫ﻟـــ‬‫ﻮ‬٥٢‫س‬+١
=‫ﻟــﻮ‬٧+‫ﻟــﻮ‬٣‫س‬+٢
B)٢‫س‬+١(‫ﻟﻮ‬٥=‫ﻟﻮ‬٧) +‫س‬+٢(‫ﻟﻮ‬٣B٢‫ﻟﻮ‬ ‫س‬٥+‫ﻟﻮ‬٥=‫ﻟﻮ‬٧+‫ﻟﻮ‬ ‫س‬٣+٢‫ﻟﻮ‬٣
٢‫ﻟﻮ‬ ‫س‬٥–‫ﻟﻮ‬ ‫س‬٣=‫ﻟﻮ‬٧+٢‫ﻟﻮ‬٣–‫ﻟﻮ‬٥B‫س‬)٢‫ﻟﻮ‬٥–‫ﻟﻮ‬٣= (‫ﻟﻮ‬٧+٢‫ﻟﻮ‬٣–‫ﻟﻮ‬٥
‫س‬=‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬=١.١٩
‫ــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫ﻣﺜﺎل‬:‫أن‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬:٨٢‫س‬+١
×٩‫س‬+٢
=٢٧
‫اﻟﺤﻞ‬:
‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﻟﻮﻏﺎرﯾﺘﻢ‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ‬
B‫ﻟــﻮ‬٨٢‫س‬+١
×٩‫س‬+٢
=‫ﻟـــﻮ‬٢٧B‫ﻟـــﻮ‬٨٢‫س‬+١
+‫ﻟـﻮ‬٩‫س‬+٢
=‫ﻟﻮ‬٢٧
‫ﻟــــــــﻮ‬٥+‫ﻟــــــــﻮ‬۲
‫ﻟــــــــﻮ‬٥‫ﻟــــــــﻮ‬ ‫ــ‬۲
‫ﻟﻮ‬٧+٢‫ﻟﻮ‬٣–‫ﻟﻮ‬٥
٢‫ﻟﻮ‬٥–‫ﻟﻮ‬٣

١١٤
B)٢‫س‬+١(‫ﻟﻮ‬٨)+‫س‬+٢(‫ﻟﻮ‬٩=‫ﻟﻮ‬٢٧B٢‫ﻟﻮ‬ ‫س‬٨+‫ﻟﻮ‬٨+‫ﻟﻮ‬ ‫س‬٩+٢‫ﻟﻮ‬٩=‫ﻟﻮ‬٢٧
B٢‫ﻟﻮ‬ ‫س‬٨+‫ﻟﻮ‬ ‫س‬٩=‫ﻟﻮ‬٢٧–٢‫ﻟﻮ‬٩–‫ﻟﻮ‬٨
B‫س‬)٢‫ﻟﻮ‬٨+‫ﻟﻮ‬٩= (‫ﻟﻮ‬٢٧–٢‫ﻟﻮ‬٩–‫ﻟﻮ‬٨
B‫س‬=‫ــــــــــــــــــــــــــ‬‫ـــــــــــــ‬=-٠.٥
‫ﻣﺜﺎل‬:‫أن‬ ‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬:٢٢‫س‬
–٨×٢‫س‬
+١٥=٠
‫اﻟﺤﻞ‬:
)٢‫س‬
–٣) (٢‫س‬
–٥= (٠
٢‫س‬
=٣٢‫س‬
=٥
‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﻟﻮ‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ‬ ‫اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ﻟﻮ‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ‬
‫ﻟــــﻮ‬٢‫س‬
=‫ﻟﻮ‬٣‫ﻟﻮ‬٢‫س‬
=‫ﻟﻮ‬٥
‫ﻟﻮ‬ ‫س‬٢=‫ﻟﻮ‬٣‫ﻟﻮ‬ ‫س‬٢=‫ﻟﻮ‬٥
‫س‬=‫س‬ ‫ـــــــــــ‬=‫ــــــــــــ‬
=١.٦=٢.٣
‫ﻟﻮ‬٢٧–٢‫ﻟﻮ‬٩–‫ﻟﻮ‬٨
٢‫ﻟﻮ‬٨+‫ﻟﻮ‬٩
‫ﻟــﻮ‬٣
‫ﻟــﻮ‬٢
‫ﻟــﻮ‬٥
‫ﻟــﻮ‬٢
‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﺎت‬ ‫ﺧﻮاص‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻤﺎرﯾﻦ‬

١١٥
)٩(‫ص‬ ‫س‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬=٤‫؟‬٢‫اﻟﻤﻘﺪار‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬٥‫ﻟــﻮ‬٢‫س‬+٤‫ﻟــﻮ‬٢‫ص‬–‫ﻟــﻮ‬٢‫س‬٣
‫ص‬٢

١١٦
‫اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺘﻤﺎت‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ‬ ‫ﺗﻤﺎرﯾﻦ‬:
]١[‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻗﯿﻤــﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬:‫ــ‬
١(‫ﻟﻮ‬٥٤٠–‫ﻟﻮ‬٥١٦+‫ﻟﻮ‬٥١٠
٢(‫ﻟﻮ‬٤۲+‫ﻟﻮ‬٤٥٦–‫ﻟﻮ‬٤٤۲+‫ﻟﻮ‬٤۲٤
٣(٣‫ﻟـﻮ‬-٢‫ﻟـﻮ‬-٤‫ﻟـﻮ‬-‫ﻟـﻮ‬٧٣
٤(‫ﻟــــﻮ‬٢‫ﻟـ‬‫ــــﻮ‬٤‫ﻟــــــﻮ‬٥٢٥
]٢[‫أن‬ ‫إﺛﺒــﺖ‬:‫ــ‬
١(‫ﻟـﻮ‬٢-‫ﻟـﻮ‬٢+‫ﻟـﻮ‬=‫ﻟـﻮ‬٣٢٧
٢(‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬٠.٧٥+‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬١۲–۲‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬٠.٣=‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬٦٣٦
٣= (٢
٤(‫س‬=‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬٧‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮس‬+٤‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮص‬–‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬‫س‬٥
‫ص‬٢
=٢)‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬٢+‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬٣(
٥(‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬‫س‬۲
=‫ﻟﻮ‬‫ص‬‫س‬‫أن‬ ‫إﺛﺒﺖ‬ ‫ﺛﻢ‬:‫ﻟﻮ‬‫ص‬‫س‬
٣
+‫ﻟﻮ‬‫ص‬۲‫س‬
٦
=٦‫ﻟﻮ‬‫ص‬‫س‬
‫ص‬
٢
]٣[‫ﯾﻠﻰ‬ ‫ﻓﯿﻤﺎ‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻤــﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬:
١(‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮس‬+‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬٤.٩=‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬٣٥–‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬١۲٥+‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬١٧٥
٢(‫ﻟـﻮ‬٢‫س‬=‫ﻟـﻮ‬+‫ﻟـﻮ‬١٢-٢‫ﻟـﻮ‬٠.٣
٣(‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬)‫س‬–١+ (‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬)‫س‬+١= (‫ﻟﻮ‬٨
٤(‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬)‫س‬۲
+٩‫س‬= (١
١
٢
٥
٣
٥
٧
١
٣
٧
١٢
٤٠
١٣
٩١
٦٠
١+‫ﻟﻮ‬۲–‫ﻟﻮ‬٤٥
١–‫ﻟﻮ‬١٥
٦
‫ص‬
٣
٤

١١٧
]٤[‫اﻟﻤ‬ ‫ﺣﻞ‬ ‫ﻣﺠﻤـﻮﻋﺔ‬ ‫أوﺟـﺪ‬‫ﻌ‬‫اﻵﺗﯿﺔ‬ ‫ﺎدﻻت‬:
١(‫ﻟـــﻮ‬٢‫س‬+‫ﻟـــــﻮ‬٢)‫س‬-٢= (٣٢()‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬۲‫س‬(۲
+۲‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬۲‫س‬=٨
٣()‫س‬ ‫ﻟــــﻮ‬(٣
=‫س‬ ‫ﻟـــــﻮ‬٤
٤(‫ﻟﻮ‬۲‫س‬+‫ــــــــــــــ‬=٤
٥(‫ﻟ‬‫ـ‬‫ﻮ‬٣|‫س‬+١|=٢٦(٢×٦٤=٣٢
٧(٥٢‫س‬–٣
=٣‫س‬+٤
٨(٢٢‫س‬
–٨×٢‫س‬
+١٥=٠
٩(‫س‬=‫ﻟﻮ‬٣)‫ظﺎ‬(١٠(‫ﻟـﻮ‬٣‫ﻟـﻮ‬٢)‫س‬٢
–١٧= (١
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]٥[‫ﯾﺄﺗﻰ‬ ‫ﻣﻤﺎ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻓﻰ‬ ‫ﻋﺸﺮﯾﯿﻦ‬ ‫رﻗﻤﯿﻦ‬ ‫ﻷﻗﺮب‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫أوﺟﺪ‬:
١(‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬٥‫س‬
=١٧٢(‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)١٨(٣‫س‬–٥
=٧.١٢
٣(‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬٨‫س‬+١
=٩‫س‬–٢
٤(٥
‫س‬–١
) =٦
‫س‬
÷٣٦(
]٦[‫ﻟﺮﻗﻢ‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺞ‬ ‫ﻣﻘﺮﺑﺎ‬ ‫س‬ ‫ﻗﯿﻢ‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫اﻟﺠﯿﺐ‬ ‫ﺣﺎﺳﺒﺔ‬ ‫ﺑﺈﺳﺘﺨﺪام‬‫ﻋﺸﺮى‬:
١(۲
۲‫س‬
–١٠×۲
‫س‬
+۲٤=٠
٢(٣×٥
۲‫س‬+١
=۲٥×٩
‫س‬+١
٣(‫س‬=٢‫ﻟــــﻮ‬٧–٣‫ﻟـــــﻮ‬٢
٤(‫د‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬)‫س‬= (٣
‫س‬
،‫د‬)‫س‬+ (‫د‬)‫س‬–٢= (٢٠٠
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
]٧[‫اﻟﻜﺮة‬ ‫ﺣﺠﻢ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬=$‫؛‬٣‫ط‬‫ﻧﻖ‬
٣
‫ﺣﺠﻤﮭﺎ‬ ‫اﻟﺘﻰ‬ ‫اﻟﻜﺮة‬ ‫ﻗﻄﺮ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫طﻮل‬ ‫أوﺟﺪ‬=٩٠٤.٣۲‫ﺳﻢ‬٣
‫ط‬ ‫ﻣﺘﺨﺬا‬=٣.١٤‫ﺳﻢ‬ ‫ﻟﻘﺮب‬
]٨[‫ــــــــــــ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫إذا‬=‫ــــــــــــــ‬=‫ــــــــ‬‫ص‬ ، ‫س‬ ‫ﻗﯿﻤﺘﻰ‬ ‫أوﺟﺪ‬ ‫ــــــ‬
٣
‫ﻟﻮ‬۲‫س‬
)‫ﻟــﻮس‬(٢
)‫ﻟــﻮس‬(
‫ط‬
٣
‫س‬ ‫ﻟـــﻮ‬
‫ﻟـــﻮ‬٥
‫ﻟـــﻮ‬٩
‫ﻟــ‬‫ـﻮ‬٣
‫ﻟـــﻮ‬٤٩
‫ﻟــــﻮص‬

١١٨

١١٩

١٢٠

جبر للصف الثاني الثانوي الترم الأول علمي 2017 - موقع ملزمتي

More Related Content

Viewers also liked

Similar to جبر للصف الثاني الثانوي الترم الأول علمي 2017 - موقع ملزمتي

More from ملزمتي

Recently uploaded

جبر للصف الثاني الثانوي الترم الأول علمي 2017 - موقع ملزمتي