Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

O αριθμος φ

3,007 views

Published on

  • Login to see the comments

O αριθμος φ

  1. 1. Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Φ. Τάξη Α’ Σχολικό Έτος 2012-2013 ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ PROJECT 2012-2013 Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Φ O ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΚΑΙ Η ΑΡΜΟΝΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ. ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ.
  2. 2. ΣΕΛΙΔΑ 1
  3. 3. ΜΕΡΟΣ Α Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΚΑΙ Η ΑΡΜΟΝΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ. Εισαγωγή. 1 Η Χρυσή αναλογία και ο αριθμός Φ. 1.1 Τομή ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. 1.2 O αριθμός Φ και οι ιδιότητές του. 2 Η Θεία αναλογία στους αριθμούς. 2.1. Leonardo Pisano Bigollo (Fibonacci) 2.2. Ο Fibonacci και το πρόβλημα των κουνελιών. 2.3. H ακολουθία Fibonacci . 2.4 Ιδιότητες της ακολουθίας Fibonacci . 3 Ο Χρυσός Κανόνας στα γεωμετρικά σχήματα. 3.1 Χρυσά Ορθογώνια. 3.2 Χρυσά Τρίγωνα. 3.3 Κανονικό πεντάγωνο. 3.4 Κανονικό δεκάγωνο. 3.5 Χρυσά πολύεδρα. 3.5.1 Κανονικό δωδεκάεδρο. 3.5.2 Κανονικό εικοσάεδρο. 3.6 Λογαριθμικές σπείρες. 3.6.1 Χρυσή Σπείρα από χρυσά ορθογώνια. 3.6.2 Χρυσή Σπείρα από χρυσά τρίγωνα. 4 Ο αριθμός Φ στα φυτά. 4.1 Η ακολουθία Fibonacci και τα πέταλα των λουλουδιών. 4.2 Φυλλοταξία. 4.3 Χρυσές σπείρες στο μίσχο των λουλουδιών. 4.4 Ο αριθμός Φ στα φρούτα. 4.5 Ο αριθμός Φ στα λαχανικά. ΣΕΛΙΔΑ 2
  4. 4. 5 Ο αριθμός Φ στο ζωικό βασίλειο. 5.1 Χρυσές σπείρες στα οστρακοειδή. 5.2 Ο αριθμός Φ στα έντομα. 5.2.1 Ο αριθμός Φ στο γενεαλογικό δέντρο των μελισσών. 5.3 Ο αριθμός Φ στα πτηνά. 5.4 Ο αριθμός Φ στα θηλαστικά . 5.5 Ο αριθμός Φ στους υπόλοιπους κατοίκους της θάλασσας. 6 Ο αριθμός Φ στο ανθρώπινο σώμα. 6.1 Χρυσές αναλογίες στο χέρι. 6.2 Χρυσοί λόγοι στον κορμό. 6.3 Θείες αναλογίες στο ανθρώπινο πρόσωπο. 6.4 Ο αριθμός Φ στα δόντια. 6.5 Μήκη του ιδανικού ανθρώπινου σώματος. 6.6 Ο αριθμός Φ στους καρδιακούς παλμούς του ανθρώπου. 6.7 Ο αριθμός Φ στο ανθρώπινο DNA. Τέλος Α Μέρους. ΣΕΛΙΔΑ 3
  5. 5. ΜΕΡΟΣ Β ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ. Εισαγωγή. 1 Ο αριθμός Φ στην αρχιτεκτονική. 1.1 Ο Φ στην αρχιτεκτονική των αρχαίων χρόνων. 1.1.1 Ο αριθμός Φ στην πρόσοψη του Παρθενώνα . 1.1.2 Ο αριθμός Φ στα Αρχαία θέατρα. 1.1.2.Α Το Θέατρο της Επιδαύρου. 1.1.2 Β Το Αρχαίο Θέατρο της Δωδώνης. 1.1.3 Χρυσή Τομή στην Μεγάλη πυραμίδα του Χέοπα. 1.2. Ο αριθμός Φ στα Μεσαιωνικά κτίρια. 1.2.1 Χρυσές αναλογίες στους μεσαιωνικούς καθεδρικούς ναούς. 1.2.2 Ο αριθμός Φ στο Taj Mahal. 1.2.3 Το «Χρυσό» κάστρο του Windsor. 1.2.4 Το Σινικό Τοίχος. 1.3. Ο αριθμός Φ στην σύγχρονη αρχιτεκτονική. 1.3.1 Farnsnorth House του Μies van de Roche. 1.3.2 O Charles-Édouard Jeanneret (Le Corbusier). 1.3.2.Α Η Villa Stein 1.3.2.Β Τo Unite d' Habitation de Marseill. 1.3.3 Χρυσές αναλογίες στο έργο του Josep Luis Sert. 1.4 Ο αριθμός Φ στην μεταμοντέρνα αρχιτεκτονική. 1.4.1 Το «χρυσό» έργο του Μario Botta. 1.4.2 Ο αριθμός Φ κτήριο του ΟΗΕ στην Νέα Υόρκη - UN BUILDING. 1.4.3 Ο αριθμός Φ στον πύργο τηλεπικοινωνιών του Τορόντο (CN Tower). ΣΕΛΙΔΑ 4
  6. 6. 2 Ο αριθμός Φ στη ζωγραφική. 2.1 Χρυσές αναλογίες στα έργα του Leonardo Da Vinci. 2.1.1 Η «Μόνα Λίζα» . 2.1.2 Το «κεφάλι ενός γέρου» . 2.1.3. O «Άγιος Ιερώνυμος» (Saint Jerome) . 2.1.4 O «Βιτρούβιος άντρας» . 2.1.5. Η «Μαντόνα των βράχων» . 2.1.6 Η «Λύδα και ο κύκνος». 2.2 O ι τρεις Μadonnes. 2.3 Η πεντάλφα του Henry Cornelius Agrippa. 2.4 H Αγία Οικογένεια του Michelangelo. 2.5 H «Σταύρωση» του Raphael. 2.6 «Το Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» του Dali. 2.7 “Bathers at Asnières” (Οι Λουόμενοι ) του George-Pierre Seurat. 2.8 «The Golden Stairs» του Edward Burne Jones. 2.9 «Composition in red yellow and blue-piet» του Mondrian. 2.10 Η Αυτοπροσωπογραφία του Rembrandt. 2.11 «Το πορτρέτο του Luca Pacioli» από τον Jacopo de Darbari. 2.12 Η παρέλαση του Seurat. 2.13 Norham Castle at Sunrise. 3 Ο αριθμός Φ στην γλυπτική. 3.1. Η Αφροδίτη της Μήλου. 3.2 Ο Δορυφόρος του Πολύκλειτου. 3.3 Ο Δαυίδ του Μιχαήλ-Άγγελου. 3.4 Ο Αρλεκίνος των Huan Gris και Zak Lipsits. ΣΕΛΙΔΑ 5
  7. 7. 4 Ο αριθμός Φ στη μουσική. 4.1 Η χρυσή τομή στην κλασική μουσική και στα έργα του Μοτσαρντ. 4.2 Η χρυσή αναλογία στην Μέταλ μουσική. Χρυσή τομή και Lateralus. 4.3. Οι μουσικές συχνότητες και η ακολουθία Fibonacci. 4.4 Μουσικά όργανα που βασίζονται στην χρυσή τομή. 4.4.1. Το βιολί 4.4.2. Το πιάνο. 5 Ο αριθμός Φ στον κινηματογράφο. 5.1 Ο αριθμός Φ στην ταινία «Ο Κώδικας ντα Βίντσι». 5.2 Ο αριθμός Φ στις ταινίες «James Bond». 6 Ο αριθμός Φ στα αυτοκίνητα. 7 Ο αριθμός Φ στον αμυντικό εξοπλισμό. 8 Ο αριθμός Φ στη μόδα. 8.1 Χρυσοί λόγοι στον κόσμο της υψηλής μόδας. 8.2 Ο κώδικας της Μόδας. 9 Ο αριθμός Φ στο χρηματιστήριο. 9.1 Μια Χρυσή περιήγηση στη ΓΟΥΟΛ ΣΤΡΙΤ. 9.2 Κυματική Θεωρία του Elliott (Elliott Wave Theory / EWT). 9.2.1 Ο Σχηματισμός Πέντε Κυμάτων. 9.2.2 Κύκλοι κυμάτων. 9.3 Η Ανάλυση Fibonacci στη μαθηματική θεμελίωση της Κυματικής Θεωρίας του Elliott. 10 Ο αριθμός Φ στις αποστάσεις των μνημείων στην αρχαία Ελλάδα. 11 Ο αριθμός Φ στην Ελληνική Γλώσσα. 12 Ο αριθμός Φ στη φωτογραφία. 13 Ο αριθμός Φ στην οδοντιατρική. 14 Ο αριθμός Φ στα λογότυπα. Τέλος Β Μέρους. ΣΕΛΙΔΑ 6
  8. 8. ΜΕΡΟΣ Α ΣΕΛΙΔΑ 7
  9. 9. EΙΣΑΓΩΓΗ Έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί στο ξεφύλλισμα <<Μ’ΑΓΑΠΑ- ΔΕΝ Μ’ΑΓΑΠΑ>> μία κίτρινης μαργαρίτας το ότι ΣΕ ΑΓΑΠΑ έχει σχεδόν εξασφαλιστεί ή τουλάχιστον παίζει με μεγάλες πιθανότητες; Αυτό συμβαίνει γιατί οι κίτρινες μαργαρίτες έχουν 21 φύλλα. Το να έχει ένα άνθος 21 φύλλα δεν είναι ασυνήθιστο. Δεν είναι τυχαία τα όμορφα σχέδια των λουλουδιών. Υποστηρίζεται σήμερα, ότι ο Πυθαγόρας παρατήρησε ότι τα φυτά και τα ζώα δεν μεγαλώνουν τυχαία, αλλά σύμφωνα με ακριβείς μαθηματικούς κανόνες. Οι αρχαίοι Έλληνες βρήκαν ότι τα σχέδια των λουλουδιών βασίζονται σε γεωμετρική αναλογία. Αυτή η χρυσή αναλογία θεωρείται θεϊκή και η εφαρμογή της οδηγεί σε κατασκευές με «άριστα», «αρμονικά» και «ωραία» αποτελέσματα. ΣΕΛΙΔΑ 8
  10. 10. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΕΛΙΔΑ 9
  11. 11. 1.1 Τομή ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. Οι Αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες από νωρίς σκέφτηκαν ότι για να συγκρίνουν ικανοποιητικά δύο μεγέθη χρειάζεται κάποιο τρίτο. Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διαίρεσε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε μέσο και άκρο λόγο. Δηλαδή , χώρισε μια γραμμή σε δύο άνισα τμήματα, έτσι ώστε ο αριθμός που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος του μεγάλου τμήματος με το μήκος του μικρού να ισούται με τον αριθμό που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος ολόκληρης της γραμμής με το μήκος του μεγάλου.     1, 618033988749......   Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=α είναι μεγαλύτερο από το ΒΓ=β τόσες φορές όσες όλο το ΑΓ=α+β από το ΒΓ, δηλαδή,             2   2     2   2  0     Η λύση της παραπάνω εξίσωσης ως προς α μας δίνει ότι  1 5  2 Συνεπώς,   1  5    1, 618033988749... όπου 1,618033988749... είναι και ο αριθμός Φ.   2 Την αναλογία αυτή ο Ευκλείδης την ονομάζει «Τομή σε μέσο και άκρο λόγο», συγκεκριμένα στο σύγκραμα του «ΣΤΟΙΧΕΙΑ» το θέτει ως εξής: «Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα σε δύο μέρη τέτοια, ώστε το ορθογώνιο που έχει βάση το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα και ύψος το μικρότερο από τα δύο τμήματα, να είναι ισοδύναμο προς το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο τμήμα» Μεταγενέστερα , η «Τομή σε μέσο και άκρο λόγο» ονομάστηκε «Θεία Αναλογία» (divina proportiore) κατά την περίοδο της Αναγέννησης και «Χρυσή Τομή» περίπου στο 1835 από τον Γερμανό μαθηματικό Martin Ohmn , αδερφό του γνωστού φυσικού . ΣΕΛΙΔΑ 10
  12. 12. ΣΕΛΙΔΑ 11
  13. 13. 1.2 O αριθμός Φ και οι ιδιότητές του. Η διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο θεωρούνταν η πιο τέλεια αισθητικά, από την αρχαιότητα. Κατά την «Τομή σε μέσο και άκρο λόγο» προκύπτει ο αριθμός 1,618033988749 . . . . Τι το ιδιαίτερο έχει, λοιπόν, αυτός ο αριθμός; Σε τι διαφέρει από τους άλλους; Όπως ο π (3,141592...) εκφράζει το πιο τέλειο γεωμετρικό σχήμα, τη σφαίρα, έτσι και ο 1,618033988749 . . . . είναι ο αριθμός της ομορφιάς. Ο μοναχός του 15ου αιώνα Luca Pacioli, επηρεασμένος από την αντίληψη της εποχής ότι οι νέες γνώσεις της επιστήμης έπρεπε να ενταχθούν στο εκκλησιαστικό δόγμα, τον ονόμασε «Η θεία αναλογία». Η ονομασία του «χρυσός αριθμός» αποδίδεται στον Leonardo da Vinci και αιώνες μετά, στις αρχές του 20ου αιώνα, ο Αμερικανός μαθηματικός Mark Barr τον προσδιόρισε με το ελληνικό γράμμα Φ, προς τιμήν του γλύπτη Φειδία, ο οποίος με βάση αυτόν τον αριθμό δημιουργούσε τα έργα του. Ο Χρυσούς Αριθμός Φ είναι μέγεθος ή αριθμός εν δυνάμει και κατά τον Πλάτωνα βρίσκεται στον υπερουράνιο τόπο. Οι Αρχαίοι χρησιμοποιούσαν κατά τις μετρήσεις τον αριθμό αυτό. Στους θεωρητικούς αριθμούς χρησιμοποιούσαν την τιμή Φ=1,62, την οποίαν θεωρούσαν «Ουράνια Τιμή» ή «αριθμό εν τοις νοητοίς» και προέρχεται από το λόγο 81:50=1,62. Η «θεία αναλογία» είναι μία από τις μεγαλύτερες ανακαλύψεις της Γεωμετρίας. Φαίνεται ότι ήδη ίσχυε και ο Πυθαγόρας διατύπωσε κάτι το κοινά χρησιμοποιούμενο και αποδεκτό. Τα οφέλη από αυτή την διατύπωση του Πυθαγόρα είναι πάρα πολλά. Θεμελιώθηκε η χρυσή αναλογία σαν αριθμός ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε κατασκευές στα μεταγενέστερα χρόνια γιατί οι αρχαίοι Έλληνες ήδη γνώριζαν, αναπτύχθηκε η θεωρία περί αναλογιών τμημάτων και πλευρών που οδήγησε στην διατύπωση πληθώρας θεωρημάτων και το κυριότερο ότι διατυπώθηκε η θεωρία των ιδεών. Η κυριότερη διαπίστωση είναι ότι το αποτέλεσμα είναι άρρητος αριθμός αφού περιέχει τον  1 5  αριθμό 5     .  2    Άρρητος είναι ένας αριθμός που δεν μπορούμε να εκφράσουμε ως κλάσμα δύο ακέραιων. Αυτό δείχνει ότι δεν είναι δυνατόν ένα μικρότερο ευθύγραμμο τμήμα να χωράει σε ένα μεγαλύτερό του ακριβώς. Συνεπώς υπάρχουν και κάποιοι αριθμοί που η λειτουργία τους είναι έξω από το ανθρώπινα αντιληπτό και πεδίο ορισμού τους είναι το ιδεατό. Έτσι ανακαλύφθηκε και η έννοια της ιδέας, την οποία ερεύνησε ο Πλάτων και διατύπωσε την θεωρία των ιδεών. Είναι φανερό ότι ήξεραν τα πάντα για την χρήση του αριθμού φ γιατί και το πεντάγραμμα που ήταν το σύμβολο της σχολής των πυθαγορείων υπόκειται σε αυτή την αναλογία. ΣΕΛΙΔΑ 12
  14. 14. Σε μαθηματικούς όρους, χρυσός αριθμός είναι εκείνος που αν του προσθέσουμε το 1 θα μας δώσει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο θα έχουμε και αν τον υψώσουμε στο τετράγωνο. Δηλαδή, αν ο χρυσός αριθμός ήταν το 5, θα έπρεπε να είχαμε το ίδιο αποτέλεσμα είτε κάναμε τον πολλαπλασιασμό 5 επί 5 είτε κάναμε την πρόσθεση 5 συν 1, που δεν ισχύει. Στην πραγματικότητα υπάρχουν δύο χρυσοί αριθμοί, ένας θετικός (1,618033...) και ένας αρνητικός (-1,618033...), αλλά ο πρώτος, δηλαδή ο Φ έχει κλέψει όλη τη δόξα. Όντως, για τον Φ ισχύει ότι αντίστροφός του και το τετράγωνό του έχουν το ίδιο δεκαδικό μέρος 1  0, 618033988749...   1, 618033988749... 2  2, 618033988749...  άρα ισχύει ότι 1  1   και 2  1    Από τη πρώτη σχέση προκύπτει ότι   1  1  σύμφωνα με την οποίο μπορούμε να εκφράσουμε το ως άπειρο διαδοχικό κλάσμα   1 1 1  1  ...  1  1  1  1 1  1 1  ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  ΣΕΛΙΔΑ 13
  15. 15. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΕΛΙΔΑ 14
  16. 16. 2.1 Leonardo Pisano Bigollo (Fibonacci) Ο Ιταλός Leonardo Pisano Bigollo αναγνωρίζεται σήμερα ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός του μεσαίωνα γνωστός στην ιστορία των μαθηματικών με πολλά ονόματα όπως Leonardo of Pisa (Pisano σημαίνει "από την Pisa") και Fibonacci (το οποίο σημαίνει "γιός του Bonacci"). Ο Fibonacci γεννήθηκε στην δεκαετία του 1.170 . Ηταν ο γιος ενός ιταλού τελωνιακού υπάλληλου από την πόλη της Πίζας και μεγάλωσε σε μια αποικία στη Βόρεια Αφρική, την πόλη Bugia, κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα. Leonardo Pisano Bigollo (1170 -1250) Εκείνη την περίοδο οι Ιταλοί ήταν από τους ικανότερους εμπόρους του δυτικού κόσμου και χρειάζονταν την αριθμητική για την παρακολούθηση των εμπορικών συναλλαγών τους. Όμως , οι μαθηματικοί υπολογισμοί που απαιτούνταν γίνονταν με το ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης (I, II, III, IV, V, VI, κλπ.), σύστημα που είναι δύσκολο στην πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμός και την διαίρεση . Ο Fibonacci επηρεάστηκε σημαντικά από τους Μαυριτανούς αλλά και από τα ταξίδια που έκανε αργότερα σε όλο το μήκος της Μεσογειακής ακτής. Έτσι γνώρισε πολλούς εμπόρους και έμαθε τα αριθμητικά συστήματα τα οποία χρησιμοποιούσαν για τις συναλλαγές και τους λογαριασμούς τους και σύντομα διαπίστωσε τα πλεονεκτήματα του Ινδό-αραβικού αριθμητικού συστήματος, το οποίο είναι το αριθμητικό δεκαδικό σύστημα που χρησιμοποιούμε σήμερα . Το 1202 έκδωσε το διάσημο βιβλίο του « Liber Abaci » (που σημαίνει "το βιβλίο του άβακα" αν και δεν είχε καμιά σχέση με τον άβακα). Με το « Liber Abaci » έδειξε την ανωτερότητα του Ινδό-αραβικού αριθμητικού συστήματος από το ρωμαϊκό και έγινε από τους πρώτους που το εισήγαγαν στην Ευρώπη . Στον μαθηματικό κλάδο έμεινε γνωστός για την συμβολή του στον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό και για τους αριθμούς του, οι οποίοι ήταν το αποτέλεσμα ενός μαθηματικού προβλήματος για εκτροφή κουνελιών που έθεσε στο « Liber Abaci ». Μια ακολουθία αριθμών για τους οποίους η φύση παρουσιάζει ιδιαίτερη προτίμηση , γεγονός που ακόμα και σήμερα δεν είναι πλήρως κατανοητό. ΣΕΛΙΔΑ 15
  17. 17. Πέθανε το 1240 .Άγαλμά του υπάρχει στο νεκροταφείο, δίπλα στον καθεδρικό ναό της Pisa, κοντά στον περίφημο πύργο. Το όνομά του έχει δοθεί σε δύο δρόμους, στην Pisa και στην Φλωρεντία. Μια σελίδα του « Liber Abaci ». ΣΕΛΙΔΑ 16
  18. 18. 2.2 Ο Fibonacci και το πρόβλημα των κουνελιών. Το πρόβλημα που μελέτησε ο Fibonacci και τον οδήγησε μάλλον τυχαία στον ορισμό της Ακολουθίας του, αφορούσε την αναπαραγωγή των κουνελιών . Το ερώτημα που έθεσε στο βιβλίο του « Liber Abaci » ήταν το εξής: «Αν δεχτούμε ότι τα κουνέλια ζευγαρώνουν στην ηλικία του ενός μήνα και ο χρόνος κυήσεως είναι ένα μήνας πόσα κουνέλια θα έχουμε σε ένα χρόνο αν ξεκινήσουμε με ένα νεογέννητο ζευγάρι κουνελιών (ένα αρσενικό και ένα θηλυκό);» Για να μελετήσει αυτό το πρόβλημα έκανε τις εξής συμβάσεις:  Τα κουνέλια ποτέ δεν πεθαίνουν.  Η ηλικία γονιμοποίησης για κάθε ζευγάρι είναι ένας μήνας , οπότε και ξεκινούν το ζευγάρωμα.  Ο χρόνος κύησης είναι ένας μήνας και κάθε ζευγάρι γεννά πάντα στον ένα μήνα άλλο ένα ζευγάρι. Ας δούμε λοιπόν βήμα προς βήμα πόσα κουνέλια θα έχουμε σε ένα χρόνο: 1. Στο τέλος του πρώτου μήνα το ζευγάρι ζευγαρώνει , αλλά τα ζευγάρια είναι ακόμα ένα. 2. Στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό γεννά ένα νέο ζευγάρι , έτσι έχουμε δύο ζευγάρια κουνελιών. 3. Στο τέλος του τρίτου μήνα το αρχικό ζευγάρι γεννά ξανά ένα νέο ζευγάρι κουνελιών ενώ το δεύτερο ζευγαρώνει και συνεπώς τα ζευγάρια μας είναι τρία. 4. Στο τέλος του τέταρτου μήνα το αρχικό ζευγάρι γέννησε ακόμα ένα ζευγάρι αλλά και το δεύτερο ζευγάρι γέννησε και αυτό ένα ζευγάρι και έτσι έχουμε στον αγρό πέντε ζευγάρια . 5. Έτσι , στο τέλος του πέμπτου μήνα θα έχουμε 8 ζευγάρια , τον επόμενο δεκατρία κ.τ.λ. ΣΕΛΙΔΑ 17
  19. 19. Συνεπώς, το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών στην αρχή κάθε μήνα θα είναι: 1,1,2,3,5,8,13,21,34, … Παρατηρήστε ότι κάθε αριθμός στην Ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αυτό είναι λογικό να συμβαίνει μια και στην αρχή κάθε μήνα έχουμε τα ζευγάρια που είχαμε τον προηγούμενο μήνα και επιπλέον τόσα νεογέννητα ζευγάρια όσα και ενήλικα ζευγάρια γονέων έχουμε. Επομένως , αν αναλογιστούμε ότι ένα ζευγάρι γίνονται γονείς από τον δεύτερο μήνα και μετά ,το πλήθος των γονέων-ζευγαριών (ίσο όπως είπαμε με το πλήθος των νεογέννητων ζευγαριών) είναι ίσο με το πλήθος των ζευγαριών που είχαμε τον προπροηγούμενο μήνα. Θα παρατηρήσει κανείς ότι το πρόβλημα με τα κουνέλια που μελέτησε ο Fibonacci δεν είναι και τόσο ρεαλιστικό : Τα κουνέλια φυσικά κάποτε πεθαίνουν και δεν υπάρχει κανένας λόγος τα νεογέννητα κουνέλια να είναι πάντοτε ζευγάρι (αρσενικό- θηλυκό) , ούτε και να ζευγαρώνει πάντα το θηλυκό με το δίδυμο αδερφό του. ΣΕΛΙΔΑ 18
  20. 20. 2.3 H ακολουθία Fibonacci . Ο Fibonacci ξεκινώντας από ένα πρόβλημα αναπαραγωγής κουνελιών κατέληξε στην αριθμητική ακολουθία 1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89, 144, 233, 377, 610 ,987, 1597, 2584,4181, .. της οποία ο κάθε όρος είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων , η οποία ονομάστηκε Ακολουθία Fibonacci . Η ακολουθία Fibonacci δημιουργεί μία ακολουθία αριθμών που ονομάζονται αριθμοί Fibonacci και ορίζονται από τον εξής αναδρομικό τύπο: a  a 1  a 2 όπου a1  a2 1 Σύμφωνα με τα παραπάνω , θεωρώντας ως πρώτο και δεύτερο όρο της ακολουθίας Fibonacci τον αριθμό 1 οι υπόλοιποι όροι της ακολουθίας προκύπτουν ως εξής: 1 1 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, 8=5+3, 13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΙΖΕΙ ΕΠ’ ΑΠΕΙΡΟΝ. ΣΕΛΙΔΑ 19
  21. 21. Μια σελίδα του « Liber Abaci ».από την Biblioteca Nazionale di Firenze στην οποία παρουσιάζονται (στα δεξιά) οι αριθμοί της ακολουθίας Fibonacci. ΣΕΛΙΔΑ 20
  22. 22. 2.4 Ιδιότητες της ακολουθίας Fibonacci . Το 1753, ο μαθηματικός Robert Simpson του Πανεπιστημίου της Γλασκόβης ανακάλυψε, ότι ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας Fibonacci προσεγγίζει την αποκαλούμενη Χρυσή Τομή με μεγάλη ακρίβεια καθώς προχωράμε σε μεγαλύτερους όρους της ακολουθίας. Αυτή η ιδιότητα ανακαλύφθηκε το 1611 από το Γερμανό μαθηματικό και αστρονόμο Johannes Kepler (1571-1630), αλλά πέρασαν πάνω από εκατό χρόνια πριν αποδειχθεί η σχέση μεταξύ της ακολουθίας και του Χρυσού Λόγου από τον Σκωτσέζο μαθηματικό Ρόμπερτ Σίμσον. Μια άλλη ιδιότητα της Fibonacci είναι ότι κάθε δύο διαδοχικοί όροι της είναι πρώτοι μεταξύ τους (πρώτοι μεταξύ τους είναι δύο αριθμοί που ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι η μονάδα ). Ακόμα, οι αριθμοί Fibonacci εμφανίζονται στο τρίγωνο του Pascal. Παρατηρώντας το σχήμα θα δείτε ότι το άθροισμα των αριθμών κάθε μιας διαγωνίου δίνει έναν αριθμό Fibonacci. ΣΕΛΙΔΑ 21
  23. 23. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΕΛΙΔΑ 22
  24. 24. 3.1 Χρυσά Ορθογώνια. Ένα ορθογώνιο τετράπλευρο του οποίου στο οποίο ο λόγος της μεγάλης πλευράς του προς τη μικρή είναι ίσος με τον λόγο τη μικρής προς την διαφορά των πλευρών ονομάζεται χρυσό ορθογώνιο ή ορθογώνιο Fibonacci. Ένα ορθογώνιο τετράπλευρο του οποίου ο λόγος των πλευρών είναι ίσος με 1/Φ ονομάζεται «Χρυσό» ορθογώνιο. Πως κατασκευάζουμε ένα χρυσό ορθογώνιο 1. Ξεκινούμε από το τετράγωνο ΑΒΓΔ και παίρνουμε τα μέσα Μ,Ν των απέναντι πλευρών του ΔΓ,ΑΒ. 2. Με κέντρο Ν και ακτίνα ΝΓ (που είναι διαγώνιος του παραλληλογράμμου ΜΝΒΓ γράψαμε τόξο που τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο Ε. 3. Φέρνουμε την κάθετη της ΑΕ στο Ε που τέμνει την προέκταση της ΔΓ στο Ζ. Το ΔΖΕΑ είναι το ζητούμενο ορθογώνιο. Βημα Βήμα 2 Βήμα 3 Χρυσό Ορθογώνιο Κάθε «Χρυσό» ορθογώνιο έχει μία ξεχωριστή ιδιότητα: Αν αφαιρέσουμε από την μία πλευρά το μεγαλύτερο δυνατό τετράγωνο απομένει ένα καινούργιο ορθογώνιο που είναι επίσης «Χρυσό» κοκ … ΣΕΛΙΔΑ 23
  25. 25. 3.2 Χρυσά τρίγωνα. Χρυσό Τρίγωνο λέγεται κάθε ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρότερη είναι ίσος με Φ. Υπάρχουν δύο ειδών χρυσά τρίγωνα και τα δύο ισοσκελή, ένα αμβλυγώνιο και ένα οξυγώνιο. Στο αμβλυγώνιο τρίγωνο, ο λόγος της βάσης του προς μια από τις ίσες πλευρές του είναι ίσος με το Φ, ενώ στο οξυγώνιο ισχύει το αντίστροφο: ο λόγος μιας από τις ίσες πλευρές του προς την βάση του είναι ίσος με το Φ. Χρυσό ισοσκελές Χρυσό αμβλυγώνιο Τα δύο τρίγωνα συνδέονται μεταξύ τους γιατί διαιρώντας σε μέσο και άκρο λόγο μια από τις ίσες πλευρές στο οξυγώνιο ή την βάση στο αμβλυγώνιο προκύπτουν δύο μικρότερα χρυσά τρίγωνα ένα αμβλυγώνιο ή ένα οξυγώνιο αντίστοιχα. Αυτό είναι πιο κατανοητό αν σκεφτούμε ότι το αμβλυγώνιο έχει γωνίες 36ο, 36ο και 108ο ενώ το οξυγώνιο έχει γωνίες 72ο, 72ο και 36ο. Αν διαιρέσουμε την πλευρά ΑΓ του χρυσού οξυγώνιου τριγώνου ΑΒΓ σε   μέσο και άκρο λόγο    τότε προκύπτει το χρυσό αμβλυγώνιο   τρίγωνο ΑΔΒ. Αν διαιρέσουμε την βάση ΒΓ του χρυσού αμβλυγώνιου τριγώνου σε μέσο και άκρο λόγο      τότε προκύπτει το χρυσό οξυγώνιο   τρίγωνο ΑΔΒ. ΣΕΛΙΔΑ 24
  26. 26. 3.3 Κανονικό πεντάγωνο. Στο κανονικό πεντάγωνο η χρυσή τομή παίζει ένα μεγάλο ρολό. Κάθε διατομή των γωνιών τέμνει τις άλλες γωνίες σε αναλόγια χρυσής τομής. Ακόμα, η αναλόγια του μήκους του μικρότερου τμήματος προς το τμήμα που οριοθετείται από 2 γωνίες ισούται με Φ. Το κανονικό πεντάγωνο περιλαμβάνει 10 χρυσά τρίγωνα 5 οξυγώνια και 5 αμβλυγώνια. Τα τρίγωνα αυτά σχηματίζουν το σύµβολο της σχολής των Πυθαγορείων ,ένα αστέρι µε πέντε κορυφές εγγεγραμμένες σε ένα κανονικό πεντάγωνο. Οι διαγώνιοι (ή αλλιώς βραχίονες του αντίστοιχου πεντάκτινου αστέρα) του κανονικού πενταγώνου που σχηµατίζουν το αστέρι τέμνουν η μία την άλλη βάσει της χρυσής αναλογίας αφού κάθε σηµείο τοµής των διαγωνίων διαιρεί τις διαγωνίους σε δύο τµήµατα άνισα που έχουν λόγο Φ= 1,618033988749894848204586834 , αυτός ο λόγος είναι το πηλίκο της διαγωνίου προς το µμεγαλύτερο τµήµα αλλά και του µμεγαλύτερου τµήµατος προς το µικρότερο. Ακόμα, οι διαγώνιοι του κανονικού πενταγώνου επιπλέον τέµνονται µεταξύ τους έτσι ώστε να σχηµατίζουν ένα µικρότερο αντεστραμμένο κανονικό πεντάγωνο, στο οποίο αν φέρουµε τις διαγωνίους σχηµατίζεται ένα µικρότερο αστέρι κ.ο.κ. Το όλο σχήµα τώρα εµφανίζει ορισµένες συναρπαστικές ιδιότητες που αποτέλεσαν τη βάση της κορυφαίας αισθητικής αρµονίας στο χώρο των κατασκευών και της διακοσµητικής γενικά. ΣΕΛΙΔΑ 25
  27. 27. Για παράδειγμα στο κανονικό πεντάγωνο με πλευράς 1 του σχήματος ισχύει ότι:  Το μήκος του κόκκινου ευθύγραμμου τμήματος α είναι Φ.  Tο μήκος του μπλε ευθύγραμμου τμήματος β είναι 1  1  .   Tο μήκος του κίτρινου ευθύγραμμου τμήματος γ είναι 1.  Tο μήκος του πράσινου ευθύγραμμου τμήματος δ, είναι 2 2 1 2    1     1  2    1  2  1     2      Επίσης, οι λόγοι    1         Τέλος, η χρυσή αναλόγια σε ένα κανονικό πεντάγωνο μπορεί να επαληθευτεί από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο που σχηματίζεται εάν αφαιρέσουμε μια από τις κορυφές. ΣΕΛΙΔΑ 26
  28. 28. 3.4 Κανονικό δεκάγωνο. Είναι φανερό ότι το κανονικό δεκάγωνο θα διαιρείται από τις ακτίνες του σε δέκα χρυσά τρίγωνα . ΣΕΛΙΔΑ 27
  29. 29. 3.5 Χρυσά πολύεδρα. Ο Χρυσός Λόγος παίζει κρίσιμο ρόλο στις διαστάσεις και στις ιδιότητες συμμετρίας κάποιων Πλατωνικών στερεών . Συγκεκριμένα ανάμεσα στα πέντε Πλατωνικά στερεά, υπάρχουν και δύο που συνδέονται με το κανονικό πεντάγωνο και την χρυσή τομή. Είναι το κανονικό δωδεκάεδρο που οι έδρες του είναι κανονικά πεντάγωνα, και το δυϊκό του, το κανονικό εικοσάεδρο που ανά πέντε ισόπλευρα τρίγωνα ενώνονται για να σχηματίσουν ένα σχεδόν σφαιρικό πολύεδρο. ΣΕΛΙΔΑ 28
  30. 30. 3.5.1 Κανονικό δωδεκάεδρο. Στη στερεοτυπία δωδεκάεδρο είναι το πολύεδρο που έχει δώδεκα έδρες. Το κανονικό δωδεκάεδρο ανήκει στα Πλατωνικά στερεά, που έχει για έδρες συνολικά δώδεκα κανονικά πεντάγωνα, που ενώνονται ανά τρία σε κάθε κορυφή του. Η σχέση του δωδεκαέδρου με τον αριθμό Φ συναντάται και στα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του . Συγκεκριμένα στην απόσταση των κορυφών του από το κέντρο του, την απόσταση των εδρών του από το κέντρο του και την απόσταση των ακμών του από το κέντρο του. Ο συμβολισμός του αριθμού Φ στους τύπους των τριών αυτών γεωμετρικών χαρακτηριστικών, όπως είδαμε, γίνεται με το γράμμα φ. Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κανονικού δωδεκάεδρου Αν είναι το μήκος της ακμής του δωδεκαέδρου, τότε: Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση κορυφών από το κέντρο) Ακτίνα εγγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση εδρών από το κέντρο) Απόσταση ακμών από το κέντρο Συνολική επιφάνεια Όγκος ΣΕΛΙΔΑ 29
  31. 31. 3.5.2 Κανονικό εικοσάεδρο. Στη στερεομετρία εικοσάεδρο λέγεται το πολύεδρο το οποίο έχει είκοσι έδρες. Το κανονικό εικοσάεδρο ανήκει στα Πλατωνικά στερεά, που έχει για έδρες συνολικά είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα, που ενώνονται ανά πέντε σε κάθε κορυφή του. Η σχέση του εικοσαέδρου με τον αριθμό Φ συναντάται στην απόσταση των κορυφών του από το κέντρο του, την απόσταση των εδρών του από το κέντρο του και την απόσταση των ακμών του από το κέντρο του. Ο συμβολισμός του αριθμού Φ στους τύπους των τριών αυτών γεωμετρικών χαρακτηριστικών γίνεται με το γράμμα φ. Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κανονικού εικοσαέδρου Αν είναι το μήκος της ακμής του εικοσαέδρου, τότε: Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση κορυφών από το κέντρο) Ακτίνα εγγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση εδρών από το κέντρο) Απόσταση ακμών από το κέντρο Συνολική επιφάνεια Όγκος ΣΕΛΙΔΑ 30
  32. 32. 3.6 Λογαριθμικές σπείρες. Οι πραγματικά ενδιαφέρουσες εφαρμογές του Φ ξεκινούν από την κατασκευή ενός άλλου γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται Λογαριθμική Σπείρα ή Χρυσή Σπείρα. Η μοναδική ιδιότητα της λογαριθμικής σπείρας είναι το γεγονός ότι το σχήμα της δεν αλλάζει όσο κι αν μεγαλώνει το μέγεθός της. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι γνωστό ως αυτο-ομοιότητα. Εντυπωσιασμένος από την ιδιότητα αυτή, ο Ιάκωβος Μπερνουγι έγραψε ότι η λογαριθμική σπείρα «μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως σύμβολο, είτε της σθεναρότητας είτε της συνέχειας στην εναντιότητα, ή του ανθρώπινου σώματος, το οποίο μετά από όλες τις αλλαγές, ακόμη και μετά τον θάνατο, θα επανέλθει στον ακριβή και τέλειο εαυτό» Έτσι ζήτησε να χαραχτεί στον τάφο του αυτό το σχήμα μαζί με την επιγραφή: «Eadem mutato resurgo» (αν και αλλαγμένος, ανυψώνομαι πάλι ίδιος). Υπάρχουν δύο είδη χρυσών σπειρών. Η μία βασίζεται σε διαδοχικά χρυσά ορθογώνια που το ένα περιέχει το άλλο και η άλλη σε διαδοχικά χρυσά οξυγώνια τρίγωνα, που και εδώ, το ένα περιέχει το άλλο. Υπάρχει ακόμα μια ιδιότητα στη λογαριθμική σπείρα. Αυξανόμενη με συσσώρευση από το εσωτερικό της, η λογαριθμική σπείρα αναπτύσσεται όσο αυξάνεται η απόσταση μεταξύ των «σπειρών» της, καθώς απομακρύνεται από την πηγή, γνωστή ως πόλος. Πιο συγκεκριμένα, γυρίζοντας σε ίσες γωνίες αυξάνει την απόσταση από τον πόλο σε ίσους λόγους. Εάν μπορούσαμε, με τη βοήθεια ενός μικροσκοπίου, να μεγεθύνουμε τις σπείρες που είναι αόρατες στο γυμνό μάτι στο μέγεθος του σχήματος, θα ταίριαζαν απόλυτα στη μεγαλύτερη σπείρα. Η ιδιότητα αυτή την ξεχωρίζει από μια κοινή σπείρα ,γνωστή ως Αρχιμήδεια σπείρα. Ονομάστηκε έτσι από τον μεγάλο Έλληνα μαθηματικό Αρχιμήδη, ο οποίος την περιέγραψε εκτεταμένα στο βιβλίο του «Περί Ελίκων». Σαν αποτέλεσμα ενός λάθους, το οποίο σίγουρα θα προκαλούσε θλίψη στον Ιάκωβο Μπερνουγί, ο τεχνίτης που κατασκεύασε την ταφόπλακά του, χάραξε πιθανότατα την Αρχιμήδεια σπείρα. ΣΕΛΙΔΑ 31
  33. 33. 3.6.1 Χρυσή Σπείρα από χρυσά ορθογώνια. Η σπείρα αυτή μας θυμίζει αρκετά την σπείρα του Fibonacci. Και πραγματικά, οι δύο σπείρες είναι περίπου ίδιες. Θα δούμε όμως, ότι υπάρχει μια ουσιαστική διαφορά στην κατασκευή της χρυσής σπείρας. Τώρα ξεκινάμε από ένα χρυσό ορθογώνιο, και προχωράμε προς τα μέσα, «κόβοντας» τετράγωνα, πορεία δηλαδή ακριβώς αντίστροφη από αυτή που είχαμε στην κατασκευή της σπείρας του Fibonacci. (Αν θυμόμαστε, ξεκινούσαμε από ένα τετράγωνο, και το επεκτείναμε προς τα έξω σχηματίζοντας διαδοχικά ορθογώνια.) Αλλά ας δούμε την κατασκευή βήμα προς βήμα: Βήμα 1ο: Ξεκινάμε με ένα χρυσό ορθογώνιο. Φέρνουμε μια κάθετη γραμμή για να το χωρίσουμε σε τετράγωνο και ένα μικρότερο χρυσό ορθογώνιο. Βήμα 2ο: Το μικρότερο ορθογώνιο που σχηματίστηκε από το βήμα 1, το χωρίζουμε και αυτό με τον ίδιο τρόπο σε ένα τετράγωνο και ένα ακόμα πιο μικρό χρυσό ορθογώνιο. Βήμα 3ο: Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα αρκετές φορές, ώστε να πάρουμε έναν σχηματισμό με πολλά διαδοχικά τετράγωνα που μικραίνουν συνεχώς, στο εσωτερικό του χρυσού ορθογωνίου. Βήμα 4ο: Τέλος διαγράφουμε τεταρτοκύκλια στα τετράγωνα που σχηματίστηκαν. Το αποτέλεσμα είναι μία χρυσή σπείρα που με μεγάλη ικανοποίηση διαπιστώνουμε ότι προσεγγίζει ακόμα καλύτερα την σπείρα στο κέλυφος του ναυτίλου, από ότι η σπείρα του Fibonacci. Βήμα 1 Βήμα 2 Βήμα 3 Βήμα 4 ΣΕΛΙΔΑ 32
  34. 34. 3.6.2 Χρυσή Σπείρα από χρυσά τρίγωνα. Η διαδικασία είναι ανάλογη με την προηγούμενη κατασκευή. Σχεδόν ή μόνη διαφορά είναι ότι ξεκινάμε με ένα χρυσό οξυγώνιο τρίγωνο το οποίο το διαιρούμε συνεχώς σε άλλα μικρότερα χρυσά τρίγωνα ,ένα οξυγώνιο και ένα αμβλυγώνιο . Βήμα 1 Βήμα 2 Βήμα 3 Βήμα 5 Βήμα 6 Βήμα 7 Βήμα 4 Βήμα 8 Στο βήμα 1 η διαίρεση του χρυσού τριγώνου σε δύο μικρότερα χρυσά τρίγωνα γίνεται απλώς με το να πάρουμε τμήμα στην μία πλευρά του, αρχίζοντας από την κορυφή, που είναι ίσο με τη βάση του τριγώνου. Η διαίρεση αυτή επαναλαμβάνεται στα επόμενα βήματα, σε κάθε νέο σχηματιζόμενο οξυγώνιο χρυσό τρίγωνο έως ότου καταλήξουμε στο βήμα 7. Τελικά, στο βήμα 8 διαγράφουμε τόξα κύκλων με κέντρα τις κορυφές των χρυσών οξυγωνίων τριγώνων, και ακτίνα μία πλευρά τους. ΣΕΛΙΔΑ 33
  35. 35. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΕΛΙΔΑ 34
  36. 36. 4.1 Η ακολουθία Fibonacci και τα πέταλα των λουλουδιών. Όπως προαναφέραμε ο αριθμός Φ εμφανίζεται στον αριθμό των πετάλων των λουλουδιών. Συγκεκριμένα, παρατηρώντας τα πέταλα των λουλουδιών θα ανακαλύψουμε ότι το αγριόκρινο έχει 3 πέταλα , κάποια φυτά του γένους ranunculus έχουν 5 ή 8 πέταλα , οι άσπρες μαργαρίτες καθώς και ορισμένοι κατιφέδες έχουν 21 πέταλα , το τριαντάφυλλο και η καλέντουλα είναι άνθη τα οποία έχουν 34 πέταλα αλλά και ότι οι περισσότερες μαργαρήτες και οι ηλίανθοι έχουν 34, 55 ή 89 πέταλα. Οι αριθμοί αυτοί δεν είναι παρά ο 2ος , ο 3ος , 4ος , 8ος , 9ος , 10ος , 11ος και 12ος όρος της ακολουθίας Fibonacci. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι ο αριθμός των πετάλων ενός λουλουδιού ταυτίζεται με έναν όρο της ακολουθίας Fibonacci . ‘Όμως υπάρχουν και άνθη που δεν ακολουθούν τον παραπάνω κανόνα . Για παράδειγμα ένα άνθος μπορεί να έχει 55 φύλλα ή 89 φύλλα , όπως το εκατόφυλλο τριαντάφυλλο, ή 4 φύλλα όπως το τετράφυλλο τριφύλλι. Αυτά τα λουλούδια αποτελούν εξαίρεση του κανόνα ; Για να απαντήσετε σε αυτό το ερώτημα αρκεί να σκεφτείτε γιατί τα τετράφυλλα τριφύλλια είναι πολύ σπάνια, μπορεί γιατί το 4 δεν είναι όρος της ακολουθίας Fibonacci. Συγκεκριμένα , υπάρχουν δύο κατηγορίες φυτών οι οποίες δεν ακολουθούν τον παραπάνω τον κανόνα. Υπάρχουν φυτά των οποίων ο αριθμός των πετάλων είναι το διπλάσιο ενός όρου της ακολουθίας Fibonacci ή φυτά που ο αριθμός των πετάλων τους είναι όρος της σειράς Lucas (2,1,3,4,7,11,18,29,46 κ.τ.λ.) η οποία είναι μια «παραλλαγή» της ακολουθίας Fibonacci ΣΕΛΙΔΑ 35
  37. 37. Παρακάτω σας δίνουμε μια λίστα από λουλούδια μαζί με τον αριθμό των πετάλων τους: Λουλούδια Αριθμός πετάλων Calla lily 1 Euphorbia 2 Trillium Φωτογραφία 3 ( ή δύο σετ από 3) ΣΕΛΙΔΑ 36
  38. 38. Κρίνος 3 ( ή δύο σετ από 3) iris Βιολέτα 5 ( ή δύο σετ από 5) Buttercup ΣΕΛΙΔΑ 37
  39. 39. Wild rose 5 ( ή δύο σετ από 5) Larkspur Columbine (aquilegia) ΣΕΛΙΔΑ 38
  40. 40. vinca Delphinium 8 Coreopsis ΣΕΛΙΔΑ 39
  41. 41. Mayweed 13 Ragwort Cineraria Aster 21 ΣΕΛΙΔΑ 40
  42. 42. Pyrethrum 34 Plantain Helenium 55 ΣΕΛΙΔΑ 41
  43. 43. Michaelmas μαργαρίτα 89 ΣΕΛΙΔΑ 42
  44. 44. 4.2 Φυλλοταξία. Η χρυσή τομή διαφαίνεται μέσα από τα φύλλα και τα κλαδιά, όπως στις βελόνες αρκετών ειδών έλατου, τα φύλλα της λεύκας, της κερασιάς, της μηλιάς, της δαμασκηνιάς, της βελανιδιάς και της φιλύρας, στη διάταξη των πετάλων της μαργαρίτας και του ηλιοτρόπιου. Με τον όρο φυλλοταξία εννοούμε στην βοτανική την διάταξη των φύλλων και των κλώνων στην ανάπτυξη ενός φυτού. Δηλαδή, τον τρόπο με τον οποίο σχηματίζεται, αναπτύσσεται ένα φυτό. Σε ένα φυτό οι νέοι βλαστοί αυξάνονται συνήθως από έναν οφθαλμό, ένα σημείο όπου ένα φύλλο αναπηδά από τον βασικό μίσχο του φυτού. Με αυτό τον τρόπο διατάσσονται τα κλαδιά σύμφωνα με τον αριθμό Φ. Εάν το κεντρικό στέλεχος του φυτού γίνεται αντικείμενο λεπτομερούς ανάλυσης, μπορεί να θεωρηθεί, ότι καθώς το φυτό μεγαλώνει προς τα πάνω, τα φύλλα ή τα κλαδιά φυτρώνουν μακριά από το στέλεχος σε μια σπειροειδή πορεία. Με άλλα λόγια, σε ένα υπέρ-απλουστευμένο παράδειγμα, το φυτό μεγαλώνει μια ίντσα, και να ένα φύλλο ή κλαδί – βλαστός βγαίνει από τον κορμό. Στη συνέχεια, το φυτό μεγαλώνει άλλη μια ίντσα, και για άλλη μια φορά ένα φύλλο ή κλαδί – βλαστός βγαίνει από τον κορμό, αλλά αυτή τη φορά από διαφορετική κατεύθυνση από ό, τι το πρώτο. Για άλλη μια φορά, το φυτό μεγαλώνει προς τα πάνω και ένα άλλο φύλλο ή κλαδί /βλαστός αναπτύσσεται έξω από τον κορμό και για άλλη μια φορά διαπιστώνουμε ότι το φύλλο ή κλαδί / βλαστός έχει φυτρώσει σε μια διαφορετική κατεύθυνση. Αν επρόκειτο να συνδέσετε τις άκρες των φύλλων ή των κλαδιών – βλαστών που έχουν αναπτυχθεί από τον κορμό, θα διαπιστώναμε ότι δημιουργούν ένα πολύ συγκεκριμένο σπειροειδές σχήμα γύρω από τον κεντρικό κορμό. Στον μεγαλύτερο αριθμό των φυτών, ένα συγκεκριμένο κλαδί ή φύλλο θα μεγαλώσει από τον κορμό περίπου κατά 137,5 μοίρες γύρω από τον βλαστό σε σχέση με το προηγούμενο κλαδί. Με άλλα λόγια, όταν ένα κλαδί αναπτύσσεται έξω από το φυτό, το φυτό μεγαλώνει αναλογικά και στη συνέχεια βγάζει ένα άλλο κλαδί που περιστρέφεται κατά 137,5 μοίρες σε σχέση με την κατεύθυνση που είχε το πρώτο κλαδί του. ΣΕΛΙΔΑ 43
  45. 45. Σχεδόν όλα τα φυτά χρησιμοποιούν με αυτό τον τρόπο ένα σταθερό τόξο περιστροφής, που είναι οι 137,5 μοίρες. Η γωνία αυτή προκύπτει από την ακολουθία Fibonacci . Για παράδειγμα αν πάρουμε δύο συνεχόμενους όρους της ακολουθίας, τον 55 και τον 89 και πολλαπλασιάσουμε τον λόγο τους επί 3600 προκύπτει ότι 55  3600  222, 4720 89 Όμως, 55 1     1 άρα    1  3600 89  222, 4720 και 360o  222, 472o  136,7o Με άλλα λόγια 360o  (2  )  137,5 Ωστόσο, πιστεύεται ότι η πλειονότητα του συνόλου των φυτών που κάνουν χρήση είτε της περιστροφής των 137,5 μοιρών ή μιας περιστροφής πολύ κοντά σε αυτή, έχουν ως το βασικό αριθμό στα φύλλα τους ή τα διασπαρμένα κλαδιά τους, στέλνοντας έξω κάθε φύλλο ή κλαδί, μετά την περιστροφή γύρω από τις 137,5 μοίρες περίπου σε σχέση με το προηγούμενο κλαδί. Στην περίπτωση του φυλλώματος μπορεί να σχετίζεται με τη μεγιστοποίηση του χώρου που είναι διαθέσιμος για την ανάπτυξη κάθε φύλλου ή το φώς πρέπει να πέφτει πάνω στο κάθε φύλλο. Η φύση προφανώς δεν προσπαθεί να χρησιμοποιήσει την ακολουθία Fibonacci, αυτή εμφανίζεται ως το δεύτερον αποτέλεσμα μιας πολύ βαθύτερης φυσικής διαδικασίας. Τα φύλλα, τα πέταλα και οι σπόροι οργανώνονται στα φυτά ακολουθώντας ένα συγκεκριμένο μοτίβο γιατί έτσι, καθώς αναπτύσσονται, αξιοποιούν με τον καλύτερο δυνατό τρόπο το διαθέσιμο χώρο. Αν κατανείμουμε τα φύλλα στο μίσχο σύμφωνα με το χρυσό αριθμό, όλα θα επωφελούνται στο μέγιστο βαθμό από το φως του ήλιου, χωρίς να κρύβει το ένα το άλλο. Τα λουλούδια, χάρη στο χρυσό αριθμό, προσελκύουν όσο το δυνατόν καλύτερα τα έντομα που μεταφέρουν τη γύρη. ΣΕΛΙΔΑ 44
  46. 46. 4.3 Χρυσές σπείρες στο μίσχο των λουλουδιών. Παρατηρούμε και ανακαλύπτουμε τους αριθμούς Fibonacci με την μορφή σπειρών πάνω στον μίσχο, τα πέταλα, ή ακόμα και στα κλαδιά. Η παραπάνω φωτογραφία δείχνει ροδέλες που βρίσκονται σε μια σειρά, ξεκινώντας από ένα κέντρο. Κάθε ροδέλα αγγίζει τη προηγούμενη, και κάθε περικάλυμμα γύρω από το κέντρο αγγίζει το προηγούμενο περικάλυμμα. Κανένα μοντέλο δεν είναι προφανές στην αρχή, αλλά μετά από μια σειρά αναδιπλώνεται, σε ένα μοτίβο και οι σπείρες αναδύονται. Το σχήμα εξαρτάται από την ακτίνα του περικαλύμματος και της ακτίνας των ροδελών. Το άνθος του ηλίανθου είναι ένα παράδειγμα που παρατήρησε το 1868 ο βοτανολόγος Γουίλιαμ Hofmeister. Οι σπόροι του ηλίανθου κατανέμονται κυκλικά. Η σπείρα είναι προς τα έξω ενώ έχει διπλή κατεύθυνση, δηλαδή και όπως κινούνται οι δείκτες του ρολογιού και αντίστροφα από το κέντρο του λουλουδιού. Ο αριθμός των σπειρών στο κάθε φυτό δεν είναι ίδιος. Γιατί γενικά είναι είτε 21 και 34, είτε 34 και 55, είτε 55 και 89 ή 89 και 144. Ο αριθμός των σπειρών ενός ηλίανθου και προς τις δύο κατευθύνσεις είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci και ο λόγος τους προσεγγίζει το Φ. ΣΕΛΙΔΑ 45
  47. 47. Ο Hofmeister παρατήρησε ότι το primordia [το σχήμα όπου κάθε ροδέλα αντιστοιχεί με έναν σπόρο] σχηματίζεται κατά προτίμηση, όπου υπάρχει ο περισσότερος χώρος που είναι διαθέσιμος γι 'αυτό. Επίσης, μπορεί να σχηματιστεί όπου επικοινωνεί αποτελεσματικότερα το περικάλυμμα με το υπόλοιπο φυτό και αυτό μπορεί να εξεταστεί γεωμετρικά. Το συγκεκριμένο μοτίβο μπορεί επίσης να τροποποιηθεί από την υγρασία και τα θρεπτικά συστατικά καθώς και τις συνθήκες που επηρεάζουν το μέγεθος του σχηματιζόμενου σπόρου. Παρόμοια διάταξη σπειρών με τον ηλίανθο εμφανίζεται στο μίσχο πολλών φυτών όπως για παράδειγμα στη μαργαρίτα της φωτογραφίας όπου εμφανίζονται 21 σπείρες αριστερόστροφα και 34 δεξιόστροφα αλλά και στα κουκουνάρια. Όλα τα κουκουνάρια αναπτύσσονται σε σπείρες, ξεκινώντας από τη βάση όπου ήταν ο μίσχος, και πηγαίνοντας κυκλικά μέχρι να φτάσουμε στην κορυφή. ΣΕΛΙΔΑ 46
  48. 48. 4.4 Ο αριθμός Φ στα φρούτα. Η χρυσή τομή εμφανίζεται σε πολλά είδη φρούτων είτε μέσω των αριθμών Fibonacci είτε με την μορφή σπειρών. Για παράδειγμα, εάν ξεφλουδίσουμε και κόψουμε μια μπανάνα στην μέση θα παρατηρήσουμε ότι χωρίζεται σε τρία τμήματα, όπου το 3 είναι όρος της ακολουθίας Fibonacci. Με ανάλογο τρόπο οι αριθμoί Fibonacci παρατηρούνται και στο μήλο εφόσον η οριζόντια διατομή του το χωρίζει το μήλο σε 5 κομμάτια . Ένα ακόμα φρούτο που συνδέεται με τον αριθμό Φ είναι το αστερόφρουτο ή καραμπόλα από τη Μαλαισία. Αν κόψουμε ένα αστερόφρουτο στη μέση θα παρατηρήσουμε ότι η οριζόντια διατομή του σχηματίζει ένα κανονικό πεντάγωνο. Ένα ακόμα ενδιαφέρον παράδειγμα που αξίζει να αναφέρουμε είναι ο ανανάς. Οι κλίμακες του ανανά είναι διαμορφωμένες σε σπείρες και επειδή είναι χονδρικά εξαγωνικό σχήμα, τρεις χωριστές δέσμες ελίκων μπορούν να παρατηρηθούν. Ένα σετ πέντε παράλληλων σπειρών ανεβαίνει σε μια ρηχή γωνία προς τα δεξιά, ένα δεύτερο σύνολο παράλληλων ελίκων ανεβαίνει πιο απότομα προς τα αριστερά και το τρίτο σετ από δεκατρείς παράλληλες σπείρες ανεβαίνει πολύ απότομα προς τα δεξιά. ΣΕΛΙΔΑ 47
  49. 49. 4.5 Ο αριθμός Φ στα λαχανικά. Η χρυσή αναλογία εκτός από τα φρούτα εμφανίζεται και στα λαχανικά. Ενδεικτικά ενδιαφέρουμε το παραδείγματα του Romanesque Broccoli, μια διασταύρωση μπρόκολου και κουνουπιδιού μια διασταύρωση. Αν παρατηρήσουμε το Romanesque Broccoli προσεκτικά θα δούμε πως κάθε ανθύλλιό του είναι μια μικρότερη έκδοση ολόκληρου του μπρόκολου και έτσι είναι εύκολο να βρούμε τις σπείρες που σχηματίζονται. Επίσης, χαρακτηριστικός είναι ο τρόπος με τον οποίο εμφανίζεται ένα πεντάγωνο στο περίγραμμα του κουνουπιδιού. Κοιτώντας το προσεκτικά βλέπουμε ότι δημιουργείται το κέντρο του από μικρότερα ανθύλλια. Γύρω από το κέντρο του θα δούμε πως σχηματίζονται σπείρες και από τις δύο κατευθύνσεις. ΣΕΛΙΔΑ 48
  50. 50. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΛΙΔΑ 49
  51. 51. 5.1 Χρυσές σπείρες στα οστρακοειδή. Το Φ ξεπροβάλει και μέσα από τη γεωμετρία της ίδιας της Φύσης. Τα λεγόμενα χρυσά σπειροειδή, που βασίζονται στο Φ, απαντώνται στις σπείρες οστρακοειδών όπως ο "Ναυτίλος". Η σπείρα του Fibonacci και η σπείρα στο κέλυφος του ναυτίλου. . Ι. Ορθογώνια Fibonacci II. H σπείρα Fibonacci III. Τομή από το κέλυφος του ναυτίλου Το κέλυφος των σαλιγκαριών ακολουθεί και αυτό την ακολουθία Fibonacci. Η μόνη διαφορά μεταξύ των δύο είναι ότι το κέλυφος του ναυτίλου αναπτύσσεται σε τρισδιάστατες σπείρες, ενώ το κέλυφος των σαλιγκαριών αναπτύσσεται σε δισδιάστατες σπείρες. ΣΕΛΙΔΑ 50
  52. 52. 5.2 Ο αριθμός Φ στα έντομα. Το σώμα ενός μυρμηγκιού χωρίζεται κι αυτό σε ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα σύμφωνα με την χρυσή αναλογία. Σε μια πεταλούδα τα σημεία που μοιάζουν με μάτι σχηματίζουν ευθύγραμμα τμήματα που απεικονίζουν το μήκος και το πλάτος της με χρυσή τομή O αριθμός φ εμφανίζεται και στην αράχνη .Όχι μόνο το σώμα της ίδιας της αράχνης αλλά και ο ιστός της είναι και αυτό παράδειγμα της χρυσής τομής. Όπως φαίνεται στην εικόνα ο ιστός υπακούει στην αναλογία του αριθμού φ. Οι λόγοι όμως που η αράχνη σχεδιάζει αυτό το μοτίβο και από που εμπνεύστηκε ή πως συνεχίζει στις επόμενες γενιές είναι άγνωστοι. ΣΕΛΙΔΑ 51
  53. 53. 5.2.1 Ο αριθμός Φ στο γενεαλογικό δέντρο των μελισσών. Το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα σε ένα μελίσσι είναι μια ακολουθία Fibonacci! Το εν λόγω έντομο γεννιέται από ένα μη γονιμοποιημένο αβγό της βασίλισσας, δηλαδή έχει μητέρα αλλά όχι και πατέρα. Αντιθέτως, τόσο η βασίλισσα (η μοναδική που μπορεί να κάνει αβγά) όσο και οι εργάτριες γεννιούνται από αβγά που έχουν γονιμοποιηθεί από αρσενικό. Αυτές, λοιπόν, έχουν και πατέρα και μητέρα. Επομένως, το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα διαμορφώνεται ως εξής, έχει: • 1 μητέρα, • 2 παππούδες (αρσενικό και θηλυκό), • 3 προπαππούδες (δύο από την οικογένεια της γιαγιάς και μία του παππού), • 5 προ-προπαππούδες, • 8 προ-προ-προπαππούδες και ούτω καθεξής. Το 1966, ο Νταγκ Γιανέγκα, από το Μουσείο Έρευνας στην Εντομολογία του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας, ανακάλυψε ότι αν μετρήσεις τις μέλισσες σε μια κυψέλη οπουδήποτε στον κόσμο θα παρατηρήσεις ότι η αναλογία των θηλυκών προς τις αρσενικές μέλισσες καταλήγει πάντα σε έναν αριθμό!!!! Ο αριθμός αυτός είναι ο 1,618 ή ο γνωστός αριθμός φ!!! Επίσης στα μελίσσια, ο πληθυσμός των εργατριών μελισσών σε σχέση με τους κηφήνες, αναπτύσσεται με βάση την Ακολουθία Fibonacci, και ο λόγος τους τείνει στη « χρυσή αναλογία». ΣΕΛΙΔΑ 52
  54. 54. 5.3 Ο αριθμός Φ στα πτηνά. O αριθμός Φ εντοπίζεται και στο Βασίλειο των πτηνών όπως για παράδειγμα στους παπαγάλους και στα φτερά του Blue heron. Χρυσές αναλογίες εμφανίζονται επίσης στο σώμα του πιγκουίνου . ΣΕΛΙΔΑ 53
  55. 55. Αυτό, όμως, που προκαλεί ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι ότι ο αριθμός Φ εμφανίζεται και στον τρόπο που πετάνε ορισμένα ήδη γερανών , όπως για παράδειγμα οι πετρίτες. Οι πετρίτες είναι από τα πιο γρήγορα πουλιά στη γη, καθώς ζυγιάζονται και ορμούν προς τον στόχο τους με ταχύτητες έως και 200 μίλια την ώρα. Θα μπορούσαν όμως να πετούν ακόμα πιο γρήγορα εάν απλώς πετούσαν σε ευθεία αντί να ακολουθούν μια σπειροειδή τροχιά προς το θύμα τους. Ο λόγος που επιλέγουν αυτό τον τρόπο επίθεσης, είναι επειδή τα μάτια του γερακιού βρίσκονται στις δύο πλευρές του κεφαλιού τους, για να εκμεταλλευτούν την οξύτατη όρασή τους, πρέπει να κινούν το κεφάλι τους κατά 40 μοίρες προς τη μια πλευρά ή προς την άλλη. Κάτι τέτοιο όμως θα επιβράδυνε την ταχύτητά τους σημαντικά. Για το λόγο αυτό τα γεράκια κρατούν το κεφάλι τους ίσιο και ακολουθούν μια λογαριθμική σπείρα. Η λογαριθμική σπείρα όμως έχει μία χαρακτηριστική ιδιότητα. Είναι «ισογώνια». Εάν χαράξουμε μια ευθεία γραμμή από τον πόλο προς οποιοδήποτε σημείο επάνω στην καμπύλη, η ευθεία τέμνει την καμπύλη ακριβώς προς την ίδια γωνία. Έτσι, τα γεράκια εκμεταλλεύονται την ισογώνια ιδιότητα της σπείρας και διατηρούν το στόχο τους στο οπτικό τους πεδίο ενώ μεγιστοποιούν την ταχύτητά τους. ΣΕΛΙΔΑ 54
  56. 56. 5.4 Ο αριθμός Φ στα θηλαστικά . Η ανάπτυξη σε μια σπειροειδή μορφή στον κόσμο των ζώων δεν περιορίζεται μόνο σε θαλάσσια όστρακα. Παραδείγματα καμπυλών με βάση λογαριθμική σπείρα μπορεί να δει κανείς τους χαυλιόδοντες των ελεφάντων και των εξαφανισμένων μαμούθ, τα νύχια λιονταριών » κτλ Τα ζώα όπως οι κατσίκες , οι αντιλόπες και τα κριάρια έχουν κέρατα σε σπειροειδή μορφή που σχετίζεται ε τη χρυσή αναλογία. ΣΕΛΙΔΑ 55
  57. 57. Ο αριθμός Φ εμφανίζεται, στις ραβδώσεις που σχηματίζονται από τις ρίγες της τίγρης αλλά και τα χαρακτηριστικά του προσώπου της δημιουργούν ευθύγραμμα τμήματα που σχετίζονται με τη χρυσή αναλογία . Παρόμοια και τα χαρακτηριστικά του προσώπου ενός κοάλα διακρίνουμε λόγους χρυσής τομής. Οι διαστάσεις και τις θέσεις των οφθαλμών, της μύτης και του στόματος συνδέονται με χρυσές αναλογίες . Οι διαστάσεις του ραχιαίου πτερύγιου είναι χρυσή τμήματα (κίτρινο και πράσινο). Το πάχος του τμήματος της ουράς του δελφινιού αντιστοιχεί στην ίδια χρυσή τομή της γραμμής από το κεφάλι μέχρι την ουρά . ΣΕΛΙΔΑ 56
  58. 58. 5.5 Ο αριθμός Φ στους υπόλοιπους κατοίκους της θάλασσας. Όπως και με τα ζώα της ξηράς παρατηρείται το ίδιο φαινόμενο και με τα ζώα του υπόγειου κόσμου . Όλα τα ζώα του θαλάσσιου κόσμου υπόκεινται στον αριθμό Φ. Χαρακτηριστικό παράδειγμα μορφής θαλάσσιας ζωής, πέρα του ναυτίλου , του οποίου η ανατομία διέπεται από την χρυσή τομή είναι ο αστερίας το σώμα του οποίου σχηματίζει ένα κανονικό πεντάγωνο. Χρυσές αναλογίες εμφανίζονται και στο χελιδονόψαρο ενώ μπορούμε να διακρίνουμε την χρυσή αναλογία και στον ιππόκαμπο και συγκεκριμένα στις ραβδώσεις του. ΣΕΛΙΔΑ 57
  59. 59. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΕΛΙΔΑ 58
  60. 60. 6.1 Χρυσές αναλογίες στο χέρι. Υπάρχουν πολλές εφαρμογές της Χρυσής Αναλογίας στο ανθρώπινο σώμα. Σχεδόν όλα τα μέρη του σώματός μας είναι κατασκευασμένα σύμφωνα με αυτήν. Από το κεφάλι μέχρι και τις πατούσες εμφανίζεται ο αριθμός Φ. Τα εκατοστά των οστών του χεριού μας αντιστοιχούν στους όρους της ακολουθίας. Έχοντας αυτό σαν δεδομένο το νύχι του μεσαίου δαχτύλου μας ισούται με ένα. Επιπροσθέτως, η παλάμη δημιουργεί τη χρυσή αναλογία σε σχέση με το υπόλοιπο χέρι. 6.2 Χρυσοί λόγοι στον κορμό. Το ύψος ενός ανθρώπου προς την απόσταση από το κεφάλι μέχρι και την άκρη του μεσαίου δαχτύλου του αποτελεί ένα χρυσό ευθύγραμμο τμήμα. Η απόσταση από το κεφάλι μέχρι και την άκρη του μεσαίου δαχτύλου προς την απόσταση από το κεφάλι μέχρι και τους αγκώνες, αποτελεί επίσης και αυτό ένα χρυσό ευθύγραμμο τμήμα. Η απόσταση από το κεφάλι μέχρι και τους αγκώνες προς την απόσταση από το κεφάλι μέχρι και τους ώμους, αποτελεί και αυτό ένα χρυσό ευθύγραμμο τμήμα. Η απόσταση από το κεφάλι μέχρι και τους ώμους προς την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού μέχρι την άκρη του πιγουνιού, αποτελεί εξίσου ένα χρυσό ευθύγραμμο τμήμα. Επίσης η απόσταση μεταξύ ζωτικών οργάνων (πχ εγκέφαλοςκαρδιά, στομάχι, γεννητικά όργανα κ.λπ.) εμπεριέχει και αυτή αναλογίες Φ. ΣΕΛΙΔΑ 59
  61. 61. 6.3 Θείες αναλογίες στο ανθρώπινο πρόσωπο. Το ανθρώπινο πρόσωπο παρουσιάζει πολλές χρυσές αναλογίες. Το κεφάλι αποτελεί ένα χρυσό ορθογώνιο με την ευθεία που ορίζουν τα μάτια να το χωρίζει στη μέση. Το στόμα και η μύτη είναι το καθένα τοποθετημένο στη χρυσή τομή του ευθύγραμμου τμήματος που ορίζεται ανάμεσα στα μάτια και στην άκρη του πιγουνιού. Εκτός όμως από τα χρυσά ευθύγραμμα τμήματα που δημιουργούνται, εμφανίζονται και πολλά χρυσά ορθογώνια. Επιπλέον, παρατηρώντας το ανθρώπινο αυτί, θα δούμε πως η σπείρα που δημιουργείται μας θυμίζει την χρυσή σπείρα.. Τέλος, αναφορικά με τις διαστάσεις στα δόντι μας, παρατηρείται ότι τα δύο μπροστινά δόντια είναι εγγεγραμμένα σε ένα χρυσό ορθογώνιο, με μία χρυσή αναλογία του ύψους προς το πλάτος τους. Επιπλέον, η αναλογία του πλάτους από το πρώτο δόντι προς το πλάτος του δευτέρου είναι επίσης χρυσή. Τέλος, αν χαμογελάσουμε, θα παρατηρήσουμε πως το πλάτος του χαμόγελου προς το πλάτος που υπάρχει μέχρι το τρίτο δόντι, είναι ίση με Φ. 6.4 Ο αριθμός Φ στα δόντια. Στα δόντια μας, παρατηρείται ότι τα δύο μπροστινά δόντια είναι εγγεγραμμένα σε ένα χρυσό ορθογώνιο, με μία χρυσή αναλογία του ύψους προς το πλάτος τους. Επιπλέον, η αναλογία του πλάτους από το πρώτο δόντι προς το πλάτος του δευτέρου είναι επίσης χρυσή. Τέλος, αν χαμογελάσουμε, θα παρατηρήσουμε πως το πλάτος του χαμόγελου προς το πλάτος που υπάρχει μέχρι το τρίτο δόντι, είναι ίση με Φ. ΣΕΛΙΔΑ 60
  62. 62. 6.5 Μήκη του ιδανικού ανθρώπινου σώματος. Από όσα είπαμε στις παραγράφους 1 έως 4 μπορούμε να προσδιορίσουμε μερικά από τα μήκη του ιδανικού ανθρώπινου σώματος βάση του αριθμού της χρυσής τομής ως εξής: • Από τη γραμμή των φρυδιών μέχρι την κάτω άκρη της μύτης = α [ όπου α σταθερά ] • Από τη γραμμή των φρυδιών έως την κορυφή της κεφαλής = α Φ • Από την κάτω άκρη της μύτης ως την κορυφή της κεφαλής = α Φ² • Από την κάτω άκρη της μύτης ως τη βάση του λαιμού = α Φ • Το συνολικό ύψος λαιμού και κεφαλής = α Φ³ Αν υποθέσουμε ότι ένα κανονικό ανθρώπινο σώμα είναι 1,80 m τότε τα ιδανικά μήκη των προαναφερθέντων μερών είναι: • Το τμήμα από τη γραμμή των φρυδιών έως το κάτω άκρη της μύτης είναι 6,2 cm • Το ύψος από τη γραμμή των φρυδιών ως την κορυφή της κεφαλής είναι ίσο με 10 cm • Το ύψος από την κάτω άκρη της μύτης ως την κορυφή της κεφαλής είναι 16,2 cm • Το τμήμα από την κάτω άκρη της μύτης μέχρι τη βάση του λαιμού ισούται με 10 cm • Το συνολικό ύψος του λαιμού και της κεφαλής ισούται με 26,3 cm • Το συνολικό ύψος του τμήματος που ορίζεται από τη βάση του λαιμού ως και τις θηλές του στήθους είναι ίσο με 16,2 cm • Το τμήμα από τις θηλές του στήθους ως την κορυφή της κεφαλής ισούται με 42,5 cm • Το συνολικό μήκος του τμήματος από τη μέση (ομφαλός) μέχρι την κορυφή της κεφαλής είναι ίσο με 68,8 cm • Το συνολικό μήκος του τμήματος από το πέλμα του ποδιού έως και τη μέση (ομφαλός ) ισούται με 111,2 cm Στην περιγραφή του, ο Πολλίωνας αναφέρει: «Στο ανθρώπινο σώμα, το κέντρο είναι ο ομφαλός. Επομένως, αν ένας άντρας ξαπλώσει με το πρόσωπο προς τα πάνω, τα χέρια και τα πόδια του αναπτυγμένα, και σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο τον ομφαλό, τα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών θα αγγίξουν την περιφέρεια του κύκλου. Μπορούμε επίσης να περικλείσουμε το σώμα με ένα ορθογώνιο σχήμα». Αν διαιρέσουμε τη μια πλευρά του ορθογωνίου (το ύψος του ανθρώπου) με την ακτίνα του κύκλου (την απόσταση από τον ομφαλό μέχρι την άκρη των δαχτύλων), θα έχουμε το χρυσό αριθμό. Έτσι, για να ανακαλύψει κάποιος κατά πόσο ανταποκρίνεται στο πρότυπο της αισθητικής τελειότητας, δεν έχει παρά να πάρει μια μεζούρα. ΣΕΛΙΔΑ 61
  63. 63. 6.6 Ο αριθμός Φ στους καρδιακούς παλμούς του ανθρώπου. Η ανθρώπινη καρδιά χτυπά με περίπου 60 σφυγμούς το λεπτό σε κατάσταση ηρεμίας και με έως και 120 σφυγμούς σε κατάσταση άγχους ή έντονης κίνησης. Η πίεση του αίματος μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της καρδιακής λειτουργίας. Φθάνει τη μέγιστη τιμή της στην αριστερή καρδιακή κοιλία τη στιγμή της συστολής. Στις αρτηρίες κατά τη διάρκεια της κοιλιακής συστολής η πίεση του αίματος φθάνει τη μέγιστη τιμή των 115 - 125 mm στήλης υδραργύρου. Τη στιγμή της χαλάρωσης του καρδιακού μυός (διαστολή) η πίεση μειώνεται μέχρι τα 70 - 80 mm στήλης υδραργύρου. Ο λόγος της μέγιστης προς την ελάχιστη πίεση ισούται κατά μέσο όρο με 1,6, δηλαδή, πολύ κοντά στη χρυσή αναλογία. Είναι αυτή η σύμπτωση τυχαία ή μήπως απεικονίζει κάποια αντικειμενική κανονικότητα της αρμονικής οργάνωσης της καρδιακής δραστηριότητας; Η καρδιά χτυπά συνεχώς από τη στιγμή της γέννησης του ανθρώπου ως τη στιγμή του θανάτου του. Και η δραστηριότητά της πρέπει να είναι η βέλτιστη και να υπόκειται στους νόμους αυτοοργάνωσης των βιολογικών συστημάτων. Και καθώς η χρυσή αναλογία είναι ένα από τα κριτήρια των αυτό-οργανωμένων συστημάτων μπορούμε φυσικά να υποπτευθούμε ότι η καρδιακή λειτουργία υπόκειται στο νόμο της χρυσής τομής. Μπορούμε να κρίνουμε την καρδιακή λειτουργία με τη χρήση ενός ηλεκτροκαρδιογραφήματος, της καμπύλης που απεικονίζει τους διαφορετικούς κύκλους της καρδιακής λειτουργίας. Στο καρδιογράφημα μπορούμε να επιλέξουμε δύο τμήματα διαφορετικής διάρκειας που αντιστοιχούν στη συστολική (t1) και τη διαστολική (t2) καρδιακή δραστηριότητα. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει η βέλτιστη «χρυσή» παλμική συχνότητα για τον άνθρωπο αλλά και για άλλα θηλαστικά. Εδώ οι διάρκειες της συστολής, της διαστολής και του πλήρους καρδιακού κύκλου (Τ) βρίσκονται σε χρυσή αναλογία: T / t2 = t2 / t1 Οπότε, λόγου χάρη, για τον άνθρωπο η «χρυσή συχνότητα» είναι 63 παλμοί το λεπτό. Σε ένα ηλεκτροκαρδιογράφημα , απεικονίζονται 3 είδη κυμάτων των καρδιακών παλμών : τα κύματα P, το σύμπλεγμα κυμάτων QRS και τα κύματα Τ. Έχει παρατηρηθεί , ότι σε ένα ηλεκτροκαρδιογράφημα ήρεμων καρδιακών παλμών σχηματίζεται Χρυσή Τομή , όπως φαίνεται παρακάτω . ΣΕΛΙΔΑ 62
  64. 64. Έχει προταθεί ότι , αν υπάρχει σχέση Χρυσής Τομής σε έναν καρδιακό παλμό στο Τ τμήμα του ηλεκτροκαρδιογραφήματος , αναπαριστά μία κατάσταση υγείας, ειρήνης και αρμονίας. Ο συγκεκριμένος τομέας χρειάζεται περισσότερη μελέτη και επιστημονική υποστήριξη , αλλά αποτελεί μία ενδιαφέρουσα προοπτική για μία άλλη πιθανή εμφάνιση του Φ στη ζωή. Ακόμα, στην ακολουθία Fibonacci , ο λόγος κάθε επόμενου ζευγαριού αριθμών τείνει προς το Φ , όσο συνεχίζουμε. 1/0 = ΑΠΕΙΡΟ 1/1 = 1 2/1 = 2 3/2 = 1.5 5/3 = 1.666… 8/5 = 1.6 13/8 = 1.625 Αν σχεδιαστεί η γραφική παράσταση των λόγων αυτών , το πρώτο της μέρος παρουσιάζει μια ομοιότητα με ένα ηλεκτροκαρδιογράφημα , όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. ΣΕΛΙΔΑ 63
  65. 65. 6.7 Ο αριθμός Φ στο ανθρώπινο DNA. Το μόριο του DNA βασίζεται στη χρυσή τομή. Αποτελείται από δύο αλληλένδετες έλικες. Ένα τμήμα μίας ολοκληρωμένης διπλής έλικας του DNA , βασίζεται στη χρυσή τομή. Το μήκος της είναι 34 angstrom ή 34 1010 m (1 angstrom = 1,0 1010 m ) και το πλάτος της 21 angstrom αντίστοιχα για κάθε πλήρη κύκλο της διπλής έλικας21 και 34 είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci και η αναλογία τους 1,6190476 προσεγγίζει κατά πολύ το Φ=1,6180339. Επιπλέον, παρατηρούμε ότι και η κάθετη διατομή της διπλής έλικας του DNA σχηματίζει ένα δεκάγωνο. Συνεπώς, η δομική μονάδα της ζωής , το DNA, δομείται χρησιμοποιώντας το Φ και την Χρυσή Τομή. Διατομή DNA Δεκάγωνο Πεντάγωνο και Φ ΣΕΛΙΔΑ 64
  66. 66. ΤΕΛΟΣ Α ΜΕΡΟΥΣ Κλείνοντας θα θέλαμε να τονίσουμε πως είναι καθήκον μας και δικαίωμα μας να μελετάμε και να καταλαβαίνουμε τον κόσμο και ο αριθμός Φ αποτελεί αναμφισβήτητα ένα χρήσιμο εργαλείο. Ο μεγάλος γάλλος μαθηματικός Henri Poincare κάποτε είπε σχετικά: « Ο επιστήμονας δεν μελετά τη φύση επειδή είναι χρήσιμο, αλλά επειδή αυτό τον ευχαριστεί. Και τον ευχαριστεί επειδή η φύση είναι όμορφη. Εάν η φύση δεν ήταν όμορφη, τότε δεν θα άξιζε τον κόπο να την γνωρίσουμε. Και εάν δεν άξιζε τον κόπο να την γνωρίσουμε, τότε δεν θα άξιζε να ζούμε» ΣΕΛΙΔΑ 65
  67. 67. ΜΕΡΟΣ Β ΣΕΛΙΔΑ 66
  68. 68. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΟΙΤΑΞΤΕ ΠΡΟΣΕΧΤΙΚΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΕΙΚΟΝΑ! Αν σας βάζανε να διαλέξετε ένα ανάμεσα σε αυτά τα ορθογώνια ποιο θα διαλέγατε; Μήπως το δεύτερο; Σύμφωνα με έρυνες η περισσότεροι άνθρωποι θα επέλεγαν το δεύτερο ορθογώνιο και αυτή η επιλογή δεν είναι τυχαία. Συμβαίνει επειδή το δεύτ5ερο ορθογώνιο είναι φτιαγμένο σύμφωνα με τη χρυσή αναλογία και επομένως προσελκύει το ανθρώπινο μάτι και προκαλεί εντύπωση. Ίσως αυτός να είναι και ο λόγος που ο αριθμός Φ εμφανίζεται , σκόπιμα ή μη , στα μεγαλύτερα έργα τέχνης του πολιτισμού μας από τους αρχαίους χρόνους μέχρι και σήμερα αλλά και σε πολλές πτυχές της καθημερινότητας μας . ΣΕΛΙΔΑ 67
  69. 69. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΕΛΙΔΑ 68
  70. 70. 1.1 Ο Φ στην αρχιτεκτονική των αρχαίων χρόνων. 1.1.1 Ο αριθμός Φ στην πρόσοψη του Παρθενώνα . Η χρυσή τομή ή αλλιώς ο χρυσός αριθμός είναι ο αριθμός της αρμονίας και της ομορφιάς. Ξεκίνησε κατά τον 5ο αιώνα , γνωστός και ως ο χρυσός αιώνας της Ελλάδας. Οι ‘Έλληνες εκείνη την εποχή ήταν ευρέως γνωστοί λόγω των πανέμορφων και λαμπρών δημιουργημάτων της τέχνης και της αρχιτεκτονικής. Ο Παρθενώνας είναι ένα υπέρλαμπρο παράδειγμα, γεμάτος χρυσά ορθογώνια και προσαρμόζεται σχεδόν ακριβώς στο χρυσό ορθογώνιο. Οι αναλογίες του είναι με πολύ προσοχή μελετημένες και οι σχέσεις τους δίνουν ένα απροσδόκητα αισθητικό αποτέλεσμα. Μάλιστα πρέπει να αναφερθούμε και στις περίφημες καμπυλότητές του, δηλαδή στο σύνολο του κτίσματος δεν υπάρχει σχεδόν καμία ευθεία γραμμή. Οι οριζόντιες επιφάνειες κυρτώνουν ενώ οι κάθετες είναι γυρτές προς το εσωτερικό του κτηρίου. H χρυσή τομή ονομάζεται και η σχέση 4:9 . Για παράδειγμα το πλάτος του στυλοβάτη προς το μήκος του, η διάμετρος των κιόνων προς το μεταξόνιο (1,905μ:4,296μ), το ύψος του ναού προς το πλάτος του (13,72μ:30,88=4:9), το πλάτος του κυρίως ναού προς το μήκος του. Ενώ το πλάτος του ναού προς το ύψος έχουν μια σχέση 16:81, δηλ. 42:92. ΣΕΛΙΔΑ 69
  71. 71. Η πρόσοψη του Παρθενώνα αποτελεί κορυφαίο παράδειγμα εφαρμογής του Φ. Είχε φτιαχτεί χρησιμοποιώντας δύο μεγάλα ορθογώνια πλευράς μικρότερο. 5 και τέσσερα το Η αναλογία του μήκους του κτηρίου προς το ύψος της πρόσοψης ισούται με Φ, η χρυσή τομή. Ακόμα, υπάρχει ένας άρτιος αριθμός στυλοβατών κατά μήκος του μετώπου, οι οποίοι είναι οκτώ, και ένας περιττός αριθμός κατά μήκος των πλευρών, που είναι δεκαεπτά. Οι συνηθισμένοι δωρικοί ναοί έχουν έξι κίονες στο πλάτος και δεκατρείς στο μήκος. Αυτό όμως δεν ισχύει στον Ναό του Παρθενώνα εφόσον έχει οκτώ κίονες στο πλάτος και δεκαεπτά στο μήκος. Αν συγκρίνετε το μέγεθός του (69,54 μέτρα μήκος, 30,78 μέτρα πλάτος, 20 μέτρα ύψος) με διάφορα σύγχρονα κτήρια θα δείτε την τεράστια διαφορά που προκαλεί η οπτική εντύπωση. Το οπτικό αποτέλεσμα είναι εντυπωσιακό αρμονικό αλλά και απροσδόκητο πολλές φορές . Αυτό συμβαίνει γιατί ο Παρθενώνας δείχνει εντυπωσιακά μεγαλύτερος απ’ότι το πραγματικό του μέγεθος χωρίς όμως να βαραίνει τον χώρο. Για αυτούς τους λόγους ο Παρθενώνας είναι γνωστός ως το ‘’τέλειο κτήριο’’. ΣΕΛΙΔΑ 70
  72. 72. 1.1.2 Ο αριθμός Φ στα Αρχαία θέατρα. 1.1.2.Α Το Θέατρο της Επιδαύρου Το θέατρο της Επιδαύρου είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αρχαίων θεάτρων που είναι ασυνήθιστα μελετημένα ως προς την κατασκευή τους. Κατασκευάστηκε στο τέλος του 4ου αιώνα π.Χ. ενώ το πάνω διάζωμα προστέθηκε στα τέλη του 3ου π.Χ αιώνα. Αν παρατηρήσουμε την παραπάνω εικόνα θα διαπιστώσουμε ότι η ορχήστρα του είναι τέλειος κύκλος ενώ το κοίλον του σχηματίζει ημισφαίριο. Το κάτω διάζωμα αποτελείται από 34 σειρές καθισμάτων και το πάνω από 21 δηλαδή 55 σειρές συνολικά. Το άθροισμα των πρώτων 10 αριθμών (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) δίνει 55 το άθροισμα των πρώτων 6 δίνει 21(1+2+3+4+5+6) και το άθροισμα των 4 τελευταίων(7+8+9+10) δίνει 34.Βλέπουμε λοιπόν ότι ο χρυσός αριθμός Φ εμφανίζεται και στο θέατρο της Επιδαύρου αφού η αναλογία των δύο διαζωμάτων 21 προς 34 ισούται με 0,618(αριθμός Φ) αλλά και η αναλογία του κάτω διαζώματος προς το σύνολο των σειρών 34 προς 55 ισούται με 0,618 (αριθμός Φ) αποτελεί απόδειξη ενδελεχούς αρχιτεκτονικής και μαθηματικής Μελέτης. ΣΕΛΙΔΑ 71
  73. 73. 1.1.2 Β Το Αρχαίο Θέατρο της Δωδώνης. Η Αρχαία Δωδώνη υπήρξε λατρευτικό κέντρο του Δία και της Διώνης. Υπήρξε, επίσης, γνωστό μαντείο του αρχαίου ελληνικού κόσμου. Προσδιορίζεται γεωγραφικά σε απόσταση περίπου 2 χλμ. από τον οικισμό της Δωδώνης και κείται σε κλειστή, επιμήκη κοιλάδα, στους πρόποδες του όρους Τόμαρος, σε υψόμετρο 600 μ. Το Αρχαίο θέατρο της Δωδώνης χτίστηκε τον 3ο αιώνα π.Χ. επί βασιλείας Πύρρου και ακολουθεί το σχέδιο που έχουν όλα τα ελληνικά θέατρα. Χωρούσε 18.000 θεατές και ήταν το μεγαλύτερο της εποχής του. Κατά την τέλεση των Ναΐων προς τιμήν του Νάιου Δία, εκτός από τους αγώνες στο στάδιο γίνονταν και θεατρικοί αγώνες. Το θέατρο της ωδίνης χωριζόταν σε τρία διαζώματα (µε 19 σειρές εδωλίων το κάτω, 15 το µεσαίο και 21 το επάνω) και εννέα κερκίδες. Παρατηρούμε ότι: 19  15 34   1, 619   21 21 και 19  15  21 55   19  15 34 Γεγονός που μας δείχνει ότι οι Αρχαίοι Έλληνες ήταν πολύ προχωρημένοι! Είχαν την γνώση για το πώς να χτίσουν ένα αισθητικό και λαμπρό κτήριο, έκαναν μελέτες και υπήρχε διαχρονική συνέχεια σε τέτοιες κατασκευές. ΣΕΛΙΔΑ 72

×