7. 1. Означення
Правильний многогранник – це опуклий
многогранник, грані якого є правильними
многокутниками з однаковою кількістю сторін і
в кожній вершині якого сходиться однакова
кількість ребер.
много
гранн
ик –
випук
лий
ознаки правильних
многогранників
всі його грані –
рівні правильні
багатокутники
в кожній вершині
сходиться
одинакове число
граней
двогранні кути, які
містять дві грані і з
загальним ребром
рівні
7
8. 2. Платонові тіла
Правильні многогранники іноді ще називають
Платоновими тілами.
ПЛАТОНОВІ ТІЛА
ІК
А
С
А
Е
Д
Р
Д
О
Д
ЕК
А
Е
Д
Р
О
КТ
А
Е
Д
Р
КУ
Б
8
ТЕ
ТР
А
Е
Д
Р
9. 2. 1) Тетраедр
Тетраедр
–
це
многогранник, у якого всі
грані – правильні трикутники і
в кожній вершині сходиться по
три ребра.
Елементи:
вершин – 4
ребер – 6
граней – 4
Сума
плоских
кутів при кожній
вершині – 180º.
Сума довжин всіх ребер –
6а.
Кількісні характеристики:
a 6
a 6
, R=
,
r=
4
12
S = a2 3 ,
V =
a3 2
.
12
Відрізок, що сполучає вершину тетраедра з
точкою перетину медіан протилежної грані,
називається його медіаною, опущеною з даної
вершини.
Відрізок, що сполучає середини ребер
тетраедра, що схрещуються, називається його
бімедіаною, що сполучає дані ребра. Відрізок,
що сполучає вершину тетраедра з точкою
9
10. протилежної грані і перпендикулярний цій грані,
називається його висотою, опущеною з даної
вершини.
Властивість
Всі
медіани
і
бімедіани
тетраедра
перетинаються в одній точці. Ця точка ділить
медіани у відношенні 3:1, міряючи від вершини,
а бімедіани — навпіл.
Має:
3 осі симетрії,
6 площин симетрії.
Розгортка:
10
12. 2. 2) Гексаедр (куб)
Тетраедр
–
це
многогранник, у якого всі
грані – квадрати і в кожній
вершині сходиться по три
ребра.
Елементи:
вершин – 8
ребер – 12
граней – 6
Сума
плоских
кутів при кожній
вершині – 2400º.
Сума довжин всіх ребер –
12а.
Кількісні характеристики:
1
a 3
,
r= a, R=
2
2
S = 6 a2 , V = a3 .
Властивості
В куб можна вписати тетраедр двома
способами, притому чотири вершини тетраедра
будуть суміщено з чотирма вершинами куба. Всі
шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести
гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі граніквадрата.
Чотири перетини куба є правильними
шестикутниками — ці перетини проходять через
12
13. центр куба перпендикулярно чотирьом його
діагоналям.
У куб можна вписати октаедр, притому всі
шість вершин октаедра будуть суміщено з
центрами шести граней куба.
Куб можна вписати в октаедр, притому всі
вісім вершин куба будуть розташовано в центрах
восьми гранях октаедра.
У куб можна вписати ікосаедр, при цьому,
шість взаємно паралельних ребер ікосаедра
будуть розташовані відповідно на шести гранях
куба, решта 24 ребра всередині куба, всі
дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на
шести гранях куба.
Має:
9 осей симетрії,
9 площин симетрії.
Центр симетрії –
точка перетину
діагоналей
Розгортка:
13
14. 2. 3) Октаедр
Тетраедр
–
це
многогранник, у якого всі
грані – правильні трикутники і
в кожній вершині сходиться по
чотири ребра.
Елементи:
вершин – 6
ребер – 12
граней – 8
Сума
плоских
кутів при кожній
вершині – 300º.
Сума довжин всіх ребер –
12а.
Кількісні характеристики:
a 6
a 2
, R=
,
r=
6
2
S = 2a 2 3 ,
V =
a3 2
.
3
Властивості
Октаедр можна вписати в тетраедр, притому
чотири (з восьми) граней октаедра будуть
суміщено з чотирма гранями тетраедра, всі шість
вершин октаедра будуть суміщено з центрами
шести ребер тетраедра.
1
15. Октаедр можна вписати в куб, притому всі
шість вершин октаедра будуть суміщено з
центрами шести граней куба.
У октаедр можна вписати куб, притому всі
вісім вершин куба будуть розташовано в центрах
восьми гранях октаедра.
Має:
9 осей симетрії,
9 площин симетрії.
Центр симетрії –
точка перетину
осей симетрії
Розгортка:
16. 2. 4) Додекаедр
Додекаедр
–
це
многогранник, у якого всі
грані
–
правильні
п’ятикутники і в кожній
вершині сходиться по три
ребра.
Елементи:
вершин – 20
ребер – 30
граней – 12
Сума
плоских
кутів при кожній
вершині – 324º.
Сума
довжин
всіх ребер
– 30а.
Кількісні
характеристики:
r ≈ 1,1a , R ≈ 1,4 a ,
S ≈ 20 ,6 a 3 ,
V ≈ 7 ,66 a 3 .
1
18. 2. 5) Ікосаедр
Ікосаедр
–
це
многогранник, у якого всі
грані – правильні трикутники і
в кожній вершині сходиться по
п’ять ребер.
Елементи:
вершин – 12
ребер – 30
граней – 20
Сума
плоских
кутів при кожній
вершині – 300º.
Сума довжин всіх ребер –
30а.
Кількісні характеристики:
r ≈ 0, a ,
76
R ≈ 0 ,95a ,
S ≈ 5a 2 3 ,
V ≈ 2 ,18 a 3 .
Властивості
Ікосаедр можна вписати в куб, при цьому,
шість взаємно паралельних ребер ікосаедра
будуть розташовані відповідно на шести гранях
куба, решта 24 ребра усередині куба, всі
дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на
шести гранях куба
1
1
19. В ікосаедр може бути вписаний тетраедр,
притому, чотири вершини тетраедра будуть
суміщено з чотирма вершинами ікосаедра.
Ікосаедр можна вписати в додекаедр, притому
вершини ікосаедра будуть суміщені з центрами
граней додекаедра.
У ікосаедр можна вписати додекаедр,
притому вершини додекаедра будуть суміщені з
центрами граней ікосаедра
Має:
15 осей симетрії,
15 площин симетрії.
Розгортка:
21. 3. Чому правильних многогранників всього 5?
У правильному n
–угольнику при n≥6
кут не менше 120°. З
іншого
боку,
кожній
при
вершині
многогранника
повинно
бути
менше
3
кутів.
Тому,
не
плоских
якби
існував
правильний
многогранник, у якого грані, - правильні
n –
угольники при n≥6, то сума плоских кутів при
кожній вершині такого многогранника була б не
менше ніж 120°·3=360º . Але це неможливо,
оскільки сума усіх плоских кутів при кожній
вершині опуклого многогранника менше 360º.
22. 4. Теорема Декарта-Ейлера
Сума числа граней
та вершин дорівнює
числу
ребер,
збільшеному на 2:
Г+В=Р+2
Цю
формулу
характеристика.
називають
Ейлерова
4
6
8
2
6
8
12
14
2
октаедр
8
6
12
14
2
додекаедр
12
20
30
32
2
5
(Г+В-Р)
Число вершин (В)
4
гексаедр
Число граней та
вершин (Г+В)
Число граней (Г)
тетраедр
Число ребер (Р)
Правильний
многогранник
Ейлерова
характеристика
Теорема Декарта-Ейлера:
25. 5. 1) Великий ікосаедр
Грані
великого
ікосаедра – пересічні
трикутники.
Вершини великого
ікосаедра співпадають з
вершинами описаного
ікосаедра.
5. 2) Малий зірчастий додекаедр
Грані
малого
зірчастого додекаедра пентаграми, як і у
великого
зірчастого
додекаедра. У кожної
вершини
з'єднуються
п'ять граней.
Вершини
малого
зірчастого додекаедра
співпадають
з
вершинами описаного
ікосаедра.
26. 5.3) Великий додекаедр
Грані
великого
додекаедра – пересічні
п'ятикутники.
Вершини
великого
додекаедра співпадають з
вершинами
описаного
ікосаедра.
5. 4) Великий зірчастий додекаедр
Грані
великого
зірчастого додекаедра –
пентаграмы, як і у
малого
зірчастого
додекаедра. У кожної
вершини з'єднуються три
грані.
Вершини
великого
зірчастого
додекаедра
співпадають
з
вершинами
описаного
додекаедра.
9
27. 6. Тіла Архімеда
Архімедові тіла – напівправильні
опуклі многогранники, в яких всі двогранні
кути рівні, а грані – правильні
многокутники різних типів
