2. Над проектом працювали учні 10-11
класів:
1. Бадун Володимир 10 клас
2. Бадун Юрій 11 клас
3. Афоніна Анастасія 11 клас
Керівник проекту Дараган В.І.
3. Вивчаючи на уроках геометрії тему “Піраміда”, у
нас з'явилася ідея створити проект, де ми
систематизували і узагальнили все вивчене про дану
геометричну фігуру, а також дізналися, що існують
інші геометричні фігури, які не вивчаються в
шкільному курсі. Дослідили властивості фігур
Кеплера – Пуансо та Архімедових тіл.
4. Поняття слова “піраміда”
“Піраміда” – латинська форма грецького
слова “пюраміс”, яким греки називали
єгипетські піраміди; це слово походить від
давньоєгипетського слова “пурама”, яким
ці піраміди називали самі єгиптяни.
Сучасні єгиптяни називають піраміди
словом “ахрам”, яке також походить від
давньоєгипетського слова.
5. Основні поняття
Піраміда – многогранник, який
складається з плоского
многокутника – основи
піраміди, точки, яка не лежить
у площині основи, - вершини
піраміди і всіх відрізків, що
сполучають вершину піраміди з
точками основи.
Відрізки, що сполучають
вершину піраміди з вершинами
основи, називаються бічними
ребрами.
Поверхня піраміди складається
з основи і бічних граней. Кожна
бічна грань – трикутник.
Висотою піраміди називається
перпендикуляр, опущений з
вершини піраміди на площину
основи.
SABCD – піраміда
SA, SB, SC, SD – бічні ребра
ABCD – основа піраміди
SAD, SAB, SBC, SCD – бічні
грані
SO – висота
А
В С
D
O
S
Піраміда
6. Правильна піраміда
• Піраміда називається
правильною, якщо її основою є
правильний многокутник, а
основа висоти збігається з
центром цього многокутника.
• Віссю правильної піраміди
називається пряма, яка містить
її висоту.
• У правильній піраміді бічні
ребра рівні, отже, бічні грані –
рівні рівнобедрені трикутники.
• Висота бічної грані правильної
піраміди, проведена з її
вершини, називається
апофемою.
• Бічною поверхнею піраміди
називається сума площ бічних
граней.
A D
CB
O
P
E
PABCD – правильна піраміда
ABCD – правильний
многокутник
PO – вісь піраміди
PA= PB= PC= PD
∆ PAD= ∆ PAB= ∆ PBC= ∆ PCD
PE – апофема
7. Зрізана піраміда
• ABCDEF – зрізана піраміда
• Грані зрізаної піраміди, що
лежать у паралельних
площинах, називаються
основами.
• Основи зрізаної піраміди –
подібні многокутники.
• Бічні грані – трапеції.
• Зрізана піраміда, яку дістали
з правильної піраміди,
називається також
правильною.
• Бічні грані правильної
зрізаної піраміди – рівні
рівнобічні трапеції.
A
C
B
O
P
D
F
E
8. ABC – правильний
трикутник;
О – точка перетину
медіан (висот і
бісектрис), центр
вписаного і
описаного кола.
ABCD – квадрат;
О – точка
перетину
діагоналей.
ABCDEF – правильний
шестикутник;
О – точка перетину
діагоналей AD, BE і
FC.
9. Основні формули стосовно
піраміди
Назва формули Формула Позначення
Площа повної поверхні Sп = S+Sб S – площа основи;
Sб – площа бічної
поверхні
Площа бічної поверхні Sб = ½·P·l
Sб = Sо/ cos α
Р – периметр основи;
l – апофема;
α – двогранний кут
при основі
Об’єм довільної зрізаної
піраміди
V = ⅓·H·(S1+S2+√S1·S2) S1,S2 – площі основ;
Об’єм правильної зрізаної
піраміди
V = ½·(P1+P2)·l P1, P2 – периметри
основ
Об’єм піраміди V = ⅓·S·H
10. Рівносторонній трикутник
Якщо всі сторони трикутника рівні, він
називається рівностороннім.
Теорема 1. У рівносторонньому трикутнику
всі кути рівні.
Теорема 2. У рівносторонньому трикутнику
висота, медіана, бісектриса, проведені з
однієї вершини, збігаються.
Теорема 3. У рівносторонньому трикутнику
всі медіани (висоти, бісектриси) рівні між
собою.
Формули
A
B
C
F P
M
o
,
4
3
2
3
aS
2
3a
h
,2 33
rR ,
33
a
R 32
3
a
r
11. Квадрат
Квадрат може бути визначений як:
прямокутник, у якого дві суміжні сторони
рівні
ромб, у якого всі кути прямі (будь-який
квадрат є ромбом, але не будь-який ромб є
квадратом).
Площа квадрата
Радіус описаного кола
Радіус вписаного кола
2a
a
a
a
a
r
R
2
2
4
a
R
aSкв
2
24
a
r
12. Правильний шестикутник
Правильний шестикутник – це
правильний багатокутник з шістьма
сторонами.
Площа
Радіус вписаного кола
Радіус описаного кола
a
a
a
a a
a
o
a
aa
a
a
a
A
B
K
D
C
M
;
2
33
4
36
6
22
36
aa
SS
aR6
2
3
6
a
r
15. Платонові тіла
Тетраедр – трикутна
піраміда, всі ребра якої
рівні.
У правильного
тетраедра грані –
правильні трикутники.
У кожній вершині
сходяться по три
ребра.
Ікосаедр – це
правильний опуклий
багатогранник.
Кожна з 20 граней є
рівностороннім
трикутником.
Число ребер рівне 30,
число вершин -12.
Октаедр – це
многогранник, який
складається з двох
пірамід з однією
основою.
У октаедра грані –
правильні трикутники.
У кожній вершині
сходяться по чотири
ребра.
16. Платонові тіла
Гексаедр – правильний
багатогранник, кожна грань
якого є квадратом.
Чотири перетини куба є
правильними
шестикутниками
У куб можна вписати
октаедр, притому всі шість
вершин октаедра будуть
суміщені з центрами шести
граней куба.
Додекаедр – правильний
багатогранник, складений з
дванадцяти правильних
п'ятикутників.
Кожна вершина додекаедра є
вершиною трьох правильних
п'ятикутників.
додекаедр має 12 граней
(п'ятикутних), 30 ребер і 20
вершин (у кожній сходяться 3
ребра.
Сума плоских кутів при
кожній з 20 вершин рівна 324 °.
18. Архімедові тіла
Із правильних багатогранників (Платонові тіла) можна
отримати так звані на пів правильні багатогранники, або
Архімедові тіла. Гранями їх є також правильні, але
різнойменні багатокутники.
Відкриття тринадцяти
на пів правильних
багатогранників
приписується Архімеду,
він вперше перерахував їх
у роботі, яка не дійшла до
наших днів.
24. плер—
німецький філософ, математик,
астроном, астролог і оптик.
Відкрив закони руху планет,
названі на його честь. У
обчислювальній математиці на його
честь названо метод наближеного
обчислення інтегралів. Він
поширював логарифмічне
числення у Німеччині. Заснував
оптику як науку та допоміг довести
відкриття, зроблені з допомогою
телескопа його сучасником Ґалілео
Ґалілеєм.
Кеплер
25. Зірчастий октаедр (stella
octangula Кеплера).
У октаедра є тільки одна
зірчаста форма. Її можна
розглядати як поєднання
двох тетраедрів.
26. Цей багатогранник -
одне з тіл Кеплера -
Пуансо. У нього 12
вершин, 30 ребер і 12
граней.
28. Це остання зірчаста
форма правильного
додекаедра.
29. останній з чотирьох
правильних зірчастих
багатогранників Кеплера -
Пуансо.
Його вершини
представляють собою
центри правильних
п'ятикутних зірок, які
виступають з тіла
багатогранника.
Ця властивість ріднить
великий ікосаедр з великим
додекаедром і виділяє ці два
тіла з усієї безлічі
однорідних багатогранників.
31. ЦАРСЬКА ГРОБНИЦЯ
Велика піраміда була побудована як
гробниця Хуфу, відомого грекам як
Хеопс. Він був одним з фараонів,
або царів стародавнього Єгипту, а
його гробниця була завершена в
2580 до н.е. Пізніше в Гізі було
збудовано ще дві піраміди, для сина
і онука Хуфу, а також менші за
розмірами піраміди для їх цариць.
Піраміда Хуфу, сама далека на
малюнку, є найбільшою. Піраміда
його сина знаходиться в середині і
виглядає вище, тому що стоїть на
більш високому місці
33. Бріхадешвара - найбагатший храм Шиви. (Індія)
Виконано храм у формі піраміди, яка була побудована в епоху династії Чолов.
Для того часу цей храм був побудований дуже швидко - всього за 25 років.
Висота піраміди складає 58 метрів, а довжина кожної з чотирьох храмових стін,
що утворюють прямокутник - 152 і 76 метрів.
35. У 40-ВІ РОКИ БАКМІНСТЕР ФУЛЛЕР, ВИХОДЯЧИ ЗІ СТРУКТУРИ
ДАВНЬОГРЕЦЬКОГО ІКОСАЕДРА, СТВОРИВ ДІМАКСІОН, АБО
ГЕОДЕЗИЧНИЙ КУПОЛ, ПРИЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ВИКОРИСТАННЯ В
АРХІТЕКТУРНИХ СПОРУДАХ. ЗАСТОСУВАВШИ ІКОСАЕДРИЧНИЙ
КУПОЛ ЯК ОСНОВУ ДЛЯ КАРТОГРАФІЧНОЇ ПРОЕКЦІЇ.
38. Александрийский маяк
У 285 році до н.е.на острові Фарос
архітектор Сострат Кнідський
приступив до будівництва маяка.
Маяк будувався п'ять років і
вийшов у вигляді триповерхової
башти заввишки 120 метрів. У
підставі він був квадратом зі
стороною тридцять метрів,
перший 60-метровий поверх
башти був складний з кам'яних
плит і підтримував 40-метрову
восьмигранну башту, фанеровану
білим мармуром. На третьому
поверсі, в круглій, обнесеній
колонами башті, вічно горіло
величезне вогнище, що
відбивалося складною системою
дзеркал.
39. Висячі сади Семіраміди
За древніми переказами, Висячі Сади
Семіраміди містилися на східному березі
річки Євфрат, приблизно за 50 км від
південного Багдада (Ірак).
Історія створення цього Чуда світу сягає
давніх часів. Тоді вавилонський цар
Навуходоносор II (605 - 562 р. до н. е.) для
боротьби проти головного ворога - Ассирії,
війська якої двічі руйнували столицю
держави Вавилон, уклав військовий союз з
Кнаксаром, царем Мідії. Перемігши, вони
розділили територію Ассирії між собою.
Військовий союз був зміцнений одруженням
Навуходоносора II на дочці мідійського царя
Семіраміді.
Сад - чотирикутний, і кожна сторона його - чотири метри завдовжки. Він
складається з дугоподібних сховищ, які розташовуються у шаховому порядку
на зразок кубічним підставам. Сходження до самої верхньої тераси можливе
сходами.
40. Башта Сююмбіке в
Казані складається з
семи ярусів, нижні
яруси представляють із
себе паралелепіпеди а
верхні - багатогранники.
43. Собор у Ле-Мане (Франція) незвичайний своїми 13
многогранниками капел, радіально розходяться від
подвійної обхідної галереї.
44. Галикарнасский мавзолей
Кращі архітектори того часу
збудували мавзолей у вигляді
майже квадратного будівлі,
перший поверх якого був
власне усипальницею. Зовні ця
величезна похоронна камера,
площею 5000 кв. метрів і
висотою близько 20 метрів,
була обкладена обтесаними і
відполірованими плитами
білого мармуру. У другому
поверсі, оточеному колонадою,
зберігалися жертвопринесення,
дахом ж мавзолею служила
піраміда
50. Найпростіші
Скелет одноклітинного організму
феодарії (Circogonia icosahedra) за
формою нагадує ікосаедр.
Більшість феодарій живуть на
морській глибині і служать здобиччю
коралових рибок. Але найпростіше
тварина захищає себе дванадцятьма
голками, що виходять з 12 вершин
скелета. Він більше схоже на
зірчастий багатогранник.
З усіх многогранників з тим же числом граней ікосаедр має
найбільший обсяг при найменшій площі поверхні.
Це властивість допомагає морському організму долати тиск товщі
води.
51. За законами «суворої» архітектури ...
Бджоли - дивні створіння.
Бджолині стільники
представляють собою
просторовий паркет і
заповнюють простір так, що не
залишається просвітів.
Як не погодитися з думкою
бджоли з казки «Тисяча і одна
ніч»:
«Мій будинок побудований за законами самої суворої
архітектури. Сам Евклід міг би повчитися, пізнаючи геометрію
сот ».
52. Сніжинки це зірчасті багатокутники.
Вони мають поворотною симетрією,
мають центр симетрії і зазвичай шість
осей симетрії. За аналогією в просторі
зірчасті многогранники мають ті ж види
симетрій, але підпорядковуються ще і
дзеркальної симетрії, тобто симетрії
відносно площини.
Сніжинки - чарівний приклад краси
порядку в природі і чудове втілення
принципу єдності в різноманітті.
Тисячі різноманітних форм сніжинок
об'єднані законом поворотною симетрії
6-го порядку. Їх вивчав Рене Декарт.
А американський вчений Уільям Бентлі зібрав колекцію більше 6000
мікрофотографій сніжинок (рис. 2). Відомий німецький математик і астроном
Іоганн Кеплер (1571-1630) написав трактат «Про шестикутні сніжинки».
57. «Космічний кубок» Кеплера
Кеплер припустив, що існує зв'язок між п'ятьма
правильними многогранниками і шістьма відкритими до
того часу планетами Сонячної системи.
Згідно з цим припущенням, в сферу орбіти Сатурна
можна вписати куб, в який вписується сфера орбіти
Юпітера. У неї, у свою чергу, вписується тетраедр,
описаний близько сфери орбіти Марса. У сферу орбіти
Марса вписується додекаедр, до який вписується сфера
орбіти Землі. А вона описана близько ікосаедра, в який
вписано сфера орбіти Венери. Сфера цієї планети
описана близько октаедра, в який вписується сфера
Меркурія.
Така модель Сонячної системи отримала назву
«Космічного кубка» Кеплера. Результати своїх обчислень
вчений опублікував у книзі «Таємниця світобудови». Він
вважав, що таємниця Всесвіту розкрита.
Рік за роком вчений уточнював свої спостереження,
перевіряв дані колег, але, нарешті, знайшов у собі сили
відмовитися від привабливої гіпотези. Однак її сліди
проглядаються в третьому законі Кеплера, де мовитися
про куби середніх відстаней від Сонця
Модель Сонячної
системи
58. «Тайна вечеря»
Леонардо
да Вінчі
Христос зі своїми учнями зображений на тлі величезного прозорого додекаедра.
Форму додекаедра, на думку древніх, мав ВСЕСВІТ, тобто вони вважали, що ми
живемо всередині зводу, що має форму поверхні правильного додекаедра.
60. Титан Відродження, живописець, скульптор, вчений і винахідник
Леонардо да Вінчі (1452-1519) - символ нерозривності мистецтва і науки, а отже,
закономірний його інтерес до таких прекрасних, багато симетричних об'єктів, як
опуклі багатогранники взагалі і усічений ікосаедр зокрема.
Зображення Леонардо
да Вінчі додекаедра
методом жорстких
ребер (а) та методом
суцільних граней (б
61. Голландський художник Моріц
Корніліс Ешер (1898-1972) створив
унікальні і чарівні роботи, в яких
використане і показане широке коло
математичних ідей.
На гравюрі "Чотири тіла" Ешер зобразив
перетин основних правильних
багатогранників, розташованих на одній осі
симетрії, крім цього багатогранники
виглядають напівпрозорими, і крізь будь-
який з них можна побачити інші.
62. Витончений приклад зірчастого додекаедра
можна знайти в його роботі "Порядок і хаос". У
даному випадку зірчастий багатогранник
поміщений всередину скляної сфери.
Аскетична краса цієї конструкції контрастує з
безладно розкиданих по столу сміттям.
Найбільш цікава робота Ешера - гравюра
"Зірки", на якій можна побачити тіла, отримані
об'єднанням тетраедрів, кубів і октаедрів.
Якби Ешер зобразив у даній роботі лише різні
варіанти багатогранників, ми ніколи б не
дізналися про неї. Але він з якоїсь причини
помістив всередину центральної фігури
хамелеонів, щоб утруднити нам сприйняття
всієї фігури
74. Будівля Національної
бібліотеки, що зовні нагадує
багатогранник-діамант, за
останні роки стало одним з
найбільш часто
відвідуваних місць в
Мінську.
75. Архітектурна студія з Будапешта
(Угорщина) Epitesz Studio для участі в
конкурсі A101 Bock City Competition,
проведеному в Москві, розробила
інноваційний проект житлового
комплексу під назвою Village in the Air.
Крісло Hedronics розроблено
відомим німецьким
архітектором Даніелем
Дендра (Баухаус)
76. Будинок, побудований
архітектором Makoto Tanijiri
для однієї японської сім'ї.
Дизайн будинку грунтується
на принципах побудови
стародавніх японських
жител: круглих землянок
(звичайно 5-7 м у діаметрі)
з крутими солом'яними
дахами. На першому
поверсі порожнистої
піраміди знаходиться
вітальня - цей рівень
«втоплений» в землю
приблизно на метр. Вікна
кімнати виходять на кожну
сторону цього гігантського
багатогранника
78. Опрацьований матеріал даної теми
“Багатогранники”, зацікавив нас тому,
що навіть сьогодні це дуже актуально в
архітектурі, дизайні, мистецтві. Ми
дізналися багато нового, цікавого. Нам
сподобалося працювати над проектом, і
власне я мрію стати ландшафтним
дизайнером.
79.
80. Наші плани на майбутнє
До кінця навчального року створити відео проект
“Васильківка та геометрія”. Куди ввійдуть сюжети про
рідний край, архітектуру будівель, мостів та дизайн парку
та стадіону.
