1. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫חדו"א‬
(807 ‫שאלון‬ ‫־‬ ‫תשע"ג‬ '‫א‬ ‫מועד‬ ‫קיץ‬ ‫מבגרות‬ ‫)שאלה‬
.0 < a < 1 ,f(x) = ax+1
a2x−1 ‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬
.‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
.‫זוגית‬ ‫אי‬ ‫היא‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫כי‬ ‫הראה‬ .‫ב‬
.(‫כאלו‬ ‫ויש‬ ‫)במידה‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫והירידה‬ ‫העלייה‬ ‫תחומי‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ג‬
.f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫סרטט‬ .‫ד‬
‫הפונקציה‬ ‫לגרף‬ ‫המשיק‬ l ‫ישר‬ ‫העבירו‬ .‫זוגית‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ f (x) ‫הנגזרת‬ ‫שפונקציית‬ ‫ידוע‬ .‫ה‬
.T ,‫אחרת‬ ‫בנקודה‬ ‫הפונקציה‬ ‫לגרף‬ ‫המשיק‬ ‫אחר‬ ‫ישר‬ ‫והעבירו‬ ,x = 1 ‫שבה‬ ‫בנקודה‬ f(x)
‫שבה‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫על‬ ‫היחידה‬ ‫הנקודה‬ ‫היא‬ T) .‫לזה‬ ‫זה‬ ‫מקבילים‬ ‫המשיקים‬ ‫שני‬
.‫נמק‬ .T ‫נקודה‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ (‫הצורך‬ ‫)במידת‬ a ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ (l ‫ל־‬ ‫מקביל‬ ‫המשיק‬
1

2. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫חדו"א‬
‫קובע‬ ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ .0 < a < 1 ,f(x) = ax+1
a2x−1 ‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬ .‫א‬
:‫נדרוש‬ ‫ולכן‬ ‫יתאפס‬ ‫שהמכנה‬ ‫שאסור‬
a2x
− 1 = 0
a2x
= 1
2x = 0
.x = 0 ,‫אפס‬ ‫מלבד‬ x ‫כל‬ ‫הוא‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫ולכן‬
.f(−x) = −f(x) ‫מקיימת‬ ‫זוגית‬ ‫אי‬ ‫פונקציה‬ .‫ב‬
f(−x) = a−x+1
a−2x−1 = a−x
·a
a−2x−1 =
a
ax
1
a2x −1
=
a
ax
1−a2x
a2x
= a·a2x
ax(1−a2x) = a·ax
1−a2x
−f(x) = − ax+1
a2x−1 = − ax
·a
a2x−1 = ax
·a
−a2x+1
.‫זוגית‬ ‫אי‬ ‫הפונקציה‬ ‫ולכן‬ f(−x) = −f(x) ‫מתקיים‬
‫של‬ ‫הנגזרות‬ ‫את‬ ‫בנפרד‬ ‫נרשום‬ ‫הנוחות‬ ‫למען‬ .‫הנגזרת‬ ‫לפי‬ ‫וירידה‬ ‫עלייה‬ ‫תחומי‬ ‫נמצא‬ .‫ג‬
:‫והמכנה‬ ‫המונה‬
(ax+1
) = ax+1
· 1 · ln(a)
(a2x
− 1) = a2x
· 2 · ln(a)
:‫מנה‬ ‫של‬ ‫נגזרת‬ ‫לפי‬ ‫נגזור‬ ,f(x) ,‫הפונקציה‬ ‫את‬
f (x) = [ax+1
·1·ln(a)·(a2x
−1)]−[(ax+1
)·a2x
·2·ln(a)
(a2x−1)2 = ln(a)·ax+1
[(a2x
−1)−2a2x
]
(a2x−1)2
= ln(a)·ax+1
[−a2x
−1]
(a2x−1)2 = −ln(a)·ax+1
[a2x
+1]
(a2x−1)2
:‫ביטווים‬ ‫למספר‬ ‫המונה‬ ‫את‬ ‫נפרק‬ .0 < a < 1 ‫ש‬ ‫ידוע‬
.‫חיובי‬ ‫תמיד‬ :−ln(a)
.‫חיובי‬ ‫תמיד‬ :ax+1
.‫חיובי‬ ‫תמיד‬ :a2x
+ 1
‫ז"א‬ ,‫חיובית‬ ‫שהנגזרת‬ ‫מקבלים‬ ‫אנו‬ ‫ולכן‬ (‫הזוגית‬ ‫החזקה‬ ‫)בגלל‬ ‫חיובי‬ ‫תמיד‬ ‫גם‬ ‫המכנה‬
.‫מוגדרת‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ x = 0 ‫וכאשר‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫בכל‬ ‫עולה‬ ‫הפונקציה‬ .f (x) > 0
2

3. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫חדו"א‬
:‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ .‫ד‬
y
x
.xT = −1 ‫ולכן‬ f (1) = f (−1) ‫ולכן‬ ‫זוגית‬ ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ .‫ה‬
f(−1) = a2
1−a2
T(−1, a2
1−a2 )
3