Franciscus Vieta
Ο άνθρωπος των γραμμάτων
& οι μαθηματικοί τύποι του
• Francois Viete (1540 – 1603 )
• Γεννήθηκε στη Γαλλία
• Βιοποριζόταν απο τη νομική
αλλά είχε μεγάλη αγάπη
στα Μαθηματικά. Ένας
ιστορικός της εποχή του
γράφει: «Διαλογιζόταν
πάνω στα Μαθηματικά,
τόσο που πολλές φορές
έμενε άγρυπνος και χωρίς
φαγητό για τρείς συνεχείς
μέρες!»
Αν (B + D)A - A2 = B∙D
τότε Α = Β ή Α = D
Αν (α + β)x - x2
= αβ
τότε x = α ή x = β
Να μάθει ΚΑΘΕ
ΜΑΘΗΤΗΣ
μαθηματικά
Διόφαντος
François Viète
Λέει ο Βιέτ:
“Αυτή η λύση είναι γενική.
Ανεξάρτητα από το ποιους
αριθμούς αναπαριστούν το α
και το β οι δύο αριθμοί δίνονται
από το (α-β)/2 και (α+β)/2”
Η λύση του Διόφαντου Η λύση του Βιέτ
-υποθέτουμε ότι το
άθροισμα είναι 100 και η
διαφορά 40.
- υποθέτουμε ότι ο
μικρότερος αριθμός είναι x.
- τότε ο μεγαλύτερος
αριθμός θα είναι x+40.
- έτσι 2x+40=100.
- έτσι x=30.
Άρα οι δύο αριθμοί είναι
30 και 70.
- υποθέτουμε ότι το
άθροισμα είναι α και η
διαφορά β .
- υποθέτουμε ότι ο
μικρότερος αριθμός είναι x
- τότε ο μεγαλύτερος
αριθμός θα είναι x+β .
- έτσι 2x+β=α.
- άρα x=(α-β)/2.
Οι δύο αριθμοί θα είναι
𝛂−𝛃
𝟐
και
𝛂+ 𝛃
𝟐
"Αν δίδονται το άθροισμα και η διαφορά δύο οποιονδήποτε
αριθμών, τότε μπορούμε πάντοτε να βρίσκουμε ποιοι είναι
αυτοί οι αριθμοί"
Οι τύποι του Βιέτ για
το άθροισμα και το
γινόμενο των ριζών
μιας δευτοροβάθμιας
εξίσωσης
Αν x = α ή x = β τότε θα πρέπει να ισχύει: (x – α)(x – β) = 0
Αν κάνουμε τις πράξεις προκύπτει ότι
x2 – (α + β)x + αβ = 0
x2 + px + q = x2 – (α + β)x + αβ
Ο Βιέτ θεώρησε την εξίσωση
x2 + px + q = 0 και ότι έχει δύο, μοναδικές, ρίζες α και β
Οπότε, συμπέρανε ότι θα
πρέπει:
α + β = –p και
αβ = q
Οι τύποι του
Βιέτ στην
τριτοβάθμια
εξίσωση
• Μετά έκανε τις
αντίστοιχες σκέψεις για
την εξίσωση 3ου βαθμού
x3 + px2 + qx + r = 0.
• Αν οι ρίζες της είναι οι
α, β και γ τότε
προκύπτουν οι σχέσεις:
• α + β + γ = –p
• βγ + γα + αβ = q
• αβγ = –r
Evariste Galois
 Μπορείτε να αποδείξετε το θεώρημα
του Βιέτ;
Ας γράψουμε την εξίσωση στη μορφή:
𝒙𝟐
- (α + β)x + αβ = 0
Μπορείτε να λύσετε, με την βοήθεια του
θεωρήματος του Βιέτ, τις εξισώσεις:
i. 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎
ii. 2𝒙𝟐
− 𝟕𝒙𝟐
− 𝟒 = 𝟎
 Πως μπορούμε γρήγορα, να λύνουμε μια
εξίσωση της μορφής x2 – Sx + P = 0 ;
Μπορείτε να φτιάξετε μια εξίσωση που
να έχει ρίζες τους αριθμούς 3 και 5;
Το θεώρημα του Βιέτ για τη σχέση
ριζών και συντελεστών της
δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
Θεώρημα Ι:
Αν (α + β)x - 𝒙𝟐
= αβ, τότε x = α ή β
Παράδειγμα:
3𝒙 − 𝒙𝟐
= 2 τότε x = 1 ή 2
«Να βρεθούν δύο αριθμοί αν γνωρίζουμε το άθροισμά τους και το
άθροισμα των κύβων τους.»
Έστω x + y = B και x3 + y3 = D , να βρεθούν οι x, y
Η λύση του Βιέτ Μια «σημερινή» λύση
 Έστω x – y = Ε
Αφου, επιπλέον και x + y = B, θα ισχύουν
ότι: Β + Ε = 2x και Β – Ε = 2y και συνεπώς
x =
𝚩+𝚬
𝟐
, y =
𝚩− 𝚬
𝟐
(απο γνωστή πρόταση)
Άρα το άθροισμα των κύβων των αριθμών
θα είναι :
D = x3 + y3 = (
𝜝+𝜠
𝟐
)2 + (
𝜝− 𝜠
𝟐
)2 ⟹
8D = (B + E)2 + (B – E)2 ⟹
8D = 2B3 + 6BE2 ⟹
4D = B3 + 3BE2 ⟹
4D – B3 = 3BE2 ⟹
E2 =
𝟒𝑫−𝑩𝟑
𝟑𝑩
E2 =
𝟒𝑫−𝑩𝟑
𝟑𝑩
Αφού ξέρω το Ε2, μπορώ να βρώ
 Ισχύει η ταυτότητα:
x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
Άρα D = B3 – 3xyB ⟹
3xyB = B3 – D ⟹
xy =
𝑩𝟑− 𝑫
𝟑𝑩
 Αφού ξέρω το άθροισμα
και το γινόμενο των x , y,
μπορώ να τους βρώ.
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Έστω x + y = 1 και x
3
+ y
3
= 19
να βρεθούν οι x, y
Δραστηριότητα 3η
Συμμετρικές
παραστάσεις με ρίζες
• Έστω ότι η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 έχει ρίζες τις x1 , x2.
• Αν συμβολίσουμε με Sν το άθροισμα των νιοστών δυνάμεων
των ριζών, για ν > 2, (δηλαδή αν Sν = 𝒙𝟏
𝝂
+ 𝒙𝟐
𝝂
, ν > 2)
• Τότε ισχύει ότι: αSν + βSν-1 + γSν-2 = 0 , για κάθε ν > 2
Για παράδειγμα:
Αν ν = 3 ισχύει ότι: α(𝒙𝟏
𝟑
+ 𝒙𝟐
𝟑
) + β(𝒙𝟏
𝟐
+ 𝒙𝟐
𝟐
) + γ(x1 + x2) = 0
Το θεώρημα του Νεύτωνα
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η ιστορία των Μαθηματικών και η διδασκαλία των Σχολικών
Μαθηματικών θα μπορούσαν να συνδυαστούν με συνδετικό κρίκο την
Μαθηματική Αφήγηση, η οποία μπορεί να προσφέρει, πάνω απ’ όλα,
νόημα στη διδασκόμενη ύλη.
Και ας μην ξεχνάμε... Η ουτοπία μας δεν έχει,
αυστηρά τυπικά, καταριφθεί ακόμα....
Σας ευχαριστώ πολύ
για την προσοχή
σας!

Φρανσουά Βιετ | Σωτήρης Συριόπουλος

  • 1.
    Franciscus Vieta Ο άνθρωποςτων γραμμάτων & οι μαθηματικοί τύποι του
  • 2.
    • Francois Viete(1540 – 1603 ) • Γεννήθηκε στη Γαλλία • Βιοποριζόταν απο τη νομική αλλά είχε μεγάλη αγάπη στα Μαθηματικά. Ένας ιστορικός της εποχή του γράφει: «Διαλογιζόταν πάνω στα Μαθηματικά, τόσο που πολλές φορές έμενε άγρυπνος και χωρίς φαγητό για τρείς συνεχείς μέρες!»
  • 4.
    Αν (B +D)A - A2 = B∙D τότε Α = Β ή Α = D Αν (α + β)x - x2 = αβ τότε x = α ή x = β
  • 6.
  • 7.
  • 8.
    Λέει ο Βιέτ: “Αυτήη λύση είναι γενική. Ανεξάρτητα από το ποιους αριθμούς αναπαριστούν το α και το β οι δύο αριθμοί δίνονται από το (α-β)/2 και (α+β)/2” Η λύση του Διόφαντου Η λύση του Βιέτ -υποθέτουμε ότι το άθροισμα είναι 100 και η διαφορά 40. - υποθέτουμε ότι ο μικρότερος αριθμός είναι x. - τότε ο μεγαλύτερος αριθμός θα είναι x+40. - έτσι 2x+40=100. - έτσι x=30. Άρα οι δύο αριθμοί είναι 30 και 70. - υποθέτουμε ότι το άθροισμα είναι α και η διαφορά β . - υποθέτουμε ότι ο μικρότερος αριθμός είναι x - τότε ο μεγαλύτερος αριθμός θα είναι x+β . - έτσι 2x+β=α. - άρα x=(α-β)/2. Οι δύο αριθμοί θα είναι 𝛂−𝛃 𝟐 και 𝛂+ 𝛃 𝟐 "Αν δίδονται το άθροισμα και η διαφορά δύο οποιονδήποτε αριθμών, τότε μπορούμε πάντοτε να βρίσκουμε ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί"
  • 9.
    Οι τύποι τουΒιέτ για το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών μιας δευτοροβάθμιας εξίσωσης Αν x = α ή x = β τότε θα πρέπει να ισχύει: (x – α)(x – β) = 0 Αν κάνουμε τις πράξεις προκύπτει ότι x2 – (α + β)x + αβ = 0 x2 + px + q = x2 – (α + β)x + αβ Ο Βιέτ θεώρησε την εξίσωση x2 + px + q = 0 και ότι έχει δύο, μοναδικές, ρίζες α και β Οπότε, συμπέρανε ότι θα πρέπει: α + β = –p και αβ = q
  • 10.
    Οι τύποι του Βιέτστην τριτοβάθμια εξίσωση • Μετά έκανε τις αντίστοιχες σκέψεις για την εξίσωση 3ου βαθμού x3 + px2 + qx + r = 0. • Αν οι ρίζες της είναι οι α, β και γ τότε προκύπτουν οι σχέσεις: • α + β + γ = –p • βγ + γα + αβ = q • αβγ = –r
  • 11.
  • 12.
     Μπορείτε νααποδείξετε το θεώρημα του Βιέτ; Ας γράψουμε την εξίσωση στη μορφή: 𝒙𝟐 - (α + β)x + αβ = 0 Μπορείτε να λύσετε, με την βοήθεια του θεωρήματος του Βιέτ, τις εξισώσεις: i. 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 ii. 2𝒙𝟐 − 𝟕𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟎  Πως μπορούμε γρήγορα, να λύνουμε μια εξίσωση της μορφής x2 – Sx + P = 0 ; Μπορείτε να φτιάξετε μια εξίσωση που να έχει ρίζες τους αριθμούς 3 και 5; Το θεώρημα του Βιέτ για τη σχέση ριζών και συντελεστών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Θεώρημα Ι: Αν (α + β)x - 𝒙𝟐 = αβ, τότε x = α ή β Παράδειγμα: 3𝒙 − 𝒙𝟐 = 2 τότε x = 1 ή 2
  • 13.
    «Να βρεθούν δύοαριθμοί αν γνωρίζουμε το άθροισμά τους και το άθροισμα των κύβων τους.» Έστω x + y = B και x3 + y3 = D , να βρεθούν οι x, y Η λύση του Βιέτ Μια «σημερινή» λύση  Έστω x – y = Ε Αφου, επιπλέον και x + y = B, θα ισχύουν ότι: Β + Ε = 2x και Β – Ε = 2y και συνεπώς x = 𝚩+𝚬 𝟐 , y = 𝚩− 𝚬 𝟐 (απο γνωστή πρόταση) Άρα το άθροισμα των κύβων των αριθμών θα είναι : D = x3 + y3 = ( 𝜝+𝜠 𝟐 )2 + ( 𝜝− 𝜠 𝟐 )2 ⟹ 8D = (B + E)2 + (B – E)2 ⟹ 8D = 2B3 + 6BE2 ⟹ 4D = B3 + 3BE2 ⟹ 4D – B3 = 3BE2 ⟹ E2 = 𝟒𝑫−𝑩𝟑 𝟑𝑩 E2 = 𝟒𝑫−𝑩𝟑 𝟑𝑩 Αφού ξέρω το Ε2, μπορώ να βρώ  Ισχύει η ταυτότητα: x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) Άρα D = B3 – 3xyB ⟹ 3xyB = B3 – D ⟹ xy = 𝑩𝟑− 𝑫 𝟑𝑩  Αφού ξέρω το άθροισμα και το γινόμενο των x , y, μπορώ να τους βρώ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω x + y = 1 και x 3 + y 3 = 19 να βρεθούν οι x, y
  • 14.
    Δραστηριότητα 3η Συμμετρικές παραστάσεις μερίζες • Έστω ότι η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 έχει ρίζες τις x1 , x2. • Αν συμβολίσουμε με Sν το άθροισμα των νιοστών δυνάμεων των ριζών, για ν > 2, (δηλαδή αν Sν = 𝒙𝟏 𝝂 + 𝒙𝟐 𝝂 , ν > 2) • Τότε ισχύει ότι: αSν + βSν-1 + γSν-2 = 0 , για κάθε ν > 2 Για παράδειγμα: Αν ν = 3 ισχύει ότι: α(𝒙𝟏 𝟑 + 𝒙𝟐 𝟑 ) + β(𝒙𝟏 𝟐 + 𝒙𝟐 𝟐 ) + γ(x1 + x2) = 0 Το θεώρημα του Νεύτωνα
  • 15.
    ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Η ιστορία τωνΜαθηματικών και η διδασκαλία των Σχολικών Μαθηματικών θα μπορούσαν να συνδυαστούν με συνδετικό κρίκο την Μαθηματική Αφήγηση, η οποία μπορεί να προσφέρει, πάνω απ’ όλα, νόημα στη διδασκόμενη ύλη.
  • 16.
    Και ας μηνξεχνάμε... Η ουτοπία μας δεν έχει, αυστηρά τυπικά, καταριφθεί ακόμα.... Σας ευχαριστώ πολύ για την προσοχή σας!