جزوه کنترل مدرن دکتر برزمینی دانشگاه تهران مرکز این جزوه توسط دکتر محمد اعرابیان جمع آوری شده است. https://marabian.ir

1. 1 ‫برزمینی‬ ‫دکتر‬ ‫گرامی‬ ‫استاد‬ ‫جزوه‬
‫اول‬ ‫جلسه‬
‫هشت‬ ‫تا‬
‫هشتش‬
‫چهارده‬ ‫تا‬ ‫نه‬ ‫جلسه‬

2. 2
‫مدرن‬ ‫کنترل‬
‫مدل‬ ‫مبنای‬ ← ‫کالسیک‬ ‫کنترل‬
→ ‫تبدیل‬ ‫تابع‬ ‫سازی‬
G(s) =
y(s)
u(s)
=
Q(s)
P(s)
‫کنترل‬ ‫اصلی‬ ‫اهداف‬
‫پایداری‬
‫تنظیمسازی‬
‫طراحی‬ }
‫ریشه‬ ← ‫قطب‬
‫چندجمله‬ ‫های‬
‫م‬ ‫ای‬
‫تبدیل‬ ‫تابع‬ ‫خرج‬
‫پایدار‬ ← ‫چپ‬ ‫سمت‬ ‫قطب‬ ← ‫تبدیل‬ ‫تابع‬ ‫بررسی‬ ← ‫کالسیک‬
‫قطب‬ ← ‫پایداری‬ ‫شرط‬
‫ریشه‬ ‫دارای‬ ← ‫تبدیل‬ ‫تابع‬ ‫های‬
.‫باشد‬ ‫منفی‬ ً‫اکیدا‬ ‫حقیقی‬ ‫های‬
G(s) =
s + 3
(s + 1)(s + 2)
‫تنظیم‬
‫سازی‬
‫تنظیم‬ ‫در‬
‫قطب‬ ‫شیفت‬ ← ‫کالسیک‬ ‫سازی‬
‫را‬ ‫پایداری‬ ← ‫دلخواه‬ ‫مورد‬ ‫به‬ ‫رسیدن‬ ‫برای‬ ‫ها‬
‫تغییر‬ ‫دستخوش‬
‫نمی‬ ‫قرار‬
‫دهیم‬
‫بهینه‬ ‫کنترل‬ ‫در‬ ← ‫تعقیب‬
‫می‬ ‫تدریس‬
‫شود‬
‫اطالع‬ ‫سیستم‬ ‫داخل‬ ‫از‬ ← ‫ورودی‬ ‫به‬ ‫خروجی‬ ‫نسبت‬ ← ‫است‬ ‫تبدیل‬ ‫تابع‬ ← ‫کالسیک‬ ‫کنترل‬ ‫اصلی‬ ‫ایراد‬
‫نداریم‬ ‫زیادی‬
‫می‬ ‫مطلع‬ ‫سیستم‬ ‫داخل‬ ‫از‬ ← ‫حالت‬ ‫فضای‬ ‫مدل‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ← ‫مدرن‬ ‫کنترل‬
‫شویم‬

3. 3
X = AX + Bu
Y = CX + Du
X = [
X1
X2
⋮
Xn
] ⟶ ‫حالت‬ ‫از‬ ‫برداری‬
‫سیستم‬ ‫های‬
‫خروجی‬ /‫ورودی‬ ‫است‬ ‫ممکن‬ *
‫حالت‬ ‫جزء‬ ‫هم‬ ‫ها‬
.‫باشد‬ ‫سیستم‬ ‫های‬
‫می‬ ‫استاندارد‬
‫حالت‬ ← ‫گوید‬
‫ذخیره‬ ‫عناصر‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫ما‬ ‫های‬
‫می‬ ‫انرژی‬ ‫کننده‬
‫باشد‬
‫خازن‬ ‫و‬ ‫سلف‬ ‫تعداد‬ ‫به‬ ← ‫باشیم‬ ‫داشته‬ ‫مداری‬ ‫اگر‬ *
‫داریم‬ ‫حالت‬ ‫ها‬
‫حلقه‬ ‫تعداد‬ ‫به‬ *
‫های‬
‫ست‬ ‫کات‬ ‫و‬ ‫سلفی‬ ‫کامال‬
‫می‬ ‫کاسته‬ ‫موجود‬ ‫حاالت‬ ‫تعداد‬ ‫از‬ ← ‫خازنی‬ ‫های‬
‫شود‬
A
‫ماتریس‬ ‫یک‬
n × n
‫ارتباط‬ ‫شامل‬ ‫و‬
x ‫و‬ ẋ
‫است‬
U
‫ورودی‬
‫می‬ ‫سیستم‬ ‫های‬
‫باشد‬
B
‫ماتریس‬
n × m
‫ارتباط‬ ←
ẋ
‫ورودی‬ ‫با‬
‫ها‬
C
‫سیستم‬ ‫برای‬
‫واحد‬ ‫خروجی‬ ‫ورودی‬ ‫و‬ ‫خطی‬ ‫های‬
SiSO
‫می‬ ‫عدد‬ ‫یک‬
‫شود‬
‫سیستم‬ ‫برای‬
‫نداریم‬ ‫تبدیل‬ ‫تابع‬ ← ‫غیرخطی‬ ‫های‬
‫غیرخطی‬ ‫مدل‬
{
ẋ = f(x, u, t)
y = g(x, u, t)
‫نامعینی‬ ‫مقابل‬ ‫در‬ ‫سیستم‬ ‫اینکه‬ ‫برای‬ :‫مقاوم‬ ‫کنترل‬
‫پیش‬ ‫های‬
‫و‬ ‫پایدار‬ ‫شخص‬ ‫محدوده‬ ‫در‬ ‫نشده‬ ‫بینی‬
‫اس‬ ‫مقاوم‬ ‫کنترل‬ ← ‫برسد‬ ‫موردنظر‬ ‫هدف‬ ‫به‬
‫می‬ ‫تفاده‬
.‫شود‬
‫خود‬ ‫پارامترهای‬ ‫تغییر‬ ‫با‬ ‫سیستم‬ ‫تطبیق‬ ‫از‬ ‫است‬ ‫عبارت‬ :‫تطبیقی‬ ‫کنترل‬
‫روش‬ :‫هوشمند‬ ‫کنترل‬
‫(کنترل‬ ‫طبیعت‬ ‫از‬ ‫برداشت‬ ً‫عمدتا‬ ← ‫نوین‬ ‫های‬
‫کننده‬
‫فازی‬ ‫های‬
-
‫شبکه‬
‫های‬
‫عصبی‬
-
)‫ژنتیک‬
‫اصلی‬
‫پایداری‬ ‫فصل‬ ← ‫فصل‬ ‫ترین‬
𝐴 [ ] 𝑛×𝑛
𝑢 [
𝑢1
⋮
𝑢𝑚
]
𝐵 [ ] 𝑛×𝑚
𝐶 ×⟶ (1 × 𝑛)(𝑛 × 1)
= ‫عدد‬

4. 4
‫انرژی‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫پایدار‬ ‫سیستمی‬ ← ‫لیاپانوف‬
← ‫باشد‬ ‫کاهشی‬ ‫اش‬
‫پایداری‬ ‫بررسی‬ ‫برای‬ ← ‫روش‬ ‫این‬ ‫از‬
‫سیستم‬
‫می‬ ‫استفاده‬ ‫ها‬
‫شود‬
.‫شود‬ ‫کار‬ ‫ویژه‬ ‫مقادیر‬ ،‫دترمینان‬ ،‫ماتریسها‬
A = [
a b
c d
] ⟶ A−1
=
1
ad − bc
[
d −b
−c a
] 2 × 2 ⟵ A−1
A = [
a b c
d e f
g h i
] A−1
=
1
|A|
C∗
C∗
= [
A B C
D E F
G H I
]
T
A = (−1)2(ei − hf)
B = (−1)3(di − gf)
C = (−1)4(dh − ge)
‫سیستم‬ ‫نمایش‬ :‫سوم‬ ‫فصل‬
‫خطی‬ ‫های‬
‫خطی‬ ‫غیر‬ ‫سیستم‬ {
ẋ = f(x1u1t)
y = g(x1u1t)
‫خطی‬
‫سازی‬
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
{
X = Ax + Bu
̇
y = CX + Du
‫می‬ ‫جواب‬ ‫شرطی‬ ‫به‬ ← ‫سازی‬ ‫خطی‬
‫باشد‬ ‫کار‬ ‫نقطه‬ ‫حول‬ ‫که‬ ‫دهد‬
‫خطی‬ ‫معموال‬
‫تابع‬ ‫برای‬ ‫سازی‬
ẋ
‫می‬ ‫انجام‬
.‫شود‬
‫خطی‬ ‫اول‬ ‫روش‬
)‫(ژاکوبین‬ ‫سازی‬
{
x1
̇ = f1( )
x2
̇ = f2( )
⋮
xn
̇ = fn( )
‫ژاکوبین‬
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
A =
[
∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
⋯
∂f1
∂xn
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
⋯
∂fn
∂xn
⋮ ⋮ ⋯ ⋮
∂fn
∂x1
∂fn
∂x2
⋯
∂fn
∂xn]
B =
[
∂f1
∂u1
∂f1
∂u2
⋯
∂f1
∂um
∂fn
∂u1
∂fn
∂u2
∂fn
∂um]

5. 5
‫از‬ ‫عبارتند‬ ‫سیستمی‬ ‫غیرخطی‬ ‫معادالت‬ :‫مثال‬
{
dx1(t)
dt
= x1
2(t) − sin3x2(t) + u1
3(t) − u2(t) = f1(t)
dx1(t)
dt
= x2(t) − u1(t) + x1(t)e − x2(t) = f2(t)
‫ن‬
‫مبدا‬ ‫کار‬ ‫قطه‬
u
̂(t) = 0
‫و‬
x
̂(t) = 0
‫خطی‬ ← ‫بگیرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫را‬
‫پذیرد‬ ‫انجام‬ ‫موردنظر‬ ‫نقطه‬ ‫حول‬ ‫سازی‬
‫ماتریکس‬
‫می‬ ‫تشکیل‬ ‫را‬ ‫جاکوبین‬ ‫های‬
‫دهیم‬
Jx[x
̂(t)1u
̂(t)1t] ⟶ Jx[0] =
[
∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2]
J̇u[x
̂(t)1u
̂(t)1t] ⟶ J̇u =
[
∗
∂f1
∂u1
∂f1
∂u2
∂f2
∂u1
∂f2
∂u2]
Jx
̇ [
0
0
] = [
0 −3
1 1
] Ju[0] = [
0 −1
−1 0
] ⇒ ∆ẋ(t) = [
0 −3
1 1
] ∆x(t) + [
0 −1
−1 0
] ∆u(t)
‫آن‬ ‫در‬ ‫که‬
∆u(t)
‫و‬
∆x(t)
.‫هستند‬ ‫کار‬ ‫نقطه‬ ‫حول‬ ‫جزئی‬ ‫تغییرات‬ ←
‫ها‬‫مشتق‬ ‫راهنمای‬ :
J̇x[0]
A
= [
2x1 −3cos3x2
e−x2 1 − x1e − x2
]
(0/0)
J̇u[0]
B
= [eu1
2
−1
−1 0
]
(0/0)
‫ذخیره‬ ‫عناصر‬
‫حلقه‬ ‫تعداد‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫داریم‬ ‫حالت‬ ‫عناصر‬ ‫این‬ ‫تعداد‬ ‫به‬ :‫انرژی‬ ‫کننده‬
‫کات‬ ‫و‬ ‫سلفی‬ ‫کامال‬ ‫های‬
‫ست‬
‫کاست‬ ‫حاالت‬ ‫تعداد‬ ‫از‬ ‫خازنی‬ ‫های‬
‫می‬ ‫ه‬
.‫شود‬
۱
‫حالت‬ ‫تعداد‬ ‫ابتدا‬ )
‫می‬ ‫مشخص‬ ‫را‬ ‫مدار‬ ‫های‬
.‫کنیم‬
۲
‫ورودی‬ ‫تعداد‬ ‫سپس‬ )
‫می‬ ‫مشخص‬ ‫را‬ ‫مدار‬ ‫های‬
.‫کنیم‬
۳
‫می‬ ‫آن‬ ‫حالت‬ ‫بیانگر‬ ‫آن‬ ‫ولتاژ‬ ← ‫خازن‬ ‫هر‬ ‫برای‬ )
‫آن‬ ‫حالت‬ ‫بیانگر‬ ‫آن‬ ‫جریان‬ ← ‫سلف‬ ‫هر‬ ‫برای‬ / ‫باشد‬
‫می‬
.‫باشد‬
2x1
-3 → 3x2
1 × 𝑒−𝑥2 = 1 × 𝑒0
= 1
1 − 𝑥1𝑒
0
‫یادآوری‬ ⟶ 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
⟶ 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥

6. 6
۴
‫حالت‬‫از‬ ‫کدام‬ ‫هر‬‫برای‬ )
‫قوانین‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫ها‬
‫بدست‬ ‫اول‬ ‫مرتبه‬ ‫معادله‬‫یک‬ ← ‫مدار‬ ‫بر‬ ‫حاکم‬ ‫کیرشهف‬
‫می‬
‫آن‬ ‫باشد‬ ‫داشته‬ ‫مشتق‬ ‫عناصر‬ ‫از‬ ‫(یکی‬ ‫آوریم‬
)‫اول‬ ‫مرتبه‬ ‫مشتق‬ ‫هم‬
*
‫معموال‬ :‫نکته‬
KvL ⟵ ‫سلف‬ ‫برای‬
‫ها‬
KcL ⟵ ‫خازن‬ ‫برای‬ ‫و‬
‫ها‬
}
‫نمایش‬ ‫یک‬ ،‫حالت‬ ‫متغیرهای‬ ‫مناسب‬ ‫انتخاب‬ ‫با‬ ‫بگیرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫شده‬ ‫داده‬ ‫نشان‬ ‫الکتریکی‬ ‫مدار‬ :‫مثال‬
‫می‬ ‫فرض‬ .‫آورید‬ ‫دست‬ ‫به‬ ‫آن‬ ‫از‬ ‫حالت‬ ‫فضای‬
‫ولتاژ‬ ‫منابع‬ ‫مدار‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫شود‬
e1(t)
‫و‬
e2(t)
‫تنظیم‬ ‫قابل‬
‫می‬ ‫بنابراین‬ ‫و‬ ‫بوده‬
‫حالت‬ ‫متغیر‬ ‫سه‬ .‫نمود‬ ‫کنترل‬ ‫را‬ ‫سیستم‬ ‫توان‬
i۱
،
i2
‫و‬
v(t)
‫دا‬
‫دو‬ ‫همچنین‬ .‫ریم‬
‫ورودی‬
e۱
‫و‬
e۲
x(t) = [
x1(t)
x2(t)
x3(t)
] = [
i1(t)
i1(t)
i1(t)
]
1
Kvl
←
i1 = x1
i2 = x2
vc = x2
e1 = u1
e2 = u2}
−e1 + Ri1 + Vl1 + Vc = 0
‫جایگزینیها‬
→ −u1 + Rx1 + VL1 + x3 = 0
VL1 = L1
di1
dt
= L1x1
̇
l1x1
̇ = −Rx1 − x2 + u1 ⟹ x1
̇ =
1
L1
(−R1x1 − x2 + u1)
2
Kvl
←
−e2 + vl2 + vc = 0
‫جایگزینها‬
⇒ −u2 + vl2 + x3 = 0 ⇒ vl2 = l2x2
̇ = l2
di2
dt
= u2 − x2 ⇒ ẋ2 =
1
l2
(u2 − x2)
i1 + i2 = ic ⇒ i1 + i2 − ic = 0 ⇝ ic =
cdv
d2
= Cẋ3 ⇝ ẋ3 =
1
C
(x1 + x2)
[
ẋ1
ẋ2
ẋ3
] =
[
−R
L1
0
−1
L1
0 0
−1
L2
1
C
1
C
0 ]
x(t) +
[
1
L1
0
0
1
L2
0 0 ]
u(t)
‫ص‬ ‫مثال‬
۸
‫شماره‬ ‫اسالید‬
۱
‫شماره‬ ‫اسالید‬ ‫مثال‬ / ‫شد‬ ‫حل‬ ←
۱۷
‫شود‬ ‫حل‬ ‫خانه‬ ←
‫بنویسیم‬ ‫را‬ ‫اول‬ ‫مرتبه‬ ‫معادله‬ ‫که‬
۱
2
۳

7. 7
‫کنترل‬ :‫چهارم‬ ‫بخش‬
‫رویت‬ ‫و‬ ‫پذیری‬
‫پذیری‬
‫کنترل‬ ‫سیستمی‬
‫حالت‬ ‫دیدگاه‬ ‫از‬ ‫است‬ ‫پذیر‬
x0 ⟶ x1
‫ببریم‬
x۰
‫موجود‬
x۱
‫دلخواه‬
‫ساده‬
‫کنترل‬ ‫سیستم‬ ‫یک‬ ‫بدانیم‬ ‫اینکه‬ ‫بررسی‬ ‫برای‬ :‫متد‬ ‫ترین‬
‫خیر‬ ‫یا‬ ‫است‬ ‫پذیر‬
‫ماتریس‬ ‫تشکیل‬ :‫اول‬ ‫گام‬
∅C
∅C = [B AB A2
B ⋯ An−1
B]
‫کنترل‬ ‫سیستمی‬ :‫دوم‬ ‫گام‬
‫رنک‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫پذیر‬
∅C
‫یعنی‬ ← ‫باشد‬ ‫کامل‬
n
‫باشد‬
‫تشکیل‬ :‫مثال‬
∅C
‫کنترل‬ ‫منظور‬ ‫به‬
‫خیر‬ ‫یا‬ ‫بودن‬ ‫پذیر‬
[
ẋ1
ẋ2
] = [
0 1
−1 −2
] + [
0
1
] 𝑢
∅𝐶 = [𝐵 𝐴𝐵] = [
0 1
1 −2
] ⟹ |∅𝐶| = 0 − 1 = −1
≠ −1
‫صورتی‬ ‫در‬
‫ماتریس‬ ‫که‬
∅𝐶
‫اگر‬ ← ‫شد‬ ‫مربعی‬
|∅𝐶|
⏟
‫دترمینال‬
≠ 0
‫رنگ‬ ← ‫باشد‬
∅𝐶
‫می‬ ‫کامل‬
‫شود‬
‫ص‬ :‫مثال‬
۲۷
‫اسالید‬
۱۴
:
R1 = R2 = R
‫کنترل‬ ‫و‬ ‫آورید‬ ‫بدست‬ ‫را‬ ‫حالت‬ ‫معادالت‬
‫کنید‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫پذیری‬
𝑥1 = 𝑣𝑐
𝑥2 = 𝑖𝑙
𝑢 = 𝑣𝑖
𝑦 = 𝑣𝑜
}
𝑘𝑣𝑙 ⇒ −𝑣𝑖 + 𝑣𝑐 + 𝑣𝑙 = 0 ⟹ −𝑢 + 𝑥1 + 𝐿𝑥̇2 𝑣𝑙 =
𝑙𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝐿𝑥̇2
𝑥̇2 =
1
𝐿
(−𝑥1 + 𝑢)
𝑖𝑅1 + 𝑖𝐶 − 𝑖𝑙 − 𝑖𝑅2 ⇒
𝑥1
𝑅
+ 𝑐𝑥̇1 − 𝑥2 − (
𝑢 − 𝑥1
𝑅
) = 0
𝑣𝑐
𝑅2
=
𝑥1
𝑅

8. 8
𝐶𝑥̇1 = −
𝑥1
𝑅
+
𝑢 − 𝑥1
𝑅
+ 𝑥2 ⇒ 𝑥̇1 =
1
𝐶
[
−2𝑥1
𝑅
+ 𝑥2 +
𝑢
𝑅
] ⇒ [
𝑥̇1
𝑥̇2
] =
[
−2
𝑅𝑐
1
𝐶
−1
1
0]
[
𝑥1
𝑥2
] + [
+1
𝑅𝑐
1
𝐿
] 𝑢
⟹ 𝑛 = 2 ⇒ 𝐴𝑛−1
𝐵 =⟶ ‫همان‬ 𝐴𝐵 ⇒ ∅𝑐 = [𝐵 𝐴𝐵]‫ندارد‬ ‫ادامه‬ ‫و‬
‫برای‬
∅𝑐
‫مثال‬ ‫این‬
∅𝑐 =
[
1
𝑅𝑐
−2
𝑅2𝐶2
+
1
𝐿𝑐
1
𝐿
−
1
𝑅𝐿𝑐 ]
⇒ |∅𝑐| = −
1
𝑅2𝐶2𝐿
+
2
𝑅2𝐶2𝐿
−
1
𝐿2𝐶
=
1
𝑅2𝐶2𝐿
−
1
𝐿2𝐶
‫رتبه‬ ←
۲
‫می‬
‫کنترل‬ ‫سیستم‬ ← ‫باشد‬
‫و‬ ‫است‬ ‫پذیر‬
|∅𝐶| ≠ 0
‫کنترل‬ :‫مثال‬
.‫کنید‬ ‫چک‬ ‫را‬ ‫حالت‬ ‫تبدیل‬ ‫تابع‬ ‫پذیری‬
𝑥̇ = [
−1 −۲ ۱
۱ −۲ −۱
−۱ ۱ −۲
]
⏟
𝑛=3 𝐴
𝑥 + [
۱ ۱
۱ −۱
۱ ۰
]
⏟
𝐵
𝑢 ∅𝑐 = [𝐵 𝐴𝐵 𝐴2
𝐵]
*
‫ماتریس‬ ‫در‬
:‫غیرمربعی‬ ‫های‬
∅𝑐 = [
1 1 −۲ ۱ ۴ −۹
1 −۱ −۲ ۳ ۴ −۳
۱ ۰ −۲ −۲ ۴ ۶
]
𝑚𝑎𝑥𝑅𝑎𝑛𝑘 (∅𝑐) = min(𝑛, 𝑚)
‫می‬
‫فهمیم‬
n
‫یا‬
m
‫بود‬ ‫که‬ ‫هرکدام‬ ←
𝑅𝑎𝑛𝑘 (∅𝑐) = 3 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 ⟹ ‫است‬ ‫پذیر‬ ‫کنترل‬ ‫سیستم‬
‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ‫اگر‬ *
𝑅𝑎𝑛𝑘 (∅𝑐) = 2
‫می‬
‫کنترل‬ ← ‫شد‬
‫مثال‬ ‫نبود‬ ‫پذیر‬
∅𝑐 = [ ]2×6
B AB A2
B
=2
AB ‫در‬ A ‫حاصلضرب‬ ABA2
B
3 × 6
𝑛 × 𝑚

9. 9
‫کنترل‬ :‫مثال‬
‫کنید‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫سیستم‬ ‫حالت‬ ‫ماتریس‬ ‫پذیری‬
.
𝑥̇ = [
0 ۰ −۶
۱ ۰ −۱۱
۰ ۱ −۶
]
⏟
𝐴
𝑥 + [
1
1
۰
]
⏟
𝐵
𝑢
∅𝑐 = [𝐵 𝐴𝐵 𝐴2
𝐵] = [
1 ۰ −۶
۱ ۱ −11
۰ ۱ −۵
] ⇝ |∅𝑐| = ۰
‫سیستم‬ ←
‫کنترل‬
.‫نیست‬ ‫پذیر‬
‫قسمت‬ ‫کردن‬ ‫جدا‬ ‫برای‬ *
‫کنترل‬ ‫های‬
‫می‬ ‫انجام‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫مراحل‬ ‫ناپذیر‬
:‫دهیم‬
‫انتقال‬ ‫ماتریس‬ :‫اول‬ ‫گام‬
𝜁
‫ماتریس‬ ‫خطی‬ ‫مستقل‬ ‫بردارهای‬ ‫شامل‬ ‫که‬
∅𝑐
‫می‬
‫جایگزین‬ ‫برداری‬ ‫و‬ ‫باشد‬
‫وابسته‬ ‫بردار‬ ‫برای‬
‫ماتریس‬ ‫خطی‬
∅𝑐
‫می‬ ‫تشکیل‬ ‫کرده‬ ‫انتخاب‬
← ‫قبل‬ ‫مثال‬ ‫در‬ .‫دهیم‬
𝑇 = [
1 ۰ ۰
۱ ۱ ۱
۰ ۱ ۰
]
‫سپس‬ :‫دوم‬ ‫گام‬
𝜁−۱
‫می‬ ‫حساب‬ ‫را‬
‫کنیم‬
‫قبل‬ ‫مثال‬ ‫در‬
:
𝜁−1
= [
1 ۰ ۰
۰ ۰ ۱
−۱ ۱ −۱
]
‫محاسبه‬ :‫سوم‬ ‫گام‬
𝐴∗
= 𝜁−1
𝐴𝜁 = [
0 −۶ ۰
۱ −۵ ۱
۰ ۰ −۱
]
‫می‬ ‫تشکیل‬ ‫طوری‬ ‫را‬ ‫مربعی‬ ‫ماتریس‬ ‫و‬
‫دهیم‬
𝑍̇ = [
0 −۶ ۰
۱ −۵ ۱
۰ ۰ −۱
] 𝑧 + [
۱
۰
۰
] 𝑢
‫می‬ ‫حال‬
‫کنترل‬ ‫توانیم‬
‫پذیری‬
A
‫و‬
B
‫کنیم‬ ‫چک‬ ‫را‬ ‫جدید‬
e1 e2
e3=-6e1-5e2→)‫(رابطه‬ ‫ستون‬ ‫وابستگی‬
‫خطی‬ ‫مستقل‬ ۳ × ۳
e1 e2 ‫می‬ ‫انتخاب‬ ‫طوری‬
‫نباشد‬ ‫خطی‬ ‫وابسته‬ ‫که‬ ‫کنیم‬
𝐵∗
= 𝜁−1
𝐵 = [
1
0
۰
]
𝐴′
= [
0 −6
1 −5
] , 𝐵′
= [
1
0
]

10. 10
∅𝐶
′
= [𝐵 𝐴𝐵] = [
1 0
0 1
] ⇝ |∅𝐶
′ |
= 1 ‫کنترل‬ ‫زیرسیستم‬
‫پذیر‬
‫کنترل‬
:‫پذیری‬
𝑋̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
∅𝑐 = [𝐵 𝐴𝐵 𝐴2
𝐵 … 𝐴𝑛−1
𝐵]
‫کنترل‬ ‫شرط‬
:‫پذیری‬
‫رنگ‬ ‫اگر‬
∅𝑐
n
‫کنترل‬ ‫سیستم‬ ← ‫باشد‬
.‫است‬ ‫پذیر‬
‫رویت‬ ‫شرط‬
:‫پذیری‬
∅0 =
[
𝐶
𝐶𝐴
𝐶2
𝐴
⋮
𝐶𝑛−1
𝐴]
‫رنگ‬ ‫اگر‬
∅0
،
n
‫رویت‬ ‫سیستم‬ ← ‫باشد‬
‫است‬ ‫پذیر‬
:‫مثال‬
𝑋̇ = [
0 −6
1 −5
]
⏟
𝐴
𝑋 + [
1
0
]
⏟
𝐵
𝑢 𝑦 = [1 1]
⏟
𝐶
𝑋
∅0 = [
𝐶
𝐶𝐴
] = [
1 1
1 −11
] → 𝑑𝑒𝑡 = −12 ≠ 0 ‫رویتپذیر‬ ‫سیستم‬
∅𝐶 = [𝐵 𝐴𝐵] = [
1 0
0 1
] → 𝑑𝑒𝑡 =
‫رویت‬ :‫مثال‬
‫کنترل‬ ‫و‬ ‫پذیری‬
.‫کنید‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫پذیری‬
𝑋1 = 𝑉𝑐 𝑢 = 𝑣𝑖
𝑋2 = 𝑖𝑙 𝑦 = 𝑣𝑜
𝑛 × 𝑛 ‫مستقیم‬ ‫انتقال‬ ‫ماتریس‬
C
CA
B AB

11. 11
𝑖𝑐 = 𝐶
𝑑𝑣𝑐
𝑑𝑡
⇒ 𝑖𝑐 = 𝑐𝑥̇1
𝑖𝑅1 + 𝑖𝑐 − 𝑖𝑙 − 𝑖𝑅2 = 0 ⇝
𝑥1
𝑅1
+ 𝑐𝑥̇1 − 𝑥2 −
(𝑣𝑖 − 𝑥1)
𝑅2
‫چون‬
𝑅1 = 𝑅2
‫بود‬
←
⇒ 𝑥̇1 =
1
𝐶
[−
𝑥1
𝑅
+ 𝑥2 +
𝑢 − 𝑥1
𝑅
]
𝑥̇1 =
1
𝐶
[
−
𝑥1
𝑅
− −
𝑥1
𝑅
⏟
−2𝑥1
𝑅
+ 𝑥2 +
6
𝑅
]
⇒ 𝑥̇1 =
−2
𝑅𝐶
𝑥1 +
1
𝑐
𝑥2 +
𝑢
𝑅𝐶
−𝑣𝑖 + 𝑣𝑐 + 𝑣𝑙 = 0
𝑣𝑙 = 𝑣𝑖 − 𝑣𝑐 = 𝑢 − 𝑥1
𝑣𝑙 = 𝑙
𝑑𝑖𝑙
𝑑𝑡
= 𝐿𝑥̇2 ⇒ 𝑥̇2 =
−1
𝑙
𝑥1 +
1
𝑙
𝑢
𝑦 = 𝑣0 = 𝑣𝑙 = 𝑢 − 𝑥1
‫ک‬
‫نترل‬
‫خروجی‬ ‫معادله‬ ‫در‬ .‫شد‬ ‫انجام‬ ‫پذیری‬
(y)
،
u
‫کنترل‬ ‫آن‬ ‫طریق‬ ‫از‬ ‫و‬ )‫(ورودی‬ ‫شده‬ ‫ظاهر‬
.‫است‬ ‫پذیر‬
‫رویت‬ ‫بعد‬ ‫مرحله‬
‫پذیری‬
[
𝑥̇1
𝑥̇2
] = [
−2
𝑅𝐶
1
𝐶
−1
𝐿
0
] [
𝑥1
𝑥2
] + [
1
𝑅𝐶
1
𝐿
] 𝑦 = [−1 0] [
𝑥1
𝑥2
] + 𝑢
∅0 = [
𝑐
𝑐𝐴
] = [
−1 0
2
𝑅𝐶
−
1
𝐶
] |∅0| =
1
𝐶
≠ 0
‫رویت‬ ‫سیستم‬
.‫است‬ ‫پذیر‬
‫رویت‬
.‫کنید‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫پذیری‬
۱
۲

12. 12
‫رویت‬ ‫ماتریس‬
‫از‬ ‫است‬ ‫عبارت‬ ‫پذیری‬
:
∅۰ = [
𝑐
𝑐𝐴
𝑐𝐴2
]
[
1 ۱ ۰
۰ ۰ ۱
۰ ۱ ۱
−۱ −۲ −۱
−۱ −۲ ۰
۱ ۱ ۱ ]
𝑥̇(𝑡) = [
0 ۱ ۰
۰ ۰ ۱
−۱ −۲ −۱
] 𝑥(𝑡)
𝑦(𝑡) = [
1 ۱ ۰
۰ ۰ ۱
]
‫رتبه‬ ‫که‬
۳
‫رویت‬ ‫لذا‬ ‫است‬
.‫است‬ ‫پذیر‬
𝑒4 = 𝑒5 − 𝑒2
𝑒1 = 𝑒5 + 𝑒2
‫فوق‬ ‫ماتریس‬
۶ × ۳
‫حذف‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫بوده‬
e1
‫و‬
e4
‫ماتریس‬ ‫به‬
۴ × ۳
.‫است‬ ‫شده‬ ‫تبدیل‬
‫رویت‬ :‫مثال‬
.‫کنید‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫فوق‬ ‫سیستم‬ ‫پذیری‬
𝑥̇ = [
۰ ۱ ۰
۰ ۲ ۱
۰ −۱ ۱
] 𝑥 + [
1
2
۱
] 𝑢 𝑦 = [۰ ۰ ۱]𝑥
∅0 = [
𝐶
𝐶𝐴
𝐶𝐴2
] = [
۰ ۰ ۱
۰ −۱ ۰
۰ −۱ −۱
]
‫رنک‬ ‫بنابراین‬
∅0
،
۲
‫نمی‬
‫رویت‬ ‫سیستم‬ ‫پس‬ ‫باشد‬
.‫است‬ ‫ناپذیر‬
‫پس‬ ‫است‬ ‫صفر‬ ‫ستون‬ ‫یک‬ ‫چون‬
‫می‬ ‫صفر‬ ‫دترمینان‬
‫شود‬
e1
e2
e3
e4
e5
e6
c
cA
cA2

13. 13
[𝑎 𝑏] [
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓
] = [𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑎𝑑 + 𝑏𝑓]
𝑒3 = −𝑒1 + 2𝑒2
‫رویت‬ ‫سیستمی‬ ‫اگر‬
‫حالت‬ ‫کل‬ ‫که‬ ‫نیست‬ ‫معنا‬ ‫بدان‬ ‫این‬ ،‫بود‬ ‫ناپذیر‬
‫رویت‬ ‫سیستم‬ ‫های‬
‫است‬ ‫ناپذیر‬
‫حالت‬ ‫کردن‬ ‫جدا‬ ‫برای‬
‫رویت‬ ‫های‬
‫حالت‬ ‫از‬ ‫پذیری‬
‫رویت‬ ‫های‬
‫انتقال‬ ‫ماتریس‬ ‫ناپذیر‬
𝑢 [
𝑒1
𝑒2
𝐹1
]
‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬
‫مستقل‬ ‫بردارهای‬
∅0
‫خطی‬ ‫به‬ ‫وابسته‬ ‫بردارهای‬ ‫جایگزین‬ ‫بردارهای‬ ‫و‬
∅0
‫می‬ ‫تشکیل‬
‫ده‬
‫بردارهای‬ .‫ند‬
.‫باشند‬ ‫خطی‬ ‫بردارهای‬ ‫از‬ ‫مستقل‬ ‫باید‬ ‫جایگزین‬
:‫مثال‬
۳
-
۱۷
‫از‬ ‫است‬ ‫عبارت‬ ‫سیستم‬ ‫خروجی‬ ‫و‬ ‫حالت‬ ‫معادالت‬
𝑥̇(𝑡) = [
0 ۱ ۰
۰ ۲ ۱
۰ −۱ ۰
] 𝑥(𝑡) + [
1
2
1
] 𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = [0 0 1]𝑥(𝑡)
‫رویت‬ ‫ماتریس‬
‫از‬ ‫است‬ ‫عبارت‬ ‫سیستم‬ ‫پذیری‬
∅0 = [
۰ ۰ ۱
۰ −۱ ۰
۰ −۲ −۱
] 𝑢 = [
۰ ۰ ۱
۰ −۱ ۰
۱ ۰ ۰
] ⟹
𝑢−1
= [
۰ ۰ ۱
۰ −۱ ۰
۱ ۰ ۰
] , 𝑢−1
𝐴𝑢 = [
۰ ۱ ۰
−۱ ۲ ۰
۰ −۱ −
]
𝐶𝑢−1
= [1 0 0]
‫معادال‬ ‫از‬
‫ت‬
‫داریم‬
𝐴∗
= [
0 1
−1 2
] ∅0 = [
𝐺∗
𝐺∗
𝐴∗] = [
1 0
0 1
]
‫رنک‬ ‫پس‬
∅0
،
۲
‫بنابراین‬ ،‫است‬
C
‫و‬
A
‫رویت‬
‫هستند‬ ‫پذیر‬
.
𝑥′(𝑡) = [
𝐴11
′
0
𝐴21
′
𝐴22
′ ] 𝑥′(𝑡) + [
𝐵1
′
𝐵2
′ ] 𝑢(𝑡)
𝑦(𝑡) = [𝐶1
′
0]𝑥′
(𝑡)
𝐴11
′
‫ماتریس‬ ‫یک‬
𝑚 × 𝑚
‫جفت‬ ‫و‬
[𝐴11
′
𝐶1
′]
‫رویت‬ ‫کامال‬
‫است‬ ‫پذیر‬
‫جایگزین‬ ‫بردار‬
‫می‬ ‫جدا‬ ‫را‬ ‫باال‬ ‫سطر‬ ‫دو‬
‫کنیم‬
‫رویت‬ ‫کانونیکال‬
‫پذیر‬
‫رویت‬

14. 14
‫ویژه‬ ‫مقادیر‬
𝐴11
′
‫قطب‬ ‫را‬
‫رویت‬ ‫های‬
‫ویژه‬ ‫مقادیر‬ ‫و‬ ‫پذیر‬
𝐴۲۲
′
‫قطب‬ ‫را‬
‫رویت‬ ‫های‬
.‫گویند‬ ‫ناوذیر‬
‫قطب‬ ‫اگر‬ :‫تعریف‬ ‫بنابر‬
‫رویت‬ ‫های‬
‫ویژه‬ ‫(مقادیر‬ ‫سیستم‬ ‫ناپذیر‬
𝐴۲۲
′
‫آشکارپذیر‬ ‫را‬ ‫سیستم‬ ‫باشند‬ ‫پایدار‬ )
.‫گویند‬
)‫(بازسازی‬ ‫برعکس‬ ‫و‬ ‫حالت‬ ‫فضای‬ ‫به‬ ‫تبدیل‬ ‫تابع‬ ‫تبدیل‬ ‫نحوه‬ :‫تحقیق‬ ‫تئوری‬
‫تحقیق‬ ‫تئوری‬ Realization G(s)→
‫بازسازی‬ 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐺(𝑠) ←
{
𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑋 + 𝐷𝑢
‫کنترل‬ ‫تحقق‬
:‫پذیری‬
← ‫سیستم‬ ‫بودن‬ ‫سره‬ ‫اکیدا‬ ‫فرض‬ ‫با‬ :‫یادآوری‬
D
‫تبدیل‬ ‫(تابع‬ .‫نداریم‬ ‫را‬
‫مرتبه‬ ‫از‬ ‫صورت‬ ‫مرتبه‬ ‫که‬ ‫هایی‬
)‫است‬ ‫کمتر‬ ‫مخرج‬
𝑥̇ = [ ]𝑥 + [ ]𝑢 𝑦 = [ ]𝑥
‫سره‬ ← ‫باشد‬ ‫برابر‬ ‫باهم‬ ‫مخرج‬ ‫و‬ ‫صورت‬ ‫درجه‬ ‫اگر‬
‫ناسره‬ ← ‫باشد‬ ‫بزرگتر‬ ‫مخرج‬ ‫از‬ ‫صورت‬ ‫درجه‬ ‫اگر‬
[
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
]
‫صفر‬ ‫همگی‬ ‫آن‬ ‫زیر‬ ‫و‬ ‫اصلی‬ ‫قطر‬
‫اصلی‬ ‫قطر‬ ‫باالی‬ ‫داریه‬
۱
‫صفر‬ ‫همگی‬ ‫باالتر‬ ‫و‬
𝐺(𝑠) =
𝑏𝑛−1𝑠𝑛−1
+ 𝑏𝑛−2𝑠𝑛−2
+ ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0
1𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑠𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0
‫بایستی‬ ‫ضریب‬
۱
‫باشد‬
‫آن‬ ‫درغیراینصورت‬
‫می‬ ‫یک‬ ‫را‬
‫کنیم‬
A

15. 15
[
0
0
0
0
1]
⏟
𝐵
[𝑏0𝑏1 … 𝑏𝑛−1]
⏟
𝐶
‫مثال‬
.‫بنویسید‬ ‫را‬ ‫تبدیل‬ ‫تابع‬ ‫حالت‬ ‫فضای‬ ‫مدل‬ :
𝐺(𝑠) =
2𝑠2
+ 3𝑠 + 1
𝑠3 + 2𝑠2 + 4𝑠 + 5
𝑋̇ = [
۰ ۱ ۰
۰ ۰ ۱
−۵ −۴ −۲
] 𝑥 + [
0
0
۱
] 𝑢 𝑦 = [1 3 2]𝑥
𝐺(𝑠) =
𝑠+1
𝑠3+𝑠
‫کنترل‬ ‫(تحقق‬ ‫حالت‬ ‫فضای‬ ‫مدل‬ :‫مثال‬
)‫پذیری‬
[
0 1 0
0 0 1
0 −1 0
]
⏟
𝐴
[
0
0
1
]
⏟
𝐵
[1 1 0]
⏟
𝐶
‫رویت‬
‫کنترل‬ ‫همیشه‬ :‫پذیری‬
‫رویت‬ ‫و‬ ‫پذیری‬
.‫هستند‬ ‫هم‬ ‫دوگان‬ ‫پذیری‬
𝑋̇ =
[
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1]
𝑥 + [
𝑏0
𝑏1
⋮
𝑏𝑛−1
] 𝑢 , 𝑦 = [0 0 0 0 0 1]𝑘
‫مثال‬
‫(رویت‬ ‫بنویسید‬ ‫را‬ ‫قبل‬ ‫های‬
)‫پذیری‬
𝑋̇ = [
0 −5
1 0 −4
0 −2
] 𝑥 + [
1
2
۳
] 𝑢 𝑦 = [0 0 1]
𝑋̇ = [
0 0 0
1 0 −1
0 1 0
] 𝑥 + [
1
1
0
] 𝑢 𝑦 = [0 0 1]
−𝑎1
−𝑎0 −𝑎2
𝑏0 𝑏1 𝑏2

16. 16
‫بازسازی‬
Reconstruction
𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑆𝐼 − 𝐴)−1
𝐵
‫ابتدا‬
(𝑆𝐼 − 𝐴)−1
‫می‬ ‫بدست‬ ‫را‬
‫آوریم‬
:‫مثال‬
𝑥̇ = [
0 1
−2 −1
] 𝑥 + [
0
1
] 𝑢 , 𝑦 = [1 1]𝑥
𝑆 [
1 0
0 1
] − [
0 1
−2 −1
] = [
𝑠 −1
2 𝑠 + 1
] ⇒ (𝑆𝐽 − 𝐴)−1
=
1
𝑑𝑒𝑡
[ −
−
] ⇒
1
𝑠(𝑠 + 1) + 2
[
𝑠 + 1 1
−2 𝑠
] ⇒ 𝐺(𝑠)
=
1
𝑠2 + 𝑠 + 2
[1 1] [
𝑠 + 1 1
−2 𝑠
] [
0
1
] ⟶
1
𝑠2 + 𝑠 + 2
[𝑠 − 1 𝑠 + 1] [
0
1
] =
𝑠 + 1
𝑠2 + 𝑠 + 2
:‫مثال‬
𝑥̇ = [
0 −2
1 3
]
⏟
𝐴
𝑥 + [
2
3
]
⏟
𝐵
𝑢 𝑦 = [1 1]
⏟
𝐶
𝑥
𝐺(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1
𝐵 ⇒ 𝑆𝐼 − 𝐴 = [
𝑠 2
−1 𝑠 − 3
] ⇝ ( )−1
=
1
𝑑𝑒𝑡
‫کهاد‬ =
1
𝑠(𝑠 − 3) + 2
[
𝑠 − 3 −2
1 𝑠
]
⏟
(𝑆𝐼−𝐴)−1
⇒ 𝐺(𝑆) =
1
𝑠2 + 3𝑠 + 2
[1 1] [
𝑠 − 3 −2
1 𝑠
] [
2
3
]
𝐺(𝑆) =
1
𝑠2 − 3𝑠 + 2
[𝑠 − 2 𝑠 − 2] [
2
3
] =
5(𝑠 − 2)
𝑠2 − 3𝑠 + 2
:‫کنترل‬ ‫اهداف‬
۱
‫پایداری‬ )
(Stability)
۲
‫کردن‬ ‫تنظیم‬ )
(Setting)
۳
‫کردن‬ ‫دنبال‬ )
(Tracking)
‫مهم‬ ‫و‬ ‫اولین‬ ‫پس‬
‫(اصلی‬ ‫است‬ ‫پایداری‬ ← ‫هدف‬ ‫ترین‬
)‫هدف‬ ‫ترین‬
‫کهاد‬

17. 17
‫مدل‬ ‫در‬ ‫پایداری‬ ‫شرط‬
‫قطب‬ ← ‫تبدیل‬ ‫تابع‬ ‫های‬
‫ریشه‬ ‫(در‬ ‫تبدیل‬ ‫تابع‬ ‫های‬
)‫مخرج‬ ‫های‬
‫محور‬ ‫چپ‬ ‫سمت‬
)‫باشد‬ ‫منفی‬ ‫حقیقی‬ ‫قسمت‬ ‫(دارای‬ ‫باشد‬ ‫موهومی‬
:‫مثال‬
𝑃 = −1 , −3 ⇒ ‫پایدار‬
𝐺(𝑆) =
𝑠 + 1
(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
‫حالت‬ ‫فضای‬ ‫مدل‬ {
𝑋
̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
‫تحقق‬
←
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
‫بازسازی‬
→
𝐺(𝑆) =
𝑄(𝑆)
𝑃(𝑆)
‫سیستم‬ ‫برای‬ ‫پایداری‬ ‫معیار‬ :‫لیاپانوف‬
‫شرطی‬ ‫به‬ ← ‫است‬ ‫پایدار‬ ‫سیستمی‬ ‫(هر‬ ‫حالت‬ ‫فضای‬ ‫مدل‬ ‫های‬
‫که‬
‫انرژی‬
)‫باشد‬ ‫کاهشی‬ ‫اش‬
‫که‬ ‫است‬ ‫جایی‬ :‫تعادل‬ ‫نقطه‬
𝑋̇ = 0
‫می‬
.‫شود‬
.‫آورید‬ ‫دست‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫سیستم‬ ‫تعادل‬ ‫نقاط‬ :‫مثال‬
𝑥̇ = [
0 1
−1 −2
] 𝑋
𝑥̇1 = 𝑥2 = 0 𝑥̇2 = −𝑥1 − 𝑥2 = 0 𝑥𝑒 [
0
0
]
‫راهنمایی‬
→ [
𝑥̇ 1
𝑥̇ ۲
] = [
۰ ۱
−۱ −۲
] [
𝑥۱
𝑥۲
] ⟶
𝑥̇ 1 = 0𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥2 = 0
𝑥̇ 2 = −𝑥1 − 𝑥2 = 0 ⟶ 𝑥1 = 0
.‫آورید‬ ‫بدست‬ ‫را‬ ‫تعادل‬ ‫نقطه‬ :‫غیرخطی‬ ‫سیستم‬ :‫مثال‬
𝑥̇1 = 𝑥1 − 𝑥2
2
𝑥̇2 = 𝑥1
2
− 2𝑥2
[
𝑥̇1
𝑥̇2
] = [ ] [
𝑥1
𝑥2
]
𝑥̇1 = 𝑥1 − 𝑥2
2
= 0 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2
2
𝑥̇2 = 𝑥2
2
− 2𝑥2 = 0
𝑥2
2
− 2𝑥2 = 0 ⇝ 𝑥2 = 0√2
3
⇒ 𝑥1 = 0√4
3

18. 18
𝑥2(𝑥2
3
− 2) = 0
‫تعادل‬ ‫نقاط‬
→ 𝑋𝑒 [
0
0
] ‫یا‬ [√2
3
√4
3 ]
:‫مثال‬
𝑋̇ = sin 𝑥 sin 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝑛𝜋 , 𝑛 = 0,1,2, …
‫بگیرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫دایره‬ ‫دو‬ :‫لیاپانوف‬ ‫پایداری‬
𝜀
‫و‬
𝛿
‫محدوده‬ ‫در‬ ‫سیستمی‬ ‫اگر‬
𝜀
‫وارد‬ ‫و‬ ‫شود‬ ‫کوچکتر‬ ‫و‬ ‫باشد‬
‫دایره‬
𝛿
‫محدوده‬ ‫از‬ ‫دیگر‬ ← ‫شود‬
𝛿
.‫است‬ ‫پایدار‬ ‫نشود‬ ‫خارج‬
‫حالت‬ ‫تمام‬ ‫اگر‬ ← ‫است‬ ‫پایدار‬ ‫سیستمی‬ *
‫دایره‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫آن‬ ‫های‬
‫شعاع‬ ‫به‬ ‫ای‬
𝜀
‫است‬ ‫تعادل‬ ‫نقطه‬ ‫حول‬ ‫که‬
‫دایره‬ ‫وارد‬ ‫و‬ ‫کرده‬ ‫حرکت‬
‫شعاع‬ ‫به‬ ‫کوچکتر‬ ‫ای‬
𝛿
‫پایدار‬ ‫سیستم‬ ‫این‬ ‫به‬ ← ‫نشود‬ ‫خارج‬ ‫آن‬ ‫از‬ ‫و‬ ‫شود‬ ‫وارد‬
‫می‬ ‫لیاپانوف‬
.‫گویند‬
‫حالت‬ ‫اگر‬ *
‫برسند‬ ‫تعادل‬ ‫نقطه‬ ‫به‬ ‫ها‬
𝑋𝑒
←
.‫است‬ ‫لیاپانوف‬ ‫مجانبی‬ ‫پایدار‬ ‫سیستم‬
‫شعاع‬ ‫به‬ ‫بزرگتر‬ ‫دایره‬ :‫جذب‬ ‫حوزه‬
𝜀
.‫گویند‬ ‫را‬
‫آن‬ ‫از‬ ‫اما‬ ‫کرد‬ ‫حرکت‬ ‫یا‬ ‫و‬ ‫نکرد‬ ‫حرکت‬ ‫کوچکتر‬ ‫دایره‬ ‫سمت‬ ‫به‬ )‫بزرگتر‬ ‫(دایره‬ ‫جذب‬ ‫حوره‬ ‫از‬ ‫اگر‬ :‫ناپایداری‬
.‫است‬ ‫ناپایدار‬ ‫سیستم‬ ‫آن‬ ← ‫شد‬ ‫خارج‬
‫شعاع‬ ‫اندازه‬ ‫یعنی‬ ‫جذب‬ ‫حوزه‬ ‫اگر‬ :‫فراگیر‬ ‫پایدار‬
𝜀
‫بی‬
.‫است‬ ‫فراگیر‬ ‫پایدار‬ ‫سیستم‬ ← ‫باشد‬ ‫نهایت‬
‫شعاع‬ ‫اندازه‬ ‫یعنی‬ ‫جذب‬ ‫حوزه‬ ‫اگر‬ :‫فراگیر‬ ‫مجانبی‬ ‫پایدار‬
𝜀
‫بی‬
‫حالت‬ ‫همه‬ ‫نهایت‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫باشد‬ ‫نهایت‬
‫به‬ ‫ها‬
.‫برسند‬ ‫تعادل‬ ‫نقطه‬
‫پایدار‬
BIBO
.‫باشد‬ ‫محدود‬ ‫خروجی‬ ← ‫محدود‬ ‫ورودی‬ ‫ازای‬ ‫به‬ :

19. 19
‫ق‬
‫سیستم‬ ‫پایداری‬ ‫ضایای‬
‫های‬
LTI
‫قسمت‬ ‫دارای‬ ‫آن‬ ‫ویژه‬ ‫مقادیر‬ ‫کلیه‬ ‫اگر‬ ‫فقط‬ ‫و‬ ‫اگر‬ ‫است‬ ‫لیاپانوف‬ ‫مفهوم‬ ‫به‬ ‫پایدار‬ ‫سیستم‬
‫حقیقی‬ ‫های‬
.‫نباشد‬ ‫تکراری‬ ‫آن‬ ‫موهومی‬ ‫ویژه‬ ‫مقادیر‬ ‫و‬ )‫منفی‬ ‫یا‬ ‫باشند‬ ‫صفر‬ ‫(یا‬ ‫باشد‬ ‫نامثبت‬
.‫کنید‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫سیستم‬ ‫پایداری‬ :‫مثال‬
𝑋̇ = [
0 1
−1 −2
] 𝑋
‫کردیم‬ ‫حساب‬ ‫قبال‬ ‫که‬ ‫را‬ ‫تعادل‬ ‫نقطه‬ ‫اول‬
𝑋𝑒 [
0
0
]
‫می‬ ‫ویژه‬ ‫مقادیر‬ ‫سراغ‬ ‫سپس‬
.‫رویم‬
‫ویژه‬ ‫مقادیر‬
←
|𝜆𝐼 − 𝐴| = 0
‫می‬ ‫حساب‬ ‫را‬ ‫دترمینان‬ ‫حال‬
.‫کنیم‬
𝜆 [
۱ ۰
۰ ۱
] − [
۰ ۱
−۱ −۲
] = [
𝜆 −۱
۱ 𝜆 + ۲
]
)‫اول‬ ‫(روش‬ ‫است‬ ‫لیاپانوف‬ ‫پایدار‬ ‫سیستم‬
⇒ 𝑑𝑒𝑡|𝜆𝐼 − 𝐴| = 𝜆(𝜆 + 2) + 1 = 𝜆2
+ 2𝜆 + 1 = (𝜆 + 1)2
= 0 {
𝜆1 = −1
𝜆2 = −1
:‫تمرین‬
.‫نمایید‬ ‫بررسی‬ ‫لیاپانوف‬ ‫اول‬ ‫روش‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫سیستم‬ ‫پایداری‬
𝑋̇ = [
1 1
−2 −3
] 𝑥
𝑥̇1 = 𝑥1 + 𝑥2 = 0
𝑥̇2 = −2𝑥1 + (−3)𝑥2
⟶ 𝑥𝑒 [
0
0
]
|𝜆𝐽 − 𝐴| = 0 ⟶ |
𝜆 − 1 −1
+2 𝜆 + 3
|
‫شود‬ ‫𝑡𝑒𝑑محاسبه‬
→ [(𝜆 − 1)(𝜆 + 3)] + 2 = 0 ⟹ 𝜆2
+ 2𝜆 − 3 + 2 = 0
𝜆2
+ 2𝜆 − 1 = 0 ⟹ 𝜆1,2 =
−1 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
⟹
−2 ± √4 + 4
2
=
−1 ± 2√2
2
= −1 ± √2
⟶ −1 + √2 ≃ 0/4 = 𝜆1
−1 − √2 ≃ −2/4 = 𝜆2
‫از‬ ‫یکی‬ ‫چون‬
𝜆
.‫است‬ ‫ناپایدار‬ ‫پس‬ ‫شد‬ ‫مثبت‬ ‫ها‬

20. 20
‫بحث‬ ‫از‬ ‫خارج‬ ‫مثال‬
←
)
‫دانشجویان‬ ‫سوال‬
(
‫سیستم‬ ‫برای‬
‫غیرخطی‬ ‫های‬
‫لیاپانوف‬ ‫اول‬ ‫روش‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫پایداری‬
‫کنید‬ ‫بررسی‬
.
{
𝑥̇1 = 𝑥2 = 2𝑥2
3
𝑥̇2 = 𝑥1 − 3𝑥2
2
‫آورد‬ ‫بدست‬ ‫را‬ ‫تعادل‬ ‫نقطه‬ ‫باید‬ ‫اول‬
←
𝑥𝑒 [
0
0
]
‫می‬
‫خطی‬ ‫بایستی‬ ‫بعد‬ ‫کنید‬ ‫حساب‬ ‫خودتان‬ ‫شود‬
‫سازی‬
‫کنیم‬
.
𝐽̇ =
[
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
𝜕𝑓1
𝜕𝑥2
𝜕𝑓2
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2
𝜕𝑥2][𝑥𝑒]
⏟
𝑥̇1 = 0 ⟶ 𝑥2 − 2𝑥3
= 0 𝑥2 = 0 , 𝑥2 =
1
√2
𝑥̇2 = 0 ⟶ 𝑥1 − 3𝑥2
2
= 0 𝑥1 = 0 , 𝑥1 =
3
2
‫نقطه‬ ‫حول‬ ‫اول‬
[
0
0
]
‫می‬ ‫بررسی‬
.‫کنیم‬
‫ساز‬‫خطی‬ ‫ماتریس‬
𝜕𝑓
𝜕𝑥
[
0 1 − 6𝑥2
2
1 −6𝑥2
]
[0
0
]
= [0 1
1 0
]
|𝜆𝐼 − 𝐴| = [
𝜆 0
0 𝜆
] = [
0 1
1 0
] = [
𝜆 −1
−1 𝜆
] = 0 ⟹ 𝜆2
− 1 = 0
⟶ 𝜆1 = 1
⟶ 𝜆2 = −1
‫نقطه‬ ‫حول‬ ‫است‬ ‫ناپایدار‬ ‫سیستم‬ ‫سپس‬
[
0
0
]
‫نقطه‬ ‫حول‬ ‫حال‬
[
𝑥1
𝑥2
] = [
3
2
1
√2
]
[
0 1 − 6𝑥2
2
1 −6𝑥2
]
[
3
2
1
√2
]
= [
0 −2
1
−6
√2
]
‫ماتریس‬
A
‫می‬ ‫ما‬ ‫به‬ ‫را‬
‫(خطی‬ ‫دهد‬
)‫سازه‬

21. 21
|𝜆𝐽 − 𝐴| = [
𝜆 0
0 𝜆
] − [
0 −2
1 −
6
√2
] = [
𝜆 2
−1 𝜆 +
6
√2
] = 0
𝜆 (𝜆 +
6
√2
) + 2 = 𝜆2
+
6
√2
𝜆 + 2 = 0
𝜆1,2 =
−𝑏 ± √4𝑎𝑐
2𝑎
=
−
6
√2
± √18 − 8
2
=
−3
√2
±
√10
2
←
‫جواب‬
‫هستند‬ ‫منفی‬ ‫دو‬ ‫هر‬ ‫ها‬
←
‫نقطه‬ ‫حول‬ ‫است‬ ‫پایدار‬
[
3
2
1
√2
]
:‫قضایا‬
‫قضیه‬
۱
‫سیستم‬ :)
LT1
‫باشد‬ ‫فرارگیر‬ ‫مجانبی‬ ‫پایدار‬ ‫اگر‬ ‫فقط‬ ‫و‬ ‫اگر‬ ← ‫است‬ ‫مجانبی‬ ‫پایدار‬
‫باشد‬ ‫منفی‬ ‫آن‬ ‫ویژه‬ ‫مقادیر‬ ‫اگر‬ ‫فقط‬ ‫و‬ ‫اگر‬ ← ‫است‬ ‫مجانبی‬ ‫پایدار‬ ‫سیستم‬
‫ویژه‬ ‫مقادیر‬
‫مجانبی‬ ‫پایدار‬ ⟵ ‫بود‬ ‫منفی‬ ‫حقیقی‬ ‫قسمت‬ ‫دارای‬ ‫همگی‬
‫پایدار‬ ⟵ )‫نباشد‬ ‫تکراری‬ ‫هم‬ ‫(موهومی‬ ‫صفر‬ ‫و‬ ‫منفی‬ ‫حقیقی‬ ‫قسمت‬ ‫دارای‬
‫سیستم‬ ‫اگر‬
‫باشد‬ ‫مثبت‬ ‫حقیقی‬ ‫قسمت‬ ‫دارای‬
⟵
‫ناپایدار‬ }
‫قضیه‬
۲
‫سیستم‬ :)
LT1
‫پایدار‬
BIBO
‫قطب‬ ‫تمام‬ ‫اگر‬ ‫فقط‬ ‫و‬ ‫اگر‬ ‫است‬
‫دارای‬ ← ‫تبدیل‬ ‫تابع‬ ‫های‬
‫قسمت‬
.‫باشد‬ ‫منفی‬ ‫اکیدا‬ ‫حقیقی‬ ‫های‬
‫سیستم‬ ‫اگر‬ :‫نکته‬
LT1
‫باشد‬ ‫لیاپانوف‬ ‫پایدار‬
←
‫پایدار‬
BIBO
‫است‬ ‫هم‬ ‫محدود‬ ‫خروجی‬ ‫ورودی‬ ‫همان‬ ‫یا‬
(Bounded Input Bounded Output)
.‫نیست‬ ‫صادق‬ ‫آن‬ ‫برعکس‬ ‫ولی‬
‫پایداری‬
‫لیاپانوف‬ : ‫اول‬ ‫روش‬
)‫هفته‬ ‫این‬ ‫(مبحث‬ ‫لیاپانوف‬ : ‫دوم‬ ‫روش‬
}
‫شماره‬ ‫اسالید‬
۹
‫ص‬
۱۷
‫و‬
۱۸
←
.‫دهند‬ ‫توضیح‬ ‫بعد‬ ‫هفته‬ ‫که‬ ‫شود‬ ‫یادآوری‬ ‫استاد‬ ‫به‬

22. 22
‫در‬ ‫تعادل‬ ‫نقطه‬ ‫نزدیکی‬ ‫در‬ ‫سیستم‬ :‫قضیه‬
‫است‬ ‫مجانبی‬ ‫پایدار‬ ‫مبدا‬
←
‫صعودی‬ ً‫اکیدا‬ ‫اسکالر‬ ‫تابع‬ ‫اگر‬
𝑣(𝑥)
‫که‬ ‫باشد‬ ‫داشته‬ ‫وجود‬
{‫و‬
𝑣(𝑥) > 0
𝑣(0) = 0
‫انرژی‬ ‫که‬
‫باشد‬ ‫هم‬ ‫کاهشی‬ ‫اش‬
‫یعنی‬
⇐
{𝑉̇ < 0 𝑥 ≠ 0
←
.‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫پایدار‬ ‫سیستم‬
‫صفحه‬ :‫مثال‬
۱۲
‫اسالید‬
۲۴
𝑥̇1 = −𝑥1 − 2𝑥2
2
= 𝑓1
𝑥̇2 = −𝑥1𝑥2𝑥2
3
= 𝑓2
𝐴 = 𝐽̇ =
[
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
𝜕𝑓1
𝜕𝑥2
𝜕𝑓2
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2
𝜕𝑥2][0
0]
⟶ 𝐴 = [
−1 0
0 0
]
|𝜆𝐼 − 𝐴| = 0 ⟶ |[
𝜆 + 1 0
0 𝜆
]| = 0 𝜆(𝜆 + 1) = 0 ⟹ {
𝜆1 = 0
𝜆2 = −1
‫سیستم‬
(𝜆)
‫است‬ ‫مثبت‬ ‫نا‬
←
)‫لیاپانوف‬ ‫اول‬ ‫(روش‬ ‫است‬ ‫پایدار‬
‫(ساده‬ ‫کاندید‬ ‫لیاپانوف‬ ‫تابع‬
)‫شکل‬ ‫ترین‬
𝑉(𝑥) =
1
2
𝑥1
2
+
1
2
𝑥2
2
𝑉̇ = 𝑥1𝑥̇1 + 𝑥2𝑥̇2
𝑉̇ = 𝑥1(−𝑥1 − 2𝑥2
2) + 2𝑥2(𝑥1𝑥2 − 𝑥2
3)
𝑉̇ = 𝑥1
2
− 2𝑥1𝑥2
2
+ 2𝑥1𝑥2
2
− 2𝑥2
4
= −𝑥1
2
− 2𝑥2
4
.‫شده‬ ‫نوشته‬ ‫بعدا‬ ‫قرمز‬
‫تجربی‬ ‫اولیه‬ ‫تابع‬ ‫همان‬ ‫یا‬ ‫کاندید‬ ‫لیاپانوف‬ ‫تابع‬ ‫هر‬ ‫مجدد‬ ‫بازنگری‬ ‫با‬

23. 23
𝑉(𝑥) =
1
2
𝑥1
2
+
1
2
𝑥2
2
‫نامعین‬ ‫حذف‬ ‫منظور‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫بازنگری‬ ‫از‬ ‫پس‬ ‫مثال‬ ‫این‬ ‫در‬
‫ضریب‬ ‫های‬
۱
۲
‫از‬
𝑥2
2
.‫شد‬ ‫حذف‬
:‫مثال‬
‫تعادل‬ ‫نقطه‬ ‫در‬ ‫بگیرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫غیرخطی‬ ‫سیستم‬
(0 , 0)
.‫کنید‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫پایداری‬
𝑓1 = 𝑥̇1 = 𝑥2
𝑓2 = 𝑥̇2 = −2𝑥1 − 3𝑥2 − 3𝑥1
3
𝐽̇ =
[
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
𝜕𝑓1
𝜕𝑥2
𝜕𝑓2
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2
𝜕𝑥2][0
0
]
= [
0 1
−2 −3
] ⟹ |𝜆𝐼 − 𝐴| = |[
𝜆 −1
𝑍 𝜆 + 3
]| = 𝜆2
+ 3𝜆 + 2 = 0 ⟶ {
𝜆1 = −1
𝜆2 = −2
⟶ )‫اول‬ ‫روش‬ ‫(با‬ ‫است‬ ‫مجانبی‬ ‫پایدار‬
.‫است‬ ‫صفر‬ ‫هم‬ ‫صفر‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫است‬ ‫مثبت‬ ‫همیشه‬
‫مینویسیم‬ ‫تجربی‬ ⟶v(x)=
1
2
𝑥1
2
+
1
2
𝑥2
2
+
1
2
𝑥1
4
𝑉̇ = 2𝑥1𝑥̇1 + 𝑥2𝑥̇2 +
4
2
𝑥1
3
𝑥
̇ 1
‫ها‬‫نامعین‬ ‫حذف‬
→ 𝑉̇ = 2𝑥1𝑥2 + 𝑥2(−2𝑥1 − 3𝑥2 − 2𝑥1
3) + 2𝑥1
3
𝑥2
𝑉̇ = 2𝑥1𝑥2 − 2𝑥1𝑥2 − 3𝑥2
2
− 2𝑥1
3
𝑥2 + 2𝑥1
3
𝑥2
𝑉̇ = −۳𝑥2
2
< ۰ 𝑥 ≠ 0
2𝑥1
3
𝑥2
𝑥̇1 = 𝑥2
= 𝑥
‫اعمال‬ ‫با‬
۲

24. 24
:‫مثال‬
‫تعادل‬ ‫نقطه‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫پایداری‬ ،‫بگیرید‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫مبدا‬ ‫تعادل‬ ‫نقطه‬ ‫با‬ ‫زیر‬ ‫سیستم‬
(0 , 0)
.‫کنید‬ ‫بررسی‬
{
𝑥̇1 = −𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥1(𝑥1
2
+ 𝑥2
2)
𝑥̇2 = −𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥2(𝑥1
2
+ 𝑥2
2)
‫میگیریم‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫)𝑥(𝑣را‬
→ 𝑉(𝑥) =
1
2
𝑥1
2
+
1
2
𝑥2
2
𝑉̇ = 𝑥1𝑥̇1 + 𝑥2𝑥̇2 = 𝑥1(−𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥1(𝑥1
2
+ 𝑥2
2)) + 𝑥2(−𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥2(𝑥1
2
+ 𝑥2
2))
= −𝑥1
2
+ 𝑥1𝑥2 + 𝑥1
2(𝑥1
2
+ 𝑥2
2) − 𝑥1𝑥2 − 𝑥2
2
+ 𝑥2
2(𝑥1
2
+ 𝑥2
2) = −𝑥1
2
− 𝑥2
2
⏟
‫منفی‬ ‫از‬ ‫فاکتور‬
+ 𝑥1
2(𝑥1
2
+ 𝑥2
2) + 𝑥2
2(𝑥1
2
+ 𝑥2
2)
= − (𝑥1
2
+ 𝑥2
2
)
⏟
‫از‬ ‫فاکتور‬
+ 𝑥1
2
(𝑥1
2
+ 𝑥2
2
) + 𝑥2
2
(𝑥1
2
+ 𝑥2
2
)
𝑉̇ = (𝑥1
2
+ 𝑥2
2
)
⏟
+ ‫همیشه‬
[ −1 + 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
⏟
‫میکنیم‬ ‫بررسی‬ ‫را‬ ‫بودن‬ - ‫یا‬ +
] ⟶ −۱ + 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
< ۰ ⟶ 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
< ۱ ⟹
:‫ناپایداری‬ ‫قضیه‬
‫در‬ ‫سیستم‬
:‫مانند‬ ‫اسکالری‬ ‫تابع‬ ‫اگر‬ ← ‫است‬ ‫ناپایدار‬ ‫مبدا‬ ‫در‬ ‫تعادل‬ ‫نقطه‬ ‫نزدیکی‬
{
𝑉(𝑥) > 0 , 𝑉(0) = 0
𝑉̇ > 0 , 𝑉(0) = 1
:‫مثال‬
‫صفحه‬
۱۷
‫اسالید‬
۳۳
𝑥̇1 = 2𝑥2 + 𝑥1(𝑥1
2
+ 2𝑥2
4)
𝑥̇2 = −2𝑥1 + 𝑥2(𝑥1
2
+ 𝑥2
4)
𝑉(𝑥) =
1
2
𝑥1
2
+
1
2
𝑥2
2
𝑉̇ (𝑥) = 𝑥1𝑥̇1 + 𝑥2𝑥̇2 = 𝑥1(2𝑥2 + 𝑥1(𝑥2
2
+ 2𝑥2
4)) + 𝑥2(−2𝑥1 + 𝑥2(𝑥1
2
+ 2𝑥2
4))
𝑉̇ = 2𝑥1𝑥2 + 𝑥1
2
(𝑥2
2
+ 2𝑥2
4
)
⏟
+
− 2𝑥1𝑥2 + 𝑥2
2 (𝑥1
2
+ 𝑥2
4)
⏟
+
𝑉̇
‫است‬ ‫مثبت‬ ‫همیشه‬
←
.‫است‬ ‫ناپایدار‬ ‫سیستم‬
𝑥̇ = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑢
‫واحد‬ ‫دایره‬ ‫داخل‬
𝑉̇ (𝑥)
‫و‬ ‫است‬ ‫منفی‬ ‫معین‬
‫است‬ ‫مجانبی‬ ‫پایدار‬ ‫مبدا‬ ‫تعادل‬ ‫نقطه‬
−⟹ +. −= −⟹ ‫مجانبی‬ ‫پایدار‬ ‫سیستم‬
‫لیاپانوف‬ ‫معادله‬ 𝑆𝑇
+ 𝑃𝐴 = −𝑄

25. 25
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
‫است‬ ‫مجانبی‬ ‫پایدار‬ ‫شده‬ ‫داده‬ ‫سیستم‬ :‫قضیه‬
←
‫اگر‬ ‫فقط‬ ‫و‬ ‫اگر‬
Q
،‫باشد‬ ‫معین‬ ‫مثبت‬
P
‫مثبت‬ ‫هم‬
.‫باشد‬ ‫معین‬
𝑄𝑃𝐷 ⟹ 𝑃𝑃𝐷
Positive Definite
𝐴 = [
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑎4 𝑎5 𝑎6
𝑎7 𝑎8 𝑎9
] ‫اگر‬ ⟶ {
|𝑎| > 0
|
𝑎1 𝑎2
𝑎4 𝑎5
| > 0
|𝐴| > 0
} ⟹ 𝐴. 𝑃𝐷 (‫است‬ ‫معین‬ ‫ثابت‬ A)
PS(semi)D = ‫معین‬ ‫نیمه‬
‫اسالید‬ :‫مثال‬
۲۰
‫صفحه‬
۴۰
𝑋̇1 = −𝑥1 − 2𝑥2
𝑋̇2 = −𝑥1 − 4𝑥2
𝐴𝑇
𝑃 + 𝑃𝐴 = −𝑄
[
−1 1
−2 −4
] [
𝑃1 𝑃2
𝑃3 𝑃4
] + [
𝑃1 𝑃2
𝑃3 𝑃4
] [
−1 −2
1 −4
] = [
−1 0
0 −1
]
[
−𝑃1 + 𝑃3 −𝑃2 + 𝑃4
−2𝑃1 − 4𝑃3 −2𝑃2 + 𝑃4
] + [
−𝑃1 + 𝑃2 −2𝑃1 − 4𝑃2
−𝑃3 + 𝑃4 −2𝑃3 − 4𝑃4
] = [
−1 0
0 1
] ⟶ ‫میکنیم‬ ‫جمع‬ ‫باهم‬ ‫را‬ ‫نظیر‬ ‫های‬ ‫درایه‬ ‫حال‬
{
−۲𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 = −۱
−۲𝑃1 − 5𝑃2 + 𝑃4 = 0
−۲𝑃1 − 5𝑃3 + 𝑃4 = 0
−۲𝑃2 − −۲𝑃3 − 8𝑃4 − 1
⟹ 𝑃2 = 𝑃3 ⟹ {
−۲𝑃1 + ۲𝑃2 = −1
−۲𝑃1 − 5𝑃2 + 𝑃4 = 0
−4𝑃2 − 8𝑃4 = −1
𝑥−8
→ {
−۲𝑃1 + ۲𝑃2 = −1
−16𝑃1 − 44𝑃2 = −1
⟹ {
16𝑃1 − 16𝑃2 = 8
−16𝑃1 − 44𝑃2 = −1
⏟
−60𝑃2=8⟹𝑃3=𝑃2=
8
60
𝑃3 = 𝑃2 = −
8
60
⇝ 𝑃1 =
23
60
𝑃4 =
11
60
⟹ 𝑃 = [
230
60
−7
60
−7
60
11
60
]
23
60
> 0 |𝑃| =
204
3600
> 0
P4=2P1+5P2

26. 26
:‫مثال‬
k
‫اسالید‬ .‫باشد‬ ‫پایدار‬ ‫سیستم‬ ‫که‬ ‫کنید‬ ‫پیدا‬ ‫طوری‬ ‫را‬
۲۱
‫صفحه‬
۴۰
𝑋̇ = [
0 −3𝑘
2𝑘 −5𝑘
]
⏟
𝐴
𝑥
𝐴𝑇
𝑃 + 𝑃𝐴 = −𝑄
[
0 −2𝑘
3𝑘 −5𝑘
] [
𝑃1 𝑃2
𝑃3 𝑃4
] + [
𝑃1 𝑃2
𝑃3 𝑃4
] [
0 −3𝑘
2𝑘 −5𝑘
] = [
−1 0
0 −1
]
[
7
12
𝑘
−1
4𝑘
−1
4𝑘
1
4𝑘
]
‫پایداری‬ ‫شروط‬
→
7
12𝑘
> 0 ⟹ 𝑘 > 0
7
48𝑘2
−
1
16𝑘2
> 0 ⟹
4
48𝑘2
> 0 ⟹ {
𝑘 > 0
𝑘 < 0

27. 27