بررسی صحت تقریب اصطکاک خشک با میرایی ویسکوز یکی از انواع میرایی(damping) در سیستم های ارتعاشی اصطکاک خشک(dry friction) است که میرایی کلمب هم نامیده می شود. این نوع از میرایی به علت وجود اصطکاک در اتصالات و یا نقاط تکیه گاهی پدید می آید که نیروی آن بدون توجه به سرعت و جا بجایی ثابت است و بسته به مقدار جابجایی به دو روش با آن برخورد می شود . اگرمقدار جا بجایی ها کوچک باشد به عنوان یک میرایی داخلی لخت(viscous damping) و اگر مقدار جا به جایی بزرگ باشد به عنوان یک میرایی هیسترزیس(hysteresis damping) در نظر گرفته می شود . برای یافتن پاسخ سیستم به تحریک هارمونیک تحت اصطکاک خشک، معادله حرکت و شرایط اولیه آن در هر سیکل حرکت تغییر می کند؛ بنابراین حل مستقیم معادله حرکت دشوار بوده و محاسباتی طولانی را می طبد.در ارتعاشات مقدماتی با فرض جابجایی های کوچک (small displacement) غالبا اصطکاک خشک با میرایی ویسکوز تقریب زده می شود. در تحقیق پیش رو بررسی می شود که این تقریب تا چه اندازه کارآمد بوده و بر واقعیت منطبق است.

1. 1
‫الرحیم‬ ‫الرحمن‬ ‫الله‬ ‫بسم‬
‫ارتعاشات‬ ‫پروژه‬:
"‫ویسکوز‬ ‫میرایی‬ ‫با‬ ‫خشک‬ ‫اصطکاک‬ ‫تقریب‬ ‫صحت‬ ‫بررسی‬"
:‫راهنما‬ ‫استاد‬
‫فرد‬ ‫معین‬ ‫دکتر‬
:‫آورندگان‬ ‫گرد‬
‫آقایی‬ ‫افضل‬ ‫علی‬
‫اکبریان‬ ‫بهزاد‬
‫خسروی‬ ‫سعید‬
‫زمستان‬5931

2. 2
‫ف‬‫هرست‬
1.‫مقدمه‬.............................................................................................3
2.‫تئور‬‫ی‬‫مسئله‬...................................................................................4
3.‫ساز‬ ‫مدل‬‫ی‬‫متلب‬ ‫در‬ ‫مسئله‬.................................................................5
4.‫برنامه‬ ‫کامل‬ ‫متن‬:...............................................................................6
5.‫تحل‬‫ی‬‫ل‬‫نتا‬‫ی‬‫ج‬:....................................................................................7

3. 3
1.‫مقدمه‬
‫ی‬(‫میرایی‬ ‫انواع‬ ‫از‬ ‫کی‬damping(‫خشک‬ ‫اصطکاک‬ ‫ارتعاشی‬ ‫های‬ ‫سیستم‬ ‫در‬ )dry friction‫که‬ ‫است‬ )‫نامیده‬ ‫هم‬ ‫کلمب‬ ‫میرایی‬
‫شود‬ ‫می‬.‫میرایی‬ ‫از‬ ‫نوع‬ ‫این‬‫آید‬ ‫می‬ ‫پدید‬ ‫گاهی‬ ‫تکیه‬ ‫نقاط‬ ‫یا‬ ‫و‬ ‫اتصالات‬ ‫در‬ ‫اصطکاک‬ ‫وجود‬ ‫علت‬ ‫به‬‫که‬‫آن‬ ‫نیروی‬‫به‬ ‫توجه‬ ‫بدون‬
‫باشد‬ ‫کوچک‬ ‫ها‬ ‫بجایی‬ ‫جا‬ ‫اگرمقدار‬ . ‫شود‬ ‫می‬ ‫برخورد‬ ‫آن‬ ‫با‬ ‫روش‬ ‫دو‬ ‫به‬ ‫جابجایی‬ ‫مقدار‬ ‫به‬ ‫بسته‬ ‫و‬ ‫است‬ ‫ثابت‬ ‫بجایی‬ ‫جا‬ ‫و‬ ‫سرعت‬
‫لخت‬ ‫داخلی‬ ‫میرایی‬ ‫یک‬ ‫عنوان‬ ‫به‬(viscous damping)‫میرای‬ ‫یک‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ‫باشد‬ ‫بزرگ‬ ‫جایی‬ ‫به‬ ‫جا‬ ‫مقدار‬ ‫اگر‬ ‫و‬‫ی‬
‫ه‬‫ی‬‫سترزیس‬)damping(hysteresis‫در‬‫شود‬ ‫می‬ ‫گرفته‬ ‫نظر‬.
‫حرکت‬ ‫سیکل‬ ‫هر‬ ‫در‬ ‫آن‬ ‫اولیه‬ ‫شرایط‬ ‫و‬ ‫حرکت‬ ‫معادله‬ ،‫خشک‬ ‫اصطکاک‬ ‫تحت‬ ‫هارمونیک‬ ‫تحریک‬ ‫به‬ ‫سیستم‬ ‫پاسخ‬ ‫یافتن‬ ‫برای‬
‫حرکت‬ ‫معادله‬ ‫مستقیم‬ ‫حل‬ ‫بنابراین‬ ‫کند؛‬ ‫می‬ ‫تغییر‬‫طولانی‬ ‫محاسباتی‬ ‫و‬ ‫بوده‬ ‫دشوار‬‫فرض‬ ‫با‬ ‫مقدماتی‬ ‫ارتعاشات‬ ‫طبد.در‬ ‫می‬ ‫را‬
‫جابجایی‬‫های‬‫کوچک‬(displacementsmall).‫شود‬ ‫می‬ ‫زده‬ ‫تقریب‬ ‫ویسکوز‬ ‫میرایی‬ ‫با‬ ‫خشک‬ ‫اصطکاک‬ ‫غالبا‬
‫چه‬ ‫تا‬ ‫تقریب‬ ‫این‬ ‫که‬ ‫شود‬ ‫می‬ ‫بررسی‬ ‫رو‬ ‫پیش‬ ‫تحقیق‬ ‫در‬‫اندازه‬‫کا‬‫و‬ ‫بوده‬ ‫رآمد‬‫بر‬.‫است‬ ‫منطبق‬ ‫واقعیت‬

4. 4
2.‫مسئله‬ ‫تئوری‬
‫شکل‬ ‫فنر‬ ‫و‬ ‫جرم‬ ‫سیستم‬1‫شود‬ ‫می‬ ‫تحریک‬ ‫هارمونیک‬ ‫نیروی‬ ‫با‬ ‫سیستم‬ ‫این‬ .‫گیریم‬ ‫می‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫را‬.‫است‬ ‫خشک‬ ‫اصطکاک‬ ‫تحت‬ ‫و‬
𝐹(𝑡) = 𝐹0 sin 𝜔𝑡
𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑓 𝑚𝑜𝑡𝑖𝑛:
m𝑥̈ + 𝑘𝑥 + 𝜇𝑚𝑔. 𝑠𝑔𝑛(𝑥)̇ = 𝐹0 sin 𝜔𝑡
x(0)=10−3
ẋ(0) = 0
‫شود‬ ‫زده‬ ‫تقریب‬ ‫ویسکوز‬ ‫میرایی‬ ‫با‬ ‫سیستم‬ ‫اگر‬‫(شکل‬2):‫داریم‬
𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑓 𝑚𝑜𝑡𝑖𝑛:
m𝑥̈ + 𝑐 𝑒𝑞 𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹0 sin 𝜔𝑡
𝑐 𝑒𝑞 =
4𝜇. 𝑚𝑔
𝜋. 𝜔. 𝐴
, 𝐴 = (
𝐹0
𝑘
)
√
1 − (
4𝜇. 𝑚𝑔
𝜋. 𝐹0
)
2
(1 − 𝑟2)2
𝑟 =
𝜔
√ 𝑘
𝑚⁄
‫شکل‬1
‫شکل‬2

5. 5
3.‫متلب‬ ‫در‬ ‫مسئله‬ ‫سازی‬ ‫مدل‬
، ‫پاسخ‬ ‫یافتن‬ ‫برای‬.‫شدند‬ ‫تعریف‬ ‫متلب‬ ‫در‬ ‫توابعی‬ ‫بصورت‬ ‫سیستم‬ ‫حرکت‬ ‫معادلات‬‫معادلات‬ ‫این‬ ‫حل‬ ‫برای‬ ‫استفاده‬ ‫مورد‬ ‫ابزار‬
‫دستور‬ode45.‫کند‬ ‫می‬ ‫حل‬ ‫را‬ ‫اول‬ ‫مرتبه‬ ‫معادلات‬ ‫ابزار‬ ‫این‬ .‫باشد‬ ‫می‬‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫منظور‬ ‫بدین‬‫اعمال‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫هایی‬
‫اند‬ ‫شده‬.
m𝑥̈ + 𝑘𝑥 + 𝜇𝑚𝑔. 𝑠𝑔𝑛(𝑥)̇ = 𝐹0 sin 𝜔𝑡
𝑥 = 𝑦1
𝑥̇ = 𝑦2
1‫شکل‬ ‫حرکت‬ ‫.معادله‬1:
function dy = friction(T,y)
global m k mu g f w
dy = zeros(2,1);
dy(1) = y(2) ;
dy(2) =-(k*y(1)+mu*m*g*sign(y(2))-f*sin(w*T))/m ;
[T,y] = ode45(@friction,[0 40],[10^(-3) 0]); %% exact solution
2‫شکل‬ ‫حرکت‬ ‫.معادله‬2:
function dx= viscous(T,x)
global m k f w c
dx=zeros(2,1);
dx(1) =x(2);
dx(2)=-(k.*x(1)+c.*x(2)-f.*sin(w.*T))./m ;
[T,x] = ode45(@viscous,[0 40],[10^(-3) 0]); %% aproximate solution

6. 6
4.‫برنامه‬ ‫کامل‬ ‫متن‬:
Clc
clear
global m k mu g f w c T
m=1.25;
f=50;
k=500;
mu=0.2;
g=9.81;
%%%%%%%for w=5:35 ;
w=5.*sqrt(k/m)
[T,y] = ode45(@friction,[0 20],[10^(-3) 0]); %% exact solution
plot(T,y(:,1),'-','linewidth',2);
hold on
r=w./sqrt(k/m);
A=(f./k).*sqrt((1-(4.*mu.*m.*g/(pi.*f)).^2)./(1-r.^2).^2);
c=4*mu*m*g./(pi.*w.*A);
%%%%%%%%%%%%fi=atan(2*z.*r./(1-r.^2));
%%%%%%%%%h=X.*sin(w.*T-fi);
[T,x] = ode45(@viscous,[0 20],[10^(-3) 0]);
plot(T,x(:,1),'linewidth',1);
legend('exact answer','aproximate answer');
xlabel('Time','FontSize',12,'FontWeight','bold','Color','r')
ylabel('x(t)','FontSize',12,'FontWeight','bold','Color','r')
title('comparison between exact and aproximate solution')
%%%% %%h=(max(abs(x)));
% %%%%% s(w)=(abs(j(1)-h(1)));
% %%%%% l(w)=r;
%% %%%% x_data=s;
% %%%%% y_data=l;
% %%%%% plot(y_data,x_data)

7. 7
5.‫ن‬ ‫تحلیل‬‫تایج‬:
‫برای‬‫اینکه‬ ‫به‬ ‫بردن‬ ‫پی‬‫برای‬ ‫تقریبی‬ ‫و‬ ‫دقیق‬ ‫های‬ ‫پاسخ‬ ،‫است‬ ‫منطقی‬ ‫ای‬ ‫گستره‬ ‫چه‬ ‫تا‬ ‫تقریب‬ ‫این‬‫از‬ ‫متفاوتی‬ ‫مقادیر‬‫فرکانس‬
.‫شد‬ ‫رسم‬ ‫تحریک‬
‫های‬ ‫فرکانس‬ ‫تاثیر‬ ‫اینکه‬ ‫برای‬‫ت‬ ‫گوناگون‬‫آ‬ ‫مسئله‬ ‫پاسخ‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫حریک‬‫شکار‬‫غ‬ ‫به‬ ‫مسئله‬ ‫های‬ ‫متغیر‬ ‫تمام‬ ‫که‬ ‫میکنیم‬ ‫فرض‬ ‫ببینیم‬ ‫ا‬‫یر‬
.‫باشند‬ ‫می‬ ‫ذیل‬ ‫مقادیر‬ ‫برابر‬ ‫و‬ ‫ثابت‬ ‫تحریک‬ ‫فرکانس‬ ‫از‬
M= 1.25 k= 500 µ=0.2 g=9.81 f=50
‫ها‬ ‫نمودار‬‫برای‬8‫متفاوت‬ ‫فرکانس‬‫ترسیم‬‫شده‬‫است‬:
𝝎 = 𝟎. 𝟓𝝎 𝒏
comparison between exact and aproximate solution

8. 8
𝝎 = 𝟎. 𝟕𝝎 𝒏
𝝎 = 𝟎. 𝟗𝝎 𝒏
comparison between exact and aproximate solution
comparison between exact and aproximate solution

9. 9
𝝎 = 𝝎 𝒏
𝝎 = 𝟏. 𝟏𝝎 𝒏
comparison between exact and aproximate solution
comparison between exact and aproximate solution

10. 10
𝝎 = 𝟏. 𝟑𝝎 𝒏
𝝎 = 𝟏. 𝟓𝝎 𝒏
comparison between exact and aproximate solution
comparison between exact and aproximate solution

11. 11
𝝎 = 𝟐 𝝎 𝒏
‫دهد‬ ‫می‬ ‫نشان‬ ‫ما‬ ‫به‬ ‫متلب‬ ‫که‬ ‫اختلافی‬ ‫ماکزیمم‬ ‫مقدار‬ ‫همچنین‬ ‫و‬ ‫ها‬ ‫نمودار‬ ‫از‬ ‫که‬ ‫طور‬ ‫همان‬‫آ‬‫ش‬‫ک‬‫از‬ ‫غیر‬ ‫به‬ ‫تقریب‬ ‫است‬ ‫ار‬
.‫باشد‬ ‫می‬ ‫خوبی‬ ‫بسیار‬ ‫تقریب‬ ‫طبیعی‬ ‫فرکانس‬ ‫همسایگی‬
‫تقریبی‬ ‫و‬ ‫دقیق‬ ‫حل‬ ‫بین‬ ‫اختلاف‬ ‫بیشترین‬(m)𝛚
𝝎 𝒏⁄
0.00380.5
0.0140.7
0.02670.9
2.47261 ( 𝝎 = 𝝎 𝒏)
0.02291.1
0.00941.3
.00111.5
‫که‬ ‫شود‬ ‫می‬ ‫مشاهده‬‫بیشترین‬‫اختلاف‬‫که‬ ‫حالتی‬ ‫در‬ ‫جز‬ ‫به‬ ‫دقیق‬ ‫و‬ ‫تقریبی‬ ‫حل‬ ‫در‬ ‫دامنه‬‫تحریک‬ ‫فرکانس‬‫فرک‬ ‫به‬‫طبیع‬ ‫انس‬‫ی‬
‫بسیار‬ ،‫است‬ ‫نزدیک‬‫ک‬‫بو‬ ‫وچک‬.‫است‬ ‫اغماض‬ ‫قابل‬ ‫و‬ ‫ده‬
comparison between exact and aproximate solution

12. 12
‫ت‬‫کلی‬ ‫حلت‬ ‫به‬ ‫عمیم‬:
‫حسب‬ ‫بر‬ ‫را‬ ‫ماکزیمم‬ ‫اختلاف‬ ‫نمودار‬ ‫ببخشیم‬ ‫بیشتری‬ ‫جامعیت‬ ‫را‬ ‫مسئله‬ ‫این‬ ‫نتیجه‬ ‫که‬ ‫این‬ ‫برای‬ ‫حال‬𝛚
𝝎 𝒏⁄.‫میکنیم‬ ‫رسم‬
‫شود‬ ‫می‬ ‫دیده‬ ‫وضوح‬ ‫به‬ ‫نمودار‬ ‫در‬‫به‬ ‫نزدیک‬ ‫هایی‬ ‫فرکانس‬ ‫برای‬ ‫که‬‫طبیعی‬ ‫فرکانس‬‫اکثر‬ ‫در‬ ‫ولی‬ .‫دهد‬ ‫می‬ ‫زیادی‬ ‫خطای‬ ‫تقریب‬ ،
‫مهندسی‬ ‫ی‬ ‫ها‬ ‫کاربرد‬‫ا‬ ‫پوشی‬ ‫چشم‬ ‫قابل‬ ‫آمده‬ ‫بوجود‬ ‫خطای‬‫و‬ ‫ست‬‫توان‬ ‫می‬‫آ‬ ‫از‬‫بالایی‬ ‫اطمینان‬ ‫با‬ ‫ن‬‫کرد‬ ‫استفاده‬.