حل مسائل امتحان پایانی درس کنترل غیر خطی

1. ‫مسائل‬ ‫حل‬‫درس‬ ‫پایانی‬ ‫امتحان‬‫خطی‬ ‫غیر‬ ‫کنترل‬
‫تحصیلی‬ ‫سال‬ ‫اول‬ ‫نیمسال‬95-1394
1-‫زیر‬ ‫سیستم‬ ‫در‬‫مطلوبست‬:(2)‫نمره‬
‫تعادل‬ ‫نقطه‬ ‫آوردن‬ ‫بدست‬ )‫الف‬
‫تعادل‬ ‫نقطه‬ ‫پایداری‬ ‫نوع‬ )‫ب‬
‫تعادل‬ ‫نقطه‬ ‫همگرایی‬ ‫نرخ‬ )‫ج‬
xxx )cos1( 2

:‫حل‬
)‫الف‬
00)cos1(0 2
 xxxx
)‫ب‬:‫داریم‬ ‫سیستم‬ ‫معادله‬ ‫از‬ ‫گیری‬ ‫انتگرال‬ ‫با‬








 
t
dxxtx
0
2
)(cos1exp)0()( 
‫دق‬ ‫با‬:‫داشت‬ ‫خواهیم‬ ‫فوق‬ ‫معادله‬ ‫در‬ ‫ت‬
t
extx 
 )0()(
.‫است‬ ‫فراگیر‬ ‫نمایی‬ ‫نوع‬ ‫از‬ ‫سیستم‬ ‫پایداری‬ ‫لذا‬
‫فوق‬ ‫روابط‬ ‫و‬ ‫همگرایی‬ ‫نرخ‬ ‫تعریف‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ )‫ج‬‫تع‬ ‫نقطه‬‫ادل‬‫همگرایی‬ ‫نرخ‬ ‫دارای‬ ‫سیستم‬ ‫این‬λ=1.‫است‬

2. 2-‫از‬ ‫کدامیک‬‫مثبت‬ ‫زیر‬ ‫توابع‬،‫معین‬،‫معین‬ ‫نیمه‬ ‫مثبت‬‫معین‬ ‫منفی‬‫هستن‬ ‫نامعین‬ ‫و‬ ‫معین‬ ‫نیمه‬ ‫منفی‬ ‫و‬‫د‬.(2)‫نمره‬
21
2
2
4
1214
21
2
2
4
1213
21
2
2
4
1212
21
2
2
2
1211
339),(
43),(
243),(
45),(
xxxxxxV
xxxxxxV
xxxxxxV
xxxxxxV




:‫حل‬
‫مقدار‬ ‫هر‬ ‫ازای‬ ‫به‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫معین‬ ‫مثبت‬ ‫تابعی‬‫بردار‬ ‫از‬X‫مشابه‬ ‫تعاریف‬ ‫سایر‬ .‫باشد‬ ‫مثبت‬ ً‫ا‬‫اکید‬‫تعریف‬ ‫این‬.‫است‬
‫معین‬ ‫برای‬‫پیدا‬ ‫نقض‬ ‫مثال‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫بردارهایی‬ ‫است‬ ‫کافی‬ ‫نبودن‬ ‫معین‬ ‫برای‬ ‫ولی‬ ‫است‬ ‫اثبات‬ ‫به‬ ‫نیاز‬ ‫بودن‬
.‫کنیم‬
 
)
1.0
2.0
and
0
1
for(testDefiniteNot339),(
)
1
5.0
and
0
1
for(testDefiniteNot43),(
)
1
0
and
0
1
for(testDefiniteNot243),(
..
52
21
45),(
21
2
2
4
1214
21
2
2
4
1213
21
2
2
4
1212
2
1
2121
2
2
2
1211






















































xxxxxxV
xxxxxxV
xxxxxxV
DP
x
x
xxxxxxxxV

3. 3-‫سیستم‬ ‫در‬‫پتانسیل‬ ‫های‬ ‫انرژی‬ ‫مجموع‬ ( ‫سیستم‬ ‫مکانیکی‬ ‫انرژی‬ ‫تابع‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫فنر‬ ‫و‬ ‫جرم‬
‫نوع‬ ) ‫جنبشی‬ ‫و‬‫ثابت‬ ‫مجموعه‬ ‫قضیه‬ ‫و‬ ‫لیاپانوف‬ ‫مستقیم‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫سیستم‬ ‫تعادل‬ ‫نقطه‬ ‫پایداری‬
.‫نمایید‬ ‫تعیین‬ )‫(ناوردا‬
03
10  xkxkxxbxm 
:‫حل‬
‫سیستم‬ ‫انرژی‬‫لیاپانوف‬ ‫تابع‬ ‫بعنوان‬:
4
1
2
0
23
10
0
2
4
1
2
1
2
1
)(
2
1
)( xkxkxmdxxkxkxmxV
x
  
‫مشتق‬‫سیستم‬ ‫لیاپانوف‬ ‫تابع‬:
33
10 )()()( xbxxbxxxkxkxxmxV  
‫بودن‬ ‫مثبت‬ ‫فرض‬ ‫با‬b‫فوق‬ ‫عبارت‬‫نقاط‬ ‫تمامی‬ ‫در‬‫بر‬ ‫واقع‬ ‫نقاط‬ ‫از‬ ‫غیر‬‫محور‬x.‫است‬ ‫منفی‬‫قضیه‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ ‫حال‬
‫مجموعه‬،‫ثابت‬‫مجموعه‬R‫محور‬ ‫نقاط‬ ‫تمامی‬x‫و‬ ‫بوده‬‫طبق‬‫استدالل‬‫زیر‬M.‫باشد‬ ‫می‬ ‫مبدأ‬ ‫شامل‬ ‫تنها‬
‫اگر‬M.‫کند‬ ‫صدق‬ ‫زیر‬ ‫رابطه‬ ‫در‬ ‫بایستی‬ ‫شود‬ ‫شامل‬ ‫را‬ ‫مبدأ‬ ‫از‬ ‫غیر‬ ‫دیگری‬ ‫نقاط‬
0)(
1
0 3
10  xkxk
m
xx 
‫میشود‬ ‫باعث‬ ‫لذا‬ ‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫شتاب‬ ‫دارای‬ ‫مبدأ‬ ‫از‬ ‫غیر‬ ‫نقاط‬ ‫دهد‬ ‫می‬ ‫نشان‬ ‫رابطه‬ ‫این‬‫سرعت‬x‫که‬ ‫شود‬ ‫صفر‬ ‫غیر‬
‫ثابت‬ ‫مجموعه‬ ‫تعریف‬ ‫با‬ ‫امر‬ ‫این‬M‫که‬‫بیان‬‫میدارد‬‫آید‬ ‫نمی‬ ‫بیرون‬ ‫دیگر‬ ‫رود‬ ‫آن‬ ‫درون‬ ‫که‬ ‫سیستم‬ ‫مسیر‬ ‫هر‬
‫لذا‬ .‫دارد‬ ‫تناقض‬M‫پس‬ .‫باشد‬ ‫مبدأ‬ ‫شامل‬ ‫تواند‬ ‫می‬ ‫فقط‬)‫(مبدأ‬ ‫سیستم‬ ‫تعادل‬ ‫نقطه‬.‫است‬ ‫فراگیر‬ ‫مجانبی‬ ‫پایدار‬

4. 4-‫جهت‬ ‫و‬ ‫همگرایی‬ ‫نوع‬ ،‫معادله‬ ‫حدی‬ ‫سیکل‬ ‫وجود‬ ‫صورت‬ ‫در‬ ‫و‬ ‫حدی‬ ‫سیکل‬ ‫وجود‬ ‫عدم‬ ‫یا‬ ‫وجود‬ ‫زیر‬ ‫سیستم‬ ‫در‬
.‫نمایید‬ ‫مشخص‬ ‫آنرا‬ ‫چرخش‬
)42(3
)42(
2
2
4
1
5
2
3
12
2
2
4
1
7
121


xxxxx
xxxxx


‫نقاط‬ ‫مجموعه‬‫روی‬‫بسته‬ ‫منحنی‬:‫هستند‬ ‫ثابت‬ ‫ای‬ ‫مجموعه‬ ‫زیر‬
042)(
2
2
4
1  xxxf
‫زیرا‬‫منحنی‬ ‫این‬ ‫روی‬ ‫نقاط‬ ‫مشتق‬.‫است‬ ‫صفر‬
)42)(124(44)42(
2
2
4
1
6
2
10
1221
3
1
2
2
4
1  xxxxxxxxxx
dt
d

.‫است‬ ‫حدی‬ ‫سیکل‬ ‫یک‬ ‫منحنی‬ ‫این‬ ‫پس‬
:‫مذکور‬ ‫نقاط‬ ‫روی‬ ‫سیستم‬ ‫معادله‬
3
12
21
xx
xx




.‫است‬ ‫مذکور‬ ‫حدی‬ ‫چرخه‬ ‫روی‬ ‫سیستم‬ ‫مسیرهای‬ ‫ساعتگرد‬ ‫حرکت‬ ‫نشاندهنده‬ ‫که‬
:‫زیر‬ ‫لیاپانوف‬ ‫تابع‬ ‫فرض‬ ‫با‬ ‫دیگر‬ ‫طرف‬ ‫از‬
22
2
4
1 )42()(  xxxV
:‫داریم‬
22
2
4
1
6
2
10
1 )42)(124(2)(  xxxxxV
‫فوق‬ ‫حدی‬ ‫سیکل‬ ‫اطراف‬ ‫که‬‫سیستم‬ ‫این‬ ‫حدی‬ ‫سیکل‬ ‫لذا‬ ‫است‬ ‫منفی‬.‫همگراست‬

5. 5-.‫همگراست‬ ‫مبدأ‬ ‫به‬ ‫فراگیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫زیر‬ ‫سیستم‬ ‫کنید‬ ‫ثابت‬
xxxu
uxxx
52 3
23




:‫حل‬
‫سیستم‬ ‫دینامیک‬ ‫در‬ ‫کنترل‬ ‫قانون‬ ‫جاگذاری‬ ‫با‬‫داریم‬:
0552 23323
 xxxxxxxxxxx 
‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬‫مثال‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫ارائه‬ ‫اثبات‬3-14‫کتاب‬‫داریم‬:
0for0)5()(
0for0)(
2
4


xxxxxxc
xxxbx


‫مجانبی‬ ‫پایدار‬ ‫مذکور‬ ‫کنترل‬ ‫قانون‬ ‫با‬ ‫سیستم‬ ‫لذا‬‫محلی‬‫است‬.
‫چون‬ ‫دیگر‬ ‫طرف‬ ‫از‬
  xdrrrrdrrc
xx
as)5()( 2
00
.‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫فراگیر‬ ‫مجانب‬ ‫پایدار‬ ‫سیستم‬ ‫لذا‬

6. 6-‫برای‬ ‫زیر‬ ‫فرضیات‬ ‫با‬ ‫لغزشی‬ ‫مود‬ ‫اساس‬ ‫بر‬ ‫کنترل‬ ‫قانون‬:‫نمایید‬ ‫طراحی‬ ‫سیستم‬
)
2
sin(
;10
;1.0
3cos))sin(1( 2
tx
uxxtx
d






 
:‫حل‬
:‫داریم‬
xxF
xxf
ufx
3cos5.0
3cos5.1ˆ
2
2






:‫لغزش‬ ‫سطح‬ ‫تعریف‬
xxufxxxxxsxxx
dt
d
s dd
 ~~~~~~~  






‫کنترل‬ ‫قانون‬ ‫بهترین‬:‫از‬ ‫است‬ ‫عبارت‬ ‫سیستم‬ ‫نامی‬ ‫وضعیت‬ ‫برای‬
xxfu d
 ~ˆˆ 
:‫از‬ ‫است‬ ‫عبارت‬ ‫لغزش‬ ‫سطح‬ ‫از‬ ‫خارج‬ ‫نقاط‬ ‫برای‬ ‫کنترل‬ ‫قانون‬

7. )~20~sgn()1.03cos5.0(~20)
2
sin(
4
3cos5.1
20
)sgn(~ˆ)sgn(ˆ
2
2
2
xxxxxtxxu
Fk
skxxfskuu d










7-‫کنترلی‬ ‫قانون‬‫مساله‬ ‫سیستم‬5‫روش‬ ‫با‬ ‫را‬‫با‬ ‫لغزشی‬ ‫مود‬.‫آورید‬ ‫بدست‬ ‫متغیر‬ ‫کرانی‬ ‫الیه‬
:‫حل‬
‫بخش‬ ‫در‬ ‫مربوطه‬ ‫روابط‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬7.2‫کتاب‬‫داریم‬:











)~20~(
)1.03cos5.0(~20)
2
sin(
4
3cos5.1 2
2
2 xx
satxxxtxxu



:‫آن‬ ‫در‬ ‫که‬
)1.03cos5.0(20 2
 xx