SlideShare a Scribd company logo
1 of 29
«Касательная к графику функции»
ВЫПОЛНИЛ: учитель математики высшей
категории МОУ «СОШ №1»
Города Магнитогорска
Пупкова Татьяна Владимировна
Содержание
1. Определение касательной к графику функции.
2. Уравнение касательной к графику функции в общем виде.
3. Алгоритм составления касательной к графику функции.
4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
5. Касательная проходит через точку, лежащую на данной прямой.
6. Касательная проходит через точку, не лежащую на данной прямой.
7. Касательная проходит под некоторым углом к данной прямой.
8. Касательная является общей для двух кривых.
9. Является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x)?
Определение касательной к графику
функции у=f(х)
Пусть дана некоторая кривая и точка
Р на ней. Возьмем на этой кривой
другую точку Р1 и проведем прямую
через точки Р и Р1. Эту прямую
называют секущей. Будем
приближать точку Р1 к Р. Положение
секущей РР1 будет меняться
(стремиться к точки Р) предельное
положение прямой РР1 и будет
касательной к кривой в точке Р.
Уравнение вида у=f(a)+f’(a)(х-а)
является уравнением касательной
к графику функции.
Алгоритм составления касательной к
графику функции у=f(x)
1. Обозначить буквой а абсциссу точки касания.
2. Найти f(а).
3. Найти f’(x) и f’(а).
4. Подставить найденные числа а, f(а), f’(а) в общее
уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x-a)
Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых.
Пусть даны две прямые: у1=k1x+b1 и у2=k2x+b2.
Если k1= k2, то прямая у1 параллельна у2.
Если k1k2=–1, то данные прямые взаимно перпендикулярны
Рассмотрим возможные типы
задач на касательную
1. Касательная проходит через точку,
лежащую на данной кривой
У
.
х0 Х
Даны дифференцируемая функция у=f(х) и
1) абсцисса точки касания;
2) ордината точки касания;
3) абсцисса точки касания задана как пересечение двух
графиков функций;
4) абсцисса точки касания задана как корень данного
уравнения.
Решение таких задач сводится:
1) к последовательному отысканию f(a) и f’(a);
2) решая уравнение f(a)=у0, находим а;
3) находим точки пересечения двух графиков; решая
уравнение f(x)=g(x);
4) находим корень данного уравнения.
Ключевая задача 1. Составьте уравнение касательной к
графику функции у=х2–2х–3 в точке с абсциссой х0=2.
Решение. 1. Обозначим абсциссу точки касания а, тогда а=2.
2. Найдем f(a): f(a)=22–2·2–3, f(a)=-3.
3. Найдем f’ (x) и f’(a): f’(x)=2x–2, f’(a)=2.
4. Подставим найденные числа а, f(a), в общее
уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x–a): у=-3+2(х–2),
у=-3+2х–4, у=2х–7 – уравнение касательной.
Ответ: у=2х –7.
2. Касательная проходит через точку, не
лежащую на данной кривой
У
. A(n;m) х
Даны дифференцируемая функция у=f(х) и
1) точка А(n;m) через которую проходит касательная;
2) точка А(n;m) задана как пересечение двух графиков
функций;
3) точка А(n;m) задана как корень системы уравнений.
Решение таких задач основывается на том, что
координаты точки А(n;m) должны
удовлетворять искомому уравнению
касательной:
1) решая уравнение m=f(a)+f’(a)(m-a) найдем а и, таким
образом, приходим к задаче первого типа;
2) находим точки пересечения двух графиков, решая
уравнения f(x)=g(x) и у=g(х) или у=f(x);
3) находим корень данной системы уравнений.
Ключевая задача 2. Напишите уравнение всех касательных к графику функции
у = х2 +4х+6 проходящих через точку М(-3;-1).
Решение. 1. Точка М(-3;-1) не является точкой касания, так как f(-3)=3.
2. а – абсцисса точки касания.
3. Найдем f(a): f(a) = a 2+4a+6.
4. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x+4, f’(a)=2a+4.
5. Подставим числа а, f(a), в общее уравнение касательной
у= f(a)+ f’(a)(x–a): y=a2+4a+6+(2a+4)(x–a) – уравнение касательной.
Так как касательная проходит через точку М(-3;-1), то -1=a2+4a+6+(2a+4)(-3–a),
a2+6a+5=0, a=-5 или a=-1.
Если a=-5, то y=-6x–19 – уравнение касательной.
Если a=-1, y=2x+5 – уравнение касательной.
Ответ: y=-6x–19, y=2x+5.
3. Касательная проходит под
некоторым углом к данной прямой
У

Х
Даны дифференцируемая функция у=f(х) и
1) значение производной в точке касания f’(а);
2) указан угловой коэффициент касательной;
3) задан угол, между касательной к графику функции и
данной прямой.
Решая уравнение f’(a)=k или f’(a)=tg
(если задан угол ) находим
возможные значения а.
Ключевая задача 3. Напишите уравнения всех
касательных к графику функции у=х2–2х–8,
параллельных прямой у=-4х–4.
Решение. 1. Обозначим абсциссу точки касания а.
2. Найдем f(a): f(a)=a2–2a–8.
3. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x–2, f’(a)=2a–2.
Но, с другой стороны, f’(a)= - 4 (условие
параллельности). Решив уравнение 2a–2= - 4,
получим a= - 1, f(a)= - 5.
Подставим найденные числа а, f(a), в общее уравнение
касательной у=f(a)+f’(a)(x-a): y=-5–4(x+1),
y= - 4x–9 – уравнение касательной.
Ответ: y= - 4x–9.
4. Касательная является общей для
двух кривых
У
Х
Даны дифференцируемые функция у=f(х) и
y=g(x). Нужно найти уравнения общих
касательных к графику этих функций.
1 способ.
Такие задачи можно решать с помощью необходимого и
достаточного признака того, что прямая у=kх+b является
касательной к графику функции у=f(х) и у=g(х). Тогда
задача сводится к решению системы:
f(m)=km+b,
g(n)=kn+b,
f’(m)=k,
g’(n)=k,
где (m;f(m)) и (n;g(n)) – точки касания искомой прямой с
графиками функций у=f(х) и у=g(х) соответственно. Решив
систему, получим возможные значения k и b и запишем
уравнения общих касательных в виде у=kх+b.
2 способ.
1) Находим уравнение касательной к графику функции
у=f(х) в точке с абсциссой а.
2) Находим уравнение касательной к графику функции
у=g(х) в точке с абсциссой а.
3) Полученные прямые должны совпадать, т. е. решаем
систему:
k1=k2,
b1=b2.
Ключевая задача 4. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам
функций у=х2+х+1 и. у=0,5(х2+3).
Решение. I 1. а – абсцисса точки касания графика функции у=х2+х+1
2. Найдем f(a): f(a) =a2+а+1.
3. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x+1, f”(a)=2a+1.
4. Подставим а, f(a), в общее уравнение касательной
у=f(a)+ f’(a)(x–a): y=a2+а+1+(2a+1)(x–a), y=(2a+1)x–a2+1 – уравнение касательной.
II. 1. с – абсцисса точки касания графика функции у=0,5(х2 +3).
2. Найдем f(c): f(c)=0,5c2 +1,5.
3. Найдем f’(x) и f’(c): f’(x)=х, f’(c)=c.
4. Подставим а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+ f’(a)(x–a):
y=0,5c2+1,5+c(x–c), y=cx–0,5c2+1,5 – уравнение касательной.
Так как касательная общая, то 2a+1=c, c=1, с=-3
–a2+1= –0,5c2+1,5 a=0; или а=-2
Итак, y=x+1 и y=-3x–3 общие касательные.
Ответ: y=x+1 и y=–3x–3.
Является ли данная прямая
касательной к графику функции
у=f(x)?
Даны дифференцируемая функция у=f(х) и уравнение
прямой у=kх+b. Выясните, является ли данная прямая
касательной к графику функции у=f(x).
1 способ.
Если у=kх+b – уравнение к графику функции в точке
с абсциссой а, то f’(а)=k. Решив это уравнение,
находим а и задача сводится к решению первого типа
задач на касательную. Полученное уравнение
сравнивается с данным уравнением прямой.
2 способ.
Прямая у=kх+b является касательной к графику
функции у=f(x) в том и только том случае, если
существует такое значение а, при котором совпадают
значения данных функций и значения их
производных, т. е. Совместна система
f(a)=ka+b,
f’(a)=k.
Представим разработанную систему
задач в виде схемы.
касательная проходит
через точку, лежащую
на данной кривой
касательная проходит
через точку, не лежащую
на данной кривой
касательная проходит
под некоторым углом к
данной прямой
касательная является
общей для заданных
кривых
самостоятельно
составленные
задачи
обратные
задачи
задачи с
параметром
задачи с
дополнительным
условием
обучающие задачи
исследовательские задачи
обучающие задачи
ключевые задачи
задачи на касательную

More Related Content

Similar to kasatel-nayakgrafikufunkcii.ppt

Определенный интеграл
Определенный интегралОпределенный интеграл
Определенный интегралssuser4d8a9a
 
геометрический смысл производной
геометрический смысл производнойгеометрический смысл производной
геометрический смысл производнойtkachenko_anna
 
кустурова элем функции
кустурова элем функциикустурова элем функции
кустурова элем функцииurvlan
 
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические функции числового аргументаТригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические функции числового аргументаFormula.co.ua
 
предел последовательности
предел последовательностипредел последовательности
предел последовательностиtomik1044
 
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАsilvermlm
 
Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_v8
Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_v8Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_v8
Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_v8Dimon4
 
алгебра 9 класс
алгебра 9 классалгебра 9 класс
алгебра 9 классDENGALKRAP
 

Similar to kasatel-nayakgrafikufunkcii.ppt (20)

презентация к уроку 3
презентация к уроку 3презентация к уроку 3
презентация к уроку 3
 
Chjotnye i nechjotnye_funkcii
Chjotnye i nechjotnye_funkciiChjotnye i nechjotnye_funkcii
Chjotnye i nechjotnye_funkcii
 
Определенный интеграл
Определенный интегралОпределенный интеграл
Определенный интеграл
 
геометрический смысл производной
геометрический смысл производнойгеометрический смысл производной
геометрический смысл производной
 
Vzaimno obratnye funkcii
Vzaimno obratnye funkciiVzaimno obratnye funkcii
Vzaimno obratnye funkcii
 
кустурова элем функции
кустурова элем функциикустурова элем функции
кустурова элем функции
 
000
000000
000
 
8
88
8
 
555
555555
555
 
Integral1
Integral1Integral1
Integral1
 
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические функции числового аргументаТригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические функции числового аргумента
 
предел последовательности
предел последовательностипредел последовательности
предел последовательности
 
113
113113
113
 
23
2323
23
 
Pril2
Pril2Pril2
Pril2
 
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
 
Get Ft
Get FtGet Ft
Get Ft
 
Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_v8
Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_v8Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_v8
Podgotovka k egje_po_matematike_zadacha_v8
 
Алгоритмы сортировки
Алгоритмы сортировкиАлгоритмы сортировки
Алгоритмы сортировки
 
алгебра 9 класс
алгебра 9 классалгебра 9 класс
алгебра 9 класс
 

kasatel-nayakgrafikufunkcii.ppt

  • 1. «Касательная к графику функции» ВЫПОЛНИЛ: учитель математики высшей категории МОУ «СОШ №1» Города Магнитогорска Пупкова Татьяна Владимировна
  • 2. Содержание 1. Определение касательной к графику функции. 2. Уравнение касательной к графику функции в общем виде. 3. Алгоритм составления касательной к графику функции. 4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. 5. Касательная проходит через точку, лежащую на данной прямой. 6. Касательная проходит через точку, не лежащую на данной прямой. 7. Касательная проходит под некоторым углом к данной прямой. 8. Касательная является общей для двух кривых. 9. Является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x)?
  • 3. Определение касательной к графику функции у=f(х) Пусть дана некоторая кривая и точка Р на ней. Возьмем на этой кривой другую точку Р1 и проведем прямую через точки Р и Р1. Эту прямую называют секущей. Будем приближать точку Р1 к Р. Положение секущей РР1 будет меняться (стремиться к точки Р) предельное положение прямой РР1 и будет касательной к кривой в точке Р.
  • 4. Уравнение вида у=f(a)+f’(a)(х-а) является уравнением касательной к графику функции.
  • 5. Алгоритм составления касательной к графику функции у=f(x) 1. Обозначить буквой а абсциссу точки касания. 2. Найти f(а). 3. Найти f’(x) и f’(а). 4. Подставить найденные числа а, f(а), f’(а) в общее уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x-a)
  • 6. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пусть даны две прямые: у1=k1x+b1 и у2=k2x+b2. Если k1= k2, то прямая у1 параллельна у2. Если k1k2=–1, то данные прямые взаимно перпендикулярны
  • 8. 1. Касательная проходит через точку, лежащую на данной кривой У . х0 Х
  • 9. Даны дифференцируемая функция у=f(х) и 1) абсцисса точки касания; 2) ордината точки касания; 3) абсцисса точки касания задана как пересечение двух графиков функций; 4) абсцисса точки касания задана как корень данного уравнения.
  • 10. Решение таких задач сводится: 1) к последовательному отысканию f(a) и f’(a); 2) решая уравнение f(a)=у0, находим а; 3) находим точки пересечения двух графиков; решая уравнение f(x)=g(x); 4) находим корень данного уравнения.
  • 11. Ключевая задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=х2–2х–3 в точке с абсциссой х0=2. Решение. 1. Обозначим абсциссу точки касания а, тогда а=2. 2. Найдем f(a): f(a)=22–2·2–3, f(a)=-3. 3. Найдем f’ (x) и f’(a): f’(x)=2x–2, f’(a)=2. 4. Подставим найденные числа а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x–a): у=-3+2(х–2), у=-3+2х–4, у=2х–7 – уравнение касательной. Ответ: у=2х –7.
  • 12. 2. Касательная проходит через точку, не лежащую на данной кривой У . A(n;m) х
  • 13. Даны дифференцируемая функция у=f(х) и 1) точка А(n;m) через которую проходит касательная; 2) точка А(n;m) задана как пересечение двух графиков функций; 3) точка А(n;m) задана как корень системы уравнений.
  • 14. Решение таких задач основывается на том, что координаты точки А(n;m) должны удовлетворять искомому уравнению касательной: 1) решая уравнение m=f(a)+f’(a)(m-a) найдем а и, таким образом, приходим к задаче первого типа; 2) находим точки пересечения двух графиков, решая уравнения f(x)=g(x) и у=g(х) или у=f(x); 3) находим корень данной системы уравнений.
  • 15. Ключевая задача 2. Напишите уравнение всех касательных к графику функции у = х2 +4х+6 проходящих через точку М(-3;-1). Решение. 1. Точка М(-3;-1) не является точкой касания, так как f(-3)=3. 2. а – абсцисса точки касания. 3. Найдем f(a): f(a) = a 2+4a+6. 4. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x+4, f’(a)=2a+4. 5. Подставим числа а, f(a), в общее уравнение касательной у= f(a)+ f’(a)(x–a): y=a2+4a+6+(2a+4)(x–a) – уравнение касательной. Так как касательная проходит через точку М(-3;-1), то -1=a2+4a+6+(2a+4)(-3–a), a2+6a+5=0, a=-5 или a=-1. Если a=-5, то y=-6x–19 – уравнение касательной. Если a=-1, y=2x+5 – уравнение касательной. Ответ: y=-6x–19, y=2x+5.
  • 16. 3. Касательная проходит под некоторым углом к данной прямой У  Х
  • 17. Даны дифференцируемая функция у=f(х) и 1) значение производной в точке касания f’(а); 2) указан угловой коэффициент касательной; 3) задан угол, между касательной к графику функции и данной прямой.
  • 18. Решая уравнение f’(a)=k или f’(a)=tg (если задан угол ) находим возможные значения а.
  • 19. Ключевая задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции у=х2–2х–8, параллельных прямой у=-4х–4. Решение. 1. Обозначим абсциссу точки касания а. 2. Найдем f(a): f(a)=a2–2a–8. 3. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x–2, f’(a)=2a–2. Но, с другой стороны, f’(a)= - 4 (условие параллельности). Решив уравнение 2a–2= - 4, получим a= - 1, f(a)= - 5. Подставим найденные числа а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x-a): y=-5–4(x+1), y= - 4x–9 – уравнение касательной. Ответ: y= - 4x–9.
  • 20. 4. Касательная является общей для двух кривых У Х
  • 21. Даны дифференцируемые функция у=f(х) и y=g(x). Нужно найти уравнения общих касательных к графику этих функций.
  • 22. 1 способ. Такие задачи можно решать с помощью необходимого и достаточного признака того, что прямая у=kх+b является касательной к графику функции у=f(х) и у=g(х). Тогда задача сводится к решению системы: f(m)=km+b, g(n)=kn+b, f’(m)=k, g’(n)=k, где (m;f(m)) и (n;g(n)) – точки касания искомой прямой с графиками функций у=f(х) и у=g(х) соответственно. Решив систему, получим возможные значения k и b и запишем уравнения общих касательных в виде у=kх+b.
  • 23. 2 способ. 1) Находим уравнение касательной к графику функции у=f(х) в точке с абсциссой а. 2) Находим уравнение касательной к графику функции у=g(х) в точке с абсциссой а. 3) Полученные прямые должны совпадать, т. е. решаем систему: k1=k2, b1=b2.
  • 24. Ключевая задача 4. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций у=х2+х+1 и. у=0,5(х2+3). Решение. I 1. а – абсцисса точки касания графика функции у=х2+х+1 2. Найдем f(a): f(a) =a2+а+1. 3. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x+1, f”(a)=2a+1. 4. Подставим а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+ f’(a)(x–a): y=a2+а+1+(2a+1)(x–a), y=(2a+1)x–a2+1 – уравнение касательной. II. 1. с – абсцисса точки касания графика функции у=0,5(х2 +3). 2. Найдем f(c): f(c)=0,5c2 +1,5. 3. Найдем f’(x) и f’(c): f’(x)=х, f’(c)=c. 4. Подставим а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+ f’(a)(x–a): y=0,5c2+1,5+c(x–c), y=cx–0,5c2+1,5 – уравнение касательной. Так как касательная общая, то 2a+1=c, c=1, с=-3 –a2+1= –0,5c2+1,5 a=0; или а=-2 Итак, y=x+1 и y=-3x–3 общие касательные. Ответ: y=x+1 и y=–3x–3.
  • 25. Является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x)? Даны дифференцируемая функция у=f(х) и уравнение прямой у=kх+b. Выясните, является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x).
  • 26. 1 способ. Если у=kх+b – уравнение к графику функции в точке с абсциссой а, то f’(а)=k. Решив это уравнение, находим а и задача сводится к решению первого типа задач на касательную. Полученное уравнение сравнивается с данным уравнением прямой.
  • 27. 2 способ. Прямая у=kх+b является касательной к графику функции у=f(x) в том и только том случае, если существует такое значение а, при котором совпадают значения данных функций и значения их производных, т. е. Совместна система f(a)=ka+b, f’(a)=k.
  • 29. касательная проходит через точку, лежащую на данной кривой касательная проходит через точку, не лежащую на данной кривой касательная проходит под некоторым углом к данной прямой касательная является общей для заданных кривых самостоятельно составленные задачи обратные задачи задачи с параметром задачи с дополнительным условием обучающие задачи исследовательские задачи обучающие задачи ключевые задачи задачи на касательную