Документ описывает гладкую задачу без ограничений в контексте оптимизации, где f является гладким функционалом в линейном нормированном пространстве x. Приведена теорема, аналогичная теореме Ферма в нормированных пространствах, утверждающая, что если некоторый элемент ˆx является локальным экстремумом, то функционал f при этом равен нулю. Документ также рассматривает вариацию функционала по Лагранжу и условия, при которых это справедливо.

1. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

2. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

3. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

4. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

5. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

6. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

7. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

8. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

9. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

10. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

11. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

12. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

13. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

14. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

15. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

16. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

17. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

18. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

19. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

20. §6. Гладкая задача без ограничений
6.1 Постановка задачи
X — линейное нормированное пространство,
f : X → R — функционал, гладкий.
Гладкая задача без ограничений: f(x) → extr.
Теорема (аналог т. Ферма в нормированных пространствах)
Пусть ˆx ∈ locextr f, f ∈ D(ˆx) (имеет вариацию по Лагранжу в
точке ˆx.) Тогда f (ˆx) = 0 (δf(ˆx, h) = 0 ∀ h ∈ X).
¡ Возьмем произвольный, но фиксированный элемент h∈X.
Рассмотрим функцию одной переменной ϕ(λ) = f(ˆx + λh).
ˆx ∈ locextr f ⇒ 0 ∈ locextr ϕ.
По т. Ферма для функций ϕ (0) = 0 ⇔ δf(ˆx, h) = 0.
В силу произвольности h δf(ˆx, ·) = 0.
Если f ∈ D(ˆx)⇒ ∃ f (ˆx)[·] = δf(ˆx, ·) = 0 (в силу уже
доказанного) ⇒ f (ˆx) = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

21. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

22. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

23. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

24. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

25. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

26. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

27. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

28. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

29. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

30. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

31. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

32. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

33. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

34. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

35. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

36. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

37. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

38. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

39. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

40. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

41. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

42. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

43. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

44. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

45. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

46. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx +h) = f(ˆx)+ f (ˆx), h + 1
2 f (ˆx)[h, h]+r(h), r(h) = o( h 2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по аналогу
т. Ферма f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + λh) − f(ˆx) = λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh), r(λh) = o(|λ|2
)
при малых λ и фиксированном h. Поскольку ˆx ∈ locmin f, то
f(ˆx + λh) − f(ˆx) ≥ 0. Поэтому λ2
2 f (ˆx)[h, h] + r(λh) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на λ2 и
устремим λ к нулю. Поскольку r(λh)
λ2 → 0, то f (ˆx)[h, h] ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

47. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
Достаточность. Так как f (ˆx) = 0, то по формуле Тейлора
f(ˆx+h)−f(ˆx)=
1
2
f (ˆx)[h, h]+r(h)
f (ˆx)h,h ≥α h 2
≥ α
2 ||h||2
+r(h)≥0
при достаточно малых h, так как r(h) = o( h 2).
Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

48. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
Достаточность. Так как f (ˆx) = 0, то по формуле Тейлора
f(ˆx+h)−f(ˆx)=
1
2
f (ˆx)[h, h]+r(h)
f (ˆx)h,h ≥α h 2
≥ α
2 ||h||2
+r(h)≥0
при достаточно малых h, так как r(h) = o( h 2).
Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

49. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
Достаточность. Так как f (ˆx) = 0, то по формуле Тейлора
f(ˆx+h)−f(ˆx)=
1
2
f (ˆx)[h, h]+r(h)
f (ˆx)h,h ≥α h 2
≥ α
2 ||h||2
+r(h)≥0
при достаточно малых h, так как r(h) = o( h 2).
Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

50. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
Достаточность. Так как f (ˆx) = 0, то по формуле Тейлора
f(ˆx+h)−f(ˆx)=
1
2
f (ˆx)[h, h]+r(h)
f (ˆx)h,h ≥α h 2
≥ α
2 ||h||2
+r(h)≥0
при достаточно малых h, так как r(h) = o( h 2).
Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

51. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
Достаточность. Так как f (ˆx) = 0, то по формуле Тейлора
f(ˆx+h)−f(ˆx)=
1
2
f (ˆx)[h, h]+r(h)
f (ˆx)h,h ≥α h 2
≥ α
2 ||h||2
+r(h)≥0
при достаточно малых h, так как r(h) = o( h 2).
Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

52. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
Достаточность. Так как f (ˆx) = 0, то по формуле Тейлора
f(ˆx+h)−f(ˆx)=
1
2
f (ˆx)[h, h]+r(h)
f (ˆx)h,h ≥α h 2
≥ α
2 ||h||2
+r(h)≥0
при достаточно малых h, так как r(h) = o( h 2).
Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

53. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
Достаточность. Так как f (ˆx) = 0, то по формуле Тейлора
f(ˆx+h)−f(ˆx)=
1
2
f (ˆx)[h, h]+r(h)
f (ˆx)h,h ≥α h 2
≥ α
2 ||h||2
+r(h)≥0
при достаточно малых h, так как r(h) = o( h 2).
Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

54. Теорема (необходимые и достаточные условия II порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx)h, h ≥ 0 ∀ h ∈ X.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0,
∃ α > 0 : f (ˆx)h, h ≥ α h 2 ∀ h ∈ X, то ˆx ∈ locmin f.
Достаточность. Так как f (ˆx) = 0, то по формуле Тейлора
f(ˆx+h)−f(ˆx)=
1
2
f (ˆx)[h, h]+r(h)
f (ˆx)h,h ≥α h 2
≥ α
2 ||h||2
+r(h)≥0
при достаточно малых h, так как r(h) = o( h 2).
Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

55. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

56. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

57. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

58. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

59. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

60. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

61. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

62. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

63. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

64. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

65. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

66. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

67. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

68. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

69. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

70. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

71. Пример 1. В бесконечномерных пространствах условие
положительной определенности отображения не гарантирует
строгой положительности отображения
f : l2 → R, x = (x1, ..., xn, ...), x l2
=
+∞
1
x2
n
1
2
, f(x)=
∞
n=1
x2
n
n
.
f (x)[h] = 2
∞
n=1
xnhn
n
; f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n
>0 ∀ h = 0 ⇒ f >0
(положительно определена). Но вместе с тем f не является
строго положительной. Действительно, неравенство
f (0)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h не может выполняться ни для какой
константы α > 0, поскольку на {hn} = en, n = 1, 2, . . .
(en — n-й базисный вектор пространства l2),
f (0)[hn, hn] =
2
n
=
2
n
hn
2 ≥ α hn
2.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

72. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

73. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

74. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

75. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

76. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

77. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

78. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

79. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

80. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

81. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

82. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

83. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

84. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

85. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

86. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

87. Пример 2. В бесконечномерных пространствах условие f (ˆx) = 0
и f (ˆx)[h, h] > 0 ∀ h = 0 не гарантируют локального минимума
отображения.
f : l2 → R, f(x) =
∞
n=1
x2
n
n3
− x4
n → min .
f (ˆx)[h] =
∞
n=1
2ˆxnhn
n3
− 4ˆx3
n hn
⇒ f (0) = 0 ⇒ ˆx = 0 — стационарная точка.
f (ˆx)[h, h] =
∞
n=1
2h2
n
n3
− 12ˆx2
n h2
n ⇒ f (0)[h, h] = 2
∞
n=1
h2
n
n3
> 0
∀ h = 0 ⇒ f (0) положительно определенный оператор, но не
строго положительный. На последовательности xn = en
n
(xn → ˆx = 0 при n → +∞), f(xn) =
1
n5
−
1
n4
< 0 = f(0)
⇒ ˆx = 0 ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации