8. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 8
สมการตำาแหน่งเมื่อเป็นฟังก์ชั่นของเวลาพิจารณาได้จากนิยามความเร็วเฉลี่ย ( v)
∆x
v
= ∆t
1 xt − x0
( v + v0 ) =
2 t−0
1
x t −x 0
= ( v + v 0 )t
2
แทน ด้วย จากสมการข้างบนซึ่งเป็นสมการความเร็วเมื่อฟังก์ชั่นของเวลาจะได้
v vt
1
x t −x 0
= ( v0 + at + v 0 )t
2
1 2
v0 t +
= 2
at
1
x 0 +v 0 t +
xt
= 2
at 2
เป็นสมการตำาแหน่งเมื่อเป็นฟังก์ชั่นของเวลา
ในทำานองเดียวกันความเร็วเมื่อเป็นฟังก์ชั่นของตำาแหน่ง สามารถหาได้โดยหาเวลาจาก
สมการความเร็วที่เป็นฟังก์ชั่นของเวลา จากนั้นนำาเวลาที่ได้แทนลงในสมการตำาแหน่งเมื่อเป็น
ฟังก์ชั่นของเวลาดังนี้
vt
= v 0 +at
v − v0
=
t
a
1
x 0 +v 0 t +
จาก = at 2
x
2
2
v − v0 1 v −v 0
= x0 + v 0 + a
a 2 a
vv 0 − v 0
2
v 2 − 2vv 0 + v 0
2
= x0 + +
a 2a
2vv 0 − 2v 0 + v 2 − 2vv 0 + v0
2 2
= x0 +
2a
v 2 − v0
2
= x0 +
2a
v 0 +2a ( x −x 0 )
=
2
v2
จากสมการจะเห็นว่าเมื่อ คงที่ความเร็วจะเป็นฟังก์ชั่นของระยะทางเขียนใหม่ได้เป็น
a
v 0 +2a ( x −x 0 )
=
2 2
v t
จากสมการที่ ไ ด้ กำา หนดให้ คื อตำา แหน่ ง เริ่ ม ต้ น ; คื อ ความเร็ ว ต้ น ; คื อ
x0 v0 a
ความเร่งเป็นค่าคงที่ เราสามารถใช้สมการเหล่านี้หาความเร่ง ความเร็ว และตำาแหน่งของวัตถุ
ที่เวลาใด ๆได้และยังสามารถหาความเร่งและความเร็วของวัตถุที่ตำาแหน่งใด ๆ ได้
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
9. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 9
สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุเมื่อความเร่งคงที่สามารถเขียนได้ดังนี้
=
at a
vt
= v 0 +at
1
x 0 +v 0 t +
xt
= 2
at 2
=
at a
v 0 +2a ( x −x 0 )
=
2
vt2
บางกรณีในสมการจลศาสตร์เราไม่ทราบตำา แหน่งเริ่มต้น ความเร็วต้น หรือค่าต่าง ๆ
เพื่อความสะดวกในการใช้เราสมารถนำามาเขียนเพื่อแสดงค่าที่ไม่ปรากฎได้ดังนี้
สมการจลศาสตร์ ค่าที่ไม่ปรากฏ
v = 0 +
v at x −x 0
v
1
x = x0 +v 0 t + at 2
2
v 2 =v 0 +2 a ( x −x 0 )
2 t
a
1
x − x0 = (v +v0 )t
2
1 2 v0
x = x 0 + vt − at
2
จากห้าสมการที่ได้จะสังเกตได้ว่าแต่ละสมการจะมีค่าที่ไม่ปรากฏในแต่ล ะสมการอยู่ 1
ค่า จากเงื่อนไขดังกล่าวเราสมารถยุบสมการต่าง ๆ ดังกล่าวให้เหลือเพียง 2 หรือ 3 สมการได้
จากนั้นก็ให้แทนค่าที่ไม่ต้องการให้ปรากฏลงในสมการนันได้ดังนี้
่
กรณียุบให้เหลือเพียง 2 สมการคือ
= v0 +at
v
1
x 0 +v 0 t +
= at 2
x
2
v − v0
เมื่อไม่ต้องการให้มีค่า t
ปรากฏในสมการก็ให้แทนค่า t= ลงในสมการ
a
1
x = x0 +v 0 t +
2
at 2
จะได้
2
v − v0 1 v − v0
x −x 0
= v0 + a
a 2 a
v0 v − v0
2
1
= + ( v − v0 ) 2
a 2a
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
10. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 10
v0 v − v0
2
= a
+
1
2a
v 2 − 2v 0 v + v 0
2
( )
v 0 v − v0
2
v 2 − 2v 0 v + v 0
2
x −x 0
= +
a 2a
2v0 v − 2v 0 + v 2 − 2v0 v + v0
2 2
= 2a
v 2 − v02
= 2a
2a ( x −x 0 )
v 2 −v0
=
2
v 0 +2a ( x −x 0 )
=
2
v2
ห มา ย เห ตุ x −x 0
นับเป็นค่าเดียวได้เนื่องจากเราสามารถเลือก หรือ ได้
x x0
จากระบบพิกัดแกนมุมฉาก
ตัว อย่า ง ที่ 1.6 รถยนต์คันหนึ่งเร่งความเร็วจาก 0m / s
เป็น 26.8m / s
ภายในเวลา 6s
ดังรูปที่ 1.7 จงหา
ก .
ความเร่ง
ข. ระยะทางที่รถวิ่งได้ภายในเวลา 6 s.
วิ ธ ี ท ำา ก. จากโจทย์ ค่ า ที่ ไ ม่ ป รากฏคื อ ตำา แหน่ ง
สุ ด ท้ า ย ( x)
เ มื่ อ x0 = 0
; x =?
; v0 = 0
;
v = .8m / s
26
; a =?
; t =6 s
จากสมการ
= v0 +at
v
v 26.8m / s
=
=
a
t 6s
4.47(m / s 2 )
รูปที่ 1.7 =
ข. เมื่อค่าที่ไม่ปรากฏคือความเร่ง ( a)
1
x −x 0
= ( v + v 0 )t
2
เริ่มต้น t =s
; x0 = 0
; v0 = 0
1
= vt
x
2
1
= ( 26.8m / s )( 6s )
2
= 80 .4 m
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
11. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 11
1.6 การตกอิส ระของวัต ถุ
วัตถุเมื่อตกอย่างอิสระจะมีความเร่ง g = .8m / s 2
9
เมื่อไม่คดแรงต้านของอากาศ
ิ
หลัก การคำา นวณ ใช้สมการจลศาสตร์ดังกล่าวจากข้างต้นเมื่อแทนค่า ด้วยค่า การ
a g
พิจารณาทิศให้พิจารณาตามความเร็วต้น
ตัว อ ย่ า ง ที่ 1.7 ขว้า งลูก บอลขึ้ น ไปในอากาศด้ วยความเร็วต้ น 15 (m/s) ดัง รูป ที่ 1.8 จง
คำานวณหา
ก. ระยะทางสูงสุดที่ลูกบอลเคลื่อนที่ได้
ข. เวลาทีตำาแหน่งสูงสุด
่
วิธ ีท ำา
ก. จากโจทย์ เ มื่ อ ไม่ ท ราบเวลา ( t)
เมื่ อ y 0 =0
; v0 = m / s
15
; v =0
;
y =?
a y = g = 9.8m / s 2
− −
; t =?
จากสมการ
v 0 +2a y ( y −y 0 )
=
2
v2
เริ่มต้น y 0 =0
ที่ตำาแหน่งสูงสุด v =0
= v0 + a y y
2
0 2
2
v0 − v02
− =
=
y
2a y 2( − g )
− (15m / s )
2
= (
2 − 9.8m / s 2 )
= 11 .5m
รูปที่ 1.8
ข. จากโจทย์เมื่อไม่ทราบตำาแหน่งสุดท้าย
= v0 +at
v
ที่ตำาแหน่งสูงสุด v =0
v0 −15m / s
− =
t
= ay − 9.8m / s 2
= 1.53s
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
12. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 12
ตัว อย่า งที่ 1.8 ขว้างลูกบอลขึ้นไปในอากาศด้วยความเร็วต้น ดังรูปที่ 1.9
u
ก.จงแสดงให้เห็น ว่า เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ ถึง ตำา แหน่ง สูง สุด มีค่าเท่ากับเวลาที่ใ ช้
เคลื่อนที่กลับสู่ตำาแหน่งเดิม
ข. ความเร็วปลายเมื่อเคลื่อนที่กลับสู่ตำาแหน่งเดิม
วิธ ีท ำา
ก. จากโจทย์ เ มื่ อ ไม่ ท ราบตำา แหน่ ง สุ ด ท้ า ย เมื่ อ y 0 =0
;
y =?
v0 = u
; v =0
; a y = g = 9.8m / s 2
− − ; t =?
v
= v0 + y t
a
0
= u −gt
u
=
t up
g
หาระยะที่วัตถุขึ้นไปได้สูงสุด เมื่อไม่ทราบเวลา t =?
v 0 +2a y ( y −y 0 )
=
2
v2
0
= u 2 − gy
2
u2
=
y
2g
เมื่ อตำา แหน่ง สู ง สุ ด คื อ ระยะเริ่ ม ต้ น เมื่ อ ลู ก บอลเริ่ ม ตก
และ
ความเร็ว ณ. ตำาแหน่งนี้คือความเร็วต้นมีค่าเท่ากับศูนย์ จากโจทย์เมื่อ
u2
y0 =
ไม่ทราบความเร็วสุดท้าย เมื่อ ; ; v0 = 0
; v =?
;
y =0
2g
a y = g = 9.8m / s 2
− − ; t =?
1
y 0 +v 0 t +
= ayt 2
y
2
u2 1
+ 0 − gt 2
0
= 2g 2
1 2 u2
รูปที่ 1.9 2
gt
= 2g
u
t down
= g
นั่นคือ =
t up t down
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
13. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 13
ข. จากโจทย์เมื่อไม่ทราบความเร็วสุดท้าย
=
v v0 + y t
a
u
0 − g
= g
=
−u
นั่นคือความเร็วของลูกบอลขณะกลับสู่ตำาแหน่งเดิมจะมีความเร็วเท่ากันแต่ทิศตรงกันข้าม
1.7 สมการจลศาสตร์แ ละการคำา นวณ
บางครั้งการเคลื่อนที่ของวัตถุถูกกำาหนดโดยคำาจำากัดความ ของความเร็วและความเร่ง
dx
=
v
dt
dv
และ =
a
dt
จากสมการข้างต้นเราสามารถใช้แคลลูลัสสร้างสมการจลศาสตร์เมื่อมีความเร่งคงที่ได้
dv
a
= dt
dv
= a (dt )
v t
∫ dv
v0
= ∫ a( dt )
0
ให้ คงที่
a
v t
∫ dv
v0
= a ∫ dt
0
v −v0
= a (t − )
0
= v 0 +at
v
จากสมการที่ได้จะสังเกตุเห็นได้ว่า ความเร็วขึ้นกับเวลา เขียนใหม่ได้เป็น vt = 0 +
v at
ก็คือสมการจลศาสตร์เมื่อความเร็วเป็นฟังก์ชั่นของเวลาในทำานองเดียวกัน
dx
= v (dt )
แต่ = v 0 +at
v
(v 0 +at )dt
dx
=
v 0 (dt ) + (dt )
= at
x t t
∫ dx ∫v dt + ∫ at ( dt )
x0
= 0
0
0
แต่ความเร่ง และความเร็วต้นไม่เปลียนแปลงตามเวลา
่
x t t
∫ dx
x0
= v 0 ∫dt + a ∫tdt
0 0
1 2
v0 t +
x −x 0
= 2
at
เป็นสมการจลศาสตร์เมื่อตำาแหน่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
14. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 14
การหาสมการการเคลื่ อ นที่ ข องวั ต ถุ ดั ง กล่ า วข้ า งต้ น โดยวิ ธี ก ารหาอนุ พั น ธ์ หรื อ
การอินทิเกรต ใช้สำาหรับการหาสมการเมื่อความเร่งไม่คงที่
สรุป
ในบทนี้ สามารถอธิบ ายการเคลื่อนที่ใ นรู ปของตำา แหน่ง การกระจั ด ความเร็ว และ
ความเร่ง ในกรณีที่ความเร่งคงที่เราสามารถใช้เงื่อนไขต่าง ๆ สร้างสมการจลศาสตร์ได้ และ
สามารถใช้คำาจำากัดความเบื้องต้นเพื่อหาสมการการเคลื่อนที่เมื่อความเร่งไม่คงที่ได้
ตำาแหน่ง : x
การกระจัด : ∆= 2 −1
x x x
∆x x 2 − x1
v= =
ความเร็วเฉลี่ย : ∆t t 2 − t1
dx
v=
ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง : dt
∆v v 2 − v1
a= =
ความเร่งเฉลี่ย : ∆t t 2 − t1
dv
a=
ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง : dt
สมการจลศาสตร์ ค่าที่ไม่ปรากฏ
v = 0 +
v at x −x 0
v
1
x = x0 +v 0 t + at 2
2
v 2 =v 0 +2 a ( x −x 0 )
2 t
a
1
x − x0 = (v +v0 )t
2
1 2 v0
x = x 0 + vt − at
2
ใช้ในกรณีเมื่อความเร่ง ( a)
คงที่
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
