Εργασία μαθητών του 59 Γυμνασίου Αθηνών στα Μαθηματικά

1. 1
Η ΑΝΑΓΚΑΘΟΣΗΣΑ ΣΗ΢ ΑΠΟΔΕΘΞΗ΢ ΢ΣΗ ΖΩΗ ΜΑ΢
Εξγαζία πνπ πξαγκαηνπνηήζεθε θαηά ην ζρ. έηνο 2012-2013 από ηνπο
καζεηέο ηεο Γ΄ ηάμεο ηνπ ζρνιείνπ καο.
Με ην πνπ μεθηλήζακε θέηνο ηα Μαζεκαηηθά ζηελ Τξίηε ηάμε , θαηαιάβακε όηη
νη απαηηήζεηο άιιαμαλ. Άξρηζε λα καο απαζρνιεί έληνλα ε έλλνηα ηεο
απόδεημεο.
Σπρλά αλαξσηηόκαζηε: Γηαηί απνδεηθλύνπκε; Πνηα είλαη ε αμία θαη ε ζεκαζία
κηαο απόδεημεο ;
Σηελ πνξεία δηαπηζηώζακε όηη :
Η απόδεημε είλαη ην όξγαλν πνπ κπνξεί λα θαηνρπξώζεη ηελ
αιήζεηα.
Πξνηάζεηο πνπ θαίλνληαλ όηη ζίγνπξα ηζρύνπλ, ρξεηάδνληαλ απόδεημε.
Καηαιάβακε ζηγά-ζηγά όηη ε δηαίζζεζε δελ αξθεί , αλ ζέινπκε λα είκαζηε
ζίγνπξνη γηα θάηη.
Άξαγε κόλν ηα Μαζεκαηηθά έρνπλ ηέηνηεο απαηηήζεηο;
Αθνύ πξνβιεκαηηζηήθακε ιίγν πάλσ ζ΄απηό, δηαπηζηώζακε όηη θαη ε λνκηθή
επηζηήκε ζηελ απόδεημε ζηεξίδεηαη.
Μα θαη ζηελ θαζεκεξηλή δσή , ζε θάζε δηαθσλία ε απόδεημε ηεο θάζε ζέζεο
είλαη απαξαίηεηε.
Καζώο δηδαζθόκαζηαλ ηελ «Διέλε» ηνπ Δπξηπίδε κε ηελ θ. Παξδάιε,
δηαπηζηώζακε όηη θαη εθεί ηα θαηλόκελα ήηαλ δηαθνξεηηθά από απηό πνπ
πξαγκαηηθά ζπλέβαηλε.
Δίλαη ινηπόλ αλαγθαίν λα απνδεηθλύνπκε θάζε ηη πνπ ηζρπξηδόκαζηε;

2. 2
Η ΑΠΟΔΕΘΞΗ ΢ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΚΑ
Σηα Μαζεκαηηθά θάζε θαηλνύξγην απνηέιεζκα πξνθύπηεη από ηα
πξνεγνύκελα, ρξεζηκνπνηώληαο ηε δηαδηθαζία πνπ ιέγεηαη απόδεημε θαη πνπ
ζηεξίδεηαη ζηνπο θαλόλεο ηεο Λνγηθήο. Τα ζπκπεξάζκαηα, γηα λα είλαη γεληθά,
δελ πξέπεη λα είλαη ζπλέπεηεο κόλν ηεο παξαηήξεζεο. Δίλαη αλαγθαίν λα
πξνθύπηνπλ κε νξζό ζπιινγηζκό από ηα αμηώκαηα ,ηνπο νξηζκνύο θαη
πξνηάζεηο πνπ έρνπλ ήδε απνδεηρηεί.
Σηα Μαζεκαηηθά ε απόδεημε πξσηνεκθαλίδεηαη κε ην Θαιή
ην 640 π.ρ. πεξίπνπ θαη ηόηε ζεκειηώλεηαη ε επηζηήκε ησλ Μαζεκαηηθώλ.
Μέρξη ηόηε νη αξραίνη ιανί είραλ αλαπηύμεη ζπνπδαία καζεκαηηθά ηα νπνία
ρξεζηκνπνηνύζαλ γηα ηηο πξαθηηθέο ηνπο αλάγθεο. Τνπο αξθνύζε πνπ
έβξηζθαλ ηξόπνπο λα ιύλνπλ ηα πξνβιήκαηά ηνπο αιιά δελ ηνπο ελδηέθεξε
ην γηαηί.
Οη αξραίνη Έιιελεο , όρη ηπραία, αλάπηπμαλ ηελ απνδεηθηηθή δηαδηθαζία.
Έθαλαλ ηα Μαζεκαηηθά ηελ ηέρλε ηνπ «ζπιινγίδεζζαη».

3. 3
Λαόο θαη΄ εμνρήλ θηινπεξίεξγνο , νδεγήζεθε ζηελ αλαδήηεζε ηεο αιήζεηαο,
όρη κόλν γηα ηελ εμππεξέηεζε πξαθηηθώλ αλαγθώλ αιιά γηα ηελ πλεπκαηηθή
ηθαλνπνίεζε πνπ πξνζθέξεη ε γλώζε θαη ε ινγηθή εμήγεζε.
Ο Ππζαγόξαο θαη ε ζρνιή ησλ Ππζαγνξείσλ
ρξεζηκνπνίεζαλ θαη βειηίσζαλ ηελ απνδεηθηηθή δηαδηθαζία πνπ εηζήγαγε ν
Θαιήο.
Σηε ζπλέρεηα ν Δπθιείδεο (330-270 π.ρ.)
ηειεηνπνίεζε ηελ απνδεηθηηθή δηαδηθαζία
δεκηνπξγώληαο κε ηα «ΣΤΟΙΦΔΙΑ» έλα έξγν ζηαζκό ηεο καζεκαηηθήο
επηζηήκεο.

4. 4
Σην Γπκλάζην, ρξεζηκνπνηνύληαη θαηά θύξην ιόγν ε διαιζθηηική (άηππε)
θαη ε επαγωγική απόδεημε, όπνπ ην βάξνο δίλεηαη θπξίσο ζηελ επνπηεία, ηε
δηαίζζεζε θαη ηελ εκπεηξία θαη κε ηελ αμηνπνίεζε απηώλ, θαινύληαη νη
καζεηέο λα παξαηεξήζνπλ, λα θάλνπλ εηθαζίεο, λα ζπκπεξάλνπλ, λα
θαηεγνξηνπνηήζνπλ, λα γεληθεύζνπλ θιπ
Διαιζθηηική μέθοδορ
Πνιιέο θνξέο έρνπκε πεη ηε θξάζε «Μνπ θαίλεηαη όηη ηζρύεη»
Η δηαίζζεζε κπνξεί λα απνηειέζεη πεγή γλώζεο αιιά κπνξεί λα είλαη θαη
παξαπιαλεηηθή. Γη ΄απηό πξέπεη λα απνθεύγεηαη ζηνλ επηζηεκνληθό
ζπιινγηζκό.
Όηαλ επηζθεθηήθακε ην κνπζείν « Ηξαθιεηδώλ» πήξακε κηα ηδέα γηα ην
πόζν κπνξεί λα καο εμαπαηά ε δηαίζζεζε θαη πόζν αλαγθαία είλαη ε
απόδεημε.
Σηα δπν απηά έξγα ηνπ Vasareli

5. 5
έρνπκε ηελ εληύπσζε όηη βιέπνπκε ζηεξεά ζώκαηα , όκσο είλαη ζρέδηα
δηζδηάζηαηα.
Μεηά από ηηο επόκελεο νθζαικαπάηεο πηζηεύεηε όηη κπνξνύκε λα
εκπηζηεπόκαζηε ηηο αηζζήζεηο καο;
Κιεηζηή ή αλνηρηή ε πόξηα;
Απηό πνπ λνκίδεηε όηη βιέπεηε… δείηε ηη ζηελ πξαγκαηηθόηεηα
είλαη…

6. 6
δείτε εδώ την απάντηση!...

7. 7
Αθνινπζεί απόζπαζκα από ην βηβιίν ησλ Γνμηάδε – Παπαδεκεηξίνπ-
Παπαδάηνπ:
Logicomix

8. 8

9. 9

10. 10
Επαγωγική μέθοδορ
Ίζσο ζθεθηνύκε:
«Αο θάλω κεξηθέο δνθηκέο γηα λα δω ηη ηζρύεη»
Με ηελ επαγσγηθή απόδεημε βξίζθνπκε κηα θνηλή ηδηόηεηα γηα έλα κέξνο
ηνπ πιεζπζκνύ πνπ κειεηάκε θαη ηελ γεληθεύνπκε ζε όιν ηνλ πιεζπζκό.
Σίγνπξα απηό δελ αξθεί ζηε καζεκαηηθή επηζηήκε. Μπνξεί έλαο ηύπνο πνπ
ηζρύεη γηα πάξα πνιιέο πεξηπηώζεηο γηα ηελ ρηιηνζηή λα κελ ηζρύεη.
Παξάδεηγκα :
Αλ νη 30 από ηνπο 50 θαηνίθνπο ελόο ρσξηνύ έρνπλ γαιάδηα κάηηα , κπνξώ
λα είκαη ζίγνπξνο όηη όινη νη θάηνηθνη έρνπλ γαιάδηα κάηηα;
Ο Euler, ην 1771 βξήθε ην πνιπώλπκν
λ2
+λ+41 ην νπνίν παξάγεη πξώηνπο αξηζκνύο
γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ λ= 0,...,39 .
Όρη όκσο θαη γηα ηηκέο κεγαιύηεξεο ηνπ 39.

11. 11
Παπαγωγική μέθοδορ
Με ηελ παξαγσγηθή απόδεημε βγάδνπκε ζπκπεξάζκαηα πνπ πξνθύπηνπλ
αλαγθαζηηθά από γλώζεηο πνπ ήδε έρνπκε θαη κε ινγηθνύο
ζπιινγηζκνύο.
Η καζεκαηηθή έξεπλα ζπρλά μεθηλά κε ηε διαίζθηζη. Πνιιέο θνξέο είλαη
απαξαίηεην λα εμεηαζηνύλ ζςγκεκπιμένερ πεπιπηώζειρ πξηλ γίλεη ε
γελίθεπζε θαη θαηόπηλ κε ηελ παπαγωγική απόδειξη ειέγρνληαη νη
εηθαζίεο πνπ έρνπλ πξνεγεζεί.
Ο Αξρηκήδεο ζην έξγν ηνπ «Έθνδνο» αλαθέξεη όηη πξώηα
ζπλεηδεηνπνίεζε εκπεηξηθά ηνλ ηύπν ηνπ όγθνπ ηεο ζθαίξαο (V=4/3πR3
) θαη
κεηά έδσζε ηελ απζηεξή καζεκαηηθή απόδεημε. Τν ίδην ζπλέβε θαη κε ηνλ ηύπν
εκβαδνύ ηνπ θώλνπ. Αθνύ πεηξακαηίζηεθε κε θώλν θαη θύιηλδξν δηαπίζησζε
όηη ζρεδόλ ηζρύεη ν ηύπνο Δ =1/3πξ2
π. Καηόπηλ έδσζε ηελ απζηεξή
καζεκαηηθή απόδεημε.
Παξ΄όιν πνπ ε Μαζεκαηηθή ινγηθή ζηεξίδεηαη θαη΄εμνρήλ ζηελ παξαγσγηθή
απόδεημε , όπνπ ην ζπκπέξαζκα πξνθύπηεη αλαγθαζηηθά κε ινγηθνύο
ζπιινγηζκνύο ,δελ κπνξνύκε λα απνθύγνπκε θάπνηα «παξάδνμα».
Τν παξάδνμν πνπ παξνπζηάδνπκε απνδίδεηαη ζηνλ Δπηκελίδε
από ηελ Κξήηε ν νπνίνο ζε έλα πνίεκά ηνπ είρε γξάςεη:
Κξῆηεο ἀεὶ ςεῦζηαη (νη Κξήηεο είλαη πάληα ςεύηεο)
Σύκθσλα ινηπόλ κε ηελ έθθξαζε απηνί όινη νη Κξήηεο είλαη ςεύηεο. Όκσο θαη
ν Δπηκελίδεο θαηαγόηαλ από ηελ Κξήηε άξα θαη ν ίδηνο ςεύδεηαη, άξα ηειηθά
νη Κξήηεο δελ είλαη ςεύηεο! Τόηε όκσο θη ν Δπηκελίδεο δελ ςεύδεηαη ,
επνκέλσο είλαη αιήζεηα όηη νη Κξήηεο είλαη ςεύηεο θ.ν.θ.

12. 12
Η ΑΠΟΔΕΘΞΗ ΢ΣΗ ΝΟΜΘΚΗ ΕΠΘ΢ΣΗΜΗ
λνκηθή επηζηήκε έρεη άκεζε ζπγγέλεηα κε ηε καζεκαηηθή επηζηήκε.
πηό γίλεηαη θαηαλνεηό, αλ ζθεθηνύκε ηνλ απιό λόκν ηεο καζεκαηηθήο
ινγηθήο ν νπνίνο ιέεη όηη ε δηπιή άξλεζε κηαο πξόηαζεο π, ηζνύηαη κε ηελ
θαηάθαζε ηεο πξόηαζεο. Έηζη, αλ θάπνηνο αλαθξηλόκελνο κέζα από ηηο
εξσηήζεηο ηνπ αλαθξηηή ππνπέζεη ζε δηπιή άξλεζε, είλαη ζαλ λα παξαδέρεηαη
απηά πνπ αξληόηαλ.
Γεληθά ζηε Γηθνλνκία θαη ηελ Αλαθξηηηθή κε ηνλ όξν απόδεημε, ραξαθηεξίδεηαη
ην ζύλνιν ησλ ελεξγεηώλ θαη κεζόδσλ, κε ηηο νπνίεο είλαη δπλαηόλ λα
ζρεκαηηζηεί ε πεπνίζεζε γηα ηελ αιήζεηα ή όρη γεγνλόησλ ή πξνβαιινκέλσλ
ηζρπξηζκώλ.
Πνιινί είλαη εθείλνη πνπ ραξαθηεξίδνπλ ηηο απνδείμεηο σο ηε "ςπρή" ηεο
πνηληθήο δηαδηθαζίαο θαη "θέληξν βαξύηεηαο" απηήο. Καη δελ έρνπλ άδηθν αλ
ιεθζεί ππόςε όηη κπνξεί ε δηαδηθαζία λα μεθηλήζεη από κηα απιή ππόζεζε
πιελ όκσο ε θαηαδηθαζηηθή απόθαζε ζα πξέπεη λα βαζίδεηαη επί
πξαγκαηηθώλ θαη βεβαησκέλσλ γεγνλόησλ.
Η
Α

13. 13
Σηε λνκηθή ζπλαληάκε
ηε :
Ννκηθή απόδεημε : εθείλε πνπ αλαθέξεηαη ζε θαλόλεο ξεηά δηαηππσκέλνπο ζε
λόκνπο πξνθεηκέλνπ λ΄ απνηειέζνπλ νδεγία ζηνπο δηθαζηέο ζηε θαηάξηηζε
ηεο απόθαζή ηνπο,
Ηζηθή απόδεημε ιέγεηαη εθείλε δηα ηεο νπνίαο ε δηθαληθή πεπνίζεζε
πξνέξρεηαη από άκεζε θαη ειεύζεξε δηάγλσζε πνπ απνξξέεη ζπλεζέζηεξα
από ηελ πείξα θαη ηε ζθέςε.
Ο 16νο
πξόεδξνο ηεο Ακεξηθήο Lincoln
έιεγε, όηη δηδάρζεθε ηελ έλλνηα ηεο ινγηθήο θαη ηεο απόδεημεο σο
απηνδίδαθηνο καζεηήο ηνπ Δπθιείδε - δήισλε κάιηζηα πεξήθαλνο, όηη
κπνξνύζε λα απνδείμεη από κλήκεο νπνηνδήπνηε ζεώξεκα ησλ έμη πξώησλ
Βηβιίσλ ησλ «Σηνηρείσλ». Δίλαη γλσζηό άιισζηε, όηη ε ξεηνξηθή δεηλόηεηά ηνπ
απνηέιεζε ην θπξηόηεξν εξγαιείν ζηελ πνιηηηθή ηνπ ζηαδηνδξνκία, παξ΄ όηη
απηόο ν ζπνπδαίνο άλζξσπνο πέξαζε ζπλνιηθά έλαλ κόλν ρξόλν ηεο δσήο
ηνπ ζηα ζξαλία.

14. 14
«Από καξηπξίεο ηεο επνρήο καζαίλνπκε όηη νη άιινη θνηκόληνπζαλ θαη απηόο
δηάβαδε κε έλα θεξί θαη ςηζύξηδε ηηο απνδείμεηο . Σύκθσλα κε ηα ηζηνξηθά
ζηνηρεία, είρε θιεηζηεί ζην δσκάηηό ηνπ επί δπν κήλεο θαη κειεηνύζε ηα
Σηνηρεία ηνπ Δπθιείδε, ηνπ «παηέξα» ηεο Γεσκεηξίαο.
Μεηά από απηό ην δηάζηεκα, ηζρπξίζηεθε, όηη έλησζε έηνηκνο λα αζθήζεη ην
επάγγεικα ηνπ δηθεγόξνπ.
Ο Δπθιείδεο έδσζε ηε βάζε θαη ηα εθόδηα ζηνλ Λίλθνιλ θη έηζη θαηάθεξε λα
θηάζεη ζηελ θαηάιεςε ηεο ακεξηθαληθήο πξνεδξίαο.
Φαξαθηεξηζηηθό ηνπ Δπθιείδε ήηαλ ην γεγνλόο όηη είρε ηελ ηθαλόηεηα λα
αλαζπληάμεη ηηο απνδείμεηο ησλ ζεσξεκάησλ ζε ζύληνκνπο απζηεξνύο όξνπο,
θάηη πνπ ν Λίλθνιλ είρε θάλεη ζηα εγθαίληα ηνπ λεθξνηαθείνπ γηα ηνπο
πεζόληεο ηνπ ακεξηθαληθνύ εκθπιίνπ, ρξεζηκνπνηώληαο κόλν 271 ιέμεηο!

15. 15
Σηελ πην δηάζεκε νκηιία ηνπ Λίλθνιλ, ζην πεξίθεκν Gettysburg Address,
ν 16νο Ακεξηθαλόο πξόεδξνο απνθαιύπηεη
κηα βαζηά, δηαηζζεηηθή θαηαλόεζε ηεο επθιείδεηαο κεζόδνπ, πνπ νη κειεηεηέο
κόιηο ηα ηειεπηαία ρξόληα έρνπλ αξρίζεη λα θαηαιαβαίλνπλ.
Η ΑΠΟΔΕΘΞΗ ΢ΣΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΘΝΗ ΖΩΗ
Σηελ θαζεκεξηλόηεηά καο όια βαζίδνληαη ζε απνδείμεηο, από ην πην απιό σο
ην πην ζύλζεην.
Από ηελ απόδεημε ησλ ζηνηρείσλ καο κέζσ ηεο αζηπλνκηθήο καο ηαπηόηεηαο,
ησλ ηθαλνηήησλ ή γλώζεσλ κέζσ
πηπρίσλ θαη άιισλ εγγξάθσλ,

16. 16
σο ηελ ύπαξμε ζπγθεθξηκέλσλ ζπλαηζζεκάησλ κέζσ ιόγσλ θαη
πξάμεσλ , ζε όια εκπεξηέρεηαη ε έλλνηα ηεο
απόδεημεο. Απνηειεί ζιόγθαλ ηεο αληαγσληζηηθήο επνρήο καο ε έθθξαζε
«πξέπεη θαζεκεξηλά λα απνδεηθλύσ πνηνο είκαη θαη ηη αμίδσ», όρη κόλν ζηελ
επαγγεικαηηθή αιιά θαη ζηελ νηθνγελεηαθή θαη πξνζσπηθή δσή καο .
Με ηελ εκπνξηθή θαη νηθνλνκηθή έλλνηα ηνπ όξνπ, νη απνδείμεηο σο καγηθά
ραξηάθηα έξρνληαη λα επαιεζεύζνπλ ηελ εληηκόηεηα ηνπ θαζελόο θαη ην
ελδηαθέξνλ ηνπ γηα ηελ νκαιή ιεηηνπξγία ηνπ ζπζηήκαηνο ηεο Δζληθήο
Οηθνλνκίαο.
Ο απόζηνινο Θσκάο δεηάεη απνδείμεηο γηα λα πηζηέςεη όηη απηόο πνπ είλαη
κπξνζηά ηνπ δσληαλόο, είλαη ν αλαζηεκέλνο Ιεζνύο.

17. 17
Η ΕΝΝΟΘΑ ΣΗ΢ ΑΠΟΔΕΘΞΗ΢ ΢ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΛΕΝΗ»
Από ηελ αξρή ηεο ηζηνξίαο ηεο Διέλεο ε έλλνηα ηεο απόδεημεο έπαημε πνιύ
ζεκαληηθό ξόιν. Όιν ην έξγν βαζίδεηαη ζε απηήλ. Σε όιε ηελ δηάξθεηα ηεο
αθήγεζεο ν Δπξηπίδεο πξνζπαζεί λα απνδείμεη πσο ζηελ Τξνία δελ
βξηζθόηαλ ε ίδηα ε Διέλε αιιά ην είδσιν ηεο.
Δθείλε κάιηζηα πξνζπαζεί λα απνδείμεη πσο δελ είλαη απηή απηνπξγόο ηεο
θαηάζηαζεο θαη πσο δελ επζύλεηαη γηα όζα ζπκβαίλνπλ ζηελ Τξνία αιιά θαη
ζηνλ ίδην ην Μελέιαν. Γηα απηό ην ιόγν είλαη θαη έλα από ηα ηξαγηθά
πξόζσπα ηεο ηζηνξίαο.
Ο θόζκνο ,ιόγσ ησλ αληηιήςεσλ θαη ησλ πξνθαηαιήςεσλ πνπ θπξηαξρνύζαλ
εθείλε ηελ επνρή ,δελ ηελ είρε ζε κεγάιε εθηίκεζε ,
ελώ απνδείρηεθε πσο είλαη κηα δπλακηθή θαη έμππλε γπλαίθα αθνύ ηειηθά
κπόξεζε λα βξεη ιύζε θαη λα απνδξάζεη καδί κε ηνλ Μελέιαν.

18. 18
Για ηην επγαζία αςηή επγάζηηκαν οι μαθηηέρ:
Η απόδεημε ζηα Μαζεκαηηθά:
Ίθνπ Γαλάε Γ1
Απνζηνινπνύινπ Φσηεηλή Γ1
Η απόδεημε ζηε λνκηθή επηζηήκε:
Αιεμαλδξή Φξηζηίλα Γ1
Βαζηιεηάδε Γήκεηξα Γ1
Η απόδεημε ζηελ θαζεκεξηλή δσή
Γθίλεο Γηώξγνο Γ1
Γεσξγίνπ Αλάξγπξνο Γ1
Η απόδεημε ζηελ Διέλε ηνπ Δπξππίδε
Απνζηόιε Δηξήλε Γ1
Αγγέιε Φαίε Γ1
Υπεύζπλε θαζεγήηξηα : Διέλε Τζνπθαιά ΠΔ 03
Φηινινγηθή επηκέιεηα : Γηάλλεο Κπξηαδήο ΠΔ 02
Βηβιηνγξαθία:
1) Θεόδσξνο Δμαξράθνο : Η απόδεημε ζηα Μαζεκαηηθά
2) Καξδακίηζεο Σπύξνο» : Η απόδεημε ζηα Μαζεκαηηθά θαη ζρεηηθέο αληηιήςεηο
καζεηώλ ιπθείνπ.
ttp://www.livepedia.gr/index.php/%CE%9B%CE%BF%CE%B3%CE%
B9%CE%BA%CE%AE"http://alikos.blogspot.com/2010/11/blog-
post_19.html
4) «Ο Εςκλείδηρ ζηο Gettysburg: μια διάλεξη για όζοςρ αναπωηιούνηαι για
ηη ζσέζη ηηρ πολιηικήρ με ηη λογική», Απόζηολορ Δοξιάδηρ
5) LOGICOMIX :Δοξιάδη, Παπαδημηηπίος, Παπαδάηος
6) http://blogs.sch.gr/isiglavas/archives/964
7) http://tube.geogebra.org/student/m19377
3) h