このスライドはブログ記事として書き直しました。このスライドよりブログ記事の方がわかりやすいと思います。 http://d.hatena.ne.jp/syamino/20120524/p1

1. ラムダ計算で代数的データ型を
表現する方法

2. 代数的データ型のおさらい
data Bool = True | False
コンストラクタ
data Either a b = Left a | Right b
コンストラクタの引数

3. ラムダ計算でパターンマッチする
case e of
Left l -> (1)
Right r -> (2)
ラムダ計算で表現
e (λl. (1) ) (λr. (2) )

4. 値そのものに，パターンマッチの機
能を組み込む
e (λl. (1) ) (λr. (2) )
Leftのときに実行して欲しい Rightのときに実行して欲しい
Left l = λA B. A l
Right r = λA B. B r

5. Boolもラムダ計算で
case b of
True -> (3)
False -> (4)
b (3) (4)

6. ラムダ計算でのBoolのコンストラク
タ
b (3) (4)
Trueのときに実行して欲しい Falseのときに実行して欲しい
True = λC D. C
False = λC D. D

7. パターンマッチとは，コンストラクタを
他の関数に置き換えること
Eitherの場合
case e of
Left l -> A l
Right r -> B r
Boolの場合
case b of
True -> C
False -> D

8. 置き換え方は2種類ある
① 最初の1個だけ
個だけ置換する
個だけ
Cons 10 (Cons 20 (Cons 30 Nil)
c 10 (Cons 20 (Cons 30 Nil)
② 全て
全て一括で置換する
Cons 10 (Cons 20 (Cons 30 Nil)
c 10 ( c 20 ( c 30 n )

9. 2種類のcons
① 最初の1個だけ
個だけ置換する
個だけ
cons = λx xs. λn c. c x xs
残りのリストをそのまま渡す
② 全て
全て一括で置換する
cons = λx xs. λn c. c x (xs n c)
残りのリストのコンストラクタも置き換える

10. 2種類の方法の特徴
① 最初の 個だけ置換する ②全て一括で置換する
最初の1個だけ置換する
メリット プログラミングが簡単 型付け可能
デメリット 型付け不可能 プログラミングが難しい

11. スコットエンコーディング
(Scott encoding)
① 最初の1つだけ
つだけ置換する
つだけ
Cons 10 (Cons 20 (Cons 30 Nil)
c 10 (Cons 20 (Cons 30 Nil)

12. スコットエンコーディングでのパター
ンマッチ
スコットエンコーディングでの定義
tail l = l Nil (λx xs. xs)
Nilと置換 Consと置換
パターンマッチを使った定義
tail l = case l of
Nil -> Nil
Cons x xs -> xs

13. スコットエンコーディングでの再帰
Haskell
length l = case l of
Nil -> 0
Cons x xs -> 1 + (length xs)
不動点コンビネータを使えば
きれいに翻訳できる スコットエンコーディング
+
不動点コンビネータ
length = Y (λ length. λ list. list
0
λ x xs. 1 + ((Y length) xs))

14. チャーチエンコーディング
(Chuch encoding)
② 全て
全て一括で置換する
Cons 10 (Cons 20 (Cons 30 Nil)
c 10 ( c 20 ( c 30 n )

15. リストのコンストラクタを全部置換す
る関数foldr
foldrの型
foldr :: X -> (a -> X -> X) -> List a -> X
Nilと置換する関数 Consと置換する関数
foldrの定義
foldr n c Nil = n
foldr n c (Cons x xs) = c x (foldr n c xs)

16. foldrで再帰関数を定義できる
再帰的定義
length l = case l of
Nil -> 0
Cons x xs -> 1 + (length xs)
foldrを使った定義
length = foldr 0 (λx n. 1 + n)

17. foldrで再帰関数を定義できる
再帰的定義
sum l = case l of
Nil -> 0
Cons x xs -> x + (sum xs)
foldrを使った定義
sum = foldr (+) 0

18. foldrで再帰関数を定義できる
再帰的定義
map f l = case l of
Nil -> Nil
Cons x xs -> Cons (f x) (map f xs)
foldrを使った定義
map f = foldr Nil (λx xs. Cons (f x) xs)

19. チャーチエンコーディングでの
foldrの定義
foldr = λ n c l. l n c

20. リストの値そのものにfoldrの機能
が組み込まれている
foldrの定義とnil,consの定義は，よく似ている
foldr n c Nil = n
nil = λn c. n
foldr n c (Cons x xs) = c x (foldr n c xs)
cons = λx xs. λn c. c x (xs n c)

21. チャーチ数 = チャーチエンコーディ
ングされた自然数
data Nat = Zero | Succ Nat
0 = Zero
1 = Succ Zero
2 = Succ (Succ Zero)
3 = Succ (Succ (Succ Zero))
zero = λs z. z
succ n = λs z. s (n s z)

22. チャーチ数での再帰関数
自然数の加算も，本来は再帰関数
add Zero b = b
add (Succ a) b = Succ (add a b)
再帰呼び出し
チャーチ数なら，不動点コンビネータを使わずに
再帰関数を定義できる
add a b = λs z. a s (b s z)

23. 2種類の方法の特徴(再掲)
スコットエンコーディング チャーチエンコーディング
メリット プログラミングが簡単 型付け可能
デメリット 型付け不可能 プログラミングが難しい

24. おしまい
syamino
高専5年