Tpp2012 mwpl on_coq

1. TPP 2012 at Chiba, Nov 21, 2012 Coq に於ける Monads with Predicate Liftings の実装と考察千葉大学大学院理学研究科須田啓司

2. 正確には Kleisli Triples with Predicate Liftings の実装です

3. 各々の道具の中身よりもそれらの関係性に重点を置きます

4. op :C ! Cat hT, ⌘, µ, ⌧, ✓, ⌫i hT , ⌘, µi 各々の道具の中身よりもそれらの関係性に重点を置きます Kl(T ) Kl(T ) # # ⇧ hT, ⌘, ( ) i hT, ⌘, ( ) , ⌧, ✓, ( ) i hT , ⌘, ( )# i

5. 各々の道具の中身よりもそれらの関係性に重点を置きます

6. はじめに

7. モナド on Coq ‣ 関数型プログラミングの文脈に於けるモナド - 手続き的にプログラムを記述するための枠組み - 計算効果を統一的に扱うことを可能にする ‣ 型クラスとしてのモナド - 型変換子Tでパラメタライズされた型クラス - モナド則をメンバとして持つ • モナドそのものを推論の対象と出来る - 個々の計算効果はモナドのサブクラスとして記述される • 失敗，状態，非決定性など

8. Record TypeModiﬁer: Type := { tm_modify :> Set -> Set; tm_equivalence {A: Set}: Equivalence (tm_modify A) }. Notation "A =t= B" := (equiv_eq (Equivalence:=tm_equivalence _) A B) (at level 70, no associativity). Reserved Notation "x >>= y" (at level 60, left associativity). Class Monad (T: TypeModiﬁer):= { ret {A: Set}: A -> T A; bind {A B: Set}: (A -> T B) -> T A -> T B where "x >>= y" := (bind y x); unit_left: forall (A B: Set)(f: A -> T B)(a: A), (ret a) >>= f =t= f a; unit_right: forall (A: Set)(m: T A), m >>= ret =t= m; assoc: forall (A B C: Set)(f: A -> T B)(g: B -> T C)(m: T A), (m >>= f >>= g) =t= m >>= (fun x => (f x) >>= g); bind_subst: forall (A B: Set)(m m': T A)(f f': A -> T B), m =t= m' -> (forall a: A, f a =t= f' a) -> m >>= f =t= m' >>= f' }.

9. Record TypeModiﬁer: Type := { tm_modify :> Set -> Set; tm_equivalence {A: Set}: Equivalence (tm_modify A) }. Notation "A =t= B" := (equiv_eq (Equivalence:=tm_equivalence _) A B) (at level 70, no associativity). Reserved Notation "x >>= y" (at level 60, left associativity). Class Monad (T: TypeModiﬁer):= { ret {A: Set}: A -> T A; bind {A B: Set}: (A -> T B) -> T A -> T B where "x >>= y" := (bind y x); unit_left: forall (A B: Set)(f: A -> T B)(a: A), (ret a) >>= f =t= f a; unit_right: forall (A: Set)(m: T A), m >>= ret =t= m; assoc: forall (A B C: Set)(f: A -> T B)(g: B -> T C)(m: T A), (m >>= f >>= g) =t= m >>= (fun x => (f x) >>= g); bind_subst: forall (A B: Set)(m m': T A)(f f': A -> T B), m =t= m' -> (forall a: A, f a =t= f' a) -> m >>= f =t= m' >>= f' }.

10. Record TypeModiﬁer: Type := { tm_modify :> Set -> Set; tm_equivalence {A: Set}: Equivalence (tm_modify A) }. Notation "A =t= B" := (equiv_eq (Equivalence:=tm_equivalence _) A B) (at level 70, no associativity). Reserved Notation "x >>= y" (at level 60, left associativity). Class Monad (T: TypeModiﬁer):= { ret {A: Set}: A -> T A; bind {A B: Set}: (A -> T B) -> T A -> T B where "x >>= y" := (bind y x); unit_left: forall (A B: Set)(f: A -> T B)(a: A), (ret a) >>= f =t= f a; モナド則 unit_right: forall (A: Set)(m: T A), (Kleisli Tripleの3等式) m >>= ret =t= m; assoc: forall (A B C: Set)(f: A -> T B)(g: B -> T C)(m: T A), (m >>= f >>= g) =t= m >>= (fun x => (f x) >>= g); bind_subst: forall (A B: Set)(m m': T A)(f f': A -> T B), m =t= m' -> (forall a: A, f a =t= f' a) -> m >>= f =t= m' >>= f' }.

11. Record TypeModiﬁer: Type := { tm_modify :> Set -> Set; tm_equivalence {A: Set}: Equivalence (tm_modify A) }. Notation "A =t= B" := (equiv_eq (Equivalence:=tm_equivalence _) A B) (at level 70, no associativity). Reserved Notation "x >>= y" (at level 60, left associativity). Class Monad (T: TypeModiﬁer):= { ret {A: Set}: A -> T A; bind {A B: Set}: (A -> T B) -> T A -> T B where "x >>= y" := (bind y x); unit_left: forall (A B: Set)(f: A -> T B)(a: A), (ret a) >>= f =t= f a; モナド則 unit_right: forall (A: Set)(m: T A), (Kleisli Tripleの3等式) m >>= ret =t= m; assoc: forall (A B C: Set)(f: A -> T B)(g: B -> T C)(m: T A), (m >>= f >>= g) =t= m >>= (fun x => (f x) >>= g); bind_subst: forall (A B: Set)(m m': T A)(f f': A -> T B), m =t= m' -> モナド自体も推論の対象 (forall a: A, f a =t= f' a) -> m >>= f =t= m' >>= f' }.

12. Record TypeModiﬁer: Type := { tm_modify :> Set -> Set; tm_equivalence {A: Set}: Equivalence (tm_modify A) }. Notation "A =t= B" := (equiv_eq (Equivalence:=tm_equivalence _) A B) (at level 70, no associativity). Reserved Notation "x >>= y" (at level 60, left associativity). Class Monad (T: TypeModiﬁer):= { ret {A: Set}: A -> T A; bind {A B: Set}: (A -> T B) -> T A -> T B where "x >>= y" := (bind y x); unit_left: forall (A B: Set)(f: A -> T B)(a: A), (ret a) >>= f =t= f a; モナド則 unit_right: forall (A: Set)(m: T A), (Kleisli Tripleの3等式) m >>= ret =t= m; assoc: forall (A B C: Set)(f: A -> T B)(g: B -> T C)(m: T A), (m >>= f >>= g) =t= m >>= (fun x => (f x) >>= g); bind_subst: 等式推論のみ forall (A B: Set)(m m': T A)(f f': A -> T B), m =t= m' -> モナド自体も推論の対象 (forall a: A, f a =t= f' a) -> m >>= f =t= m' >>= f' }.

13. モナドと推論 ‣ 等式推論では - プログラムmと，性質Pを満たすことが容易にわかるプログラムnとの間の等価性を示す． - 間接的な方法 ‣ 述語を使いたい - プログラムmが性質Pを満たすという形の直接的記述 • 特に，bind記法に倣って次のように書きたい． x m; (P x)

14. モナドと述語論理 ‣ (圏論的な)モナドと述語論理に関する研究 - Evaluation Logic. A.M.Pitts. 1990. • 計算型付ラムダ計算を，その上の述語論理へ拡張 - A Semantics for Evaluation Logic. E.Moggi. 1993. • モナドによる計算型付ラムダ計算の意味論を，交わり半束などを用いて，Evaluation Logicの意味論へと拡張 - Predicate Logic for Functors and Monads. B.Jacobs. 2010 • 述語の一般化とも言える添字付圏と，Predicate Liftingを用いて，モナドのKleisli圏(や代数)の述語の圏を構成

15. モナドと述語論理 ‣ (圏論的な)モナドと述語論理に関する研究 - Evaluation Logic. A.M.Pitts. 1990. • 計算型付ラムダ計算を，その上の述語論理へ拡張 - A Semantics for Evaluation Logic. E.Moggi. 1993. • モナドによる計算型付ラムダ計算の意味論を，交わり半束などを用いて，Evaluation Logicの意味論へと拡張 - Predicate Logic for Functors and Monads. B.Jacobs. 2010 • 述語の一般化とも言える添字付圏と，Predicate Liftingを用いて，モナドのKleisli圏(や代数)の述語の圏を構成

16. モナドと述語論理 ‣ (圏論的な)モナドと述語論理に関する研究 - Evaluation Logic. A.M.Pitts. 1990. • 計算型付ラムダ計算を，その上の述語論理へ拡張 Kleisli Tripleの言葉に言い換え， - A Semantics for Evaluation Logic. E.Moggi. 1993. Coqで実装するのが本発表の目的 • モナドによる計算型付ラムダ計算の意味論を，交わり半束などを用いて，Evaluation Logicの意味論へと拡張 - Predicate Logic for Functors and Monads. B.Jacobs. 2010 • 述語の一般化とも言える添字付圏と，Predicate Liftingを用いて，モナドのKleisli圏(や代数)の述語の圏を構成

17. 流れ圏論的準備 - モナドやKleisli圏，添字付圏など Predicate Liftingの定義 - 函手，モナドとPredicate Lifting Grothendieck構成とPredicate Lifting - 述語の圏の構成 Kleisli Triples with Predicate Liftings - Coqで実装するための議論と結果

18. 圏論的準備

19. Kleisli Triple ‣ 圏C上のKleisli Triple - 次のものからなる三つ組 hT, ⌘, ( )# i • 対象の割り当て • 射の族 • 射の族 - これらは以下の等式を満たす ‣ HaskellやCoqのモナドクラスの実体はこれ

20. モナド ‣ 圏C上のモナド - 自己函手と2つの自然変換からなる三つ組 - 次の図式を可換にする(モナド則) ‣ Kleisli Tripleと同値 - として互いを構成可能

21. Kleisli圏 ‣ モナドTのKleisli圏Kl(T) - 圏C上のモナドから以下のように構成する • 対象は圏Cの対象と同じ • 射はCの射 • の合成射はCの射 • 恒等射は • 圏の公理はモナド則によって与えられる - プログラムはKleisli圏の射として解釈される

22. 添字付圏 ‣ 添字付圏 : C op ! Cat - 例えば ‣ 圏IndCat - 添字付圏全体からなる2-圏 - 射(1-cell) • - 射の変換(2-cell) •

25. ここまでに出てきたもの op :C ! Cat Kl(T ) # hT, ⌘, ( ) i

26. Predicate Liftingの定義

27. 函手とP.L. ‣ Functors with Predicate Liftings - IndCatに於ける自己射のこと - をpredicate liftingと呼ぶ • X上の述語をFX上の述語に

28. 函手とP.L. ‣ Functors with Predicate Liftings - IndCatに於ける自己射のこと - をpredicate liftingと呼ぶ • X上の述語をFX上の述語に ( : C op ! Cat) (F, ) /( : C op ! Cat)

29. 函手とP.L. ‣ Functors with Predicate Liftings - IndCatに於ける自己射のこと - をpredicate liftingと呼ぶ • X上の述語をFX上の述語に op op C C F ✏ +3 C op ✏ ✏ Cat Cat

30. モナドとP.L. ‣ Monads with Predicate Liftings - IndCatの自己射(1-cell)と2つの2-cellからなる三つ組 • - Predicate Liftingのsplitness • が全て恒等射であるときsplitであるという ✓X,P : P ⇠ = (⌘X )(⌧X (P )) ⌫X,P : ⌧T X (⌧X (P )) ⇠ (µX )(⌧X (P )) =

31. モナドとP.L. ‣ Monads with Predicate Liftings - IndCatの自己射(1-cell)と2つの2-cellからなる三つ組 • T : C ! C, ⌧ : ) T ⌘ : Id ) T, ✓ = {✓X : Id (X) ) (⌘X )⌧X } µ : T 2 ) T, ⌫ = {⌫X : ⌧T X ⌧X ) (µX )⌧X } - Predicate Liftingのsplitness • が全て恒等射であるときsplitであるという ✓X,P : P ⇠ = (⌘X )(⌧X (P )) ⌫X,P : ⌧T X (⌧X (P )) ⇠ (µX )(⌧X (P )) =

32. モナド with P.L. のモナド則

33. モナド with P.L. のモナド則

34. モナド with P.L. のモナド則 µX ⌘T X = idT X

35. モナド with P.L. のモナド則 µX ⌘T X = idT X µX T ⌘X = idT X

36. モナド with P.L. のモナド則 µX ⌘T X = idT X µX T ⌘X = idT X µX µT X = µX T µX

39. モナド with P.L. のモナド則 µX ⌘T X = idT X µX T ⌘X = idT X µX µT X = µX T µX (⌘T X )⌫X ✓T X ⌧X = id⌧X

40. モナド with P.L. のモナド則 µX ⌘T X = idT X µX T ⌘X = idT X µX µT X = µX T µX (⌘T X )⌫X ✓T X ⌧X = id⌧X (T ⌘X )⌫X ⌧X ✓X = id⌧X

41. モナド with P.L. のモナド則 µX ⌘T X = idT X µX T ⌘X = idT X µX µT X = µX T µX (⌘T X )⌫X ✓T X ⌧X = id⌧X (T ⌘X )⌫X ⌧X ✓X = id⌧X (µT X )⌫X ⌫ T X ⌧X = (T µX )⌫X ⌧T 2 X ⌫ X

42. モナド with P.L. のモナド則 µX ⌘T X = idT X µX T ⌘X = idT X µX µT X = µX T µX (⌘T X )⌫X ✓T X ⌧X = id⌧X (T ⌘X )⌫X ⌧X ✓X = id⌧X (µT X )⌫X ⌫ T X ⌧X = (T µX )⌫X ⌧T 2 X ⌫ X

43. ここまでに出てきたもの op :C ! Cat Kl(T ) # hT, ⌘, ( ) i

44. Grothendieck構成と Predicate Lifting

45. Grothendieck構成 ‣ 添字付圏から新たな圏を作る - 対象はの組 - 射はの組 - 合成は

46. Grothendieck構成

51. Grothendieck構成 op :C ! Cat

71. Grothendieck構成に於ける射の合成

82. X with P.L. = X ‣ 函手 with P.L. は上の函手 R R - から函手 F : ! が定まる F (X, P ) := (F (X), X (P )) F (f, p) := (F (f ), X (p)) ‣ モナド with P.L. は上のモナド - からモナドが定まる hT , ⌘, µi ⌘ (X,P ) := (⌘X , ✓X,P ) µ(X,P ) := (µX , ⌫X,P )

83. “モナド”達の関連 op :C ! Cat モノイダル圏モノイド対象 End(C) End( ) R End( ) hT , ⌘, µi

84. Kleisli添字付圏 ‣ 反変函手 - splitなモナド with P.L. の下で • • - 函手性の証明にsplitnessが要る ‣ - Kleisli圏 Kl(T ) についての述語の圏

85. ここまでに出てきたもの op :C ! Cat hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # hT, ⌘, ( ) i

86. op :C ! Cat hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # hT, ⌘, ( ) i

87. op :C ! Cat hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # hT, ⌘, ( ) i

88. モナド on Coq op :C ! Cat hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # hT, ⌘, ( ) i

89. モナド on Coq op :C ! Cat hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # hT, ⌘, ( ) i

90. モナド on Coq モナド with P.L. op :C ! Cat hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # hT, ⌘, ( ) i

91. モナド on Coq モナド with P.L. op :C ! Cat hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # hT, ⌘, ( ) i hT , ⌘, ( )# i

92. モナド on Coq モナド with P.L. op :C ! Cat = hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # hT, ⌘, ( ) i hT , ⌘, ( )# i

93. モナド on Coq モナド with P.L. op :C ! Cat = hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # hT, ⌘, ( ) i = hT , ⌘, ( )# i

94. モナド on Coq モナド with P.L. op :C ! Cat = hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # # hT, ⌘, ( ) i h(T, ⌧ ), (⌘, ✓), (( ) , [ ? ])i = hT , ⌘, ( )# i

95. モナド on Coq モナド with P.L. op :C ! Cat hT, ⌘, µ, ⌧, ✓, ⌫i = hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # # hT, ⌘, ( ) i h(T, ⌧ ), (⌘, ✓), (( ) , [ ? ])i = hT , ⌘, ( )# i

96. モナド on Coq モナド with P.L. op :C ! Cat hT, ⌘, µ, ⌧, ✓, ⌫i = hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # # hT, ⌘, ( ) i hT, ⌘, ( ) , ⌧, ✓, [ ? ]i = hT , ⌘, ( )# i

97. モナド on Coq モナド with P.L. op :C ! Cat hT, ⌘, µ, ⌧, ✓, ⌫i = hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # # hT, ⌘, ( ) i hT, ⌘, ( ) , ⌧, ✓, [ ? ]i = hT , ⌘, ( )# i

98. モナド with P.L. on Coq モナド on Coq モナド with P.L. op :C ! Cat hT, ⌘, µ, ⌧, ✓, ⌫i = hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # # hT, ⌘, ( ) i hT, ⌘, ( ) , ⌧, ✓, [ ? ]i = hT , ⌘, ( )# i

99. モナド with P.L. on Coq モナド on Coq モナド with P.L. op :C ! Cat hT, ⌘, µ, ⌧, ✓, ⌫i = hT , ⌘, µi Kl(T ) Kl(T ) # # hT, ⌘, ( ) i hT, ⌘, ( ) , ⌧, ✓, [ ? ]i = hT , ⌘, ( )# i

100. Kleisli Triples with Predicate Liftings

101. Kleisli TripleとP.L. ‣ 上のKleisli Triple hT , ⌘, ( )# i - T , ⌘ はモナドのそれと同じ # R R -( )# := {( ) : ((X, P ), T (Y, Q)) ! (T (X, P ), T (Y, Q ‣ Kleisli Triples with Predicate Liftings - hT, ⌘, ( )# , ⌧, ✓, ( )⇧ i • ( )⇧ := {( )⇧ : (X)(P, f ⇤ (⌧Y (Q))) ! (T X)(⌧X (P ), (f # ‣ splitness - モナドとKleisli Tripleの対応から，次のようになる p⇧ = ⌧x (p)

102. Kleisli TripleとP.L. ‣ 上のKleisli Triple hT , ⌘, ( )# i - T , ⌘ はモナドのそれと同じ # ⇧ - (f, p)# := (f , p ) ‣ Kleisli Triples with Predicate Liftings - hT, ⌘, ( )# , ⌧, ✓, ( )⇧ i • ( )⇧ := {( )⇧ : (X)(P, f ⇤ (⌧Y (Q))) ! (T X)(⌧X (P ), (f # ‣ splitness - モナドとKleisli Tripleの対応から，次のようになる p⇧ = ⌧x (p)

103. Kleisli TripleとP.L. ‣ 上のKleisli Triple hT , ⌘, ( )# i (f, p) : (X, P ) ! (T Y, ⌧Y (Q)) - T , ⌘ はモナドのそれと同じ # ⇧ - (f, p)# := (f , p ) ‣ Kleisli Triples with Predicate Liftings - hT, ⌘, ( )# , ⌧, ✓, ( )⇧ i • ( )⇧ := {( )⇧ : (X)(P, f ⇤ (⌧Y (Q))) ! (T X)(⌧X (P ), (f # ‣ splitness - モナドとKleisli Tripleの対応から，次のようになる p⇧ = ⌧x (p)

104. Kleisli TripleとP.L. ‣ 上のKleisli Triple hT , ⌘, ( )# i (f, p) : (X, P ) ! (T Y, ⌧Y (Q)) - T , ⌘ はモナドのそれと同じ # ⇧ - (f, p)# := (f , p ) ‣ Kleisli Triples with Predicate Liftings #(f # , p⇧ ) :⇧(T X, ⌧ (P )) ! (T Y, ⌧ (Q)) - hT, ⌘, ( ) , ⌧, ✓, ( ) i X Y • ( )⇧ := {( )⇧ : (X)(P, f ⇤ (⌧Y (Q))) ! (T X)(⌧X (P ), (f # ‣ splitness - モナドとKleisli Tripleの対応から，次のようになる p⇧ = ⌧x (p)

105. Kleisli TripleとP.L. ‣ 上のKleisli Triple hT , ⌘, ( )# i - T , ⌘ はモナドのそれと同じ # ⇧ - (f, p)# := (f , p ) ‣ Kleisli Triples with Predicate Liftings - hT, ⌘, ( )# , ⌧, ✓, ( )⇧ i • ( )⇧ := {( )⇧ : (X)(P, f ⇤ (⌧Y (Q))) ! (T X)(⌧X (P ), (f # ‣ splitness - モナドとKleisli Tripleの対応から，次のようになる p⇧ = ⌧x (p)

106. Kleisli TripleとP.L. ‣ 上のKleisli Triple hT , ⌘, ( )# i - T , ⌘ はモナドのそれと同じ # ⇧ - (f, p)# := (f , p ) ‣ Kleisli Triples with Predicate Liftings - hT, ⌘, ( )# , ⌧, ✓, ( )⇧ i • p : P ! f ⇤ (⌧Y (Q)) 7! p⇧ : ⌧X (P ) ! (f # )⇤ (⌧Y (Q)) ‣ splitness - モナドとKleisli Tripleの対応から，次のようになる p⇧ = ⌧x (p)

107. Kleisli TripleとP.L. ‣ 上のKleisli Triple hT , ⌘, ( )# i - T , ⌘ はモナドのそれと同じ ? # ⇧ - (f, p)# := (f , p ) ‣ Kleisli Triples with Predicate Liftings - hT, ⌘, ( )# , ⌧, ✓, ( )⇧ i • p : P ! f ⇤ (⌧Y (Q)) 7! p⇧ : ⌧X (P ) ! (f # )⇤ (⌧Y (Q)) ‣ splitness - モナドとKleisli Tripleの対応から，次のようになる p⇧ = ⌧x (p)

108. Kleisli Triple with P.L. が満たす等式

109. Kleisli Triple with P.L. が満たす等式 hT, ⌘, ( )# i

110. Kleisli Triple with P.L. が満たす等式 hT, ⌘, ( )# i # f ⌘X = f

111. Kleisli Triple with P.L. が満たす等式 hT, ⌘, ( )# i # f ⌘X = f # ⌘X = idT X

112. Kleisli Triple with P.L. が満たす等式 hT, ⌘, ( )# i # f ⌘X = f # ⌘X = idT X # # # # g f = (g f)

113. Kleisli Triple with P.L. が満たす等式 hT, ⌘, ( )# i # f ⌘X = f # ⌘X = idT X # # # # g f = (g f)

114. Kleisli Triple with P.L. が満たす等式 hT, ⌘, ( )# , ⌧, ✓, ( )⇧ i # f ⌘X = f # ⌘X = idT X # # # # g f = (g f)

115. Kleisli Triple with P.L. が満たす等式 hT, ⌘, ( )# , ⌧, ✓, ( )⇧ i f # ⌘X = f (⌘X )(p⇧ ) ✓X,P = p # ⌘X = idT X # # # # g f = (g f)

116. Kleisli Triple with P.L. が満たす等式 hT, ⌘, ( )# , ⌧, ✓, ( )⇧ i f # ⌘X = f (⌘X )(p⇧ ) ✓X,P = p # ⇧ ⌘X = idT X ✓X,P = id⌧X (P ) # # # # g f = (g f)

117. Kleisli Triple with P.L. が満たす等式 hT, ⌘, ( )# , ⌧, ✓, ( )⇧ i f # ⌘X = f (⌘X )(p⇧ ) ✓X,P = p # ⇧ ⌘X = idT X ✓X,P = id⌧X (P ) # # # # # ⇧ ⇧ ⇧ ⇧ g f = (g f) (f )(q ) p = ( (f )(q ) p)

118. Kleisli Triple with P.L. が満たす等式 hT, ⌘, ( )# , ⌧, ✓, ( )⇧ i f # ⌘X = f (⌘X )(p⇧ ) ✓X,P = p # ⇧ ⌘X = idT X ✓X,P = id⌧X (P ) # # # # # ⇧ ⇧ ⇧ ⇧ g f = (g f) (f )(q ) p = ( (f )(q ) p)

119. splitness # f = µT Tf

120. splitness # f = µT Tf # ⇧ (f , p ) = (µT , ⌫Y,Q ) (T f, ⌧X (p))

121. splitness # f = µT Tf # ⇧ (f , p ) = (µT , ⌫Y,Q ) (T f, ⌧X (p)) # ⇧ (f , p ) = (µT T f, (T f )(⌫Y,Q ) ⌧X (p))

122. splitness # f = µT Tf # ⇧ (f , p ) = (µT , ⌫Y,Q ) (T f, ⌧X (p)) # ⇧ (f , p ) = (µT T f, (T f )(⌫Y,Q ) ⌧X (p)) ⇧ p = (T f )(⌫Y,Q ) ⌧X (p)

123. splitness # f = µT Tf # ⇧ (f , p ) = (µT , ⌫Y,Q ) (T f, ⌧X (p)) # ⇧ (f , p ) = (µT T f, (T f )(⌫Y,Q ) ⌧X (p)) ⇧ p = (T f )(⌫Y,Q ) ⌧X (p) ⌫Y,Q = id⌧T Y (⌧Y (Q))

124. splitness # f = µT Tf # ⇧ (f , p ) = (µT , ⌫Y,Q ) (T f, ⌧X (p)) # ⇧ (f , p ) = (µT T f, (T f )(⌫Y,Q ) ⌧X (p)) ⌫Y,Q = id⌧T Y (⌧Y (Q)) ⇧ p = (T f )(⌫Y,Q ) ⌧X (p)

125. splitness # f = µT Tf # ⇧ (f , p ) = (µT , ⌫Y,Q ) (T f, ⌧X (p)) # ⇧ (f , p ) = (µT T f, (T f )(⌫Y,Q ) ⌧X (p)) ⌫Y,Q = id⌧T Y (⌧Y (Q)) p⇧ = ⌧X (p)

126. splitness # f = µT Tf # ⇧ (f , p ) = (µT , ⌫Y,Q ) (T f, ⌧X (p)) # ⇧ (f , p ) = (µT T f, (T f )(⌫Y,Q ) ⌧X (p))

127. splitness # µX = idT X # ⇧ (f , p ) = (µT , ⌫Y,Q ) (T f, ⌧X (p)) # ⇧ (f , p ) = (µT T f, (T f )(⌫Y,Q ) ⌧X (p))

128. splitness # µX = idT X (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) )# # ⇧ (f , p ) = (µT T f, (T f )(⌫Y,Q ) ⌧X (p))

129. splitness # µX = idT X (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) )# # ⇧ (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) )

130. splitness # µX = idT X (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) )# # ⇧ (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) ) ⇧ ⌫X,P = id⌧X (P )

131. splitness # µX = idT X (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) )# # ⇧ (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) ) ⇧ ⌫X,P = id⌧X (P ) ⇧ p = ⌧X (p)

132. splitness # µX = idT X (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) )# # ⇧ (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) ) ⇧ p = ⌧X (p) ⌫X,P = id⇧X (P ) ⌧

133. splitness # µX = idT X (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) )# # ⇧ (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) ) ⇧ p = ⌧X (p) ⌫X,P = id⌧T X (⌧X (P ))

134. splitness # µX = idT X (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) )# # ⇧ (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) )

135. splitness # µX = idT X (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) )# # ⇧ (µX , ⌫X,P ) = (idT X , id⌧X (P ) ) ⇧ p = ⌧X (p) , ⌫X,P = id⌧T X (⌧X (P ))

136. P.L. on Coq ‣ 添字付圏について - 今回は，Kleisli Triples with Predicate Liftingsの一般的な定義・実装を目指したので，反変函手とだけ仮定 - Moggiの論文に拠れば，述語として用いるなら添字付交わり半束+αの性質を持つものとすべき • 今後の課題 ‣ PredLiftクラス - モナドにPredicate Liftingを追加したサブクラス ⇧ • ✓, ( ) はクラスの持つべき性質として現れる

137. P.L. on Coq ‣ 添字付圏について - 今回は，Kleisli Triples with Predicate Liftingsの一般的な定義・実装を目指したので，反変函手とだけ仮定 - Moggiの論文に拠れば，述語として用いるなら添字付交わり半束+αの性質を持つものとすべき • 今後の課題 ? ‣ PredLiftクラス - モナドにPredicate Liftingを追加したサブクラス ⇧ • ✓, ( ) はクラスの持つべき性質として現れる

138. P.L. on Coq # ⇧ hT, ⌘, ( ) , ⌧, ✓, ( ) i Class PLMonad `(monad: Monad)(gp: GPred): Type := { (* predicate liftings *) predlift {A: Set}: gpred A -> gpred (T A); (* naturality of predlift *) ... (* kleisli triple with predlift *) ret_pl: forall (A: Set)(P: gpred A), P --> ret*[(predlift P)]; bind_pl: forall (A B: Set)(f: A -> T B)(P: gpred A)(Q: gpred B), (P --> f*[predlift Q]) -> ((predlift P) --> (bind f)*[(predlift Q)]); (* monad law’s of pl *) ... }.

147. splitness on Coq Context `(plm: PLMonad). (* splitness of monad *) Definition ret_pl_splitness := forall (A: Set)(P: gpred A), ret*[(predlift P)] --> P. Definition bind_pl_splitness := forall (A B: Set)(f: A -> T B)(P: gpred A)(Q: gpred B), predlift P --> (bind f)*[(predlift Q)] <-> predlift P --> predlift (f*[(predlift Q)]). Definition is_split := ret_pl_splitness/bind_pl_splitness.

152. 実装例 ‣ 直接ソースコードをお見せします

153. まとめ

154. できたこと ‣ Coq上でPredicate Liftingを定義 - Kleisli Triples with Predicate Liftings - Kleisli Tripleのsplitnessの導出と実装 - 具体例の実装 • Maybeモナド with P.L. や Stateモナド with P.L. • MonadStateに関するホーアトリプル

155. 課題と考察 ‣ モナド則やsplitnessのCoqに於ける記述方法 - 記述する必要が可能性も - Proof IrrelevanceとPredicate Lifting ‣ 強モナド，Predicate Lifting，Kleisli Triple - これらの間の関連の議論がまだまだ出来ていない ‣ 述語の取扱について - 添字付交わり半束＋αに制限するべきか ‣ 実装に至るまでに用いた性質の証明をCoqで - 余裕があれば

156. 補足など

157. モノイダル圏 ‣ モノイダル圏 - 圏，双函手，対象からなる組 - 結合律 - 単位元律 ‣ 対象モノイダル圏 - 積が可換なモノイダル圏 ‣ モノイド対象 - モノイダル圏の対象で，演算と単位元を与える自然変換を伴い，それらがモノイドの公理を満たすもの

158. モノイダル圏 ‣ モノイダル圏 - 圏，双函手，対象からなる組 - 結合律 - 単位元律圏Cの自己函手からなる圏はモノイダル圏 ‣ 対象モノイダル圏 C上のモナドとは，この圏のモノイド対象 - 積が可換なモノイダル圏 ‣ モノイド対象 - モノイダル圏の対象で，演算と単位元を与える自然変換を伴い，それらがモノイドの公理を満たすもの

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