（Lambdaだけで）純LISPのようなナニかを作る

（Lambdaだけで）
純LISPのような
ナニかを作る
@maruuusa83
Daichi Teruya
Okinawa National Collage of Technology

λ 2
自己紹介
• まるさ(@maruuusa83)
• 沖縄高専メディア科5年生

アジェンダ
• 自己紹介
• 今回やることとか色々
• 特殊形式の定義
• CONS, CAR, CDR
• COND
• データ構造の定義
• CONDの定義
• EQ
• 値の定義
• EQの定義
λ 6

• かなりいい加減な独自研究に満ちています！
• 初心者の嘘だと思って聞いてください・・・
λ 7

（Lambdaだけで）
純LISPのような
ナニかを作る
λ 10

予約語4つの言語
でLISPを作る
lambda, ., quote, ::=
λ 12

どんな言語？？
• 今回は、Lambda項を用いたLambda計算を指す
λ 14

• こういうやつ：
λ푧. 푧 λ푥푦. 푥 λ푥푦푧. 푧푥푦 푎 푏
훽
λ푥푦푧. 푧푥푦 푎 푏 λ푥푦. 푥
훽
λ푧. 푧푎푏 λ푥푦. 푥
훽
λ푥푦. 푥 푎 푏
훽
푎
λ 15

훽
훽
(λ푧. 푧푎푏) λ푥푦. 푥
훽
(λ푥푦. 푥) 푎 푏
훽
푎
λ 16

훽
훽
(λ푧. 푧푎푏) λ푥푦. 푥
훽
(λ푥푦. 푥) 푎 푏
훽
푎
( ﾟДﾟ)ﾊｧ?
λ 17

• Lambda項を言語らしく起こした（！）
λ 18

( ＾ω＾) <ここに項があるじゃろ？
⊃ λ푥푦. 푥 푎 푏 ⊂
λ 19

( ՞ਊ ՞) <こうじゃ！
⊃ ((lambda x.(lambda y.x)) a) b) ⊂
λ 20

＿人人人人＿
＞腕が＜
￣Y^Y^Y￣
( ՞ਊ ՞) <こうじゃ！
⊃ ((lambda x.(lambda y.x)) a) b) ⊂
λ 21

処理系書きました！！１
• 対話型の処理系
• ラムダ項を与えるとラムダ計算します
λ 22
URL :
http://lmd.maruuusa.tk/
Github :
maruuusa83/lambda_evaluator

予約語の数
"lambda" { return (LAMBDA); }
"quote " { return (QUOTE); }
"::=" { return (DEFUN); }
"." { return (PERIOD); }
"(" { return (LP); }
")" { return (RP); }
"n" { return (CR); }
[a-z][0-9]? {
lambda.l
yylval.identifier = lambda_create_identifier(yytext);
return (IDENTIFIER);
}
[_A-Z][_A-Za-z0-9]* {
yylval.name = lambda_create_identifier(yytext);
return (NAME);
}
λ 23

予約語の数
"lambda" { return (LAMBDA); }
"quote " { return (QUOTE); }
"::=" { return (DEFUN); }
"." { return (PERIOD); }
"(" { return (LP); }
")" { return (RP); }
"n" { return (CR); }
[a-z][0-9]? {
lambda.l
yylval.identifier = lambda_create_identifier(yytext);
return (IDENTIFIER);
}
[_A-Z][_A-Za-z0-9]* {
yylval.name = lambda_create_identifier(yytext);
return (NAME);
}
λ 24

純LISPってなんぞ
• 最小限の関数とプリミティブのみのLISP
• これは自身の処理系を記述できる最低限の構
成
λ 26

純LISPってなんぞ
• 最小限の関数とプリミティブのみのLISP
• これは自身の処理系を記述できる最低限の構
成
λ 27
5つの基本関数
cons, car, cdr
eq, atom
4つの特殊形式
lambda, cond,
define, quote

Lambda項について
• Lambda計算の対象となるのはLambda項のみ
λ 29

• 変数푥0,푥1,푥2,…は、lambda項
• 푥が変数、푀がlambda項のとき、(λ푥. 푀)はlambda項
• 푀と푁がともにlambda項のとき、(푀 푁)はlambda項
λ 30

• 変数푥0,푥1,푥2,…は、lambda項
• 푥が変数、푀がlambda項のとき、(λ푥. 푀)はlambda項
• 푀と푁がともにlambda項のとき、(푀 푁)はlambda項
（項を定義するだけではよくわからない・・・）
λ 31

Lambda計算規則
• β-簡約
項がλ푥. 푀 푁のような形をとるとき、
項푀の内部にある変数푥を푁で置き換える
• 代入は次のように定義する
• 푥 푥 ≔ 푁 ≡ 푁
• 푦 푥 ≔ 푁 ≡ 푦
• 퐿 푀 푥 ≔ 푁 ≡ 퐿 푥 ≔ 푁 푀 푥 ≔ 푁
• λ푦. 푀 푥 ≔ 푁 ≡ λ푧. ( 푀 푦 ≔ 푧 푥 ≔ 푁 )
λ 33

計算例
((lambda x.x) a)
-> (a)
単純に代入
λ 34

計算例
((lambda x.x) a)
-> (a)
単純に代入
何でも代入できる
((lambda x.x) (lambda y.y))
-> (lambda y.(y))
λ 35

計算例
((lambda x.x) a)
-> (a)
単純に代入
何でも代入できる
((lambda x.x) (lambda y.y))
-> (lambda y.(y))
変数名が衝突すると
その先置換しない
((lambda x.(lambda x.x)) a)
-> (lambda x.(x))
λ 36

間違えやすい例
Ｘ(x y z)
○((x y) z)
含めるのは2項のみ。
基本は左側結合
λ 37

Ｘ(x y z)
○((x y) z)
Ｘ(lambda xy.yx)
○(lambda x.(lambda y.(y x)))
省略は認めていない
λ 38

Ｘ(x y z)
○((x y) z)
Ｘ(lambda xy.yx)
○(lambda x.(lambda y.(y x)))
Ｘ(lambda x.(x))
○(lambda x.x)
省略は認めていない
ごめんなさい、
処理系の仕様です；
λ 39

LISPの定義:特殊形式
휷
λ 40

必要な特殊形式
• lambda, quote, define, condが必要

• quoteは「評価しない」を指示
• (quote ((lambda x.x) a)) -> ((lambda x.(x))
(a))

(a))
• defineは無名関数に名前を与える
• FUNC ::= (lambda x.x)
• (FUNC a) -> (a)

(a))
• defineは無名関数に名前を与える
• FUNC ::= (lambda x.x)
• (FUNC a) -> (a)
あとはcondだけ！（笑）

condとな
• cond：C言語でいうswitch-case文
• かなり複雑になりそうなのでIF文に・・・
λ 45

condとな
• λ푥푦푞. 푞푥푦って感じ？ q:選択子x:THEN y:ELSE
• IF ::=
(lambda x.(lambda y.(lambda q.((q x)
y))))
λ 46

condとな
• IF ::=
λ 47
y))))
• TRUE ::= (lambda x.(lambda y.x))
• FALSE ::= (lambda x.(lambda y.y))

condとな
TRUEは一つ目の引数、
FALSEは二つ目の引数を返す
• IF ::=
ということに注目！！！
y))))
λ 48

condとな
• ついでに論理演算子も定義する
λ 49

condとな
• NOT ::= (lambda q.((q FALSE) TRUE))
λ 50

condとな
• AND ::= (lambda p.(lambda q.((p q)
FALSE)))
• OR ::= (lambda p.(lambda q.((p TRUE)
q)))
λ 51

LISPの定義:標準関数
휷
λ 52

cons, car, cdr
• car, cdrはλ푥푦. 푥とかλ푥푦. 푦という感じ？

cons, car, cdr
• (CAR ((CONS a) b))という感じにしたい
• が、最左（名前呼び）戦略なので
CARの評価時点でCONSが未評価になってしまう

cons, car, cdr
• (CAR ((CONS a) b))という感じにしたい
• が、最左（名前呼び）戦略なので
CARの評価時点でCONSが未評価になってしまう
• λ푧. (푧 λ푥푦. 푥) としてCONSを左へ！
• CAR ::=
(lambda z.(z (lambda x.(lambda
y.x))))

cons, car, cdr
• consに値呼びを名前呼びに戻す力を持たせる
• λ푥푦푧. 푧푥푦 として最後に評価項をとる
CONS ::=
(lambda x.(lambda y.(lambda z.((z x)
y))))
λ 56

eqとequalの定義・・・
λ 57

eqとequalの定義・・・
かなりややこしい！
（時間がない！！！！）
λ 58

データ構造の定義：LIST
• eq, atomを定義したい
• が、(M N)がデータ構造だとかなり扱いにくい
• CONSの定義を右側結合でそのまま使う！
• ただし、必ず末尾にNIL::=FALSEを含む
λ 59

• が、(M N)がデータ構造だとかなり扱いにくい
• < 푀 > ≡ (퐶푂푁푆 푀 푁퐼퐿) = λ푧. ( 푧 푀 푁퐼퐿)
• < 푀, 푁 > ≡ (퐶푂푁푆 푀 < 푁 >)
훽
퐶푂푁푆 푀 (λ푧. ( 푧 푁 푁퐼퐿)
훽
λ푧. ( 푧 푀 푧. 푧 푁 푁퐼퐿 )
λ 60

• が、(M N)が定デ義ータす構る造LISPだとかでなは
り扱いにくい
全てのデータはLISTで表現！
GEN_ATOM ::= (lambda x.((CONS x) NIL))
ADD_LIST ::=
• < 푀, 푁 > ≡ (퐶푂푁푆 푀 < 푁 >)
(lambda l1.(lambda l2.((CONS l2)
훽
훽
λ 61
l1)))

• が、(M N)が定デ義ータす構る造LISPだとかでなは
り扱いにくい
全てのデータはLISTで表現！
GEN_ATOM ::= (lambda x.((CONS x) NIL))
ADD_ATOM ::=
• < 푀, 푁 > ≡ (퐶푂푁푆 푀 < 푁 >)
훽
훽
λ 62
l1)))

atomの定義
• アトムは、lambdaを一枚はがすとNIL
• リストは、lambdaを1枚はがしてもリスト
• リストならFALSEを返す感じの方針
λ 63

atomの定義
• IS_LIST ::= (lambda x.
((IF (lambda xyz.TRUE)
FALSE)
(CDR x) ))
λ 64

atomの定義
FALSE)
(CDR x) ))
λ 65

atomの定義
FALSE)
(CDR x) ))
λ 66

atomの定義
FALSE)
(CDR x) ))
< M, N > ::=
(lambda z.((z M) (lambda z.((z n)
NIL)))
λ 67

atomの定義
FALSE)
(CDR x) ))
< M, N > ::=
(lambda z.((z M) (lambda z.((z n)
NIL)))
λ 68

FALSE)
(CDR x) ))
atomの定義
λ 69

atomの定義
FALSE)
(CDR x) ))
• ATOM ::= (lambda x.
(NOT (IS_LIST x)) )
λ 70

データの定義
• eqを定義したい・・・
• 二つの引数が等しいか調べる
• 識別子が同じか調べるのは言語仕様レベルの話？
λ 71

データの定義
• eqを定義したい・・・
• 二つの引数が等しいか調べる
• 識別子が同じか調べるのは言語仕様レベルの話？
• 値を定義して、同じか調べられるようにする
⇒チャーチ数
λ 72

チャーチ数とな
• 関数適用の回数で数値を表現する
• 0 ≔ λ푠푧. 푧, 1 ≔ λ푠푧. 푠푧, 2 ≔ λ푠푧. 푠 푠 푧 , …
λ 73

チャーチ数とな
• 関数適用の回数で数値を表現する
• 0 ≔ λ푠푧. 푧, 1 ≔ λ푠푧. 푠푧, 2 ≔ λ푠푧. 푠 푠 푧 , …
• 2つ目の引数zに1つ目の引数sをN回適用する
• FALSEと0の表現が同じであることに注目
λ 74

チャーチ数の比較
• IS_ZERO ::= ((IF (lambda x.FALSE)
TRUE))
• atomとほぼ同じ形(読み捨てが3個→1個に)
λ 75

• MとNの大小比較！
• trueをN個生成して、M回IFに食わせる
⇒大きさの比較ができる！
λ 76

• N_TRUE_APP ::=
(lambda n.(lambda z.
(n (lambda z.((CONS TRUE) z))) )
λ 77

• N_TRUE_APP ::=
(lambda f.(lambda x.(f (f…(f a)))…)
λ 78

• N_TRUE_APP ::=
• GREATER ::=
(lambda m.(lambda n.
((n (lambda z.(((IF (CDR z)) z) (CAR
z)))
(N_TRUE_APP m) ((CONS FALSE)
FALSE) )) λ 79

• N_TRUE_APP ::=
• GREATER ::=
z)))
FALSE) )) λ 80

• N_TRUE_APP ::=
• GREATER ::=
z)))
FALSE) )) λ 81

• N_TRUE_APP ::=
• GREATER ::=
z)))
FALSE) )) λ 82

比較ができるからeqができる
• 等しければTRUEが返る
⇒どちらで比較してもTRUEならば等しい！
λ 83

• EQ ::= (lambda n.(lambda m.
((AND
(NOT ((GREATER n) m)))
(NOT ((GREATER m) n))) )
λ 84

((AND
(NOT ((GREATER m) n))) )
SIMPLE!!
λ 85

IFとそれに伴う諸々(COND)
• IF ::=
y))))
• AND ::= (lambda p.(lambda q.((p q)
FALSE)))
• OR ::= (lambda p.(lambda q.((p TRUE) q)))

CONS, CAR, CDR
• CONS ::=
(lambda x.(lambda y.(lambda z.((z x)
y))))
• CAR ::= (lambda z.(z TRUE))
• CDR ::= (lambda z.(z FALSE))
λ 88

LISTとATOM
• GEN_ATOM ::= (lambda x.((CONS x) NIL))
• ADD_ATOM ::=
l1)))
FALSE)
(CDR x) ))
• ATOM ::= (lambda x.(NOT (IS_LIST x)) )
λ 89

チャーチ数とEQ
• N_TRUE_APP ::=
• GREATER ::=
z)))
FALSE) ))
((AND
(NOT ((GλREATER m) n))) ) 90

予約語4つの言語
でLISPを作る
lambda, ., quote, ::=
（16行くらい？）
λ 91

Thank you
for listening
marusa (@maruuusa83)
λ 94

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