1. แผนการจัดการเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ รหัส ค 32202 (คณิตเพิ่มเติม) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
เรื่อง ดีกรีของจุดยอด เวลา 2 ชั่วโมง
สอนวันที่...............เดือน....................พ.ศ. .............. ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2555
 สาระสาคัญ/ความคิดรวบยอด
บทนิยาม ดีกรี (degree) ของจุดยอด V ในกราฟ คือ จานวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด V
ใช้สัญลักษณ์ deg v แทนดีกรีของจุดยอด v
ทฤษฎีบทที่ 1 ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ เท่ากับ สองเท่าของจานวนเส้นเชื่อมในกราฟ
ข้อสังเกต ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเป็นจานวนคู่เสมอ
บทนิยาม จุดยอดที่มีดีกรีเป็นจานวนคู่ เรียกว่า จุดยอดคู่ (even vertex)
จุดยอดทีมีดีกรีเป็นจานวนคี่ เรียกว่า จุดยอดคี่ (odd vertex)
่
ทฤษฎีบทที่ 2 ทุกกราฟจะมีจุดยอดคี่เป็นจานวนคู่
 ตัวชี้วัด/จุดประสงค์การเรียนรู้
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมาย
ทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับ
ศาสตร์อื่น ๆ และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์
ผลการเรียนรู้
1. สามารถหาดีกรีของจุดยอดจากกราฟที่กาหนดมาให้ได้
2. บอกความสัมพันธ์ของผลรวมดีกรีของจุดยอดของกราฟกับจานวนเส้นเชื่อมได้
3. อธิบายความหมายของ จุดยอดคี่ และจุดยอดคู่ได้
4. บอกความสัมพันธ์ของกราฟกับจุดยอดคี่ได้
ทักษะกระบวนการ
ใช้วิธีการที่หลากหลายแก้ปัญหา ใช้ความรู้ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ และเทคโนโลยีในการ
แก้ปัญหาในสถานการณ์ ต่าง ๆ ได้อย่างเหมาะสม ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม ใช้ภาษา
และสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนาเสนอ ได้อย่างถูกต้อง ชัดเจน เชื่อมโยง
ความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลักการ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ และมี
ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์
 สมรรถนะสาคัญของผู้เรียน
3.1 ความสามารถในการสื่อสาร
3.2 ความสามารถในการคิด
- ทักษะการคิดวิเคราะห์
- ทักษะการคิดอย่างมีวิจารณญาณ

2. 3.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา
 คุณลักษณะอันพึงประสงค์
4.1 มีวินัย
4.2 ใฝ่เรียนรู้
4.3 มุ่งมั่นในการทางาน
ทางานอย่างมีระบบ มีระเบียบ มีความรอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณ มีความเชื่อมั่นในตนเอง
มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ตระหนักในคุณค่าของคณิตศาสตร์ และมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์
สาระการเรียนรู้
กราฟ
บทนิยาม ดีกรี (degree) ของจุดยอด V ในกราฟ คือ จานวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด V
ใช้สัญลักษณ์ deg v แทนดีกรีของจุดยอด v
ทฤษฎีบท ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟ เท่ากับ สองเท่าของจานวนเส้นเชื่อมในกราฟ
ข้อสังเกต ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเป็นจานวนคู่เสมอ
บทนิยาม จุดยอดที่มีดีกรีเป็นจานวนคู่ เรียกว่า จุดยอดคู่ (even vertex)
จุดยอดที่มีดีกรีเป็นจานวนคี่ เรียกว่า จุดยอดคี่ (odd vertex)
ทฤษฎีบทที่ 2 ทุกกราฟจะมีจุดยอดคี่เป็นจานวนคู่
ตัวอย่างที่ 1 พิจารณากราฟต่อไปนี้ v1 v
3
 
 v4

v2  v5
v6

 v7
จากกราฟจะได้ว่า
จุดยอด จานวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด
v1 3
v2 2
v3 3
v4 0
v5 1
v6 3
v7 2

3. ตัวอย่างที่ 2 พิจารณากราฟต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาดีกรีของกราฟ
1 2
 
4
3   6
5
 
7 8
วิธีทา จากรูปจะได้ว่า deg 1 = 3
deg 2 = 4
deg 3 = 5
deg 4 = 1
deg 5 = 1
deg 6 = 3
deg 7 = 3
deg 8 = 4
ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนแผนภาพกราฟ G เมื่อ เมื่อ V(G) = { V1 ,V2 ,V3 ,V4 ,V5 ,V6 }
และ deg V1 = 5 , deg V2 = 4 , deg V3 = 3 , deg V4 = 3 , deg V5 = 4 , deg V6 =3
จะได้ตัวอย่างแผนภาพของกราฟดังนี้ (นักเรียนอาจวาดได้หลายรูปแบบ)
ตัวอย่างที่ 4 จงหาจานวนเส้นเชื่อมของกราฟที่ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเท่ากับ 22
วิธีทา สมมติว่ากราฟมีเส้นเชื่อม n เส้น
จากทฤษฎีบท ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟจะเท่ากับ สองเท่าของจานวนเส้นเชื่อม
ในกราฟ
ดังนั้น 22 = 2n
นั่นคือ n = 11

4. สรุปว่า กราฟมีเส้นเชื่อม 11 เส้น
 กิจกรรมการเรียนรู้
ขั้นนา
1. ครูทบทวนบทนิยามของกราฟ โดยตั้งคาถามว่า กราฟ ต้องประกอบด้วยอะไรบ้าง (นักเรียนควรตอบได้
ว่า กราฟ ต้องประกอบด้วยเซตจากัด 2 เซต คือ เซตที่ไม่เป็นเซตว่างของจุดยอด และเซตของเส้นเชื่อมที่เชื่อม
ระหว่างจุดยอด)
ขั้นสอน
2. ครูเขียนตัวอย่างที่ 1 บนกระดาน พร้อมให้นักเรียนพิจารณากราฟและร่วมกันตอบว่าจานวนครั้งทั้งหมด
ที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอด ในแต่ละจุด เป็นเท่าไหร่
2.1 ครูบอกนักเรียนว่า ต่อไปเราจะเรียกจานวนครั้งทั้งหมดที่เส้นเชื่อมเกิดกับจุดยอดว่า ดีกรี
2.2 ให้นักเรียนช่วยกันอภิปรายว่า ดีกรี คืออะไร
2.3 ครูอธิบายเพื่อสรุปบทนิยามของดีกรี และบอกข้อตกลงในการใช้สัญลักษณ์แทนดีกรีของจุด
แก่นักเรียน
3. ครูเขียนตัวอย่างที่ 2 บนกระดาน สุ่มนักเรียนออกมาหาดีกรีของกราฟ โดยนักเรียนช่วยกันตรวจคาตอบ
ถ้าผิดช่วยกันแก้ไขให้ถูกต้อง
4. ครูเขียนตัวอย่างที่ 3 บนกระดาน สุ่มนักเรียนออกมาเขียนแผนภาพของกราฟที่กาหนดดีกรีให้ โดย
นักเรียนช่วยกันตรวจสอบคาตอบ ถ้าผิดช่วยกันแก้ไขให้ถูกต้อง จากนั้นเปิดโอกาสให้นักเรียนที่วาดรูปแตกต่างจาก
เพื่อน ออกมาวาดกราฟให้ดูบนกระดาน
5. ให้นักเรียนทุกคนจับคู่ ครูแจกใบกิจกรรมที่ 1 ให้นักเรียนปฏิบัติกิจกรรม โดยครูคอยสังเกตการปฏิบัติ
กิจกรรม
5.1 เมื่อเสร็จแล้วสุ่มนักเรียนนาเสนอผลที่ได้จากกิจกรรมที่ 1 โดยนักเรียนทุกคนช่วยกัน
ตรวจสอบคาตอบ ถ้าผิดช่วยกันแก้ไขให้ถูกต้อง
5.2 นักเรียนช่วยกันอภิปรายถึงผลที่ได้จากกิจกรรมโดยมีครูคอยชี้แนะนักเรียนเพื่อให้ได้ว่า
“ผลรวมของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเท่ากับสองเท่าของจานวนเส้นเชื่อมในกราฟ” และ “ผลรวมของดีกรี
ของจุดยอดทุกจุดในกราฟเป็นจานวนคู่เสมอ”
6. ครูเขียนตัวอย่างที่ 4 บนกระดาน สุ่มนักเรียนออกมาเฉลยตัวอย่างบนกระดาน โดยนักเรียนช่วยกัน
ตรวจสอบคาตอบ ถ้าผิดช่วยกันแก้ไขให้ถูกต้อง
7. ให้นักเรียนทุกคนจับคู่ ครูแจกใบกิจกรรมที่ 2 ให้นักเรียนปฏิบัติกิจกรรม โดยครูคอยสังเกตการปฏิบัติ
กิจกรรม
7.1 เมื่อเสร็จแล้วสุ่มนักเรียนนาเสนอผลที่ได้จากกิจกรรมที่ 2 โดยนักเรียนทุกคนช่วยกัน
ตรวจสอบคาตอบที่ถูกต้อง

5. 7.2 นักเรียนช่วยกันอภิปรายถึงผลที่ได้จากกิจกรรมโดยมีครูคอยชี้แนะนักเรียนเพื่อให้ได้ว่า “จุด
ยอดที่มีดีกรีเป็นจานวนคู่ เรียกว่าจุดยอดคู่ จุดยอดที่มีดีกรีเป็นจานวนคี่ เรียกว่าจุดยอดคี่ ” และ
“ทุกกราฟจะมีจุดยอดคี่เป็นจานวนคู่ ”
ขั้นสรุป
8. ครูถามคาถามเพื่อตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียน ดังนี้
8.1 นักเรียนจะสามารถหาดีกรีของกราฟได้อย่างไร
8.2 ผลรวมดีกรีของจุดยอดของกราฟกับจานวนเส้นเชื่อมนั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างไร
8.3 จุดยอดคี่ และจุดยอดคู่ มีลักษณะอย่างไร
8.4 จุดยอดคี่มีความสัมพันธ์กับกราฟอย่างไร
9. ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 2.2 ในหนังสือเรียน(หน้า 66-68) เป็นการบ้าน
 การวัดและประเมินผล
การวัดผล การประเมินผล
1. สังเกตจากการอภิปราย และการตอบคาถาม 1. นักเรียนส่วนใหญ่กระตือรือร้น ให้ความร่วมมือใน
การตอบหรือแสดงความคิดเห็น
2. การปฏิบัติใบกิจกรรมที่ 1 2. ตอบถูกมากกว่า 70 % ของนักเรียนทั้งหมด
3. การปฏิบัติใบกิจกรรมที่ 2 3. ตอบถูกมากกว่า 70 % ของนักเรียนทั้งหมด
4. สังเกตจากการสรุป 4. นักเรียนส่วนใหญ่ตอบถูก
5. ทาแบบฝึกหัด 2.2 5. ตอบถูกตั้งแต่ 5 ข้อขึ้นไป
 สื่อ/แหล่งการเรียนรู้
1. ใบกิจกรรมที่ 1 , 2
2. แบบฝึกหัดที่ 2.2
3. สื่อการสอน ppt ทฤษฏีกราฟเบื้องต้น

6. ใบกิจกรรมที่ 1
คาชี้แจง ให้นักเรียนพิจารณากราฟที่กาหนดให้ พร้อมเติมตารางและตอบคาถามให้สมบูรณ์
  

        

G1 G2 G3 G4
กราฟ จานวน ผลบวกของดีกรีของจุดยอดทุกจุด
เส้นเชื่อม ของกราฟ
G1
G2
G3
G4
จากตาราง นักเรียนพบความสัมพันธ์ของผลบวกของดีกรีของจุดยอดทุกจุดของกราฟกับ
จานวนเส้นเชื่อมอย่างไรบ้าง
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
จากตาราง นักเรียนคิดว่าผลบวกของดีกรีของจุดยอดทุกจุดของกราฟนั้นจะต้องมีลักษณะ
อย่างไร
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

7. ใบกิจกรรมที่ 2
คาชี้แจง จงพิจารณากราฟที่กาหนดให้และตอบคาถามให้สมบูรณ์
G1 P G2
  S
 T
Q  R  U
G3 P G4


Q T    
4 3 2 1

R
1
G5

G6
P Q
 
 2 
5 
R
 

 3 U S
4

8. จากกราฟจะได้ว่า
กราฟ G1 deg P =….. , deg Q =….. , deg R =…..
จุดยอด P , Q , R เป็นจุดยอดคู่
กราฟ G 1 มีจุดยอดคี่................จุด
กราฟ G2 deg S =….. , deg U =….. , deg T =…..
จุดยอด T เป็นจุดยอดคู่ จุดยอด S , U เป็นจุดยอดคี่
กราฟ G 2 มีจุดยอดคี่................จุด
กราฟ G3 deg P = 2 , deg Q = ….. , deg R = 2 , deg T = 0
จุดยอด P , Q , R , T เป็นจุดยอดคู่
กราฟ G 3 มีจุดยอดคี่................จุด
กราฟ G4 deg 1 = …... , deg 2 = ….. , deg 3 = ….. , deg 4 = …..
จุดยอด 1 , 2 , 3 , 4 เป็นจุดยอด......
กราฟ G 4 มีจุดยอดคี่................จุด
กราฟ G5 deg 1 = ….. , deg 2 = ..... , deg 3 = ..... , deg 4 = ….. , deg 5 = …..
จุดยอด 1 , 2 , 3 , 4 , 5 เป็นจุดยอด......
กราฟ G 5 มีจุดยอดคี่................จุด
กราฟ G6 deg P = 5 , deg Q = 4 , deg R = 6 , deg S = 5 , deg U = 4
จุดยอด Q , R , U เป็นจุดยอด...... จุดยอด P , S เป็นจุดยอด......
กราฟ G 6 มีจุดยอดคี่................จุด
จากกิจกรรมข้างต้นนักเรียนคิดว่า
จุดยอดคู่ คือ.................................................................................................................................
จุดยอดคี่ คือ.............................................................. ...................................................................
จากกิจกรรมข้างต้น นักเรียนคิดว่า จุดยอดคี่ของกราฟทุกกราฟนั้นจะต้องมีลักษณะอย่างไร
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................