1. Dokumen tersebut membahas tentang skema sebagai struktur mental yang terdiri dari relasi antarkonsep dan transformasi antarkonsep. 2. Skema berfungsi untuk mengintegrasikan pengetahuan yang sudah dimiliki dan sebagai alat berpikir untuk memperoleh pengetahuan baru. 3. Belajar menggunakan skema lebih efisien daripada hafalan dan mempersiapkan untuk menghadapi masalah baru.

1. 1
IDE SEBUAH SKEMA
Pada bab sebelumnya telah dipelajari formasi dari konsep tunggal, yaitu konsep
yang bergerak dari konsep lain yang memberikan kontribusi pada pembentukan konsep
lain yang belum diketahui. Selain konsep tunggal yang telah dibahas sebelumnya, kali
ini juga membahas sebuah kumpulan dari pasangan objek. Misalnya :
Gambir, Jakarta ; Lempuyangan, Jogjakarta ; Wonokromo; Surabaya
Tiap pasangan diatas, dapat dihubungkan dengan “….Stasiun Kereta Api di…”.
Jakarta, Indonesia ; Paris, Perancis ; Tokyo, Jepang
Tiap pasangan diatas, dapat dihubungkan dengan “….Ibukota dari…”.
Dua buah objek yang terhubung dengan sebuah ide disebut sebagai relasi.
Dalam matematika, sebuah relasi dituliskan sebagai pasangan berurutan, dengan cara:
1. Tiap pasangan ditulis dalam tanda kurung, seperti (6, 5), (2, 1), (9, 8), (32, 31). .
2. Memperhatikan urutan pasangan, seperti
(6, 5), (2, 1), (9, 8), (32, 31). . .
Relasinya adalah “…. Satu lebihnya dari …”. Tetapi jika dituliskan seperti :
(5, 6), (1, 2), (8, 9), (31, 32). . .
Maka relasinya adalah “…. Satu kurangnya dari….”
Relasi dapat dibagi menjadi 2 jenis, yaitu :
1. Relasi berurutan, contoh lebih besar dari, nenek moyang dari, dan terjadi setelah.
2. Relasi equivalen / kesamaan, contoh seukuran dengan, sewarna dengan.
Kedua jenis relasi tersebut mempunyai sifat – sifat umum yang penting. Jadi kita tidak
hanya mempunyai struktur konsep yang hierarki, tetapi juga struktur lain dari relasi
individual dan golongan –golongan yang saling berhubungan dengan struktur
sebelumnya.
Bentuk lain dari hubungan yang menyilang muncul dari kemampuan kita untuk
mengubah suatu ide menjadi ide yang lain, dengan melakukan sesuatu terhadapnya.
Contoh :
Baik  buruk ;
Panas  dingin ;
Tinggi  rendah
Contoh lain :
Baik  terbaik ;

2. 2
Buruk  terburuk
Tinggi  tertinggi
“Sesuatu” yang bisa kita lakukan terhadap ide tersebut dinamakan transformasi
atau lebih dikenal sebagai fungsi. Ada berbagai macam transformasi, dan kadang-
kadang kita dapat menyatukan dua transformasi khusus menjadi transformasi yang lain
(seperti halnya kita dapat mengkombinasi dua bilangan untuk mendapatkan bilangan
lain),
Sebagai contoh, dengan mengkombinasikan dua transformasi di atas kita peroleh
Baik  terburuk ; panas  terdingin ; dan yang lainnya.
Jadi transformasi–transformasi dihubungkan satu sama lain, dan juga jadi
sumber dari relasi-relasi ide terhadap mana transformasi- transformasi itu dapat
diterapkan. Kajian dari struktur itu merupakan bagian yang penting dalam matematika.
Dalam kajian struktur itu dibangun relasi yang merupakan inti dari psikologi belajar
matematika.
Keterangan di atas memberi pandangan sekilas dan singkat tentang kekayaan
dan keragaman cara-cara konsep dan saling berhubungan dan menghasilkan struktur,
dan kajian dari struktur - struktur itu sendiri adalah bagian yang penting dari
matematika, dan studi tentang bagaimana struktur-struktur itu tersusun dan berfungsi
adalah inti dari psikologi psikologi umum untuk suatu struktur mental adalah skema.
Istilah itu tidak hanya meliputi struktur-struktur konseptual matematika yang
rumit, tetapi juga struktur yang secara nisbi sederhana mengkoordinasi kegiatan gerak
indrawi (sensory motor). Di sini kita akan berurusan dengan skema-skema konseptual
yang abstrak. Pada bab sebelumnya telah ditunjukkan bahwa konsep-konsep ini berasal
dari pengalaman indrawi dan kegiatan gerak (motor activity) terhadap dunia luar. Tetapi
segera konsep-konsep ini dapat dilepaskan dari asalnya, dan perkembangan selanjutnya
berlangsung melalui interaksi dengan ahli-ahli matematika lain dan antara satu dengan
yang lainnya.
Skema mempunyai dua fungsi utama, yaitu: Menggabungkan pengetahuan yang
ada dan alat pikiran untuk mendapatkan pengetahuan yang baru.
Fungsi Gabungan Dari Sebuah Skema
Ketika kita mengenali sesuatu sebagai contoh dari sebuah konsep maka kita
akan menyadari adanya dua tingkatan dari penggabungan dua skema, yaitu:

3. 3
1. Sebagai dirinya sendiri
2. Sebagai anggota dari golongannya
Jadi bila kita melihat sebuah mobil tertentu, kita secara otomatis mengenalnya
sebagai anggota dari kelompok mobil-mobil pribadi. Tetapi konsep lain, yang tersedia
untuk membantu kita bersikap sesuai dengan beraneka ragam situasi yang menjadikan
sebuah bisa merupakan bagiannya. Andaikan mobil itu dijual, maka semua pengalaman
kita tentang pengendaraan mobil akan dibawa serta, tinjauan-tinjauan tentang
kemampuannya dapat ditimbulkan kembali dalam pikiran, pertanyaan-pertanyaan untuk
diajukan muncul sendiri. Andaikan harganya ada di atas keseimbangan bank kita saat
ini, maka sumber-sumber keuangan pinjaman-pinjaman bank, sewa muncul dalam
pikiran. Andaikan sebagai gantinya bahwa mobil itu sedang berjalan dan mendapat
kerusakan, maka peralatan pembantu seperti PMI (Persatuan Mobil Indonesia), bengkel
terdekat, tempat-tempat telepon teringat kembali.
Kebanyakan skema-skema itu mungkin dulu sudah disambungkan dengan
konsep mobil. Tetapi andaikan sekarang kita parkir di suatu pantai, dan mendapatkan
roda-roda kita telah terbenam dalam pasir yang lembek, ini menimbulkan masalah yang
harus dipecahkan dengan menyertakan skema-skema dari lain-lain bidang pengalaman;
seperti tabiat pasang surut air laut, cara-cara membuat permukaan yang kokoh di atas
pasir lembek. Semakin banyak skema yang tersedia bagi kita, semakin baik
kemungkinan kita dapat dapat mengatasi hal-hal yang tidak terduga.
Skema Sebagai Alat Untuk Belajar Lebih Lanjut
Skema yang ada merupakan alat yang sangat diperlukan untuk kemahiran
pengetahuan lebih lanjut. Hampir semua yang kita pelajari sebenarnya telah kita ketahui
sebelumnya. Misalnya jika kita membuat pesawat terbang, maka kita perlu tahu
aerodinamis (dinamika udara) dimana ilmu itu bergantung pada pengetahuan kalkulus
yang membutuhkan pemahaman aljabar yang tidak lepas dari aritmatika.
Prinsip inilah yang menjadi prinsip kedua pada prinsip belajar konseptual yang
telah diulas pada bab 2. Untuk melihat seberapa penting pembentukan skema, akan
lebih baik diujicobakan dengan belajar beberapa konsep. Hal itu bertujuan untuk
mengetahui ada tidaknya perbedaan dari pembentukan skema yang cocok terhadap
material baru yang dipelajari.

4. 4
Berikut adalah contoh bagaimana suatu skema akan membantu siswa dalam
menerjemahkan beberapa simbol yang berkaitan struktur bahasa suku Red Indian.
Pengetahuan 1
Pengetahuan 2
Pengetahuan 3
Pengetahuan 4
Ilustrasi di atas menunjukkan bagaimana pengetahuan 2 dibentuk dengan
menggunakan peengetahuan yang telah dimiliki sebelumnya. Demikian juga untuk
pembentukan pengetahuan 3 dan 4 juga dibentuk setelah siswa mengetahui skema
pengetahuan sebelumnya. Berdasarkan contoh tersebut, maka sudah sangat jelas bahwa
skema yang telah dibentuk pada pembelajaran sebelumnya akan menjadi suatu sangat
krusial dalam mempermudah dalam mempelajari topik yang akan dipelajari kemudian.
Dengan demikian, materi belajar secara skema tidak hanya baik untuk dipelajari, tapi
juga baik untuk dikuasai.
Secara obyektif dapat dikatakan bahwa belajar secara skematik tidak hanya
menjadikan belajar lebih efisien pada materi yang baru didapat tetapi mempersiapkan
alat berpikir untuk menggunakan pendekatan yang sama pada tugas mendatang. Cara
belajar ini 3 kali lebih baik dari cara belajar menghafal.
Jadi belajar skematik memberi keuntungan daripada belajar hafalan. Keuntungan
tersebut antara lain:

5. 5
1. Belajar lebih bermakna
2. Belajar lebih efisien
3. Belajar menyiapkan sebuah akal pikiran untuk menerapkan pendekatan yang sama
pada tugas belajar di kemudian hari.
Meskipun begitu masih ada kelemahan yang mungkin timbul dari penggunaan
skema, yaitu :
1. Pada materi berbeda, belajar secara skema membutuhkan waktu lama,
2. Jangkauan materi yang terlalu luas. Dengan kata lain, skema dapat menjadi
rintangan yang besar jika terjadi ketidakcocokan skema.
Salah satu contoh kelemahan skema, yaitu : pada konsep dasar matematika, kita
mempelajari sistem bilangan asli bersamaan dengan operasi penjumlahan dan perkalian.
Pada penjumlahan bilangan asli, siswa cepat menghitung sampai 10, bahkan sampai 20,
dan menjumlahkan 2 bilangan, 3 bilangan atau lebih. Apabila terjadi penjumlahan
berulang, maka siswa mengenalinya sebagai bentuk perkalian sederhana. Tetapi di
dalam penjumlahan dan perkalian bilangan pecahan, siswa mengalami kesulitan karena
tidak mengenali sistem bilangan tersebut. Sistem bilangan pecahan tidak sama dengan
sistem bilangan asli. Sebelum bilangan pecahan dipahami, membutuhkan keterkaitan
untuk membangun bilangan terhadap akomodasi utama pecahan.
Pemahaman
Paham terhadap ”sesuatu” berarti dapat menyerap ”sesuatu” tersebut ke dalam
skema yang layak. Jadi bukan masalah tahu tidaknya tentang ”sesuatu”, tetapi dapat
menjelaskan dengan benar dan memahami tentang ”sesuatu” tersebut. Sebagai contoh,
orang Yunani memahami tentang badai yang disertai dengan kilat. Menurut skema yang
telah ada, badai yang disertai dengan kilat adalah Zeus yang sedang marah dan
melempar barang-barang. Baru pada abad ke-18 didapat pengertian yang benar tentang
badai disertai kilat yang ditemukan oleh Benyamin Franklin. Menurut Franklin badai
yang disertai kilat adalah gejala alam yang berkaitan dengan pembuangan listrik.
Kita juga bisa melihat bahwa keyakinan yang begitu berakar tentang betapa penting atau
tidaknya memahami sesuatu cukup beralasan. Untuk kesan subyektif bahwa kita
memahami sesuatu, meskipun rentan atas kesalahan, secara umum merupakan pertanda
bahwa kita sekarang bisa berperilaku dengan sesuai dalam situasi-situasi baru.

6. 6
Perbedaan adaptibilitas antara hal yang didasari oleh aturan dan yang berasal
dari pemahaman telah ditunjukkan dengan baik melalui eksperimen yang dilakukan oleh
Bell (1967). Contohnya dipilih dari topologi, sebuah cabang matematika yang mungkin
kedengarannya baru bagi pembaca yang juga mungkin ingin mencobanya sendiri.
Topologi memiliki kelebihan dimana skema yang relevan bisa dibangun dengan cepat,
sementara kebanyakan skema matematika membutuhkan waktu yang lebih lama.
Dua diagram diatas mewakili jaringan topologi, dibentuk oleh titik-titik yang
disebut vertex atau titik dan dihubungkan oleh garis-garis lurus atau melengkung yang
disebut busur. Melintasi sebuah jaringan berarti mengikuti jalan yang
berkesinambungan melintasi setiap busur sekali dan hanya sekali. Beberapa percobaan
dapat menunjukan bahwa jaringan (1) bisa dilintasi, sedangkan jaringan (2) tidak dapat
dilintasi. Berikut ini dua contoh lain.
Jika kita mencoba-coba, kita bisa dengan mudah menemukan bahwa jaringan (4)
bisa dilintasi, dan pembaca akan segera yakin bahwa jaringan (3) tidak dapat dilintasi,
meskipun tidak berarti bahwa hal ini tidak mungkin dilakukan
(5) (6)

7. 7
Ketika jaringan-jaringan tersebut menjadi semakin kompleks, metode ‘coba-
coba’ menjadi semakin sulit, dan kesimpulannya kurang meyakinkan, terlebih jika
hasilnya negative. Meski demikian, ada sebuah aturan sederhana. Hitunglah jumlah
busur yang bertemu di sebuah vertex. Jumlah busur yang bertemu disitu disebut rangka
sebuah vertex. Singkatnya kita bisa mengatakan bahwa sebuah vertex bisa disebut ganjil
atau genap sesuai dengan jumlah rangkanya.
Vertex rangka 3 Vertex rangka 4
Aturan: sebuah jaringan bisa dilintasi jika, dan hanya jika, jumlah vertex ganjilnya
adalah nol atau dua.
Dengan menggunakan aturan ini, kita dengan mudah dapat memverifikasi
bahwa jaringan (6) bisa dilintasi, dimulai dari sudut kiri atas, dan jaringan (5) tidak
dapat dilintasi. Jaringan-jaringan yang lebih sulit pun memiliki tingkat kesulitan yang
lebih kecil.
Dua kelompok anak-anak berusia sebelas tahun diperkenalkan dengan ide-ide
diatas. Kelompok pertama diperkenalkan dengan aturan diatas dan diberi penjelasan
(yang tidak akan diberikan kepada pembaca pada tahap ini) mengenai alasan munculnya
aturan tersebut. Kelompok kedua hanya diperkenalkan dengan aturannya. Kedua
kelompok anak-anak tersebut pun diberikan dua belas permasalahan, termasuk beberapa
jaringan yang cukup kompleks. Semua anak dari kedua grup bisa menyelesaikan
permasalahan yang disajikan dengan benar. Pada tahap ini, kita tidak bisa membedakan
kedua kelompok anak ini berdasarkan hasil yang mereka capai.
Beberapa set soal tentang jaringan pun lebih lanjut diberikan kepada kedua
kelompok ini, dengan satu perbedaan. Berikut ini adalah keempat jaringan khusus dari
set tersebut.

8. 8
Soal barunya adalah (a) mencoba menemukan jaringan mana yang bisa dilintasi seperti
sebelumnya, namun kali ini dimulai dari titik akhir jaringan; dan (b) mencoba
menemukan aturan yang dipakai untuk melakukan hal tersebut. Anda juga mungkin
ingin mencobanya sebelum melanjutkan bacaan anda.
Kelompok anak ketiga, yang tidak memiliki pengalaman atas permasalahan ini
dan tidak memiliki pengetahuan sama sekali tentang aturannya, juga diturutsertakan
untuk mengerjakan soal tersebut. Hasilnya, jika dilihat dari keberhasilan mereka
menemukan aturan baru yang benar adalah:
Kelompok 1 9 anak dari 12 (75%)
(aturan pertama tanpa pemahaman)
Kelompok 2 3 anak dari 10 (30%)
(aturan pertama tanpa pemahaman)
Kelompok 3 2 anak dari 12 (17%)
(tanpa pengetahuan)
Meskipun hasil sebelumnya menunjukan bahwa kelompok 1 dan 2 tidak dapat
dibedakan, soal-soal baru ini menunjukan adanya perbedaan yang besar diantara
mereka. 75% kelompok pertama berhasil menyelesaikan tugas yang baru tersebut,
namun hanya 30% di kelompok kedua, mereka sedikit unggul dari kelompok ketiga
yang tidak memiliki pengalaman sebelumnya.

9. 9
Sekarang ambilah selembar kertas kosong dan kopikan vertex jaringan (1),
halaman 30. Kemudian, gambarlah jaringan tersebut dimulai dari vertex manapun tanpa
pernah mengangkat pensil anda. (hal ini diumpakan dengan melintasi). Perhatikan
bahwa tiap kali anda masuk dan keluar dari sebuah vertex, anda menambahkan dua
busur pada jumlah busur yang bertemu di titik tersebut, artinya anda menambah dua
rangka vertex itu. Sekarang lakukan hal yang sama untuk jaringan (4) dan (6), dimulai
dari sudut kiri atas.
Harapannya adalah penjelesan ini, yang tentu saja lebih singkat daripada
penjelasan yang diberikan kepada anak-anak, memberikan petunjuk yang cukup bagi
pembaca untuk memahami aturan pertama, yang diberikan pada halaman 31. Jika anda
berhasil menemukan aturan kedua tanpa penjelsan ini, selamat! Jika belum, sekarang
tugas tersebut kelihatan lebih mudah.
Pada zaman dimana sesuatu yang disebut mesin mengajar dipasarkan, saya
menjumpai program mahal yang disebut “ Pengantar ilmu Topologi”, dipublikasikan
untuk digunakan dengan mesin mengajar yang mahal, dimana aturan pertama (saja)
yang diberikan dan tanpa penjelasan. Dalam bentuk ini, bukan hanya beradaptasi
dengan permasalahan kedua saja yang susah, beberapa pertanyaan relevan pun susah
dijawab, seperti: ‘bagaimana kita bisa yakin bahwa aturan ini bisa dipakai untuk semua
jaringan?’ ‘apakah aturan tersebut dapat dipakai untuk jaringan tiga dimensi?’ dan
terutama ‘bagaimana kita bisa yakin bahwa sebuah jaringan tidak dapat dilintasi oleh
orang yang cukup pintar?’ semua pertanyaan ini bisa dijawab oleh seseorang yang
sudah memahami penjelasan aturan tersebut, sehingga menunjukan lebih jauh
adaptabilitas yang lebih besar semua skema terhadap masalah baru.
Kegunaan Skema dalam Pembelajaran Matematika
Inti utama dari skema sebagai alat belajar adalah kecocokan dari skema yang
sebelumnya yang akan membuat proses asimilasi dari ide yang akan datang menjadi
lebih baik.
Belajar dengan memanipulasi simbol merupakan salah satu cara memperhatikan
jawaban yang sulit untuk membedakannya dari belajar konseptual. Siswa tidak dapat
membedakan 2 hal, jika tidak memiliki pengalaman dari pengertian matematika
sebelumnya, seperti tidak memiliki konsep yang benar atau tidak memiliki pengetahuan
langsung. Sehingga jika siswa hanya mengandalkan kemampuan mengingat saja,

10. 10
memang akan mencapai level tinggi dalam memecahkan masalah tapi jika pada situasi
baru, ia akan mengalami kesulitan karena tidak memiliki pengertian matematika
sebelumnya.
Skema yang sesuai adalah skema yang memperhatikan tugas belajar jangka
panjang bukan jangka pendek. Solusi persamaan, misalnya, biasanya didasarkan pada
ide sepasang timbangan, jika kita menambahkan atau mengurangi beban yang sama di
kedua sisi, timbangan tersebut tetap seimbang, jadi kita bisa menemukan berat yang
menyeimbangkan berat yang tidak diketahui.
Model ini juga membenarkan ‘memindahkan jumlah ke sisi sebelahnya dan merubah
tandanya’, karena kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menambahkan,
misalnya sejumlah 3 kg, ke sisi timbangan sebelah kiri, atau mengambil sejumlah itu
dari sebelah kanan.
Pada tahap awal, skema sederhana patut dipuji. Namun ia tetap memiliki
kelemahan dimana x adalah jumlah yang tidak diketahui dan kita harus
‘menemukannya’, dan hal itu bukan merupakan konsep dasar matematika. Konsep dasar
matematika adalah variabel. Tetapi kelemahan utamanya adalah bahwa skema
“menyeimbangkan kedua sisi’ tidak dapat diterapkan pada persamaan seperti
x + 4 = 0
x2
= 4
dan x2
– 3= 4
kecuali dengan merenggangkannya sampai menjadi
x2
+ 4 = 0
dan
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4
seorang guru harus melihat jauh melebihi tugas yang sedang dikerjakan murid, dan jika
dimungkinkan, sampaikan ide-ide baru sehingga skema-skema jangka panjang yang
sesuai bisa dibentuk.

11. 11
Meskipun memiliki kelemahan, skema diatas masih jauh lebih baik dari aturan-
aturan tanpa alasan yang terkadang diajarkan karena masuk akal dan oleh karena
dianggap sebagai kegiatan yang berarti dalam matematika. Terkadang kita juga sulit
memilih antara skema jangka pendek yang gampang dan skema jangka panjang tetapi
susah. Keputusan ini tidak sama dengan keputusan yang mungkin kita hadapi saat
berbelanja, antara barang yang murah tapi tidak bertahan lama dengan barang yang
lebih mahal tetapi bertahan lama, karena kita tidak bisa membuang begitu saja skema
awal kita. Kita harus merekonstruksi kembali, dan seperti yang telah kita lihat, hal itu
memberikan kesulitan bagi kita. Jadi pilihannya tidak selalu gampang. Meski demikian,
secara umum biasanya ide-ide jangka panjang tidak sulit dipelajari, hanya saja mereka
sulit ditemukan. Hal ini memindahkan kesulitan dari murid ke guru.
Jika skema lama tidak sesuai dengan skema baru maka skema lama tidak akan
menyerap skema baru tersebut. Karena perkembangan matematika sangat pesat, maka
guru harus menyiapkan siswa agar dapat menyesuaikan diri dengan perkembangan
matematika tersebut. Dengan demikian tugas guru antara lain:
1. Membangun pondasi yang kuat dan terstruktur tentang ide-ide matematika dasar.
2. Membimbing siswa menemukan ide-ide baru.
3. Mengajarkan siswa untuk selalu menyesuaikan skema lama dengan skema baru.

12. 12
Rangkuman
 Skema adalah istilah psikologi umum yang berkaitan dengan struktur mental. Dalam
skema terstruktur yang dikembangkan bukan hanya struktur konsep matmatika saja,
tetapi struktur-struktur yang saling berkaitan dan mengkoordinasikan kegiatan-
kegiatan panca indra.
 Ada dua fungsi umum dari skema, yaitu:
1. Menggabungkan pengetahuan yang ada
2. Alat pikiran untuk mendapatkan pengetahuan baru
 Belajar skematik memberi tiga keuntungan daripada belajar hafalan, yaitu:
1. Belajar lebih bermakna
2. Belajar lebih efisien
3. Belajar menyiapkan sebuah alat pikiran untuk menerapkan pendekatan yang
sama pada tugas belajar di kemudian hari.
 Belajar dengan menggunakan skema juga memberi beberapa kelemahan, yaitu:
1. Membutuhkan waktu yang lama jika tugas yang diberikan terlalu jauh.
2. Jangkauan materi yang terlalu luas.
 Ada dua macam penyerapan skema baru terhadap skema lama, yaitu asimilasi dan
akomodasi.
 Asimilasi adalah proses mengubah skema baru terhadap skema lama, sehingga
skema baru dapat diterima skema lama.
 Akomodasi adalah proses mengubah skema lama terhadap skema baru, sehingga
skema lama dapat diterima oleh skema baru.
 Pemahaman berarti kemampuan menyerap suatu pengalaman ke dalam struktur
skema yang tepat.
 Tugas guru dalam pembelajaran bermakna antara lain:
1. Membangun pondasi yang kuat dan terstruktur tentang ide-ide matematika
dasar.
2. Membimbing siswa menemukan ide-ide baru
3. Mengajarkan siswa untuk selalu menyesuaikan skema lama dengan skema baru